湖北省武漢市硚口區(qū)2023-2024高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期起點(diǎn)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2023年研口區(qū)高三年級(jí)起點(diǎn)質(zhì)量檢測(cè)

高三數(shù)學(xué)試卷

考試時(shí)間：2023年7月25日下午14：00------16:00試卷滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.集合4={》修一3x-4<0},5={x|l<x<5},則集合AUB等于

A?[-1,5)B.(-1,5)C.(1,4]D.(1,4)

2.若復(fù)數(shù)z=|3i—l|+士，則復(fù)數(shù)z的虛部為

1+1

A.當(dāng)B.一士C.-D.--

2222

3.甲組有4名護(hù)士，1名醫(yī)生；乙組有6名護(hù)士，2名醫(yī)生.現(xiàn)需緊急組建醫(yī)療小隊(duì)，若從甲、乙兩組

中各抽調(diào)2名人員，則選出的4名人員中恰有1名醫(yī)生的不同選法共有

A.130種B.132種C.315種D.360種

4.攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖,清代稱攢尖,

通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分,

多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部

分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3也米，

側(cè)棱長(zhǎng)為5米，則其體積為()立方米。

A.2472B.24C.72痣D.72

5.公司邀請(qǐng)用戶參加某產(chǎn)品的試用并評(píng)分，滿意度為10分的有1人，滿意度為9分的有1人，滿意

度為8分的有2人，滿意度為7分的有4人，滿意度為5分和4分的各有1人，則該產(chǎn)品用戶滿意度

評(píng)分的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、85%分位數(shù)分別為

A.8分，7分，7分，9分B.8分，7分，7分，8.5分

C.7.2分，7分，7分，9分D.7.2分，7分，7分，8.5分

6.過(guò)點(diǎn)(-乎,0)且傾斜角為十的直線/交圓/+產(chǎn)-6y=0于4B兩點(diǎn),則弦相的長(zhǎng)為

A.4/B.2啦C.2亞D.VlO

7.設(shè)函數(shù)段)=3*+b,函數(shù)人x)的圖像經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則g(b)=/(6)一穴6—1)的取值范圍為

A.(0,-)B.(-8,2)C.(一8,今D.(0,3

9933

&若函數(shù){)=}:衿。)有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為

A.(-8,|)B.(0,|)C.{|}D.(j,+~)

二'選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD-431GA中，過(guò)8。1的平面a交棱于點(diǎn)與交棱C&于點(diǎn)凡

則

A.BF=EDXB.不存在E,F,使得EF1平面DBBR

C,四邊形段RE可能為菱形D.平面a分正方體所得兩部分的體積相等

10.已知函數(shù)/(x)=2sin?x+e)0＞。,|。|＜5的部分圖象，則

I27

A.。=2

c兀

B.(p=-

C.點(diǎn)仔,0)是〃x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

D./(x)的圖象向左平移3個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)

11.已知雙曲線。:必一。=1,用工為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若直線/過(guò)點(diǎn)瑪，且與雙曲線的右支交于

〃,N兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是

A.雙曲線C的離心率為百

B.若/的斜率為2,則"N的中點(diǎn)為(&12)

C.若/甲則△肛B的面積為3石

D.使△跖巧為等腰三角形的直線/有3條

12,設(shè)函數(shù)＞=/(%)的定義域?yàn)镽，且滿足/(l+x)=/(lf)，/(%一2)+/(-%)=°，則下列說(shuō)法

正確的是

A.y=/(x+l)是偶函數(shù)B.y=/(%+3)為奇函數(shù)

C./(%)是周期為4的周期函數(shù)D./(1)=0

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.正六邊形49CDE尸的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸滿足后=在+就，則而.萬(wàn)=.

14.網(wǎng)購(gòu)作為一種新的消費(fèi)方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價(jià)比高等優(yōu)勢(shì)而深受廣大消費(fèi)者

認(rèn)可.某網(wǎng)購(gòu)公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“h1”表示2015年，

“x=2”表示2016年，且x為整數(shù)，依次類推；y表示人數(shù))：

X12345

y(萬(wàn)人)2050100150180

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可以求出務(wù)==42,若預(yù)測(cè)該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過(guò)300萬(wàn)人,

55-5x9

則x的最小值為.

15己知705出6=1+785，貝心10(2，+生)=

?6-----------,

16.已知直線48是曲線丁=-1及拋物線y=2px(p>0)的公切線，切點(diǎn)分別為

X

A(xI,y1),B(x2,y2)(x2>0),則再乂=,若您|=4^,則。=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛斯｝滿足：a3=7,a5+s=26,｛斯｝的前〃項(xiàng)和為￡?

