數(shù)列的特征方程

遞推數(shù)列特征方程的來源與應(yīng)用遞推是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念和方法，遞推數(shù)列問題能力要求高，內(nèi)在聯(lián)系密切，蘊(yùn)含著不少精妙的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。新教材將數(shù)列放在高一講授，并明確給出“遞推公式”的概念：如果數(shù)列的第1項(xiàng)〔或前幾項(xiàng)〕，且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)〔或前幾項(xiàng)〕間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式。有通項(xiàng)公式的數(shù)列只是少數(shù)，研究遞推數(shù)列公式給出數(shù)列的方法可使我們研究數(shù)列的范圍大大擴(kuò)展。新大綱關(guān)于遞推數(shù)列規(guī)定的教學(xué)目標(biāo)是“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)”，但從近幾年來高考試題中常以遞推數(shù)列或與其相關(guān)的問題作為能力型試題來看，這一目標(biāo)是否恰當(dāng)似乎值得探討，筆者以為“根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)”無論從思想方法還是從培養(yǎng)能力上來看，都不那么重要，重要的是學(xué)會(huì)如何去發(fā)現(xiàn)數(shù)列的遞推關(guān)系，學(xué)會(huì)如何將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法。本文以線性遞推數(shù)列通項(xiàng)求法為例，談?wù)勥@方面的認(rèn)識(shí)。關(guān)于一階線性遞推數(shù)列：其通項(xiàng)公式的求法一般采用如下的參數(shù)法[1]，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列：設(shè)，令，即，當(dāng)時(shí)可得知數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，將代入并整理，得對(duì)于二階線性遞推數(shù)列，許多文章都采用特征方程法[2]：設(shè)遞推公式為其特征方程為，假設(shè)方程有兩相異根、，那么假設(shè)方程有兩等根那么其中、可由初始條件確定。很明顯，如果將以上結(jié)論作為此類問題的統(tǒng)一解法直接呈現(xiàn)出來，學(xué)生是難以接受的，也是不負(fù)責(zé)任的。下面我們結(jié)合求一階線性遞推數(shù)列的參數(shù)法，探討上述結(jié)論的“來源”。設(shè)，那么,令〔*〕假設(shè)方程組〔*〕有兩組不同的解,那么,,由等比數(shù)列性質(zhì)可得,,由上兩式消去可得.特別地，假設(shè)方程組〔*〕有一對(duì)共扼虛根通過復(fù)數(shù)三角形式運(yùn)算不難求得此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為其中、可由初始條件求出。假設(shè)方程組〔*〕有兩組相等的解，易證此時(shí)，那么，,即是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可知，所以．這樣，我們通過將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比〔差〕數(shù)列的方法，求得二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)，假設(shè)將方程組〔*〕消去〔或〕即得此方程的兩根即為特征方程的兩根，讀者不難發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)論是完全一致的，這正是特征方程法求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的根源所在。斐波那契數(shù)列，求通項(xiàng)公式。解此數(shù)列對(duì)應(yīng)特征方程為即，解得，設(shè)此數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由初始條件可知，，解之得，所以。數(shù)列且，求通項(xiàng)公式。解此數(shù)列對(duì)應(yīng)特征方程為即，解得，設(shè)此數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由初始條件可知，，解之得，所以。數(shù)列且，求通項(xiàng)公式。解此數(shù)列對(duì)應(yīng)特征方程為即，解得設(shè)此數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由初始條件可知，，解之得，所以。最后我們指出，上述結(jié)論在求一類數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)固然有用，但將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比〔等差〕數(shù)列的方法更為重要。如對(duì)于高階線性遞推數(shù)列和分式線性遞推數(shù)列，我們也可借鑒前面的參數(shù)法，求得通項(xiàng)公式。例4、設(shè)數(shù)列滿足解：對(duì)等式兩端同加參數(shù)得，，代入，得相除得即的等比數(shù)列，。不動(dòng)點(diǎn)對(duì)于的遞推式，兩端減x后得到為了能構(gòu)成等比數(shù)列，那么令，這個(gè)方程與在遞推式中令得的方程是一樣的，有點(diǎn)類似于令f(x)=x形式，所以稱這種方法為不動(dòng)點(diǎn)法得到x的值，于是原式為假設(shè)x有兩個(gè)不等根x1,x2