2023-2024學(xué)年河北省石家莊市高二年級下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題1（含答案）

2023-2024學(xué)年河北省石家莊市高二下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.雙曲線V=ι的焦點坐標(biāo)是

A.(-√2,θ),(√2,θ)B.(-2,0),(2,0)

C.(θ,-√2),(θ,√2)D.(0,-2),(0,2)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線方程確定焦點位置，再根據(jù)/=/+〃求焦點坐標(biāo).

【詳解】因為雙曲線方程為二-y2=1,所以焦點坐標(biāo)可設(shè)為(±c,0),

3

因為/=/+/=3+l=4,c=2,所以焦點坐標(biāo)為(？20),選B.

22

由雙曲線方程?=1(。>0/>0)可得焦點坐標(biāo)為(±c,0)(c=√α+?)，頂點坐標(biāo)為(±〃，0),

b

漸近線方程為y=±-χ?

a

22

2.如果方程上一+二=1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)W的取值范圍是

4-m〃z-3

777

A.3<m<4B.m>—C.3<m<-D.—<∕π<4

222

【正確答案】D

［分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程特征即可得到m-3>4-m>0,進(jìn)而可求解.

7

【詳解】由橢圓方程可知機(jī)-3>4-機(jī)>0,.?.χ<∕n<4.

2

故選:D

3.己知正項等比數(shù)列｛4｝前〃項和為S“，且q+%=6,S4+?=S3+3,則等比數(shù)列的公比

為()

A.?B.2C.-D.3

23

【正確答案】A

【分析】先根據(jù)”“與S”的關(guān)系得到S4-S,+g=α,+α2=3,設(shè)出公比，列出方程組，求出公

比.

【詳解】因為邑+/=S5+3,

所以S4-S3+。2=+。2=3

設(shè)公比為油>0),可得：卜"+"不，

%+4闖=6

兩式相除得：q=；

故選：A

4.己知拋物線C:V=2x的焦點為￡4(%,%)是C上一點，∣AF∣=jx°,則XO=()

A.1B.2C.4D.8

【正確答案】B

【分析】利用拋物線的定義、焦半徑公式列方程即可得出.

【詳解】由拋物線Uy2=2χ可得0=1,勺3，

準(zhǔn)線方程X=

2

A*。，九)是C上一點，AF=∣?,?>0.

51

-+-

4-2

解得X。=2.

故選：B.

5.已知等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S“，S13<0,S14>0,則當(dāng)S”取得最小值時，〃的值為

()

A.5B.6C.7D.8

【正確答案】C

【分析】由等差數(shù)列｛4｝的性質(zhì)和前〃項和公式，求得%<0,?>0,進(jìn)而得到當(dāng)

1≤"≤7∕∈N*時，?π<O,當(dāng)"≥8,"∈N*時，〃”>。，即可求解.

(詳解］由等差數(shù)列｛可｝的性質(zhì)和前〃項和公式，

可得=所以為<0,

S=7(%+9)>0,所以%+%>0，

則等差數(shù)列｛%｝中滿足％<0,?>0,可得d=4-%>0,

數(shù)列｛可｝為遞增數(shù)列，且當(dāng)l≤"≤7∕eN*時，a,l<Q,當(dāng)“≥8,"eN,時，an>0,

所以當(dāng)S,取得最小值時，〃的值為7.

故選：C.

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前“項和公式公式的應(yīng)用，其中解答中熟

練應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，得到數(shù)列的單調(diào)性是解答是解答的關(guān)鍵，著重考查推理

與運(yùn)算能力.

6.如圖，在直三棱柱ABC-A司G中，CAYCB,CA=CB=2,∕?=3,M為AB的中點.

則4到平面CBM的距離為()

A3√I3β3√10「3√∏n6√22

A.---------D.---------C.--------U.----------

45H11

【正確答案】D

【分析】分別以CA,CB,CG所在的直線為無，必z軸建立直角坐標(biāo)系，用空間向量法求

點到平面的距離.

【詳解】如圖，分別以C4,CB,C。所在的直線為X,y,Z軸建立直角坐標(biāo)系，則AQ,0,0),

B(0,2,0),4(2,0,3),8/(0,2,3),M(1,1,0).

則有Cg=(0,2,3),CM=(1,1,0),

設(shè)平面CBlM的法向量為"=(x,χz),

CBjn=O,2y+3z=0,

則即

CMH=O,x÷?=0.

