用一元二次方程解決問題九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試真題匯編（蘇科版）

專題03用一元二次方程解決問題

選擇題(共4小題)

1.(2022春?通州區(qū)期末)一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感.設(shè)每輪

傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)相等，則經(jīng)過三輪傳染后患流感的人數(shù)共有()

A.7個(gè)B.49個(gè)C.121個(gè)D.512個(gè)

【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為X,根據(jù)“一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳

染后共有64人患了流感”，即可得出關(guān)于X的一元二次方程，解之即可得出X的值，再

將其正值代入64(Hx)中即可求出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為X,

依題意得：1+x+x(l+x)=64,

解得：x?=l,X2=-9(不合題意，舍去)，

Λ64(l+x)=64×(1+7)=512,

.?.經(jīng)過三輪傳染后患流感的人數(shù)共有512個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

2.(2021秋?常州期末)為保護(hù)人民群眾生命安全，減少交通事故，自2020年7月1日起，

我市市民騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷商經(jīng)過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：某品牌

頭盔從5月份到7月份銷售量的月增長率相同，若5月份銷售200個(gè)，7月份銷售288

個(gè)，設(shè)月增長率為X則可列出方程()

A.200(l+x)=288B.200(l+2x)=288

C.200(l+x)2=288D.200(l+x2)=288

【分析】根據(jù)從5月份到7月份銷售量的月增長率相同，根據(jù)5月份銷售200個(gè)，7月

份銷售288個(gè)，即可得出關(guān)于X的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：設(shè)月增長率為X,

根據(jù)題意得，200(l+x)2=288,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

3.(2022春?泰興市期末)某超市銷售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元,

市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)售價(jià)每漲1元，銷售量減少10件；售價(jià)每降1元，銷售量增加10件愛動(dòng)

腦的嘉嘉發(fā)現(xiàn):在一定范圍內(nèi)，漲〃元與降b元所獲得的利潤相同，則a與b滿足（)

A.a-?=4B.a-?=8C.a+b=4D.a+b=8

【分析】將利潤用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來，由于漲價(jià)、降價(jià)時(shí)的銷售量變化幅度一致，所以利

潤可用一元二次函數(shù)表示，再利用一元二次函數(shù)的對(duì)稱性解決即可.

【解答】解：由題意得，（4+“）（120-10?）=（4-b）（120+10/?）,

解得a-6=8,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題干信息整理出一元二

次函數(shù)式是解題的關(guān)鍵.

4.（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期末）《九章算術(shù)》內(nèi)容豐富，與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，在書上講述

了這樣一個(gè)問題“今有垣高一丈.倚木于垣，上與垣齊.引木卻行一尺，其木至地.問木

長幾何？”其內(nèi)容可以表述為：“有一面墻，高1丈.將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的

上端與墻的上端對(duì)齊，下端落在地面上.如果使木桿下端從此時(shí)的位置向遠(yuǎn)離墻的方向

移動(dòng)1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上.問木桿長多少尺？"（說明：I丈=10

尺）設(shè)木桿長X尺，依題意，下列方程正確的是（）

A.IO2+（X-I）2-x2B.（x+l）2=x2+IO2

C.X2—（X-I）2+l2D.（X+1）2=x2+12

［分析】當(dāng)木桿的上端與墻頭平齊時(shí)，木桿與墻、地面構(gòu)成直角三角形，設(shè)木桿長為X尺，

則木桿底端離墻有（X-I）尺，根據(jù)勾股定理可列出方程.

【解答】解：如圖，設(shè)木桿AB長為X尺，則木桿底端B離墻的距離即BC的長有（X-

1）尺，

在Rz?ABC中，

VAC2+BC2=AB2,

ΛI(xiàn)O2+（x-?）2=x2,

故選：A.

L\1尺

CBD

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用及由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是由實(shí)際問題抽象出直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題.

二.填空題（共4小題）

5.（2021秋?吁胎縣期末）要利用一面很長的圍墻和100米長的隔離欄建三個(gè)如圖所示的矩

形羊圈，若計(jì)劃建成的三個(gè)羊圈總面積為400平方米，則羊圈的邊長AB為多少米？設(shè)

AB=X米，根據(jù)題意可列出方程的為(IOo-4x)x=400

【分析】設(shè)AB的長度為X,則BC的長度為(100-4x)米，然后根據(jù)矩形的面積公式列

出方程.