⑴求斯及S”；

(2)令兒=」一("GN)求數(shù)列｛瓦｝的前n項(xiàng)和T?.

斯2-1

__cjnB

18.已知a,b,c分別為△ZBC的三個(gè)內(nèi)角4B,C的對(duì)邊，比=意%々

⑴求4

(2)。為3c邊上一點(diǎn)，DALBA,且80=3。。，求cosC的值.

19.如圖，在四,.錐P_4BCD中，A尸40為等邊三角形，”為尸4的中點(diǎn)，尸。_L48，平面尸力。，

平面ABCD.

(1)證明：平面MCD_L平面尸4S；

(2)若ADHBC,AD=2BC,CD=2AB,求平面MCD與平面P5C夾角的余弦值.

20.有編號(hào)為1,2,3,18,19,20的20個(gè)箱子，第一個(gè)箱子有2個(gè)黃球1個(gè)綠球，其余箱子均

為2個(gè)黃球2個(gè)綠球，現(xiàn)從第一個(gè)箱子中取出一個(gè)球放入第二個(gè)箱子，再?gòu)牡诙€(gè)箱子中取出一個(gè)球

放入第三個(gè)箱子，以此類推，最后從第19個(gè)箱子取出一個(gè)球放入第20個(gè)箱子，記

乃為從第i個(gè)箱子中取出黃球的概率.

(1)求夕2，。3；

(2)求必

21.已知橢圓。:[+A=3>6>0)的離心率為逅，點(diǎn)心生，追)在橢圓。上.

ab333

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)"(2,0)的直線與橢圓。交于43兩點(diǎn)，求S/OH的最大值.

22.已知函數(shù)/(x)=3(1-x)ln(l+x)+sin處

⑴求曲線歹=/卜)在點(diǎn)(0，/(0))處的切線方程；

⑵若，(x)=/〃在[05上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根西，電，證明：|石-%2區(qū)1-蕓?

2023年研口區(qū)高三年級(jí)起點(diǎn)考高三數(shù)學(xué)答案

一、選擇題：1.A2.D3.B4.B5.C6.A7.A8.B

二、選擇題：9.ACD10.ACD11.BCD12.AB

97

三、填空題：13.2414.815.—16.-1；8衣及

四、解答題：

17.（1）設(shè)等差數(shù)列｛&｝的首項(xiàng)為公差為d,因?yàn)椤?=7,的+。7=26,

所以。]+2d=7,2a]+10d=26,（2分）解得s=3,d=2.（3分）因?yàn)?（〃—l）d,

S〃="（。；斯）,所以斯=2〃+1,（4分），￡=〃（〃+2）,（5分）

（2）因?yàn)??！?2〃+1,所以a/—1=4〃（〃+1）,（6分）因此d=―[=上〃+].

4〃（w+1）4

4-把一十一制

（7分）.故。=bi+岳+…

4

/-、，所以數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和T.（10分）

4（〃+1）n4（〃+1）

18.（1）由^—-=得（。一c）（sin4+sinC）=（b+c）sin6,

b+csin%+sinC

由正弦定理得（a—c）（a+c）=3+c）b,（2分）即層一°2=/>2+曲，由余弦定理/=〃

+c2-2bccos4,得cosA———.（4分）由于0<A<n,所以/———.（5分）

23

（2）由（1）可知4=2三，所以NC/D=2三--=—.根據(jù)正弦定理，在△?￡）中，有

3326

CDhBD

T=--------------，（6分）在△84。中，有T=----------------，（7分）又N4DB

sin-sinZADCsjn2LsinZADB

62

o

+ZADC=n,所以sinZADB=sinNADC.又BD=3CD,所以b=2c,（8分）所以

3

由余弦定理可得，a2^b2+c2-2bccosA^—+c2-2X~x（-3=g。2,（10分）

939

mlV19f.rp；△a2+b2~c27^/19

貝ija—~-c,所以cosC---------------=——.（12分）

3lab38

19.（1）設(shè)/。的中點(diǎn)為E，連接PE,因?yàn)锳P4D為等邊三角形,所以PEJ.AD,

又因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABCD,平面PADc平面ABCD=4D,且PEu平面PAD，

