2024屆安徽“江南十校”3月聯考數學解析

12024屆安徽省“江南十?！甭摽紨祵W試題評分參考一、單項選擇題x2x}【解析】由2x【答案】C【答案】A【答案】B.4．已知函數f(x)=3sin(2x+Q)(|Q|<)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數g(x)的圖象，若g(x)是偶函數，則Q為【解析】將函數f(x)=3sin(2x+Q)(|Q|<0個單位長度后得到g(x)的圖象，【答案】B.5．酒駕嚴重危害交通安全．為了保障交通安全，交通法規(guī)定：機動車駕駛人每100ml血液中酒精含量達到20~79mg為酒后駕車，80mg及以上為醉酒駕車．若某機動車駕駛員飲酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2mg/ml．假設他停止飲酒后，其血液中酒精含量以每小時20%的速度減少，則他能駕駛需要2取值范圍為【解析】由f'(x)=+得f'(1)=2即ax2【答案】B8x+12=0，點M(0,)．過原點的直線與圓C相交于兩個不同的點A,B,則------MA+MB的取值范圍為------------------【解析】設AB的中點為點P，則MA+MB=2MP，由垂徑定理知CPLOP，則可得點P的軌跡E為以OC為直徑的圓（圓C內部的圓弧）【答案】D使得Tn<M恒成立的實數M的最小值為26n2)=x2n一2【答案】C3二、多項選擇題9．箱線圖是用來表示一組或多組數據分布情況資料的統(tǒng)計圖，因形似箱子而得名．在箱線圖中（如圖1箱體中部的粗實線表示中位數；中間箱體的上下底，分別是數據的上四分位數（75%分位數）和下四分位數（25%分位數）；整個箱體的高度為四分位距；位于最下面和最上面的實橫線分別表示最小值和最大值（有時候箱子外部會有一些點，它們是數據中的異常值）．圖2為某地區(qū)2023年5月和6月的空氣質量指數(AQI)箱線圖．AQI值越小，空氣質量越好；AQI值超過200，說明污染嚴重．則A．該地區(qū)2023年5月有嚴重污染天氣.B．該地區(qū)2023年6月的AQI值比5月的AQI值集中.C．該地區(qū)2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中.D．從整體上看，該地區(qū)2023年5月的空氣質量略好于6月.【解析】對于A選項可以從圖2所示中5月份有AQI值超過200的異常值得到判斷（也可以通過異常值結合觀察5月份的平均值高于中位數輔助判斷）；對于B，C選項，圖2中5月份的箱體高度比6月份的箱體高度小，說明5月的AQI值比6月的AQI值集中；對于D選項，雖然5月有嚴重污染天氣，但從圖2所示中5月份箱體整體上比6月份箱體偏下且箱體高度小，AQI值整體集中于較小值，說明從整體上看，該地區(qū)2023年5月的空氣質量略好于6月.【答案】ACD10．已知拋物線E:y2=2px的焦點為F，從點F發(fā)出的光線經過拋物線上的點P（原點除外）反射，則反射光線平行于x軸．經過點F且垂直于x軸的直線交拋物線E于B,C兩點，經過點P且垂直于x軸的直線交x軸于Q；拋物線E在點P處的切線l與x,y軸分別交于點M,N，則下列說法成立的是22A．PQ=BF.QFB．PQ=BC.OQ22C．PF=MFD．FN」l則A選項錯誤，又BC=2p,OQ=x，則B選項正確；對于C選項，如下圖所示，過點P作x軸的平行線RH，與拋物線E的準線KH交于點H，又題意所給拋物線的光學性質可得經SPR=經MPF，又經MPF=經HPM，即PM為經HPF的角平分線，又由拋物線定義知PH=PF，結合PF=MF，可得菱形MFPH，而y軸經過線段FH中點，從而PM與y軸的交點即為點N，所以FN」l.【答案】BCD11．已知點S,A,B,C均在半徑為的球面上，ΔABC是邊長為2的等邊三角形，SA」BC，SA=3，則三棱錐S-ABC的體積可以為() 3 3【解析】方法一：如圖，設三棱錐S-ABC的外接球球心為O，ΔABC的中心為O1，連接AO,SO,AO1，延長AO1交BC于D，連接SD，則D是BC中點，所以BC」AD,又BC」SA，所以BC」平面SAD，又因SG的同側，則在Rt‘SAG5【答案】BC.O方法二：設三棱錐S-ABC的外接球球心為O，連接AO并延長交大圓于F，過S作AD的垂線，垂直為G，可證得SG」面ABC（1）若點S在直線AF的上方，設經SAF=c,經FAG=β,則tanc=,tanβ=（2）若點S在直線AF的下方，則tanc=,tanβ=45=S‘ABC.SG=，故選BC.【答案】BC.三、填空題12．從0,2,4,6中任意取1個數字，從1,3,5中任意選2個數字，得到沒有重復數字的三位數．在所組成的三位數中任選一個，則該數是偶數的概率為.【解析】若0在，則三位數有CA=12；若0不在，則三位數有CCA=54．