2023年重慶市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析答案）

2022年春高一（下）期末聯(lián)合檢測(cè)卷子

數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)測(cè)卷子共4頁(yè)，總分值150分.考試時(shí)間120分鐘.

考前須知：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫(xiě)在答題卡上，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘

貼的的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.

2.答復(fù)選擇題時(shí)，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答復(fù)非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆

在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答.假設(shè)在真題卷上作答，答案無(wú)效.

3.考試結(jié)束，考生必須將真題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：此題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪

一項(xiàng)符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)」一的虛部是

1+1

111.1.

A.——B.-C.—1D.——1

2222

（答案）A

（解析）

（分析）利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，將分子分母同乘以分母的共筑復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式a+bi（a力6R）,

b即為虛部.

（詳解）

11-i1-i11.11

—、=工/=不一不1，所以復(fù)數(shù)?；一7的虛部是—q.

1+1+2221+i2

2.設(shè)向量）=（2,1）,b=（3,/H）?aA-b>則加=（）

313

A.-6B.--C.--D.一

262

（答案）A

（解析）

（分析）由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可.

（詳解）由題意，a-b=6+m=0>即〃z=-6.

應(yīng)選：A

3.設(shè)空間中的平面a及兩條直線q,6滿足a<za且bua,則“ac8=0”是"a〃a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

（答案）B

（解析）

（分析）由直線、平面的位置關(guān)系，結(jié)合充分和必要條件定義作出推斷.

（詳解）當(dāng)acb=0時(shí)，因?yàn)榍襜ua,所以。與a可能相交；

當(dāng)?！╝時(shí)，因?yàn)榍襜ua,所以acb=0；

即“acb=0”是"a〃a”的必要不充分條件.

應(yīng)選：B

4.某地區(qū)對(duì)居民用電實(shí)行階梯電價(jià)以提高能源效率，統(tǒng)計(jì)該地區(qū)每戶居民月均用電量，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如

表：

分位數(shù)50%分位數(shù)60%分位數(shù)70%分位數(shù)80%分位數(shù)90%分位數(shù)

戶月均用電量

150162173195220

〔單位：kW-h）

如果將該地區(qū)居民用戶的月均用電量劃分為三檔，第一檔電量按照覆蓋70%的居民用戶的月均用電量確

定，第二檔電量按照覆蓋90%的居民用戶的月均用電量確定，則第二檔電量區(qū)間為（）

A（162,173]B.（173,195]C.（173,220]D.（220,+oo）

（答案）C

（解析）

（分析）依據(jù)題設(shè)戶均用電量的百分位數(shù)對(duì)應(yīng)的值，結(jié)合電量覆蓋要求即可得第二檔電量區(qū)間.

（詳解）由題意，第一檔用電量區(qū)間為（0,173],第二檔用電量區(qū)間為（173,220].

應(yīng)選：C

5.已知口Z8C的面積為"荔?就，則NA4C=（）

2

兀兀兀2兀

A.-B.-C.—D.—

6433

（答案）C

（解析）

（分析）由向量數(shù)量積的定義及三角形面積公式可得JJcosN8ZC=sinN8NC，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)即

可求ABAC.

（詳解）由題設(shè)，SABC-7c^—\~AB^~AC：\cosZBAC，又S=；|前||就|sin加C

222

所以GcosZB/C=sin的C，即tan/8/C=G，而0<N34C（乃，故/8ZC=；.

應(yīng)選：C

6.在正方體48CO-4AGA中，與直線/與不垂直的直線是（）

A.A{BB.BCC.4。D.BD]

（答案）C

（解析）

（分析）在正方體中，借助線面垂直關(guān)系進(jìn)行推斷.

（詳解）如下圖，

在正方形288/中，AB.1A{B；

因?yàn)?C_L平面488/,故8C_LZg；

連接8。、AC,因?yàn)?C///Q,所以/4與同。所成的角為60。，不垂直;

易得8R_L平面N8C，所以所以C正確.

應(yīng)選：C

7.已知某圓臺(tái)上下底面的面積之比為1：9,側(cè)面積為則，母線長(zhǎng)為2,則該圓臺(tái)的高為（）

3

oFc4

A.2B,C.-D.1

33

（答案）B

（解析）

（分析）設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，母線長(zhǎng)為/,高為〃，由題意確定下底面的半徑為3r，由圓臺(tái)的側(cè)面

積公式求出人由此求解圓臺(tái)的高即可.

