2022-2023學(xué)年河北省石家莊重點中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年河北省石家莊重點中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=*，貝Ijz的共軌復(fù)數(shù)為（）

3.iB.|+g_3

A.~2+2Jr~2~2D-14

2.在下列向量組中，可以把向量乞=（3,2）表示出來的是（）

A.擊-(0,0),e2-(1,2)B.無=(-1,2),電=(5,-2)

C.薪=(3,5),e2=(6,10)D.&=(2,-3),e2=(-2,3)

3.已知a,b,c分別為AABC三個內(nèi)角4B,C的對邊,且a=A/--2，c=V~-5?B=60°,

則AABC的面積為（）

A./~30B5「710D0

244

4.如圖，在△048中，P為線段AB上的一點，OP=xOA+yOB.且瓦？=4兩，（）

12

A.%=§'y=3

21

B.x=ry=3

31

C.%=R4/y=74

13

D.X=4'y=4

5.如圖，在正方體48CD-ABiGDi中，E、F、G、H分別為441、

AB、BB］、BiCi的中點，則異面直線E尸與GH所成的角等于（）

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

6.已知兩個單位向量五萬的夾角是120。，則|五-方|=（）

A.1B.C.2D.

7.在44BC中，a、b、c分別是角4、B、C的對邊，若（Jib-c）cosA=acosC，則sin4=（）

A.Djr

8.如圖一，矩形4BCD中，BC=2AB,AM1BD交對角線BD于點0,交BC于點M,現(xiàn)將△ABD

沿BD翻折至△4BD的位置，如圖二，點N為棱4。的中點，則下列判斷一定成立的是（）

A.BD1CNB.A'O_L平面BCD

C.CN〃平面A0MD.平面A'OM_L平面BCD

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.以下關(guān)于平面向量的說法中，正確的是（）

A.既有大小，又有方向的量叫做向量B.所有單位向量都相等

C.零向量沒有方向D.平行向量也叫做共線向量

10.在AZBC中，a=y/~2,c=<3,4=45。，則角C可能是（）

A.30°B,90°C.60°D,120°

11.如圖，四棱鏈S-ABCO的底面4BC0為正方形，SO_L底面

ABCD,則下列結(jié)論中正確的有（）

A.AC1SB

B.28〃平面SCO

C.S4與平面ABCD所成角是NS4B

D.AB與BC所成的角等于DC與SC所成的角

12.如圖，正方體ABCD-&B1GD1的棱長為1,E,尸是線段

當(dāng)。1上的兩個動點，且EF=T，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.AC1BE

B.EF〃平面4BC0

C.△力EF的面積與ABEF的面積相等

D.三棱錐E—4BF的體積為定值

三、填空題（本大題共5小題，共32.0分）

13.z=3—4i,則|z|=

14.已知向量五=（2k—4,3）,I=（-3,k）,若丘1至，則實數(shù)k的值為

15.如圖所示，圓錐S。的底面圓半徑=1,側(cè)面的平面展開圖的

面積為3兀，則此圓錐的體積為.

16.已知三棱錐P-ABC,若P4,PB,PC兩兩垂直，且PA=2,PB=PC=1,則三棱錐

P-ABC的外接球的表面積為.

17.已知a、b、c分別是A/IBC的三個內(nèi)角4、B、C的對邊，若AABC面積為唱,c=2,4=60°,

求a,b及角C的值.

四、解答題（本大題共5小題，共58.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

18.（本小題10.0分）

如圖所示：直三棱柱ABC—4B1G中，。是4B中點，證明：BG〃平面&CD.

B

19.（本小題12.0分）

在棱長為1的正方體力BCD-&B1GD1中，點E是8傳1的中點，求點E到平面力B15的距離.

20.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱ABC-DEF中，AC=BC=2,AB=26,AD=4,M、N分另U為AD、CF

的中點.求證：AN_L平面BCM.

21.(本小題12.0分)

在AABC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2acosB+b=2c.

(1)求角A

(2)若。為BC邊的中點，且40=11^，AC=2,求△力BC的周長.

