2023-2024學(xué)年江蘇省常州市洛陽中學(xué)高一年級上冊數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2023年江蘇省常州市洛陽中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.已知集合/:二'」/"已J'l,則集合/L/B二

A.{2jB.MC,{2,3,5)D.2323,5}

參考答案：

C

x2,x<0

f(x)="

X

2.設(shè)2,x>0則f[f(-1)]=()

A.1B.2C.4D.8

參考答案：

B

【考點】函數(shù)的值.

【分析】根據(jù)題意，可先求f(-1)=1,然后即可求解f[f(-1)]

【解答】解：由題意可得，f(-1)=(-1):I

Af[f(-1)]=f(1)=2'2

故選B

、、、尸二'I'吃若關(guān)于x的方程f2

3.定義域為R的函數(shù)f(x)x-2(x)+bf(x)

+c=0恰有5個不同的實數(shù)解xi,x2,X3,X4,X5,則f(X1+X2+X2+X4+X5)等于()

A.0B.21g2C.31g2D.1

參考答案：

C

【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷.

【分析】分情況討論，當(dāng)x=2時，f(x)=1,則由F(x)+bf(x)+c=0得l+b+c=O,求

出XFI；當(dāng)x>2時，f(x)=lg(x-2),由P(x)+bf(x)+c=0得[lg(x-2)]2+blg

(x-2)-b-1=0,解得1g(x-2)-1,或1g(x-2)=b,從而求出X2和x3；當(dāng)x<2

時，f(x)=lg(2-x),由f2(x)+bf(x)+c=0得[1g(2-x)]2+blg(2-x)-b-

1=0),解得1g(2-x)=1,或1g(2-x)=b,從而求出X4和X5,5個不同的實數(shù)解X1、

X2、X3、X4、X5都求出來后，就能求出f(X1+X2+X3+X4+X5)的值.

【解答】解：當(dāng)x=2時，f(x)=1,貝！J由F(x)+bf(x)+c=0得l+b+c=0./.XF2,c=-

b-1.

當(dāng)x>2時，f(x)=lg(x-2),由f?(x)+bf(x)+c=0得[1g(x-2)]2+blg(x-2)

b

-b-1=0,解得1g(x-2)=1,X2=12或1g(x-2)=b,x3=2+10.

當(dāng)xV2時，f(x)=lg(2-x),由f2(x)+bf(x)+c=0得[1g(2-x)]2+blg(2-x)

b

-b-1=0),解得1g(2-x)-1,XL-8或1g(2-x)=b,x5=2-10.

bb

：.f(X1+X2+X3+X4+X5)=f(2+12+2+10-8+2-10)=f(10)=lg|10-2|=lg8=31g2.

故選C.

4.《萊因德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣

1

的題目：把100個面包分給5個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的療

是較小的兩份之和，問最大一份為（）

A.30B.20C.15D.10

參考答案：

A

5.已知點《&期，網(wǎng)一學(xué)一2）,則直線的斜率是（）

A.1B.-1C.5D.-5

參考答案：

A

【分析】

.-2-3

由4-3-2,即可得出結(jié)果.

—1

【詳解】直線ZA的斜率-3-2.

【點睛】本題主要考查直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題型.

6.已知等比數(shù)列｛。“｝滿足的+。2=3,。+。3=6,則。7等于（）

A.64B.81C.128D.243

參考答案：

A

7.（3分）為了了解某地區(qū)10000名高三男生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡

為17?18歲的高三男生體重（kg）,得到頻率分布直方圖如圖.根據(jù)圖示，請你估計該

地區(qū)高三男生中體重在kg的學(xué)生人數(shù)是（）

A.40B.400C.4000D.4400

參考答案：

C

考點：頻率分布直方圖.

分析：由頻率分布圖得該地區(qū)高三男生中體重在kg的學(xué)生的頻率為

（0.03+0.05+0.05+0.07）X2=0.4,由此能求出該地區(qū)高三男生中體重在kg的學(xué)生人

數(shù).

解答：該地區(qū)高三男生中體重在kg的學(xué)生的頻率為：

（0.03+0.05+0.05+0.07）X2=0.4,

,該地區(qū)高三男生中體重在kg的學(xué)生人數(shù)為：

0.4X10000=4000（人）.

故選：c.

點評：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，是基礎(chǔ)題.

8.已知集合，&-卜卜>3,則能使A匚B成立的實數(shù)a的取值范圍是

()

A.aclB.c.￡>1D.

a>l

參考答案：

A

9.設(shè)瓦43。的內(nèi)角A瓦仃所對的邊分別為qb,c,若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且

則。為(

A>B>Cf3b-2QacosAfsinB0!1)

A.4：3：2B.5：6：7C.5：4：3D.6：5：4

參考答案:

D

11

10.若tan(a8)=2,tan(a+B)=3,則tan28等于(

1111

A.7B.3C.-7D.-?

參考答案:

C

【考點】兩角和與差的正切函數(shù)；三角函數(shù)的化簡求值.

【分析】由條件利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值.

11

【解答]解："."tan(a-0)=2,tan(a+0)=3,則tan2B=tan[(a+0)-(a

百~2

tan(a+B)-tan(a-B)~j-?

-6)]=l+tan(a+B)tan(a-1)J?"5=-Y,

故選：c.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知三棱柱ABC—45G,底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，且該

三棱柱的外接球的體積為，則該三棱柱的體積為.

參考答案：

12.如圖所示，矩形A3C。由兩個正方形拼成，則/C4E的正切值為.