（詳解）解：設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為「，母線長(zhǎng)為/,高為〃，

因?yàn)閳A臺(tái)的上底面面積是下底面面積的二倍，

所以下底面的半徑為3r，

又母線長(zhǎng)/=2,圓臺(tái)的側(cè)面積為畫(huà)，

3

則乃（尸+3r）1=2Mr+3r）=今藝,

解得r=—,

3

則圓臺(tái)的高/=半.

應(yīng)選：B.

8.從三對(duì)夫婦中隨機(jī)抽選2人參加采訪活動(dòng)，則恰好抽到一對(duì)夫婦的概率為（〕

1111

A.-B.-C.-D.一

6543

（答案）B

（解析）

（分析）依據(jù)題意，列舉出從三對(duì)夫婦中隨機(jī)抽選2人參加采訪活動(dòng)的情況，進(jìn)而結(jié)合古典概型求解即

可.

（詳解）解：設(shè)（q,%），（〃,b2）,（q,C2）分別表示三對(duì)夫婦，

從中隨機(jī)抽選2人參加采訪活動(dòng)的情況有：（％,。2）,（%力1）,（《力2）,（《,。|）,（%,。2）,

（附,4）,（。2也）,（。2，。）,（出，。2），（乙也）,（4，。1）,（如。2），僅2，。），92，。2），（g）,共15種；

其中，恰好抽到一對(duì)夫婦的概率為（41,生），（久也），（。1，。2），共3種，

31

所以，恰好抽到一對(duì)夫婦的概率為尸=百=《.

應(yīng)選：B

二、選擇題：此題共4小題，每題5分，共20分.在每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，局部選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.關(guān)于復(fù)數(shù)z及其共加復(fù)數(shù)彳，以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）

A.z+zeRB"z|=|目

C.|z-z|=z2D.z-Z=|ZI-IZI

（答案）ABD

（解析）

（分析）依據(jù)題意，設(shè)2=。+藥,。/6火，則z=”—?dú)v，進(jìn)而依次商量各選項(xiàng)即可得答案.

（詳解）解：依據(jù)題意，設(shè)z=a+bi,a,bwA,~z=a-b\>

則z+彳=2awR,|z|=|J|=yja2+h2>|z-z|=a2+b~,z~—a"—b2+2abi,z-z=|z|?|z|=a2+/）2

應(yīng)選：ABD

10.設(shè)平面向量|刈=1,|B|=2,B在萬(wàn)方向上的投影向量為了，貝i］（）

A.a-c=chB.a-b-a-c

C.\a-c\?2D.a-c=\a\-\c\

（答案）C

（解析）

（分析）依據(jù)向量數(shù)量積的定義，逐一驗(yàn)證，即可求解.

（詳解）解：

對(duì)于AB,如圖，當(dāng)6=45°時(shí)，

a-c=|a|-|c|cos6>=|c|2,c-b=同?忖為/=|司?^cos，=|司.同，均不相等，故AB錯(cuò)誤，

因?yàn)閨工|<|￡|=1,|展列=|1卜|可856=|初242,故?對(duì),

a-c=\a\-\c\cos0,故D錯(cuò)誤.

應(yīng)選：C.

II.已知10（）個(gè)零件中恰有2個(gè)次品，現(xiàn)從中不放回地依次隨機(jī)抽取兩個(gè)零件，記事件4="第一次抽到

的零件為次品"，事件4="第二次抽到的零件為次品"，事件/="抽到的兩個(gè)零件中有次品"，事件

8="抽到的兩個(gè)零件都是正pin”,則（）

A.尸（止尸⑷B.P（4）=P（4）+P（4）

C.P（AuB）=P（A）+P（B）D.P（fi）=［l-P（4）］-［l-P（J2）］

（答案）AC

（解析）

（分析）利用事件之間的關(guān)系，結(jié)合概率的加法、乘法公式求解.

C1149x2+1x11

（詳解）尸（4）=不占=?，P（A2）^-所以A正確；

C1005050x9950

因?yàn)?c4#0,A=AiUA2,故尸（z）=尸（4）+尸（4）一尸（4CI4），所以B錯(cuò)誤；

因?yàn)?口8=0，ZU8=Q,即/、8為對(duì)立事件，故P（Zu8）=P（/）+P（8）,所以C正確；

尸⑻奈=黯，口-尸（4）］11"⑷卜親黑PS所以D錯(cuò)誤.

