2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步練習(xí)-第七章　復(fù)數(shù) 提高練習(xí)

綜合拔高練

五年高考練

考點1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

1.（2022浙江,2）已知α,b∈R,α+3i=（b+i）i（i為虛數(shù)單位）,則

Aa=I力=-3B.a=_1/二3

C.a--?,b--?）D.a=1/=3

2.（2020全國///理,2）復(fù)數(shù)二二的虛部是

1—31

?,-?B,--C-D-

10101010

3.（2020浙江,2）己知α∈R,若α-l+（α-2）i（i為虛數(shù)單位）是實數(shù),則a=

A.lB-IC.2D.-2

4.（2020江蘇,2）已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=（l+i）（2-i）的實部是.

考點2復(fù)數(shù)的幾何意義

5<2020北京,2）在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（1,2）,則i?z=

A,l+2iB,-2+iC,l-2iD.-2-i

6.（2019課標(biāo)全國//,2）設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)2對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.（2019課標(biāo)全國/,2）設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足∣z-i∣=l,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（XM,則（

A.（x+l）2+y2=ιB.（x-l）2+γ2=l

C.X2+。，-1）2=1DΛ2+3+1）2=1

8.（2018北京,2）在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù);的共枕復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于

1—1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

考點3復(fù)數(shù)的運算

9.(2022新高考//,2)(2+2i)(l-2i)=

A,-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

10.(2022全國甲文,3)若z=1+i,則IiZ+3?=

A.4√5B,4√2C,2√5D,2√2

11.(2022全國甲理,1)若z=-l+8i,則喜=

A,-l+√3iB,-l-√3i

.1.√3.1√3.

rC.--+—1Dtλ,----1

3333

12.(2022北京⑵若復(fù)數(shù)Z滿足i?z=3-4i,則IZI=

A.lB,5C,7D.25

13.(2022新高考/,2)若i(l-z)=l,則z+z=

A.-2B-IC.lD,2

14.(2021新高考/,2)已知z=2-i∕∣Jz(5+i)=

A.6-2iB,4-2iC.6+2iD.4+2i

15.(2021全國甲理,3)已知(l-i)2z=3+2i,貝IJZ=

33

A.-l--iB,-l÷-i

22

-3.c3?

C.--hiD.---i

22

16.(2021全國乙理,1)設(shè)2(z+5)+3(z㈤=4+6i,則Z=

A.l-2iB.l÷2i

C.l÷iD.l-i

17.(2020全國〃文,2)(l-i)4=

A.-4B.4C.-4iD.4i

三年模擬練

應(yīng)用實踐

1.（2022四川宜賓高縣中學(xué)高考適應(yīng)性考試）在復(fù)平面內(nèi)。為坐標(biāo)原點,四邊形OABC是復(fù)平面

內(nèi)的平行四邊形,且A、B、C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為Z］、Z2、Z3,若Zl=LZ3=-2+i,則Z2=（）

A.l+iB,l-iC,-l+iD,-l-i

2.（2022云南保山質(zhì)檢）已知（l+i）2z=2-2i,其中i是虛數(shù)單位,則復(fù)平面內(nèi)2+閉對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2022福建莆田第二中學(xué)模擬）若區(qū)（1+訓(xùn)=遍,則z,的值為（）

A.√2B.2C,√3D.3

4.（2022浙江紹興上虞期末）若復(fù)數(shù)Z=R歷（b∈R,i為虛數(shù)單位）滿足。=也其中5為Z的共粗復(fù)數(shù)

則∣*i∣的值為（）

A—B-ClD—

10510

5.（2022河北張家口張垣聯(lián)盟第二次階段測試）已知復(fù)數(shù)Zi=I-5i,復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Zi與Z3對應(yīng)的點

關(guān)于原點對稱,Z3與Z2對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱,則Z1?Z2=（）

A.-26B.26C.-25D.25

6.（2022河南許昌二模）已知復(fù)數(shù)Z滿足∣z-3+2i∣=∣z∣,若Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（％），）,則（）

A.6x-4γ+13=0B.6x-4y+5=0

C.6x-4y-13=0D.6x+4y+13=0

7.（多選）（2021河北滄州河間十四中期中）已知復(fù)數(shù)Zl=WT（i為虛數(shù)單位）,下列說法正確的是

—1+1

（）

A.z∣在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限

B.zι的虛部為部

C.z*4

D.滿足IZI=IZll的復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在以原點為圓心,2為半徑的圓上

8.（多選）（2021江蘇無錫一中期中）設(shè)復(fù)數(shù)Zg滿足Z2X0,且憶。|=2㈤,則Zl可以是（）

A,√2+√2iB.4iC,-l+√3iD,2-2i

9.（2022福建四地第一次質(zhì)檢）復(fù)數(shù)ZI=CoSx-isinx*2=sinx-icosx,則∣zι?Z2∣=.