22.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-4BC。中，底面ABC。為正方形，平面24。平面4BCD,Q為棱PO的中

點,PA1AD,PA=AB=2.

⑴求證：PAJL平面48CD；

(2)求二面角P-CD-4平面角的大小.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：依題意，2=(1；)，)=亨=一：》,

/屋一I)ZZZ

所以z=—1

故選：A.

利用復(fù)數(shù)的除法運算及共規(guī)復(fù)數(shù)的意義求解作答.

本題主要考查共軌復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查向量的坐標(biāo)運算，根據(jù)1=4可+〃逐列出方程解方程是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)向量的坐標(biāo)運算及a=4可+〃筱，計算判斷即可.

【解答】

解：根據(jù)五=/1百+〃葭，

選項4(3,2)=2(0,0)+〃(1,2),則3=出2=2”,無解，故A不能：

選項8：(3,2)=4(-1,2)+〃(5,-2),則3=—4+5〃，2=24-2〃，解得，2=2,〃=1,故B

能；

選項C：(3,2)=2(3,5)+〃(6,10),貝113=32+6〃，2=54+10〃，無解，故C不能；

選項。：(3,2)=4(2,-3)+“(-2,3),則3=2，-2〃,2=-34+3〃，無解，故。不能.

故答案選：B.

3.【答案】D

【解析】解：a，b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且a=c=，弓，B=60。，

則^ABC的面積為：iacsinB=qxy/~2x5x’”嗎

故選：D.

直接利用三角形的面積公式，轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查三角形的面積的求法，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：在AOAB中，P為線段AB上的一點，而=x6?+y而，且瓦？=4成,

貝lj：OA-OB=4(0A-0P)，

整理得：OP^IOA+iOB,

44

由于：OP=xOA+yOB<

故選：C.

直接利用向量的共線的充要條件和向量的減法求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：向量共線的充要條件，向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題型.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了異面直線及其所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基

礎(chǔ)題.

先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點B,得到的銳角N&BG就是異面直線所成的角，在

三角形&BC1中求出此角即可.

【解答】

解：如圖，連4/、BC、、&G，則AB=BG=4G，

且E/7/&8、GH//BClt

所以異面直線EF與所成的角等于60。，

故本題選B.

________5G

6.【答案】D

【解析】解：因為兩個單位向量不了的夾角是120。,

所以|五一石|=Ja2-2a-b+b2=J2-2x1x1x(-1)=<3-

故選：D.

根據(jù)向量模的運算法則運算求解即可.

本題主要考查向量模的運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：

所以I5sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA?

^VyT~3sinBcosA=sin(/+C)=stnB,

因為sinB*0,所以cosZ=?，

因為sim4>0,所以sinA=

故選：C.

由(，耳b-c)cosA=acosC，利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，利用三角恒等變換求解.

本題考查正弦定理相關(guān)知識，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：翻折前，BD1A0,BD10M,翻折后，對應(yīng)地有，BDLA'O,BD10M,

A'OOOM=0,則BD1平面40M,BDu平面BCD,故平面40M_L平面BCD,。選項一定成

立；

對于B選項，由上可知，二面角4-BD-M的平面角為乙4'0M,

在翻折的過程中，會發(fā)生變化，則40與0M不一定垂直，

即4。與平面BCD不一定垂直，故B選項不一定成立：

對于4選項，設(shè)BC=24B=2a,在圖一中，tan乙4BD=空=黑=2,

AB0B

所以，竹廠片，可得4。=當(dāng)a，0B==a，

(AB=VAO2+OB2=a55

因為NAMB+^BAM=乙ABD+Z.BAM,則44MB=乙ABD,

故tanzTlMB=照=2,所以=

BM2

在圖二中，過點C在平面BCD內(nèi)作CE〃?！敖籅C于點E,連接NE,

則需=器=4，故BE=4B0=^^a，則DE=BD-BE=—a，

又因為。。=BD-。8=?a，故E不為。。的中點，

因為8D10M,CE//OM,則8DJ.CE,

若BD1CN,且CEnCN=C,則BD_L平面CNE,

?；NEu平面CNE,則BD1NE,

由于4'。、可￡1<=平面48。，且B0J.4'。，故AO//NE,

由于N為AD的中點，則E為。。的中點，與已知條件矛盾，4選項不成立;