【解答】解：設(shè)AB的長度為X,則BC的長度為(100-4Λ)米.

根據(jù)題意得(100-4x)x=400,

故答案為：(IoO-4x)x=400.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程.解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，

根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解.

6.(2021秋?廣陵區(qū)期末)某書店第一天銷售500本圖書，之后兩天的銷售量按相同的增長

率增長，第三天的銷售量為720本，若設(shè)每天的增長率為X,可列方程為500(1+Λ-)2

=720.

【分析】利用第三天的銷售量=第一天的銷售量X(1+增長率)2,即可得出關(guān)于X的一

元二次方程，此題得解.

【解答】解：依題意得：500(1+x)2=720.

故答案是：500(Hx)2=720.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

7.(2022春?姜堰區(qū)期末)某地區(qū)加大教育投入，2020年投入教育經(jīng)費(fèi)2000萬元，以后每

年逐步增長，預(yù)計(jì)2022年，教育經(jīng)費(fèi)投入為2420萬元，則年平均增長率為10%.

【分析】一般用增長后的量=增長前的量X(1+增長率)，2021年要投入教育經(jīng)費(fèi)是2000

(l+x)萬元，在2014年的基礎(chǔ)上再增長X,就是2022年的教育經(jīng)費(fèi)數(shù)額，即可列出方

程求解.

【解答】解：設(shè)年平均增長率為X,根據(jù)題意得：

2000(1+Λ)2=2420,

解得：X=O.1=10%,或X=-2.1(不合題意舍去).

即：年平均增長率為10%

故答案是：10%.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查J'一元二次方程中增長率的知識(shí).掌握增長前的量X(1+年平均增長

率)年數(shù)=增長后的量是本題的關(guān)鍵.

8.（2022春?海門市期末）《算學(xué)寶鑒》中記載了我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個(gè)問題：“直

田積八百六十四步，之云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？”譯文：“一個(gè)矩形田地

的面積等于864平方步，且它的寬比長少12步，問長與寬各是多少步？”若設(shè)矩形田地

的長為X步，則可列方程為X（X-12）=864.

【分析】如果設(shè)矩形田地的長為X步，那么寬就應(yīng)該是（X-12）步，根據(jù)面積為864,

即可得出方程.

【解答】解：設(shè)矩形田地的長為X步，那么寬就應(yīng)該是（%-12）步.

根據(jù)矩形面積=長X寬，得：X（x-12）=864.

故答案為：Λ（χ-12）=864.

【點(diǎn)評(píng)】本題為面積問題，考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，掌握好面積公式即

可進(jìn)行正確解答；矩形面積=矩形的長X矩形的寬.

Ξ.解答題（共4小題）

9.（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）某水果店標(biāo)價(jià)為10元/伙的某種水果經(jīng)過兩次降價(jià)后價(jià)格為

8.1元/依，并且兩次降價(jià)的百分率相同.

時(shí)間/天X

銷量/奴120-X

儲(chǔ)藏和損耗費(fèi)用/元37-64x+400

（1）求該水果每次降價(jià)的百分率；

（2）從第二次降價(jià)的第1天算起，第X天（X為整數(shù)）的銷量及儲(chǔ)藏和損耗費(fèi)用的相關(guān)

信息如下表所示，已知該水果的進(jìn)價(jià)為4.1元/口，設(shè)銷售該水果第X天（l≤x<10）的

利潤為377元，求X的值.

【分析】（1）設(shè)該種水果每次降價(jià)的百分率為X,由題意得關(guān)于X的一元二次方程，解方

程并根據(jù)題意作出取舍即可；

（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)該種水果每次降價(jià)的百分率為X,由題意得：

10（I-X）2=8.1,

解得：XI=O.I,X2=1.9（不合題意，舍去），

??-0.1=10%?

該種水果每次降價(jià)的百分率為10%；

（2）根據(jù)題意得，（8.1-4.1）×（120-χ）-Ox2-64Λ+400）=377,

解得，x=9或X=I1（不合題意舍去），

答：X的值為9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系正確地列出方程是解題

的關(guān)鍵?

10.（2022春?興化市期末）某超市銷售一種襯衫.平均每天可售出20件，每件盈利40元.為

了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該超市準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過一段時(shí)間測(cè)算，發(fā)現(xiàn)每件襯衫每降低

1元，平均每天可多售出2件.

（1）若每件襯衫降價(jià)4元時(shí)，平均每天可售出28件襯衫，此時(shí)每天銷售獲利1（）08

元.