應(yīng)選：AC.

12.某學(xué)校規(guī)定，假設(shè)五個(gè)工作日內(nèi)學(xué)校某天有超過(guò)3個(gè)人的體溫測(cè)量值高于37.5。。則需全員進(jìn)行核酸

檢測(cè).該校統(tǒng)計(jì)了五個(gè)工作日內(nèi)每天體溫超過(guò)37.5七的人數(shù)，則依據(jù)這組數(shù)據(jù)的以下信息，能斷定該校不需

全員進(jìn)行核酸檢測(cè)的是（）

A.中位數(shù)是1,平均數(shù)是IB.中位數(shù)是1,眾數(shù)是0

C.中位數(shù)是2,眾數(shù)是2D.平均數(shù)是2,方差是0.8

（答案）AD

（解析）

（分析）利用中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和方差的定義逐項(xiàng)推斷.

（詳解）A.因?yàn)橹形粩?shù)是1,設(shè)五個(gè)工作日內(nèi)每天體溫超過(guò)37.5。（2的人數(shù)為從小到大的順序?yàn)閍,b,1,

c,d,

因?yàn)槠骄鶖?shù)是1,所以a+b+l+c+d=5,假設(shè)d=4,則。=力=，=0,不合題意，故正確：

B.設(shè)五個(gè)工作日內(nèi)每天體溫超過(guò)37.5。（2的人數(shù)為從小到大的順序?yàn)?,0,1,2,4,

滿足中位數(shù)是1,眾數(shù)是0,但有一天超過(guò)3,故錯(cuò)誤；

C.設(shè)五個(gè)工作日內(nèi)每天體溫超過(guò)37.5七的人數(shù)為從小到大的順序?yàn)?,2,2,3,4,

滿足中位數(shù)是2,眾數(shù)是2,但有一天超過(guò)3,故錯(cuò)誤；

D.設(shè)五個(gè)工作日內(nèi)每天體溫超過(guò)373C的人數(shù)為a,b,c,d,e,

因?yàn)槠骄鶖?shù)是2,方差是0.8,則

a+b+c+d+e=10,

—[("2)2+僅一2)2+(c-2)2+(d—2/+(e-2)2]=0.8,

5L-

即(a-2)2+(b-2)2+(c-2)2+(d-2)2+(e-2)2=4,

則eW4,假設(shè)e=4,從方差角度來(lái)說(shuō)。=b=c=d=2,不滿足a+Z>+c+d+e=10,

所以e<4,故正確.

應(yīng)選：AD.

三、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分.

37t

13.在口/8C中，BC=6,〃C=2,ZBCA=—,則Z8

（答案）回

（解析）

（分析）已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解第三邊.

37r

（詳解）在口/8C中，BC=6,/C=2,NBCA=——,由余弦定理得，

4

AB2^BC2+AC2-2BCACCOSNBCA=（V2）2+22-2X72X72COS—

4

=2+4-2xV2x2x（-^）=10

所以

故答案為：Vio.

14.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形48'C'。'是用斜二測(cè)畫(huà)法得到的四邊形Z8C。的直觀圖，則四邊形Z8CD

（答案）872

（解析）

（分析）依據(jù)題意，求出直觀圖正方形的面積，由直觀圖和原圖的面積關(guān)系分析可得答案.

（詳解）解：依據(jù)題意，正方形HB'C'。'的邊長(zhǎng)為2,其面積=2x2=4,

其該平面圖形的面積5=，

故答案為：8A/2.

15.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，則點(diǎn)數(shù)之和為8的概率是.

（答案）三

36

（解析）

（分析）先計(jì)算根本領(lǐng)件的樣本空間，再計(jì)算所求事件的種數(shù)，按照古典概型計(jì)算即可.

（詳解）連續(xù)投擲2次，骰子點(diǎn)數(shù)的樣本空間為6x6=36,2次點(diǎn)數(shù)之和為8的有：

（2,6）,（3,5）,（4,4）,故有2x2+l=5種，其概率為三；

36

故答案為：2.