對于C選項，由4選項可知，因為CE〃OM,CEC平面AOM,OMu平面40M,

所以，CE〃平面4'0M,

若CN〃平面4'OM,CNOCE=C,則平面CNE〃平面4'OM,

因為平面ABDCI平面4'0M=4'。,平面ABDn平面CNE=NE,則A'O〃NE,

由于N為AD的中點，則E為OD的中點，與已知條件矛盾，C選項不成立.

故選：D.

利用反證法可判斷4選項；

由二面角4一BD-M的變化可判斷B選項；

利用反證法結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷C選項；

利用面面垂直的判定定理可判斷。選項.

本題主要考查空間中之先河直線、直線和平面之間的關(guān)系，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：既有大小，又有方向的量叫做向量，故A正確；

所有單位向量的模都相等，方向不一定相同，故B錯誤；

零向量的方向是任意的，故C錯誤；

平行向量也叫做共線向量，故。正確.

故選：AD.

由向量及其有關(guān)概念逐一分析四個選項得答案.

本題考查向量的基本概念，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】CD

【解析】解：在A4BC中，由正弦定理知，急=肅，

故加c=*=?，

a2

因0°<C<180%且C>力=45°,

所以C=60。或C=120°.

故選：CD.

根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理即可求解.

本題主要考查解三角形，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABCD

【解析】解：???SO1底面ABC。，.-.ACLSD,

???四邊形ABCD是正方形，.?.4C1BD,

vBDHSD=D,：.ACl^SBD,：.AC1SB,故4正確；

■■AB//CD,ABC平面SCO,CDu平面SCO,AB〃平面SCO,故3正確；

???AO是SA在平面4BC。內(nèi)的射影，與平面2BC0所成角是/S40,故C正確；

■■-AB//CD,??.AB與SC所成的角等于DC與SC所成角，故C正確.

故選：ABCD.

利用線面垂直的判定定理，得到4CL平面SBD,進而判定4根據(jù)ZB〃CD,利用線面平行的判定

定理，判斷B；根據(jù)線面所成角的定義，判斷C；根據(jù)4B〃CD,由異面直線所成角的定義，判斷D.

本題考查命題真假的判斷，考查線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)、射影、異面直線所成角、線

面角的定義的基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，是中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

證明線面垂直，可得線線垂直判斷4由直線與平面平行的判定定理判斷B；由點4和點B到EF的

距離不相等，可得△4EF的面積與ABEF的面積不相等，判斷C錯誤；連接BD,交4C于。，則4。

為三棱錐4-BEF的高，利用等體積法證明三棱錐E-4BF的體積為定值判斷D.

本題考查立體幾何的綜合，涉及線面的位置關(guān)系、棱錐的體積公式等，考查空間想象能力與推理

論證能力，考查運算求解能力，屬于中檔題.

【解答】

解：對于4,由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，。/1平面ABCD,而4cu5----------——

平面力BCD,則劣。上力C,

連接8D,又ABCD為正方形，.??力C1.BD,'\''、、;\

?.?01”08￡>=/),且5。、80<=平面叫8窗,二4￡'1平面皿&8,：\；'\

???BEu平面DO/iB,AC1.BE,故A正確;

對于B,?:BM//BD,BOu平面4BCD,8必C平面4BCO,『--------

???當(dāng)。1〃平面4BCD,而EF在劣劣上，二EF〃平面4BCD,故8正確；

對于C,點B到E/；1的距離為正方體的棱長，4到EF的距離大于棱長，則AAEF的面積與ABEF的面

積不相等，故C錯誤；

對于。，如圖所示，連接8。，交4C于0,則4。為三棱錐4—BEF的高，

SABEF=3.后尸.BBI=|x|xl=i,VA_BEF=|sABEF.40=gx；x^=舒，

則/-4BF=^A-BEF=行為定值，故。正確.

