2022-2023學(xué)年河北省高碑店市高一年級下冊5月月考數(shù)學(xué)模擬卷（含解析）

2022-2023學(xué)年河北省高碑店市高一下冊5月月考數(shù)學(xué)模擬卷

(含解析)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

I.甲、乙去同一家藥店各購一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售Z,民C三種醫(yī)用外科口

罩，則甲、乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為()

Illi

A.—B.-C.-D.-

3452

【正確答案】A

【分析】分別寫出基本事件數(shù)和符合條件的事件數(shù)，利用古典概型公式求解即可.

【詳解】甲、乙在/,5,C三種醫(yī)用外科口罩中各購一種的基本事件有(民⑷，(民8),(8,C),

(4/)，(48),(A,C),(C,A),(C,8),(CC)共9種，

其中甲，乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩基本事件有(4〃)，(3,8)(C,C)3種，

31

則其概率為P=-=—.

93

故選：A.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z=------對應(yīng)的點(diǎn)位于()

l+2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【正確答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)表示可得答案.

【詳解】解：由題意得：

1l-2i12.

--l+2i(l+2i)(l-2i)-55

???Z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為1),該點(diǎn)在第四象限.

故選：D

3.若向量7B滿足I句=JIU,B=(-2,i),7B=5,則W與書的夾角為()

A.90°B.60°C.45°D.30°

【正確答案】C

【分析】先求出w，即可根據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角.

【詳解】解：?.?B=(-2,1),.?.∣6μ√(-2)2+l2=√5.

又IGI=JlU,75=5,兩向量的夾角。的取值范圍是，6∈[(U],

-7ab5>/2

.?.cos<a,b>=_-=-J=——產(chǎn)=——.

?a??b?√10×√52

W與B的夾角為45°.

故選：C.

4.在三棱錐產(chǎn)一/8C中，PA.AB.NC兩兩垂直，NP=3,BC=6,則三棱錐外接球的

表面積為()

A.57πB.63萬C.45乃D.84"

【正確答案】C

【分析】由以，AB,/C兩兩垂直，可判定該三棱錐為長方體的一部分，則三棱錐的外接

球即為長方體的外接球，可知外接球半徑為長方體體對角線的一半，進(jìn)而求解.

【詳解】由于以，AB,4C兩兩垂直，故可得該三棱錐為長方體的一部分，

因?yàn)橥饨忧虬霃綖殚L方體體對角線的一半，

222i1

epnny∣PA+AB+AC4PA+BC3√5

222

故S=4萬H?=45乃)

故選：C

5.已知。，b是兩條不同的直線，。是平面，且αzα,bua則“α∕∕α”是“α∕∕b”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分又不必要條件D.充要條件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間中直線與直線的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理，結(jié)合必要不充分條件

的概念即可得出結(jié)論.

【詳解】依題意得，

當(dāng)α<χα,bua`4∕∕α?xí)r，直線。與直線6的位置關(guān)系為平行或者異面，

當(dāng)“<Zα,bua,α∕∕b時(shí)，由線面平行的判定定理可得α/∕ɑ,

綜上所述，“α∕∕α”是"a∕∕b”的必要不充分條件.

故選：B.

6.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱作鱉麝.如圖，在鱉席S-NBC

中，SCL平面∕8C,AZBC是以點(diǎn)8為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且SC=VLiB,則

異面直線BC與"所成角的大小為（）

A.30oB.45oC.60oD.90°

【正確答案】C

【分析】將底面補(bǔ)形為正方形/8CZ）,找到異面直線BC與S4所成角的平面角，在ASZZ）

求解即可.

【詳解】作正方形/8C。，連接SZ>,則異面直線BC與S/所成角的平面角為

ZSAD（或其補(bǔ)角），如圖所示

由已知有SCL平面Z8C,所以SCJ_8C,

又因?yàn)?CLC0,CDCSC=C,

則BC_Z面SC。，因?yàn)?/p>

所以/OJ.面SCO,所以ZOJ.SZ）,

設(shè)ZB=I,則sc=g,AD=CD=I,

SD=B則tanNS∕D=——=√3,

AD

所以NSZO=60°

故選：C.