（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使該襯衫每天銷售獲利為1200元，問每件襯

衫應(yīng)降價(jià)多少元？

（3）該襯衫每天的銷售獲利能達(dá)到1300元嗎？如果能，請(qǐng)寫出降價(jià)方案，如果不能，

請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）利用平均每天的銷售量=20+2X每件襯衫降低的價(jià)格，可求出平均每天的

銷售量；利用每天的銷售總利潤=每件的銷售利潤X每天的銷售量，即可得出此時(shí)每天

銷售獲利；

（2）設(shè)每件襯衫降價(jià)X元，則每件盈利（40-χ）元，平均每天可售出（20+2x）件，根

據(jù)每天銷售該襯衫獲利1200元,即可得出關(guān)于X的一元二次方程,解之即可得出X的值，

再結(jié)合每件盈利不少于25元，即可得出每件襯衫應(yīng)降價(jià)10元；

（3）不能，設(shè)每件襯衫降價(jià)y元，則每件盈利（40-），）元，平均每天可售出（20+2y）

件，根據(jù)每天銷售該襯衫獲利1300元，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，由根的判別式

△=-100V0,即可得出該方程沒有實(shí)數(shù)根,即該襯衫每天的銷售獲利不能達(dá)到1300元.

【解答】解：（1）若每件襯衫降價(jià)4元時(shí)，平均每天可售出20+4X2=28（件），

此時(shí)每天銷售獲利（40-4）×28=1008（元）.

故答案為：28；1008.

（2）設(shè)每件襯衫降價(jià)X元，則每件盈利（40-x）元，平均每天可售出（20+2x）件，

依題意得：（40-χ）（20+2x）=1200,

整理得：χ2-30χ+200=0,

解得：xι=10,X2=2O,

當(dāng)x=10時(shí)，40-x=40-10=30>25,符合題意；

當(dāng)x=20時(shí)，40-Λ=40-20=20<25,不符合題意，舍去.

答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)10元.

（3）不能，理由如下：

設(shè)每件襯衫降價(jià)y元，則每件盈利（40-），）元，平均每天可售出（20+2），）件，

依題意得:（40-y）（20+2y）=1300,

整理得：V-30）,+250=0,

??Δ=（-30）2-4×l×250=-100<0,

.?.該方程沒有實(shí)數(shù)根，

即該襯衫每天的銷售獲利不能達(dá)到1300元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、有理數(shù)的混合運(yùn)算以及根的判別式，解題的

關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次

方程；（3）牢記“當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根”.

11.（2022春?海安市期末）某校準(zhǔn)備在一塊長為25米，寬為20米的長方形花園內(nèi)修建一

個(gè)底部為正方形的亭子（如圖所示），在亭子四周修四條寬度相同，且與亭子各邊垂直的

小路，亭子邊長是小路寬度的5倍，花園內(nèi)的空白地方鋪草坪，設(shè)小路寬度為X米.

（1）花園內(nèi)的小路面積為（-IOx2園5x）平方米（用含X的代數(shù)式表示）.

（2）若草坪面積為440平方米時(shí)，求這時(shí)道路寬度X的值.

【分析】（1）由亭子邊長是小路寬度的5倍，可得出亭子邊長是5x米，利用花園內(nèi)的小

路面積=小路的長度×小路的寬度，即可用含X的代數(shù)式表示出花園內(nèi)的小路面積；

（2）利用草坪的面積=長方形花園的面積-小路的面積-亭子的面積，即可得出關(guān)于X

的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）：小路寬度為X米，亭子邊長是小路寬度的5倍，

亭子邊長是5x米，

花園內(nèi)的小路面積為（25-5x）x+（20-5x）X=（-10√+45x）平方米.

故答案為：（-lθ∕+45x）.

（2）依題意得：25×20-（-10√+45x）-（5x）2=440,

整理得:X2+3X-4=0,

解得：Xi=I,X2=-4（不合題意，舍去）.

答：這時(shí)道路寬度X的值為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量

之間的關(guān)系，用含X的代數(shù)式表示出花園內(nèi)的小路面積；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出

一元二次方程.

12.（2022春?海陵區(qū)校級(jí)期末）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活

潑、可愛，象征著冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神.隨

著北京冬奧會(huì)開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆.據(jù)調(diào)查“冰墩

墩”每盒進(jìn)價(jià)8元，售價(jià)12元.