故選：ABD.

13.【答案】5

【解析】解：z=3-4i,

|z|=J32+(-4)2=5.

故答案為：5.

利用復(fù)數(shù)模的計算公式即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)模的計算公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】4

【解析】解:向量1=(2k—4,3),b=(-3,fc)>alb>

則(2k-4)x(-3)+3/c=0,解得k=4.

故答案為：4.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】因紅

【解析】解：設(shè)圓錐的母線長為2,

所以圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積為：S=gx27r?1」=3兀，

所以I=3,所以圓錐的高S。=V32—1=

故圓錐的體積為：V=371X12X24=?小

故答案為：空.

由圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積公式求出圓錐的母線長，再由勾股定理求出圓錐的高，再由體枳

公式即可得出答案.

本題考查圓錐的體積計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】67r

【解析】

【分析】

以P4PB,PC分棱構(gòu)造一個長方體，這個長方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，由此能

求出三棱錐的外接球的表面積.

本題考查三棱錐的外接球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運

用.

【解答】

解：???三棱錐P-4BC,若PA,PB,PC兩兩垂直，且P4=2,PB=PC=1,

.,.以24,PB,PC分棱構(gòu)造一個長方體，

則這個長方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，

.??由題意可知，這個長方體的中心是三棱錐的外接球的心，

三棱錐的外接球的半徑為A_J22+12+12_<6,

所以外接球的表面積為S=4nR2=47rx=67r.

故答案為：67r.

17.【答案】解:"c=2,4=60。

又S4ABe=^besinA

Cl,.

-2=1xbx2xsin60°

???b=1

由余弦定理可得，+?2-2bccos60°=4+l-2xlx2xi=3

???a=y/~3

a2+b2=c2

C=90°

【解析】由已知結(jié)合SA.BC=gbesinA可求b,然后由余弦定理可得，a?=/+c?-2bccos60?？?/p>

求，進而可求C

本題主要考查了三角形的面積公式、正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題

18.【答案】證明：連接4Q,設(shè)4Cin&C=E,連接。E

因為44GC是矩形，所以E是AQ中點，

在AABCi中，又。為4B中點

ED//BCr

又EDu平面&CD,BCiC平面4CD

???Bq〃平面41co.

【解析】欲證BG〃平面A1CD,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證BG與平面&C。內(nèi)一

直線平行，連接4c0設(shè)4Gn41c=E,連接OE,根據(jù)中位線定理可知ED〃DC],又EDu平面&CD,

BCiC平面&CD,滿足定理所需條件；

本題主要考查三棱柱的性質(zhì)以及直線與平面平行的判定；熟練掌握線面平行的判定定理是關(guān)鍵,

屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：如下圖所示:

在正方體4BCD-&B1GD1中，點E是BiQ的中點，

則如0E=/止.(?也=；XTX1=；,

所以匕-81。仔=§SA8ID]E-44]=5X4X1=運，

設(shè)點E到平面AB1D1的距離為d,易知4B1=AD1=BQly/~2,

即△AB14是邊長為一五的等邊三角形，

所以工陽必=1X(V-2)2=

所以%-gDi=GSAABIDI?d='x苧d=今,

解得d=

6

因此點E到平面2當(dāng)。1的距離為[1

【解析】計算出三棱錐A-BiDiE的體積以及△A/D】的面積，利用等體積法可求得點E到平面

4回。1的距離.

本題考查點到平面的距離計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】證明：因為4c=BC=2,AB=2<2,

^\AC2+BC2=AB2,所以4CJ_BC,

在直三棱柱ABC-DEF中，CF_L平面ABC,

因為BCu平面力BC,所以BC1.CF,

因為ACCCF=C,AC.CFu平面ADFC,

所以BC1平面ADFC,因為/Nu平面4DFC,

所以AN1BC,

連接MN,如下圖所示:

因為CF1平面力BC,ACu平面ABC,

所以4c_LCN,同理4MlAC,

在側(cè)面40FC內(nèi)，因為4M〃CN,又4M=g/W=；CF=CN=4C,

所以四邊形AC