36

16.如圖，46co是棱長(zhǎng)為6的正四面體，瓦尸為線段的三等分點(diǎn)，G,"為線段CD的三等分點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)E,F,G,〃分別作平行于平面8CQ,平面4cQ,平面平面Z8C的截面，則正四面體

ABCD被這四個(gè)截面截去四個(gè)角后所得幾何體的體積為.

（答案）竺也

3

（解析）

（分析）依據(jù)題意，取△8CO中心。，連接。4,進(jìn)而得04,平面8co，再依據(jù)幾何體關(guān)系計(jì)算得

VA_BCD=1872,%MN=半,進(jìn)而得正四面體48。被這四個(gè)截面截去四個(gè)角后所得幾何體的體積

““T,...46及

為修=-A-BCD~4囁-EMN—-2-'

（詳解）解：如圖，取△8CQ中心。，連接04,

因?yàn)锳BCD是棱長(zhǎng)為6的正四面體，所以04J.平面BCD,

依據(jù)幾何關(guān)系：BO=2#）,AB=6,AO=2底,

匕-BCO=；S口Bco.OZ=gx；x6x6x

所以正四面體Z8CD的體積為:

因?yàn)槠矫鎰?lì)W//平面8CZ>,E為線段N5的三等分點(diǎn)，

所以SNMN=，三棱錐A-EMN的高力=，

1

所以“_c,_1r/_18V2_2V2

"I"^A-EMN~qS\EMN?h~萬(wàn)^A-BCD~~~~'

所以正四面體48c。被這四個(gè)截面截去四個(gè)角后所得幾何體的體積為

v_v_AV]968叵46Vl

/_丫A-BCD-4,A-EMN-1323-3

故答案為：竺也

3

四、解答題：此題共6小題，共70分.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

1T

17.在口Z8C中，AB=3,AC=2,1=§,點(diǎn)。，E分別在邊BC上，且而=麗,

'BE=2EC<^DE=x'AB+yAC.

（1）求x,y的值；

（2）求|方

12

（答案）（1）x=——，歹=一

63

⑵-

6

（解析）

【分析）（1）依據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得應(yīng)=-J在+金祝，即可得解；

ULUUL1UI____?|2（

（2）依據(jù)數(shù)量積的定義求出/8./C,再依據(jù)=--AB+-Ad\,利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可

63J

得;

（小問(wèn)1詳解）

—.1—,—.2—?

解：因?yàn)橐?麗，BE=2EC，所以DB=^AB,BE=-BC,

所以歷=麗+屁=,而+2芯=_1萬(wàn)+2（%—刀）=一_1萬(wàn)+2就

2323、>63

▼,12

所以x=一一，y=-；

6-3

（小問(wèn)2詳解）

解：因?yàn)榱Α?卜8川/。卜0$/=3x2x；=3,

1

1---*24——22*?

=—AB+-AC——ABAC

3699

=5網(wǎng)+押-I萬(wàn)就

1c24022r49

=——X32+—x2~——x3=—

369936

所以其1=（;

13

18.某學(xué)校派出甲、乙、丙三名同學(xué)參加英語(yǔ)演講比賽，已知甲、乙、丙三人晉級(jí)的概率分別為一，一,

34

2

且三人是否晉級(jí)彼此獨(dú)立.

（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晉級(jí)的概率;

（2）求甲、乙、丙三人中恰有兩人晉級(jí)的概率.

（答案）⑴2；

1O

⑵g

36

（解析）

（分析）（1）正難則反，先求三個(gè)人全沒(méi)有晉級(jí)的概率，再用對(duì)立事件求概率即可；（2）分成三種情

況，分別考慮其中有一人沒(méi)有晉級(jí)的情況.

（小問(wèn)1詳解）

設(shè)甲乙丙三人至少一人晉級(jí)的事件為A,依題意P（Z）=1-

（小問(wèn)2詳解）

設(shè)甲乙丙三人至少一人晉級(jí)的事件為8,依題意

19.如圖，在正三棱柱Z8C—44G中，M,N分別為棱44，8c的中點(diǎn).

[1]證明：4N"平面BMG；

[2]證明：平面BMG■1平面84GC.