(I)商店老板計(jì)劃首月銷售330盒，經(jīng)過首月試銷售，老板發(fā)現(xiàn)單盒“冰墩墩”售價(jià)每

增長1元，月銷量就將減少20盒.若老板希望“冰墩墩”月銷量不低于270盒，則每盒

售價(jià)最高為多少元？

(2)實(shí)際銷售時(shí)，售價(jià)比(1)中的最高售價(jià)減少了2〃元，月銷量比(1)中最低銷量

270盒增加了60α盒，于是月銷售利潤達(dá)到了1650元，求”的值.

【分析】(1)設(shè)每盒的售價(jià)為X元，則月銷量為(570-20x)盒，根據(jù)月銷量不低于270

盒，即可得出關(guān)于X的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；

(2)利用月銷售利潤=每盒的銷售利潤X月銷售量，即可得出關(guān)于。的一元二次方程,

解之取其正值即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)每盒的售價(jià)為X元，則月銷量為330-20(x-12)=(570-20x)

(盒)，

依題意得：570-20.r≥270,

解得：XWl5.

答：每盒售價(jià)最高為15元；

(2)依題意得：(15-24-8)X(270+600)=1650,

解得：m=l,。2=-2(不合題意，舍去).

答：。的值為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

(1)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出

一元二次方程.

Q

一.選擇題(共4小題)

1.(2021秋?沐陽縣校級(jí)月考)把一塊長與寬之比為2：1的鐵皮的四角各剪去一個(gè)邊長為

10厘米的小正方形，折起四邊，可以做成一個(gè)無蓋的盒子，如果這個(gè)盒子的容積是1500

立方厘米，設(shè)鐵皮的寬為X厘米，則正確的方程是()

A.(Zr-20)(%-20)=1500B.10(2χ-10)(X-IO)=1500

C.10(2χ-20)(X-20)=1500D.IO(X-Io)(X-20)=1500

【分析】如果設(shè)鐵皮的寬為X厘米，那么鐵皮的長為2x厘米，根據(jù)“這個(gè)盒子的容積是

1500立方厘米”，可列出方程.

【解答】解：設(shè)鐵皮的寬為X厘米，

那么鐵皮的長為2x厘米，

依題意得10(2x-20)(x-20)=1500.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題中隱藏的條件是長方體盒子的高為10厘米，然后利用體積公式列出方程.

2.(2021秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考)某班組織了一次小型同學(xué)聚會(huì)，參與的同學(xué)每兩人之間都

握了一次手，所有人共握了45次手，設(shè)共有X位同學(xué)聚會(huì)，則X滿足的關(guān)系式為()

11

A.-X(x+l)=45B.-X(X-I)=45

22

C.X(x+l)=45D.X(X-D=45

【分析】此題利用一元：次方程應(yīng)用中的基本數(shù)量關(guān)系:X人參加聚會(huì),兩人只握一次手，

1

握手總次數(shù)為y(X-I)解決問題即可.

【解答】解：由題意列方程得，

1

-X(X-I)=45.

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，主要由X人參加聚會(huì)，兩人只握

1

一次手，握手總次數(shù)為力(X-1),利用這一基本數(shù)量關(guān)系類比運(yùn)用解決問題.

3.(2022春?福山區(qū)期末)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽(公元3?4世紀(jì))在其所著的《勾股圓方

圖注》中記載過一元二次方程(正根)的幾何解法.以方程:+2Λ-35=0即X(x+2)=

35為例說明，記載的方法是：構(gòu)造如圖，大正方形的面積是(X+X+2)2.同時(shí)它又等于四

個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4X35+22,因此χ=5.則在下面四個(gè)構(gòu)圖中，

能正確說明方程7-5χ-6=0解法的構(gòu)圖是()

x+2X

【分析】根據(jù)題意，畫出方程7-5χ-6=0,即X（X-5）=6的拼圖過程，由面積之間

大正方形的面積：（x+x-5）2=4Λ-（X-5）+25=4X6+25=49,其邊長為7,

因此，D選項(xiàng)所表示的圖形符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，完全平方公式的幾何背景，通過圖形直觀，得出

面積之間的關(guān)系，并用代數(shù)式表示出來是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?銅山區(qū)校級(jí)月考）可以用如圖所示的圖形研究方程/+依=房的解：在RfZsABC

中，NC=90°,AC=BC=h,以點(diǎn)A為圓心作弧交AB于點(diǎn)。，使A。=Ae,則該

方程的一個(gè)正根是（）

A.C。的長B.BQ的長C.AC的長D.BC的長

【分析】在RrzλA8C中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，可得BI）2+aBD=b2,從而可得BO的

長該方程方程/+以=戶的?個(gè)正根.