所以尸EJ_平面Z8CD,因?yàn)閆8u平面Z8C。，所以PEL（2分）

又PD上AB,PDCPE=P,PRPEu平面4￡）,所以N8人平面刃。，（3分）

又因?yàn)镸Du平面&O,所以因?yàn)樵诘冗吶切蜛/M。中，”為PN的

中點(diǎn)，所以因?yàn)?Bn4P=N，4B,4Pu平面P4B，所以MD_L平面

PAB，（4分）因?yàn)镸Du平面MCD,所以平面MCZ）J_平面尸ZB：（5分）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

（2）連接CE,由（1）知，Z8工平面P/。，因?yàn)閆Du平面P/O，所以，

因?yàn)锳DIIBC,AD=2BC,CD=2AB,所以四邊形48CE為矩形，

即CEtAD,BC=AE=DE,CD=2AB=2CE,所以ZCDE=30°,設(shè)6C=a,

/7

AD=2a,尸E=NE-tan60°=&，AB=CE=DEtan300=—>以E為原

3

點(diǎn)，分別以EC、ED、EP所在直線為x、丁、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，（6分）

B

（n、（h、

所以4（0,-a,o）,P（0,0,缶卜C—,0,0,B—,-a,0,。（0,凡0）,

、3JI34

”°‘4'與）’所以流=[“瞿,一半）,麗=陪一手，

而=（與,_凡_e），PC=J7A

學(xué),0,一百。，（7分）設(shè)平面MCD和平面尸SC

的法向量分別為々=（X],y”zJ,r2=（工2，必*2），則

一777；a也a

n\=+2y'—丁馬=0%?PB=――-%一ay2—=0

<,<:，即

一TTri3ay/3a

ni-MD=-yl---z1=0曲,PC---%2—--0

罰=后|02=0Hn.

1廠,12,取乂=1,z2=1,則〃?=（百,1,JJ）,（9分）n2=（3,0,1）,

.Z]=j3乂[X2-3z2

…八、……//二\_〃「后373+73_2>^10

川才f以…/同可亞-35，

所以平面A/CZ）與平面P8C夾角的余弦值為逑巫.

（12分）

35

23^

20解：⑴從第二個(gè)箱子取出黃球的概率鳥一

353-

、238

從第三個(gè)箱子取出黃球的概率巴=——）?—=一

315515575

3212

（2）由題意可知，^+1=j/>+j（l-^）=j^+j,（8分）

111_7

匕「5=《化—”（9分）又6=?。╥o分）

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

告+3,川分）

***^20+-.(12分)

2

21.解：（1）由離心率為逅a2:b2:。2=3:1:2,（1分）設(shè)橢圓方程C：E+W=1,

33b°b1

將點(diǎn)（迪，也）代入方程，可得〃=1,（3分）故方程為片+/=1.（4分）

333

x=ny+2

)/+3犬=3'代入消元得

(3〃2+i)j?+i2〃y+9=0,由△>()得〃2—i>o.必+8=——弓—,

3"+1

9、?|0-0-2|2、

必必=「一，(6分)原點(diǎn)到/相的距離/=/，0分)

3〃+1Jl+〃2Jl+〃2

2

\AB\=^Jl+n\yt-y2\,

]____2______________

SNOB).+/瓦-必|-/二|必-%|=/(弘+%)2-4%先

2A/1+〃

<2,當(dāng)且僅當(dāng)f=d,即〃2=1.時(shí),

令Z=—1>0,

…”一233

面積取到最大值.（12分）

■X—1

22.（1/（X）=sin7tr-3（x-l）ln（x+l）r(x)=71COS7LY-3----31n(x+1)

（2分）所以/'（0）=兀+3,又因?yàn)?0）=0,（3分）

所以〃力在x=0處的切線方程為y=（兀+3）x.（4分）

（2）依題意得/（x）=加在［0』上有兩個(gè)不等的x“xz，而

x-1、6

fix')=TICOS---31n(.v+l)=TicosJir-3+——--31ii(x+l),（5分）

).6?J2.3x+9

令/(x)=G(x),則G'(x)=-TCSinTtx---------7-----=-7C~Sin7LX-

(x+1)x+l

因?yàn)閷?duì)任意的xe[0,1],sinm>0,所以任意的xe[0,1],G'(x)<0恒成立,所以f(x)=G(x),

在［0,1］上單調(diào)遞減，而/（0）=兀+3,，（1）=一元一3hi2<0,

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

由零點(diǎn)存在性定理，存在x°e(O,I),使得F(%)=0，

于是xe[O,Xo),八%)>0,xe(x0,l],f(Xo)<O,

因此/(x)在[0,x0)上單調(diào)遞增，在(X。』(/』上單調(diào)遞減，

在x=x0取到極大值f(,r)