7.要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取50袋進(jìn)行

檢驗(yàn)，將它們編號為000,001,002,...499,利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本，從第8行第5列的

數(shù)開始，按3位數(shù)依次向右讀取，到行末后接著從下一行第一個(gè)數(shù)繼續(xù).則第四袋牛奶的標(biāo)

號是（）

（下面摘取了某隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行）

84421755315724550688770474476721763

35025839212067663016478591695556719

98301071851286735807443952387933211

A.358B.3()1C.071D.206

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意，按照所提供的隨機(jī)數(shù)表和讀數(shù)規(guī)則依次讀取有效數(shù)據(jù)，注意刪除重復(fù)數(shù)

據(jù)即可得出第四袋牛奶的標(biāo)號.

【詳解】由題意可知，讀取的第一個(gè)數(shù)據(jù)是583,不符合條件，第二個(gè)數(shù)據(jù)是921,不符合

條件，第三個(gè)數(shù)據(jù)是206,符合條件；

即隨機(jī)選取的第一袋牛奶標(biāo)號是206；

以下數(shù)據(jù)依次是766,301,647,859,169,555,671,998,301,其中符合題意的數(shù)據(jù)只

有301,169,301三個(gè)數(shù)據(jù)，但是301屬于重復(fù)數(shù)據(jù)，繼續(xù)往后計(jì)數(shù)；

下一個(gè)數(shù)是071,符合條件，即前四袋牛奶的標(biāo)號依次為206,301,169,071；

所以，第四袋牛奶的標(biāo)號為071.

故選：C.

8.如圖所示，在坡度一定的山坡力處測得山頂上一建筑物CO的頂端C對于山坡的斜度為

15°,向山頂前進(jìn)Ioom到達(dá)8處，又測得C對于山坡的斜度為45。，若CZ)=50m,山坡對

于地平面的坡度為仇則cos6等于

c.?/?—1D.√2-

1

【正確答案】C

【分析】在ANBC中，由正弦定理得NC=IoOy傷，再在ANOC中，由正弦定理得解.

AB

【詳解】在A∕I8C中,由正弦定理得

sin30°sin135°

."C=Ioo.

ACCD

在C中,

sin(^+90,)-sinl5o

JC?sin15°

.β.cosO=Sin(8+90°)==?/?—1.

CD

故選：C

結(jié)論點(diǎn)睛：解一個(gè)三角形需要己知三個(gè)幾何元素（邊和角），且至少有一個(gè)為邊長，對于未

知的幾何元素，放到其它三角形中求解.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列事件中，是隨機(jī)事件的是（）

A.2021年8月18日，北京市不下雨

B.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4°C時(shí)結(jié)冰

C.從標(biāo)有1，2，3,4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號簽

D.若XG&,則χ2N0

【正確答案】AC

【分析】

根據(jù)事件的概念進(jìn)行判斷，在某次實(shí)驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件成為隨機(jī)事件.

【詳解】/選項(xiàng)與C選項(xiàng)為隨機(jī)事件，8為不可能事件，。為必然事件.

故選：AC.

10.正方體ZBCO-GR繞直線8。旋轉(zhuǎn)。之后與其自身重合，則。的值可以是

（）

2πcSnc4兀C5π

A.――B.■-C.D.—

3633

【正確答案】AC

【分析】由正方體的特點(diǎn)，對角線3。垂直于平面4AC,且三角形NqC為等邊三角形得

答案.

【詳解】解：如圖，

正方體488—4片GA中，對角線8。垂直于平面/BC，且三角形NBC為等邊三角形,

正方體繞對角線旋轉(zhuǎn)120。能與原正方體重合.

故選：AC.