【解答】解：AC=*

.?AB=AD+BD=I+BD,

在R/ZXABC中，ZC=90°,

ΛAC2+BC2=Aδ2,

α??ao

.,.(-)2+?2=(-+BD)2,

22

：.—+h2=?+aBD+B∏r,

44

ΛBD2+aBD=?2,

?JBD2+aBD^b2與方程/+αx=必相同，且BD的長度是正數(shù)，

：.BD的長該方程/+依=戶的一個(gè)正根，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，利用勾股定理及各邊長得出

BD2+aBD=b1是解題的關(guān)鍵.

二.填空題(共4小題)

5.(2021秋?灤陽市期末)老李有一塊長方形菜地(長大于寬)，面積為180次,他利用菜地

寬處修了一個(gè)寬為3,”的蓄水池，修完后老李發(fā)現(xiàn)他的菜地剛好變成一個(gè)正方形菜地.那

么老李原來的菜地周長為54m.

【分析】根據(jù)“如果它的長減少3,〃，那么菜地就變成正方形”可以得到長方形的長比寬

多3〃?，利用矩形的面積公式列出方程即可.

【解答】解：?；長減少3m,菜地就變成正方形，

二設(shè)長方形的寬為Xffb則長為(x+3)m,

根據(jù)題意得：X(x+3)=180,

解得：xι=12,X2=-15(不符合題意，舍去)，

則x+3=15,

這個(gè)長方形菜地的長為?5m,寬為12m,

所以老李原來的菜地周長為：2X(15+12)=54m.

故答案為：54.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清題意，找到等量關(guān)系.

6.(2022?廣陵區(qū)校級(jí)一模)如圖，某小區(qū)有一塊長為36機(jī)，寬為24m的矩形空地，計(jì)劃在

其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為600m2,兩塊綠地之間及周邊有寬度

相等的人行通道，則人行通道的寬度為2m.

【分析】將矩形綠地平移后，根據(jù)圖中的等量關(guān)系列出方程即可求出答案.

【解答】解：設(shè)人行通道的寬度為X,

將矩形綠地平移，如圖所示，

.?AB=2x,GD=3x,ED=24-2X

由題意可列出方程：36X24-600=2xX36+3X（24-2x）

解得：x=2或x=22（不合題意，舍去）

故答案為：2

FE

--------------G'"D

----------------------C

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確找出題中的等量關(guān)系，本題

屬于中等題型.

7.（2021秋?錫山區(qū)校級(jí)月考）《代數(shù)學(xué)》中記載，形如7+8χ=33的方程，求正數(shù)解的幾何

方法是：“如圖1,先構(gòu)造一個(gè)面積為/的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造四

個(gè)面積為2Λ-的矩形得到大正方形的面積為33+16=49,則該方程的正數(shù)解為7-4=3.”

小聰按此方法解關(guān)于X的方程/+12x+m=0,構(gòu)造圖2,已知陰影部分的面積為60,則該

【分析】根據(jù)已知的數(shù)學(xué)模型，同理可得空白小正方形的邊長為3,先計(jì)算出大正方形的

面積=陰影部分的面積+4個(gè)小正方形的面積，可得大正方形的邊長，從而得結(jié)論.

【解答】解：x2+l2x+m=0,

X2+12x=-in,

???陰影部分的面積為60,

Λ√+12Λ=60,

設(shè)4a=12,

則4=3,

同理：先構(gòu)造一個(gè)面積為/的正方形,

再以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為3x的矩形,

得到大正方形的面積為60+3?X4=60+36=96,

則該方程的正數(shù)解為國-6=4√6-6,

故答案為：4√6—6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

8.（2022春?惠山區(qū)期末）歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程/+以=房的

方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程/+χ-1=0的一個(gè)正根.如圖，一張邊長為

1的正方形的紙片A8CZ）,先折出A。，BC的中點(diǎn)E,F,再沿過點(diǎn)4的直線折疊使AO

落在線段AF上，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H,折痕為AG,點(diǎn)G在邊CD上，連接GH,GF,

線段8F、OG、CG和GF中，長度恰好是方程）+χ-1=0的一個(gè)正根的線段為DG.