令z=2,得平面CqM的一個法向量為〃=(3,-3,2),又44二(一2,2,0),

6√22

所以A/到平面CBlM的距離d=12

1〃1√2211

故選：D.

7.己知耳、E是橢圓KF=1(">人>0)的左、右焦點，過尸2且垂直于X軸的直線與橢圓

交于A、8兩點，若，ABK是銳角三角形，則該橢圓離心率e的取值范圍是

A.e>√2-lB.0<e<√2-l

C.√2-l<e<lD.√2-l<e?<√2+l

【正確答案】C

【詳解】試題分析：依題意可知，NA耳EV?,即

廿

tanZAF^=<?,b2<2αc,α2-c2-2ac<0,兩邊除以/得1-2e<0,解得

2c

√2-l<e<l.

1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.橢圓離心率.

8.己知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點尸在正方體表面上運(yùn)動，正方體的棱長是2,

則PM?PN的取值范圍為()

A.[0,4]B.[0,2]C.[1,4]D.口,2]

【正確答案】B

【分析】利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算律可得PM?PN=PO?-1，根據(jù)正方體的特點確

定,。I最大值和最小值，即可求解

【詳解】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為。，則。M=QN=1,

PMPN=(PO+OM?(PO+ON?=PO+PO(OM+ON?+OMON,

因為MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑,

所以O(shè)M+ON=O,蘇蘇=-1,

所以PM?PN=P。=1，

又點P在正方體表面上運(yùn)動，

所以當(dāng)P為正方體頂點時，歸。|最大，且最大值為G；

當(dāng)尸為內(nèi)切球與正方體的切點時，卜。|最小，且最小為1；

所以O(shè)≤PC>2-1≤2,

所以PM?PN的取值范圍為[0,2],

故選：B

二、多選題

9.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是()

A.若兩條不重合的直線乙，/2的方向向量分別是。=(2,—2,—1),?=(-2,2,1),則"4

B.若直線/的方向向量是。=(1,1,2),平面α的法向量是〃=(5,-1,—2),貝iJ/_La

C.若直線/的方向向量是a=(0,2,0),平面α的法向量是"=(0,-3,0),則///α

D.若兩個不同的平面ɑ,夕的法向量分別是帆=(3,-4,2),；?=(2,2,1),則

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線、面位置關(guān)系的向量判斷方法，一一判斷即可.

【詳解】對于A,因為8=γ,所以4%，故A正確；

對于B,因為。-〃=5—1一4=0,所以“∕α或∕uα,故B錯誤；

對于C,因為〃=、〃，所以/_La,故C錯誤；

對于D,因為∕π?"=6-8+2=0,所以a_!_/?,故D正確.

故選：AD.

10.設(shè)6、鳥分別是雙曲線C：/-21=1的左右焦點，過心作X軸的垂線與C交于A,B

b

兩點，若,A86為正三角形，則下列結(jié)論正確的是()

A.b=2B.C的焦距是2逐

C.C的離心率為√5D.ABK的面積為46

【正確答案】ACD

【分析】設(shè)∣A^I=f,則IAKI=2f,閡5I=①，根據(jù)雙曲線的定義和離心率的公式可求得

離心率，從而對選項進(jìn)行逐一判斷即可得出答案.

【詳解】設(shè)14gl=f,貝IJlAG=2r,忻閭=①，離心率e=百,選項C正確,

1IAKHA片I

一=6,b=2,選項A正確,

?FlF2?=2y∕?+b-2?fi,選項B錯誤，

設(shè)A（XA，yA）,將XA=6代入得（6,2）,

ΛBFl的面積為S=；?用用?2y1=46，選項D正確，

故選:ACD.

11.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三

角垛”.“三角垛''最上層有1個球，第二層有3個球，第三次有6個球，…，以此類推.設(shè)從上

到下各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{4},則（）

A.%=9B.an+l-an=n+?

C.?=210D.a^l=ana,,+2

【正確答案】BC

【分析】首項根據(jù)數(shù)列特征得到g=10,an^-a,,=n+i,判斷出AB選項，

再根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用累加法求出為=嗎』，從而求出％=210,得到C正確;

D選項可舉出反例.

【詳解】根據(jù)題意，可知%=1。，且%+「4=力+1,故A錯誤，B正確,

因為氏+∣-α,,="+1，所以a“=a,_|+〃=a“-2+(〃—l)+w=-=4+2++(n-l)+w

Λl(∕2+1)、

=1+2++〃=——(znN2),

所以為)=也等=210,C正確;

因為牝2#4。3，故D錯誤.