11.如圖所示，已知正方體ZBC。一4耳ClA的棱長為2,線段8Q上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，

A.平面NM〃平面附

B,存在點(diǎn)E（E與A不重合），使得BE與ZR共面

C.當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有4。LNE

D.三棱錐8-ZEE的體積為定值

【正確答案】ACD

【分析】對于A,連接ADaD,BC∣,DC∣,證明Z則有ZA〃平面QS。，

同理可證〃平面C,從而可判斷；對于B,若BE與共面，則平面Z4A與平

面重合，即可判斷；對于C,證明4。，平面/4D，即可判斷；對于D,根據(jù)

匕-M=匕“即即可判斷.

【詳解】解：對于A,連接4D∣,AB∣,BD,BC∣,DC∣,

因?yàn)?B〃D?且4B=D∣q,

所以四邊形48G。是平行四邊形，

所以ZZ)I〃8CI，

又ARU平面DBq,BC[U平面DBq,

所以〃平面￡貽，

同理〃平面Jcg,

又ZACABi=A,AD],AB,?平面AEF,

所以平面力）`〃平面￡陽，故A正確；

對于B,因?yàn)槠矫鍭BR∩平面BDDIBl=BQl,

ZDU平面AByDy,BEU平面BDDB，

AD1cBQ[=D?,BECBlDT=E,

若BE與g共面，則平面/8Ql與平面6。。1印重合，

與題意相矛盾，

故不存在點(diǎn)E（E與A不重合），使得5E與4。共面，故B錯(cuò)誤;

對于C,連接ZC,4G，則4G?L4",

因?yàn)?4J_平面AlBiCxDl,BIDlU平面4與GA,

所以_1耳2，

又初1r∣4GAl,AAi,A1C1U平面ZCCl4,

所以BrDl，平面ZCG4，

又&Cu平面NCG4,所以4C?L4A,

同理皿IA1C,

又ZZ）IcB[D?=Z>],ZO],4Au平面月4〃，

所以平面4片2，

又/Eu平面力42,

所以4C?L4E,

即當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有故C正確;

對于D,因?yàn)?4_L平面/6C。，ZCU平面/8C0,

所以3片LAC,

又AClBD,BDcBB]=B,BD,BByU平面BDD}By,

所以Ze，平面3。。隹，

則三棱錐4—8EE的高為LNC=√2,

2

SAX2X?χ∕2=V2,

V

則/YEF=A-BEF=∣×√2×√2=∣為定值，故D正確.

故選：ACD.

12.已知平面向量α=(3,4),6=(7,1),則下列結(jié)論正確的是()

A.a+b=(10,5)B.b=10∣t∕∣

C.a//(ɑ-?D.々與B的夾角為45。

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對A：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算易知1+%=(10,5),A選項(xiàng)正確；

對B：因?yàn)镺=J32+42=5,M=J7?+12=5√∑,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

LL

對C：因?yàn)棣?b=(-4,3),可得3x3-4x(-4)≠0,則Z與不共線，所以C選項(xiàng)錯(cuò)

誤;

?1'-

I*ra?b

1125,則cos卜,9=25√2

對D：因?yàn)镼?6=3X7+4X1=Kr彳,所以Z與否的

夾角為45。，D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.一組數(shù)據(jù)共40個(gè)，分為6組，第1組到第4組的頻數(shù)分別為10、5、7、6,第5組的頻

率為0.1,則第6組的頻數(shù)為.

【正確答案】8

【分析】根據(jù)第5組的頻率為0.1可求第5組的頻數(shù)，從而可求第6組的頻數(shù).

【詳解】因?yàn)榈?組的頻率為0.1,故第5組的頻數(shù)為0.1x40=4,

故第6組的頻數(shù)為40—10—5—7—6—4=30—22=8,

故答案為：8.

14.已知向量￡,及工滿足2l+B+"=6，M=LW=H=v∑,則

Q?1+B?C+C?Q=?

【正確答案】-2

【分析】利用=(2a+B+c)=0,(2α+B+cyC=O得到2>B+B?"=-2,

2a?c+b?c=-2'兩式相加即可得到答案.