【分析】首先根據(jù)方程7+χ-1=0解出正根為『一，再判斷這個(gè)數(shù)值和題目中的哪條線

段接近.線段B尸=0.5排除，其余三條線段可以通過設(shè)未知數(shù)找到等量關(guān)系.利用正方

形的面積等于圖中各個(gè)三角形的面積和，列等量關(guān)系.設(shè)QG=〃?，則GC=I從而

可以用機(jī)表示等式.

【解答】解：設(shè)DG=m則GC=I-%

由題意可知：Z?4DG也Z?AHG,F是BC的中點(diǎn)，

：.DG=GH=m,FC=O.5,

根據(jù)勾股定理得AF=卓.

β.'S正方形=SAA5尸+S∕?ADG+SACGF+SAAG/，

f

Λ11111.c

/.IX1=Λ?×1×?^+,^×1X/〃+5X5X（1一/〃）+5X-n-Xm,

.√5-l

??m=-2—.

-1=0的解為：X=二?l匹，

.?.取正值為X=與上

.?.這條線段是線段DG.

故答案為：DG.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是一元二次方程的解法，運(yùn)用勾股定理和面積法找到線段的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共4小題）

9.（2021?興化市模擬）某商店銷售一款工藝品，每件的成本是30元，為了合理定價(jià)，投放

市場(chǎng)進(jìn)行試銷：據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)是40元時(shí)，每天的銷售量是80件，而銷售單價(jià)

每提高1元，每天就少售出2件，但要求銷售單價(jià)不得超過55元.

（1）若銷售單價(jià)為每件45元，求每天的銷售利潤；

（2）要使每天銷售這種工藝品盈利1200元，那么每件工藝品售價(jià)應(yīng)為多少元？

【分析】（1）根據(jù)每天的銷售利潤=每件的利潤X每天的銷售量，即可求出結(jié)論；

（2）設(shè)每件工藝品售價(jià)為X元，則每天的銷售量是［80-2（χ-40）］件，根據(jù)每天的銷

售利潤=每件的利潤X每天的銷售量，即可得出關(guān)于X的一元二次方程，解之取其較小

值即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）（45-30）X［80-（45-40）×2］=1050（元）.

答：每天的銷售利潤為1050元.

（2）設(shè)每件工藝品售價(jià)為X元，則每天的銷售量是［80-2（X-40）］件，

依題意，得：（χ-30）［80-2（Λ-40）1=1200,

整理，得：√-Ilox+3000=0,

解得：Xl=50,X2=60（不符合題意，舍去）.

答：每件工藝品售價(jià)應(yīng)為50元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

10.（2022秋?建湖縣校級(jí)月考）如圖，用長為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長

度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，

在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門.

（1）設(shè)花圃的一邊AB長為X米，請(qǐng)你用含X的代數(shù)式表示另一邊4。的長為24-3X

米：

（2）若此時(shí)花圃的面積剛好為45m2,求此時(shí)花圃的長與寬.

墻14m

81------Ilml-------11"IiIC

【分析】（1）用繩子的總長減去三個(gè)AB的長，然后加上兩個(gè)門的長即可表示出AD的長；

（2）由在BC上用其他材料造了寬為1米的兩個(gè)小門，故長邊為22-3x+2,令面積為45,

解得X.

【解答】解：（1）設(shè)寬48為X,

則長4O=BC=22-3x+2=(24-3x)米;

(2)由題意可得:(22^3x+2)x=45,

解得：Xl=3；X2=5,

當(dāng)A8=3時(shí)，BC=當(dāng)>14,不符合題意舍去，

當(dāng)A8=5時(shí)，BC=9,滿足題意.

答：花圃的長為9米，寬為5米.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，用未知數(shù)表示出線段的長是解題的關(guān)鍵.

11.(2022秋?江陰市校級(jí)月考)如圖，在aABC中，AB=6cm,BC=Icm,ZABC=30°,

點(diǎn)P從4點(diǎn)出發(fā)，以Icm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)。從8點(diǎn)出發(fā)，以2cm∕s的速度向

C點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng).如果P、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),

經(jīng)過幾秒后4P8Q的面積等于4α*2?

1

【分析】作出輔助線，過點(diǎn)。作QELPB",即可得出aPQ8的面積為aXPBXQE,

有P、。點(diǎn)的移動(dòng)速度，設(shè)時(shí)間為f