（答案）（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

（解析）

（分析）（1〕取8c的中點(diǎn)。，連接初，MD,即可得到四邊形/團(tuán)DN為平行四邊形，從而得到

ANHMD,即可得證：

（2）依題意可得BCLAN,即可得到4V，平面88。。，再由4N//MD,即可得到

/。，平面84￡。，從而得證；

（小問(wèn)1詳解）

證明：取8G的中點(diǎn)。，連接ND,MD,

因?yàn)镸,N分別為棱44-8c的中點(diǎn)，

所以NDUCC.HAA,,ND=-CC.=AM,

2

所以四邊形4WDN為平行四邊形，NN//A〃九

又MDu平面BMC-平面8MG，

AN//平面BMq；

A

（小問(wèn)2詳解）

證明：???3A_L平面ZNu平面48C,所以

又BCLAN,BCCBB】=B,8c,84u平面88。。，所以NN,平面

因?yàn)锳NHMD,所以A/D_L平面84GC，

又加。u平面氏0G，所以平面BMC、1平面BB￡C：

20.學(xué)校統(tǒng)計(jì)了高三年級(jí)1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，已知全部學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間［100,150］內(nèi),

且依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制出如下頻率分布表和頻率分布直方圖.

分組頻數(shù)頻率

[100,110)0.05

[110,120)

[120,130)400

[130,140)0.3

[140,150]0.1

合計(jì)10001

（1）求圖中。的值；

（2）試估量這1000名學(xué)生此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的中位數(shù).

（答案）（1）。=0.015；

（2）127.5.

（解析）

（分析）（1）補(bǔ)全直方表數(shù)據(jù)，依據(jù)頻率和為1求參數(shù)a；

（2）利用直方表及中位數(shù)的求法求1000名學(xué)生此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)中位數(shù).

（小問(wèn)1詳解）

由題設(shè)，頻率直方表如下：

分組頻數(shù)頻率

[100,110)

500.05

[110,120)

15010a

[120,130)

4000.4

[130,140)

3000.3

[140,150]1000.1

合計(jì)10001

所以10a=0.15,可得a=0.015.

（小問(wèn)2詳解）

由（1）知：0.05+10。=0.2<0.5<0.05+10。+0.4=0.6,

所以中位數(shù)位于[120,130）內(nèi)，令中位數(shù)為x,

則0.05+10a+(x-120)x0.04=0.2+(x-l20)x0.04=0.5,可得x=127.5.

21.如圖1,在梯形N8CD中，ABIICD,ADA.DC,24B=2AD=CD=4,將△/O6沿。5折

成如圖2所示的三棱錐尸―D8C,且平面PD5_L平面。8C.

⑴證明：PDLBC；

[2〕設(shè)N為線段PC的中點(diǎn)，求直線DN與平面PBC所成角的正切值.

（答案）（1）證明見(jiàn)解析；

⑵半

（解析）

（分析）（1〕由已知及勾股定理可證8。，2C,再由面面垂直的性質(zhì)證8。_1面以58,依據(jù)線面垂直的

性質(zhì)證結(jié)論.

（2）由等體積法有匕=求出。到面尸8c距離，再證明PD1尸C求出。N,即可求線面角的

正弦值，進(jìn)而求其正切值.

（小問(wèn)1詳解）

由2Z8=2ZO=CD=4,且N8//CZ）,ADLDC,

所以等腰口14/及）中80=2及，假設(shè)后為8中點(diǎn)，則N8E。為正方形，

所以BEJ_C。，且BE=DE=EC=2,故8c=2/，

所以BD2+BC2=CD2,則BD1SC,

又面平面Z>8C,面PDSn平面。=6Cu平面。8C,

所以8CJ■面PO8,而尸。u面則尸。18c.

（小問(wèn)2詳解）

由（1）知：BC上面PDB，且△必。為等腰直角三角形，

所以S,pBo=528'尸￡）=2，而8c=2近，故VC-PBD=：BCSPBD'

NJ3

由尸3u面PZW，有「818C,而PB=4B=2,且匕「尸即=/“灰-，

所以S”BC=；PB-BC=2^,假設(shè)D到面P8C距離為〃，生色，

所以0=2.

由（1）,尸0=2,CD=4,而PC=dPB?+BC2=26，故P。？+尸c?=,

所以PQ_LPC,而N為線段PC的中點(diǎn)，故尸N=百，

所以DN=yJPN2+PD2=J7>

h27F\

假設(shè)直線。N與平面P8C所成角為。，則sine===-7=,故tane='士.