故選：BC

12.已知數(shù)列｛4｝的前八項和為S,,,且4=1,απ+∣+an=In則()

n,〃為奇數(shù)

A.5=18B.a

6ll為偶數(shù)

D.〃為奇數(shù)時，S=〃+也二)

C.數(shù)列也｝為等差數(shù)列

”2

【正確答案】ABD

【分析】利用并項求和法可判斷AD選項；利用等差數(shù)列的定義可判斷BC選項.

【詳解】對于A選項，S6=(4+%)+3+%)+3+4)=2X(1+3+5)=18,A對;

對于B選項，因為4+4=2,則4=2-4=1,

對任意的〃eN*,由4“+|+凡=2〃可得a,,+?+?+∣=2(π+l),

上述兩個等式作差可得-凡=2,

所以，數(shù)列｛q,｝中的奇數(shù)項成以1為首項，公差為2的等差數(shù)列,

數(shù)列｛0,,｝中的偶數(shù)項成以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，

當(dāng)“為奇數(shù)時，設(shè)"=2/-IkWN*),則a,,=02ι=O1+2(%—1)=2左一1=〃,

當(dāng)”為偶數(shù)時，設(shè)"=2%HeN*),則4,=出+2(氏一1)=2左一1=〃一1,

綜上所述，a,,=?,B對：

為偶數(shù)

對于C選項，a3-a2=?≠a2-ai,故數(shù)列｛可｝不是等差數(shù)列，C錯;

對于D選項，當(dāng)“為奇數(shù)時，設(shè)〃=2Z-IheN*),貝蛛=等，

則5〃=s2k~a2k=(4+%)+(G+4)++(?-i+?A)-?

=2[l+3+÷(2?-l)]-(2?-l)=2^^1^-1^-(2?-l)=2?2-2?+l

CCΛ+1Y,n2I(rt-l)^Cg

=2×II-(Z〃+l)1X+l=5+5="+?~^-?-,D對.

故選：ABD.

三、填空題

13.已知直線4：2x+ay+2=0與直線4：(a-l)x+3y+2=O平行，則α=.

【正確答案】-2

【分析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實數(shù)〃的等式與不等式，由此可解得實數(shù)”的值.

【詳解】由于直線4：2x+"+2=O與直線∕21a-l)x+3y+2=0平行，

a(a-]=6

所以,?-?l)≠4'解得〃=2

故答案為.-2

14.在數(shù)列｛an｝中，若也+I+,，〃=8，則數(shù)列｛即｝的通項公式為.

【正確答案】?=2(w÷I)2##氏=2/+4π+2

【分析】得到數(shù)列｛m｝是以2&為首項，立為公差的等差數(shù)列，即可得出.

【詳解】解：?；歷=反+α,4=8,

.?.數(shù)列｛反｝是以石=2√Σ為首項，應(yīng)為公差的等差數(shù)列，

?'?=2-^2+(77—1)?^2=V2(〃+1),

2

Λαn=2(n+1).

故4,=2(〃+if

15.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為5“，已知4=2,4,,+2+(-1)"4=2,貝IJS60=.

【正確答案】960

【分析】根據(jù)遞推式可以得出數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項的特征，分別求奇數(shù)項和偶數(shù)項的和即可

得結(jié)果?

【詳解】由4-2+(T嚴(yán)?！?2,

當(dāng)"為奇數(shù)時，有“2+%=2；當(dāng)〃為偶數(shù)時，an+2-al,=2,

???數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，

+a+a+a+α+++α

則S60=(α∣+%+%+/+5759)(2+?6?+?6θ)

?nx79

=15×2÷30×2÷×2=960,

2

故960.

22卜

16.已知尸1，尸2為雙曲線［r-今υ=13>0,0>0)的左、右焦點，過片作y=-軟的垂線分別

a^ha

交雙曲線的左、右兩支于B,C兩點(如圖).若/CBF?=/CFzB,則雙曲線的漸近線方程

【分析】根據(jù)雙曲線的定義先計算出忸周=4"，忸耳|=勿，注意到GC?L圖中漸近線，于

是利用CoSNBF,用兩種不同的表示法列方程求解.