參考答案：

1

3

【分析】

由題意首先設(shè)出正方形的邊長，然后結(jié)合兩角和的正切公式解方程即可求得/C4E的正切

值.

【詳解】因為矩形A8CD由兩個正方形拼成，設(shè)正方形的邊長為1,

,tanACAD-=!._/RAD=—

則在RrzXCAO中，AD4,

XtmZC4￡^tan—

ZC4S1-1=---------------------^=2

(^)1fanZdZf

tanZCAE-]

解得3.

1

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查兩角和的正切公式及其應(yīng)用，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)

生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

13.計算：lg4+lg5?lg20+(lg5)J.

參考答案：

【考點】對數(shù)的運算性質(zhì).

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)化簡計算即可.

2

【解答】解：lg4+lg5?lg20+(lg5)=21g2+lg5?(Ig4+lg5)+(lg5)=21g2+lg5

(21g2+21g5)=21g2+21g5=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握Ig2+lg5=l,屬于基礎(chǔ)題.

14.函數(shù)的圖象必經(jīng)過點.

參考答案：

(2,-1)

15.若數(shù)列值」的前n項和名=31+，且9.｝是等比數(shù)列，則m=.

參考答案：

-9

16.在AASC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知&=2.)=斯.若。=3,則

sinB=；若該三角形有兩個解，則。的取值范圍為.

參考答案：

T(喇

17.函數(shù)/⑴=-1-助+3在區(qū)間(co.L上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍

為,

參考答案：

3,2]

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.一份印刷品的排版面積(矩形)為3200平方厘米，它的兩邊都留有寬為4厘米

的空白，頂部和底部都留有寬為8厘米的空白，如何選擇紙張的尺寸，才能使紙的

用量最少？

參考答案：

3200

設(shè)長為工，則寬為X,...................................2

S=（X+16）乃竺+8）=3328+16x3200+gx

所以紙張的面積xx

23328+278x16x3200=4608.................

........6

16x3200。

當(dāng)且僅當(dāng)X,即x=80cm時取等號。....................8

故紙張的尺寸為長96cm,寬48cm。..................................10

19.△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ad?ZGa8+bcos'/=?五a.

b

(1)求a；

(2)若c'=b'+、?，，求￡

參考答案：

解：(1)由正弦定理得，in'/+&?Acos'Z=拄成/,即

sinJt(9n3jf-Fcas1J)=>/2mA

GnA=所以士=?_

故a............6分

cfg.得皿月=吆丞.

(2)由余弦定理和2c

由⑴知.,故J=Q?&

cos’B=—.又cosR>。.故cosA=—周以R=45"

可得22.............12分

【分析】

(1)根據(jù)條件中恒等式的特點，利用正弦定理的變形。皿屈-。一/將式子轉(zhuǎn)化，再利用

b

同角三角函數(shù)的平方關(guān)系消去角，從而得到a.

—=a.c'=&'?、行a5

(2)利用式子a,分別用a表示瓦c,結(jié)合余弦定理求出cosb.

【詳解】解：(1)由正弦定理，得WnJJ一必nd,

所以必n'd+bcn^A-x'2a,

上點

所以a

廠3=

(2)由余弦定理及c'=b'+j3不，可得2c.

由⑴知爐故。=("、))"

“I府點

COSD=-cosi?=-------

所以2.又8S2J>0,故2.

又0<A<jr,..8=45二

【點睛】本題主要考查了含有邊角恒等式的解三角形問題，屬于中檔題.解決這類型問題主

要有兩條途徑：(1)化角為邊，利用正弦定理或余弦定理的變形化角為邊，走代數(shù)變形

之路；(2)化邊為角，主要利用正弦定理化邊為角，走三角變形之路，常常需要運用到

三角恒等變換的公式.

20.（本小題滿分14分）電視臺應(yīng)某企業(yè)之約播放兩套連續(xù)劇.其中，連續(xù)劇甲

每次播放時間為80min,其中廣告時間為Imin,收視觀眾為60萬；連續(xù)劇乙每次

播放時間為40min,其中廣告時間為Imin,收視觀眾為20萬.已知此企業(yè)與電視臺

達成協(xié)議，要求電視臺每周至少播放6min廣告，而電視臺每周只能為該企業(yè)提供

不多于320min的節(jié)目時間（此時間不包含廣告）.如果你是電視臺的制片人，電視

臺每周播映兩套連續(xù)劇各多少次，才能獲得最高的收視率？

參考答案：

（本小題滿分14分）解：設(shè)電視臺播放連續(xù)劇甲x次，播放連續(xù)劇乙次，廣告

收視率為z（min*萬人）,則Z=60x+40）,.....2分

且滿足以下條件：

J80x+40y□320j+y□8

Iy□6Iy□6

|x，y，o即o......6分

=_3

作直線/即,仁一］”,平移直線，至4,

當(dāng)4經(jīng)過點3（0.歷時，可使z達到最大值。（圖）

..................11分

此時z=60x0+40x8=320,.....13分

答：電視臺播放連續(xù)劇甲0次，播放連續(xù)劇乙8次，廣告收視率最大z=320（min*

萬人）。14分

略

〃x）=stn|0x+0）|a>>0.|^?|<—

21.函數(shù)’<21在它的某一個周期內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間是

?5氧11/

12-17

（1）求的解析式;

n

（2）將尸=/（耳的圖象先向右平移百個單位，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

1

來的二倍（縱坐標(biāo)不變），所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記為E