第1章作業(yè)完整版本

第一題問題敘述：構(gòu)造算法并編程序精確計(jì)算二次方程的根●設(shè)a≠0,b2●包括b2≈b問題分析：對于一般情況，可以直接使用求根公式x=-bclearcleara=input('a=');b=input('b=');c=input('c=');x1=-b/2*a+1/2*a*sqrt(b*b-4*a*c)x2=-b/2*a+1/2*a*sqrt(b*b-4*a*c)但是當(dāng)b2?4ac時，b2≈解決方法：（1）方法1：使用雙精度計(jì)算（2）方法2：變換求根公式當(dāng)b>0時，x當(dāng)b<0時，x這樣可以很好地避免出現(xiàn)減性抵銷現(xiàn)象實(shí)例分析：以a=c=1,b=±1000000.000001為例（1）方法1：使用雙精度計(jì)算（與單精度作對比）%calculateusingdoubleprecision%calculateusingdoubleprecision%forthepurposesofcomparison,alsousesingletocalculatecleara=input('a=');b=input('b=');c=input('c=');%a,b,cisthecoefficientofequationax^2+bx+c=0delta=b*b-4*a*c;%first,usingdoubled1=(-b+sqrt(delta))/2/a;d2=(-b-sqrt(delta))/2/a;d1=vpa(d1,12),d2=vpa(d2,12)%than,usingsingledelta=single(delta);a=single(a);b=single(b);c=single(c);s1=single((-b+sqrt(delta))/2/a);s2=single((-b-sqrt(delta))/2/a);s1=vpa(s1,12),s2=vpa(s2,12)對于不同的系數(shù)，計(jì)算結(jié)果如下：方程系數(shù)單精度雙精度abcxxxx175-0.807417631-6.192582130-0.807417596-6.19258240311000010.0-10000.0-0.00010000-9999.999911000000.00000110.0-1000000.01.0000076e-6-1000000.01-1000000.00000110.01000000.01.0000076e-61000000.0結(jié)論：顯然，在一般情況下，單精度還能保持一定準(zhǔn)確度；但是當(dāng)a=1，b=10000，c=1時，減性抵銷現(xiàn)象很明顯，單精度下的x1計(jì)算結(jié)果為0，在b=1000000.000001（2）方法2：變換求根公式當(dāng)b>0時，x當(dāng)b<0時，x%calculateusingdouble%calculateusingdouble%forthepurposesofcomparison,alsousesingletocalculatecleara=input('a=');b=input('b=');c=input('c=');%a,b,cisthecoefficientofequationax^2+bx+c=0delta=b*b-4*a*c;%first,usingdoubleifb>0d1=-2*c/(b+sqrt(delta));%usingnewformulad2=(-b-sqrt(delta))/2/a;elsed1=-2*c/(b-sqrt(delta));%usingnewformulad2=(-b+sqrt(delta))/2/a;endd1=vpa(d1,12),d2=vpa(d2,12)%than,usingsingledelta=single(delta);a=single(a);b=single(b);c=single(c);ifb>0s1=single(-2*c/(b+sqrt(delta)));%usingnewformulas2=single((-b-sqrt(delta))/2/a);elses1=single(-2*c/(b-sqrt(delta)));%usingnewformulas2=single((-b+sqrt(delta))/2/a);ends1=vpa(s1,12),s2=vpa(s2,12)計(jì)算結(jié)果如下：方程系數(shù)單精度雙精度abcxxxx175-0.80741763-6.19258213-0.80741759-6.1925824011000019.99999975e-5-10000.0-0.00010000-9999.999911000000.0000011-9.99999975e-7-1000000.0-0.000001-1000000.01-1000000.00000119.99999975e-71000000.00.0000011000000.0結(jié)論： 在普通情況下，變換公式的提升效果不明顯。但是當(dāng)b2?4ac時，變換公式能夠有效地避免減性抵銷，在單精度的計(jì)算結(jié)果可以看出，即使當(dāng)b=1000000.000001時，第二題問題敘述：正弦函數(shù)的無窮級數(shù)展開為sin（1）分別以單精度和雙精度數(shù)據(jù)類型，計(jì)算x=0.5時近似值，要求計(jì)算結(jié)果具有4位有效數(shù)字；（2）如果采用單精度數(shù)據(jù)類型要求計(jì)算結(jié)果達(dá)到機(jī)器精度，此時結(jié)果如何？（測試機(jī)器精度，滿足1+問題分析：本題應(yīng)使用迭代法求解。當(dāng)前迭代結(jié)果對真值的誤差為?當(dāng)前迭代結(jié)果的誤差為?為了使計(jì)算結(jié)果達(dá)到一定準(zhǔn)確度，應(yīng)先設(shè)定一個容限?s，當(dāng)?a<??