【詳解】ZCBF2=ZCF2B,則IeM=ICEI,由雙曲線的定義及C在右支上，

ICKHC周=IeN+怛周Te閭=怛周=勿，又B在左支上，則忸閭T班∣=2α,則陶=44,

在aBEK中，由余弦定理，cosN%F,=Q4+(2c)2-(4α)2,而圖中漸近線，于是

Sac

與C=：，得COSN84E=2,于是:=(2α)2+(2c)?(4α)?不妨令。句，化簡得

bccSac

b2-2b-2=0,解得b=l+6,漸近線就為?y=±(6+∣)χ

故答案為.y=±(G+ι)χ

四、解答題

17.已知圓C的圓心坐標(biāo)為(2,1),且點3)在圓C上.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線y="+m-2A與圓相交于A、B兩點，當(dāng)&變化時，線段A8的最小值為6,求機(jī)的

值.

【正確答案】(I)(X-2)O(y-1》=25

⑵，“=5或加=-3

【分析】(1)由兩點間的距離公式求出圓的半徑即可；

(2)根據(jù)線段AB的最小值為6,可知圓心到直線的距離為4,利用點到直線的距離公式求

解即可.

【詳解】(1)由題意得r=∣CP∣=J(2+iy+(l+3)2=5

???圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-l)2=25.

(2)若AB≥6,可知圓心到直線的距離為4,

而圓心到直線的距離d=將±,

√l+?2

當(dāng)k=0時，線段AB的最小值為6,此時d=∣m-l∣=4,

/.勿2=5或〃7=-3.

18.已知公差不為0的等差數(shù)列｛q｝滿足4=1,且4,外,％成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

17

⑵設(shè)"=2力+——，7；為也｝的前"項和，求證?

a

,Λ+l6

【正確答案】(1)““=2〃-1

(2)證明見解析

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛α,,｝的公差為"，根據(jù)等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列通項公式，可

得d=2α∣,根據(jù)4=1,即可求得d的值，代入公式，即可得答案.

(2)由(1)可得代入可得a=er+U--r-丁二］,利用分組和裂項相消

求和法，即可得1的表達(dá)式，即可得證.

【詳解】(I)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,因為成等比數(shù)列，所以壯=卅5,則

2

(q+d)2="∣(q+4"),Bpaf+2ald+d=af+4r∕1t/,所以Zq"=/,又d≠Q(mào),所以

"=2α∣=2,所以a“=q+("-1)"=2"-1,即"ll=2"-l

(2)由(1)可得%=2〃-1,所以

b=*+'一=2-2"+=∕r+U丁=-4)，所以數(shù)列出｝的前“項

na。+1(2〃T)J(2〃+1)2212〃-12n+l)

即得證.

19.如圖，平面PACJ_平面ABC,ABlBC,AB=BC,D、。分別為E4、AC的中點,

AC=8,PA=PC=5.

(1)設(shè)平面PBCC平面BOD=/,判斷直線/與PC的位置關(guān)系，并證明;

(2)求直線PB與平面80。所成角的正弦值.

【正確答案】(1)/〃PC,證明見解析；

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判斷定理和性質(zhì)定理即可判斷；

(2)以。為原點，OB、0C.OP分別為x、y、Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo),

利用向量法即可求出直線PB與平面所成角的余弦值和正弦值.

【詳解】(1):D、0分別為24、AC的中點，；.在A4PC中，DO//PC,

「OOu平面B。。，PC(Z平面BO。，...PC〃平面3。。，

?.?PCU平面PBC,平面P8Cn平面80。=/,...根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知PC〃/;

(2)?'AB=BC,。是AC中點，.?.B0"LAC,

V5p∣gPACl5FEABC,平面PAC'平面A8C=AC,BoU平面A8C,

.?.BOL平面APC,同理?.FP=PC,，P0_LAC,Po垂直平面ABC,

故OB、OC,OP三線兩兩垂直，故可以O(shè)為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題可知AC=8,AB=BC=4曰OA=OC=OB=4,0P=3,

則A(O,Y,0),8(4,0,0),P(0,0,3),O(O,-2,|}

則BP=(To,3),08=(4,0,0),O0=(θ,-2.∣),

設(shè)平面800的法向量為機(jī)=(χ,y,z),

m?OB=4x=0

則3，取z=4,貝∣Jy=3,則機(jī)=(0,3,4),

m?OD=-2y+-z=0

m?BP1212

cos"?,BP=

HM5^525,

???直線M與平面BOD所成角的正弦值云.

20.在①a=%?3?②H=字］,這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中,

anan^-?

并解答問題.