所以沒有重復數字的三位數有66個，其中偶數的個數是CA=24個，所以在所組成的三位數中任選一個，是偶數的概率是244 【答案】 4【解析】由f(x+2)為偶函數，得f(2一x)=f(2+x)，用2+x代換x得f(2+x)+f(x)=一6故f(x+4)=f(x)所以4是y=f(x)的一個周期交E的兩漸近線分別于M,N兩點,且OM」MN．若OM+MN一ON=a，則雙曲線E的離心率又OM+MNON=a，所以MNON=a，在直角ΔOMN中，利用勾股定理可得MN=所以tan2θ=4,3求得tanθ= 12（負值舍去），也即tanc= atanθ【答案】.4 36四、解答題(2)若BC=2，將射線BA和CA分別繞點B,C順時針旋轉15O,30O，旋轉后相交于點D(如圖所示)，且所以sinCsinA+sinAcosC又因為sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC 12 12（2）在ΔABC中，由正弦定理得AC=sinACsin經ABC=236于是，在ΔACD中，由余弦定理得：7（1）求證：平面PAB」平面ABCD；（2）若二面角P一BD一A的大小為120。，點E在棱PD上，且PE=2ED，求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.【解析】（1）證明：由余弦定理得22又因為AB（PB=B,AB,PB一平面PAB所以BD」面PAB又因為BD一平面ABCD在平面PAB內過點B作AB的垂線，交AP于F由平面PAB」平面ABCD得BF」平面ABCD建立如圖所示的空間直角坐標系B一xyz8設直線CE與平面PBC所成角為θ17．某產品的尺寸與標準尺寸的誤差絕對值不超過4mm就視為合格品，否則視為不合格品.假設誤差服從正態(tài)分布且每件產品是否為合格品相互獨立.現隨機抽取100件產品，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4.用樣本估計總體.（1）試估計100件產品中不合格品的件數(精確到1)；（2）在（1）的條件下，現出售隨機包裝的100箱該產品，每箱均有100件產品.收貨方對每箱中產品均不放回地隨機抽取進行檢驗且箱與箱之間檢驗相互獨立.每箱按以下規(guī)則判斷是否接受一箱產品：如果抽檢的第1件產品為不合格，則拒絕整箱產品；如果抽檢的第1件產品合格，則再抽1件，如果抽檢的第2件產品合格，則接受整箱產品，否則拒絕整箱產品.若整箱產品通過檢驗后生產方獲利1000元；整箱產品被拒絕，則虧損89元，求該100箱產品利潤的期望值.附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ一σ≤Z≤μ+σ)心0.6827,P(μ2σ≤Z≤μ+2σ)心0.9545,P(μ3σ≤Z≤μ+3σ)心0.9973.【解析】（1）分別用樣本均值和樣本標準差估計正態(tài)分布的參數μ和σ,得產品的尺寸誤差X~N(0,22)，P(x<4)=P(μ2σ≤Z≤μ+2σ)心0.9545，因此估計這批產品的合格率為95.45%.所以估計100件產品中有100x0.0455=4.55心5件不合格品.···········································(69=+x=.···········································設100箱產品通過檢驗的箱數為Z，則Z~B(100,). 設100箱該產品的利潤為隨機變量X，則X=100ξ18．已知矩形ABCD中，AB=2,BC=2，E,F,G,H分別是矩形四條邊的中點，以矩形中心O為原點，HF所在直線為x軸，EG所在直線為y軸，如圖建立平面直角坐標系．直線HF,BC上的動------------點R,S滿足OR=λOF,CS=λCF(------------(1)求直線ER與直線GS交點P的軌跡方程；(2)當λ=一時，過點R的直線m（與x軸不重合）和點P的軌跡交于M,N兩點，過點N作直線l:x=3的垂線，垂足為點Q．設直線MQ與x軸交于點K，求ΔKMN面積的最大值.【解析】（1）設點P(x,y)，R(xR,0)，S(,yS)14n直線GS:y=-λx+14n②由①②消去參數λ得(y+)(y-)=-x2當λ=0時，得交點P(0,)；綜上：直線ER與直線GS交點P的軌跡方程：+（2）當λ=-時，點R(-2,0)，過點R的直線m可設為x=ty-2(t子-)+3y2即(t2+3)y2-4ty-2=0設M(x1,y1),N(x1,y2)由題得Q(-3,y2)則直線MQ:y-y2=(x+3)又因為x1=ty1-2,2ty1y2=-(y1+y2)，代入上式得：-y2(ty1-2)-3y1-ty1y2+2y2-3y1(y1+y2)+2y2-3y1xk=y1-y2=y1-y2=y1-y2-y1+y25y1-y22所以直線MQ過定點所以直線MQ過定點y1-y2=y1-y252-2+Sy1-y2=y1-y252-2+t2+1而6t2+1而6(t22334所以ΔKMN面積的最大值為419．已知函數f(x)=(x_a)ex_x,aeR，f,(x)是f(x)的導函數.（1）證明：f,(x)在(_偽,+偽)上有唯一零點x0；（2）設函數g(x)=(