10.（2022浙江畢業(yè)生“極光杯”線上綜合測試）若關(guān)于z的復(fù)系數(shù)一元二次方程

z2-i0>z+<υ=0（0>∈R）的一個根為ZI=L則另一個根zι-.

11.（2021上海格致中學(xué)月考）已知復(fù)數(shù)z=l-i.

⑴設(shè)6υ=T2+35-4,求ω的值；

⑵求滿足不等式整≥E的實數(shù)a的取值范圍.

Va+23

12.（2022江蘇蘇州第十中學(xué)期中）已知復(fù)數(shù)Z滿足團=√∑,z2的虛部為2,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點A

在第一象限.

⑴求z；

⑵若z2,z-z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點分別為B,C,求cosΛABC.

13.（2021黑龍江大慶肇州聯(lián)考）已知復(fù)數(shù)z=m-i（m∈R）,且不l+3i）為純虛數(shù)伉是Z的共掘復(fù)數(shù)）.

⑴設(shè)復(fù)數(shù)ZI=胃,求∣z∣∣;

1—1

n_\2021

⑵復(fù)數(shù)Z2=~7-在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限,求實數(shù)a的取值范圍.

遷移創(chuàng)新

14.（2020廣東中山期末）現(xiàn)有以下三個式子:①言,②為虛數(shù)單位）.某同學(xué)在解題時

發(fā)現(xiàn)以上三個式子的值都等于同一個常數(shù).

⑴從三個式子中選擇一個,求出這個常數(shù)；

⑵根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及⑴的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個復(fù)數(shù)恒等式,并證明

你的結(jié)論.

答案與分層梯度式解析

五年高考練

1.B..?a+3i=0i+i2=-l+0i,.?.q=-l力=3.故選B.

ZD士=芳9=等,所以虛部為高

3.C因為α-l+(α-2)i為實數(shù),α∈R,所以α-2=0,解得α=2,故選C.

4.答案3

解析z=(1+i)(2-i)=2-i+2i+1=3+i,

，z的實部為3.

5.B由復(fù)數(shù)的幾何意義可知,z=l+2i,

所以i?z=i?(l+2i)=-2+i,故選B.

6.CVz=-3+2i,Λz=-3-2i,

，在復(fù)平面內(nèi)下對應(yīng)的點為(-3,-2),位于第三象限.

7.C在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(XM,

復(fù)數(shù)z=?r÷yi(χ,yeR),

.,.z-i=jH-(y-1)i,∣z-i∣=√x2+(y-I)2=1,

ΛΛ2+(>,-1)2=1.

8.D'：—=———=-=-+-i

l-i(l-i)(l+i)222,l

???其共規(guī)復(fù)數(shù)為:一]

在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)W的共軌復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1-3,位于第四象限，故選D

9.D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故選D.

10.DVz=I+i,Λiz=i-l,32=3(l-i)=3-3i,

Λiz+3z=2-2i,.?.∣iz+3z∣=2√Σ故選D.

11.C因為z=-l+√?

倔

所以?I=-1+

(-l+√3i)(-l-√31)-l

號+凈,故選C.

1+3-1

(3-4i)?(-i)

12.B由i?z=3-4i可知,z="γ

i(-i)

=-4-3i,故憶|=J(—4)2+(—3)2=5.故選B.

13.D由題意知I-Z=I=-i,所以z=l+i,則5=l-i,所以z+5=(l+i)+(l-i)=2,故選D.

2

14.CVz=2-izΛz=2÷t∕?z(z+i)=(2-i)(2÷i÷i)=(2-i)(2÷2i)=4+4i-2i-2i=6÷2i.?i?C.

日而*/曰

1IU5nbr?3+2i3+2i(3+2i)?l-2+3i413.

?由題忌得ZFl=石=M=丁=-1+尹

16.C設(shè)z=α+bi(α,/?WR),貝厲=α-6i,代入2(z÷z)+3(z-z)=4÷6i,W4a+6bi=4+6i,所以Q=Lb=L故

z=l+i.故選C.