已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為s,,a,=2,a^+an=2Sn+2,數(shù)列也｝滿

足■

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵求數(shù)列圾｝的前"項和Z,.

【正確答案】(l)α,,="+l

(2)條件選擇見解析，答案見解析

【分析】(1)令〃=1,可求得4的值，令“22,由0j+α,,=2S,,+2可得dτ+α,,τ=2S,ι+2,

兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列｛%｝的通項

公式；

(2)選①，可得出d=5+l)?3"∣,利用錯位相減法可求得T.；

選②，求得勿=廠\一廠2下，利用裂項相消法可求得T.

(九+1)(n÷2)

［詳解］(I)解：當(dāng)“=］時，a；+α∣=2S］+2=2%+2,即a：—q—2=O,解得a∣=2或a∣=-1

(舍).

當(dāng)〃≥2時，由。；+/=25“+2可得+=2S“T+2,

上述兩個等式作差可得Y-<1+?-?-1=2a,,,即(4+a,Gm-a,--I)=O,

aa

V/?∈N*>可>°,則n-n-?=1,

所以，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項為2,公差為1,

因此，an=2+tι-?=n+?.

(2)解：若選①，則包=("+l)?3"",則<=2?32+3?33+4?34++(n+l)?3,,+l,

所以，37；,=2-33+3-34+?+"?3向+5+l)?3"+2,

上述兩個等式作差可得-27；,=2.32+(33+34++3,,+l)-(π+l)?3n+2

,+2

33(TT)..j,+29-(2H+1)?3'

=18+---------^-(n+l)?3"+2=—i--------------->

1-3v72

,,+2

M,,(2Π+1)-3-9

"4

,2a+12n+311

若選②，"=而「=/4\2/=>?2=H7一/"中，

a

,Λ+ι(〃+1)("+2)(〃+1)(〃+2)

TllllI111

所以，+而廣而廣7E.

21.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2五,PA=PB=PC=AC=^,。為AC的中

點.

（1）證明：Po1平面ABC；

（2）若點M在棱BC上，BM=ABC,且二面角Λ∕-∕?-C為30。，求；I的值.

【正確答案】（1）證明過程見詳解

⑵2=（

【分析】（1）由已知可得POLAC,求解三角形可得30,PO,再由直線與平面垂直的判

定可得Po人平面A8C.

（2）以點。為原點，分別以O(shè)B,OC,OP所在直線為％%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由

BM=28C得至UBM的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面A4M的法向量，再由二面角M-PA-C為30咧式

求出，的值.

【詳解】（1）證明：連接30B4=PC=AC=4,且。為AC的中點.?.POLAC且尸。=26

又,AB=BC=2y∕2,AC=4..ABlBC：.BO=^AC=2h.BOJ.AC

：.PB2=BO2+PO1BO±PO

又30CAC=O..PO_L平面ABC

（2）如圖，以點。為原點，分別以08,OC,OP所在直線為X,>,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

Pl

AC^y

則8(2,0,0),C(0,2,0),尸(0,0,26)，A(0,-2,0),

BC=(-2,2,θ),AP=(θ,2,2^,AB=(2,2,0)

8M=ΛβC,點”在棱BC上:.BM=ΛBC=(-2λ,2λ,0),2∈[θ,l]

:.AM=AB+BM=(2-2λ,2+2λ,G)

設(shè)平面的法向量機(jī)=（X,y,z）

m?AP=2y+2>∕3z=Oy=一&

則BP-1+4

=(2-2Λ)x+(2+22)y=Ox=------y

2-1

令y=G("l),則%=(G(l+∕l),G(∕lT),i)

取平面PAC的法向量03=（2,0,0）

二面角M-幺-C為30°

.?.cos(A/-PA-C)=卜。SMO8'==cos300=?

解得或4=3（舍）

故：丸=；

22.橢圓：￡：捺+/=15＞人＞0）的焦點到直線x-3y=0的距離為孚，離心率為平.

拋物線G：V=2px（p＞0）的焦點與橢圓E的焦點重合，斜率為左的直線/過G的焦點與E交

于AB,與G交于CQ.

（1）求橢圓E及拋物線G的方程;

（2）是否存在常數(shù)X,使得』+盤為常數(shù)？若存在，求出2的值；若不存在，請說明

?ab??cυ?

理由.

216

【正確答案】(1)橢圓E：工r+V=1,拋物線G：V=8χ;(2)存在，Λ=--.