問題解答：（1）先計(jì)算雙精度數(shù)據(jù)類型%usingiterativemethodtocalculate%usingiterativemethodtocalculatesin(0.5),doubleprecisioncleari=0;x=0.5;es=0.0005;ea=1;%initializetheerrorofcurrentiterationresultsitem=(-1)^i*x^(2*i+1)/factorial(2*i+1);y=item%yistheestimateofsin(0.5)er=(sin(0.5)-y)/sin(0.5)%Relativeerroroftruevaluewhile(abs(ea)>es)i=i+1;item=(-1)^i*x^(2*i+1)/factorial(2*i+1);y=y+itemea=item/yer=(sin(0.5)-y)/sin(0.5)%Relativeerroroftruevalueenddisp('therealvalueis:sin(0.5)=');disp(sin(0.5));計(jì)算結(jié)果如下表所示：（注：真值為0.479425538604203）迭代計(jì)算值當(dāng)前迭代結(jié)果誤差?對真值相對誤差?0.5000000000/-0.04291480.4791666666-0.043478265.3996276e-40.47942708335.4318305e-4-3.2220418e-60.4794255332-3.233243e-61.120106e-8

下面計(jì)算單精度數(shù)據(jù)類型：%usingiterativemethodtocalculatesin(0.5)%usingiterativemethodtocalculatesin(0.5)，singleprecisioncleari=single(0);x=single(0.5);es=single(0.0005);ea=single(1);%initializetheerrorofcurrentiterationresultsitem=single((-1)^i*x^(2*i+1)/factorial(2*i+1));y=single(item)%yistheestimateofsin(0.5)er=(sin(0.5)-y)/sin(0.5)%Relativeerroroftruevaluewhile(single(abs(ea))>es)i=i+1;item=single((-1)^i*x^(2*i+1)/factorial(2*i+1));y=single(y+item)ea=single(item/y)er=(sin(0.5)-y)/sin(0.5)%Relativeerroroftruevalueenddisp('therealvalueis:sin(0.5)=');disp(sin(0.5));計(jì)算結(jié)果如下表所示：（注：真值為0.479425538604203）迭代計(jì)算值當(dāng)前迭代結(jié)果誤差?對真值相對誤差?0.5000000/-0.04291480.4791667-0.04347835.3998345e-040.47942715.4318312e-04-3.1930326e-060.4794255-3.2332430e-063.9420897e-08結(jié)論： 可以看出，無論是單精度還是雙精度，計(jì)算結(jié)果都有很高的精確度。實(shí)際上，兩種計(jì)算精度都在第3次迭代就已經(jīng)達(dá)到了4位有效數(shù)字的要求，可見迭代法在該問題有很高的效率。注：本題的求和級數(shù)是正負(fù)交替的級數(shù)，在求和過程中，如果某一項(xiàng)的值大于和值本身時，就會出現(xiàn)拖尾效應(yīng)，會抵銷大量的有效數(shù)字。在本題中，由于sin(0.5)的值較大，而且x=0.5較小，所以級數(shù)項(xiàng)衰減很快，不會出現(xiàn)拖尾效應(yīng)。對于可能出現(xiàn)此種效應(yīng)的情況，可以利用正弦函數(shù)的周期性，將x變換到合適的區(qū)間，從而避免出現(xiàn)級數(shù)項(xiàng)過大的情況。%amachineprecisiontestclearepsilon=single(1);while(single(epsilon+1)>single(1))%amachineprecisiontestclearepsilon=single(1);while(single(epsilon+1)>single(1))epsilon=single(epsilon/2);endepsilon=single(epsilon*2)%theresultofmachineprecisioninthistesteps(single(1))%themachineprecisioncalculatedbybuilt-infunction測試結(jié)果是1.1920929e-07，與MATLAB內(nèi)置的eps函數(shù)的計(jì)算結(jié)果1.1920929e-07相同。在測試中發(fā)現(xiàn)，對于不同的類型和不同的值，機(jī)器精度是不一樣的。例如double類型的1的機(jī)器精度是2.220446049250313e-16；double類型的2的機(jī)器精度是4.440892098500626e-16，而single類型的2的精度是2.3841858e-07。那么，上面這段代碼求的是single類型的1的機(jī)器精度，即與單精度浮點(diǎn)數(shù)1最相近的浮點(diǎn)數(shù)與1的差值。對于不同的數(shù)據(jù)類型和不同的值，機(jī)器精度也不一樣。題目中要求采用單精度數(shù)據(jù)類型，要求計(jì)算結(jié)果達(dá)到機(jī)器精度?？梢岳斫鉃?，當(dāng)前計(jì)算值與前一計(jì)算值的差值要小于等于當(dāng)前計(jì)算值的機(jī)器精度。%usingiterativemethodtocalculate%usingiterativemethodtocalculatesin(0.5)formatlongcleari=single(0);x=single(0.5);item=single((-1)^i*x^(2*i+1)/factorial(2*i+1));y=single(item)%yistheestimateofsin(0.5)er=(sin(0.5)-y)/sin(0.5)%Relativeerroroftruevalueeps_y=single(y);%themachineprecisionofywhile(single(eps_y+y)>single(y))eps_y=single(eps_y/2);endeps_y=single(eps_y*2)%theinitialvalueoftheprecisionwhile(abs(single(item))>eps_y)i=i+1;item=single((-1)^i*x^(2*i+1)/factorial(2*i+1));y=single(y+item)