17.A(l-i)4=[(l-i)2]2=(-2i)2=4i2=-4,故選A.

易錯警示

復(fù)數(shù)運算的注意點:復(fù)數(shù)運算問題雖然比較簡單,但因為在計算過程中會多次用到i2=-1,所

以要特別注意,否則極易弄錯正負(fù)號.

三年模擬練

LC由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可得Z2=zι+z3=l?2+i=?l+i.故選C.

2.AV(l+i)?=2-2i,

?2-2i2-2i2i+2.

?.Z=-------r=------=------=-11-1.

(l+i)22i-2

.?.∣z∣=√(-l)2+(-1)2=√2,z=-l+i,

：.z+\z\=√Σ-l+".5+IZl在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(或-1,1),在第一象限故選A.

3.D因為∣z?(l+i)∣=∣z∣?∣l+i∣=√∑∣z∣=逐,

所以∣z∣=√5,

設(shè)z=a+/?i(a,〃￡R),貝Wa2+52—?/?,

所以z?z=(ɑ÷?i)(6z-?i)=a2+?2=∣z∣2=3.

故選D.

4.D:z=^-bil/.z—∣-?i,

1

.?.z`z=^-b=-bl；?

√2L

._11..IZI_?z?_~_尺

??ZO??H=詢=詞=而

故選D.

5.A由題意得Zl對應(yīng)的點為(1,-5),???Z3對應(yīng)的點為(",S),.;?對應(yīng)的點為(-l,-5),.??Z2=-l-5i,??.

zι?Z2=(l-5i)(∕-5i)=-26.故選A.

6.C設(shè)z=x+yi(xry∈R),

V∣z-3+2i∣=∣z∣,Λ∣(x-3)+(y÷2)i∣=∣x+yi∣r

即J(X—3)2+(y+2)2=J%2+y2,化簡得6x-4y-13=(λ故選C.

7.AB復(fù)數(shù)zl-=(AU)=-I”,所以復(fù)數(shù)z?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-1,-1),位于第三象限

所以A正確；

由ZI=-I-i,可得復(fù)數(shù)Zl的虛部為-1,所以B正確；

因為Z才=(-l-i)4=[(-1-i)2]2=⑵)2=4所以C錯誤；

因為IZIl=J(-1)2+(-1)2=√Σ,所以滿足IZl=IZII的復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在以原點為圓

心,√∑為半徑的圓上,所以D錯誤.故選AB.

8.AC因為∣∑2∣=∣Z2∣,Z2≠0,所以由IZIZl=∣zl∣-區(qū)21=2㈤可知JZIl=2.

對于A,∣√2+√∑i∣=2;對于BMil=4；對于C,∣-l+√5i∣=2;對于D,∣2-2i∣=2√∑故選AC.

9.答案1

解析由題可得z∣,Z2=(cosx-isinx)(sinx-icosX)=CoSXSinx-icos2Λ-isin2Λ+i2sinXCOSX

22

=-i(sinx+cosx)=-iz.*.∣zrz2∣=∣-i∣=l?

10.答案--

2

解析由題意得1-iω×1÷ω=0zΛ(i-1)ω=1,

1

即CO=—=------------------=—

?-l(i-l)(-i-l)2

.?.復(fù)系數(shù)一元二次方程為Z2以Z-詈=0,

由根與系數(shù)的關(guān)系可知Z∣+Z2gi,ZιZ2=與

又Z1=1,.?.Z2=手.

IL解析(l)Vz=l-i,Λz=l+i,

..OJ^?7→3(l+i)-4=τ?+3i-l

-5(tt2i),+3i-l=l+2i+3i-l=5i.

(l-2i)(l+2i)

⑵不等式為∣α+g二)">◎即心客火≥旺即3[ɑ2+(1—a)?]≥α+2,

Va+23V<1+23α+2>0,

襄二，解得-壯或的

整理得F+1“2?L

，實數(shù)a的取值范圍是(一2,1U[l,+∞)?

12.解析⑴設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則x2+y2=2,

".*z2=Λ2-jy2+2xyi,xy=1.

Vz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點A在第一象限,

,

:?x>0j>0z「?x=y=Iz，z=1+i.

21

⑵由⑴可得Z=I+i,ΛZ=2↑,Z-Z=l-iz

AA(IzI)zBmc(IrI)l

???84=(1廠1),8C=(I,-3),

~BA:BC42√5

.*.cosZABC=-?BA?-?BC?-√2×√