【詳解】B,(2。+B+c)=B+2a?b+h?c=Q,故2α?b+b?c=—2①，

(2a+B+c)?c=2α?c+B?c+c=0,故2α?c+E.c=-2②，

則①+②得：2a?b+2b?c+2a?c=-4>所以α?B+B?c,+c?α=-2

故-2

15.在A∕8C中，角/,8,C的對邊分別為α,b,c若α+J%=2c?,則CoSC的最小值

為—,

【正確答案】Yl二也

4

【分析】由已知及余弦定理得CoSC=至上型-立，由此利用基本不等式能求出CoSC

Sab4

的最小值.

【詳解】解：?.?在A46C中，角4,B,C的對邊分別為α,b,c,a+y∣2b=2c>

./+/24a2+4b2-(a+V2b)'

",cosC=--------------=-------------------------—

2abSah

J>a2+lb2√2

Sah4^

3a2b√Σ、c∣3a2b√2√6-√2

8bSa4N8bSa44

當(dāng)且僅當(dāng)應(yīng)=絲時(shí)，即3/=2/時(shí)取等號,

ShSa

.??CoSC的最小值為＞一痣.

4

故娓一枝.

4

16.底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)

接正四棱錐S-48CD,該四棱錐的體積為逑，則該四棱錐的外接球的體積為.

【正確答案】①2乃

3

【分析】由題意可得正方形ZBCO的中心即為球心，設(shè)球半徑為廠，結(jié)合題中條件求出半

徑即可得出結(jié)果.

【詳解】由題可知正方形NBCz）的中心即為球心,

設(shè)球半徑為，?，則SMs=2戶,

_le」2尸一述

VS-ABCD一3°ABCD

解得r=√2>

8√2

該四棱錐的外接球的體積為P-------π

3

故答案為.號WZ萬

3

四、解答題：本題共6小題，第17題10分，第18-22題每題12分，共70分.

解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知zU8C的面積為立荏.衣，且∕C=2,∕8=3.

2

?.?七SinN

（1）求----；

sinB

（2）若點(diǎn)。為48邊上一點(diǎn)，且Meo與Δ∕48C的面積之比為1:3.

①求證：AB工CD；

②求A4CD內(nèi)切圓的半徑r.

【正確答案】（1）也；（2）①證明見解析；②二1.

22

【詳解】試題分析：（1）由面積公式確定，再由余弦定理確定，然后結(jié)合正弦定理即可得

到；

（2）①由勾股定理易得二者垂直；②利用面積公式建立半徑方程，解之即可.

試題解析：（1）;A46C的面積為LbCSin∕='^bCCOS/，；?tan?I=J，

22

,兀

.*.A=—

3

由余弦定理得/=62+02-2極4052=4+9-6=7，，。=77，

.?.由余弦定理得當(dāng)且=q=也

sin5h2

（2）①:根⑺與根^^的面積之比為/。：4^=1^，，/。=1,

由余弦定理得Cz）=Ji，

ΛAD2+CD2=AC2-AAD1CD即AD1CD

AD+CD-AC√3-l

②（法一）在用A4DC中,f^—------------------=--------

22

（法二）設(shè)MCD的周長為C,由LCv=LXlx√J得r=避二1

222

考點(diǎn)：解三角形.

18.已知復(fù)數(shù)z∣=l+αi（其中α∈R且α<0,i為應(yīng)數(shù)單位），且z；為純虛數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若Z2=含+2,求復(fù)數(shù)Z2的模L∣.

【正確答案】（1）a=-?

（2）√5

【分析】（1）先求得z：=l-∕+24i,再根據(jù)z：是純虛數(shù)建立方程即可求出;

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則求出Z2，即可求出"I

【小問1詳解】

由已知得：z：=1-/+20,且z：是純虛數(shù)

?-a2=0

,Va<0,Λa=-?

2a≠0

【小問2詳解】

言+2=g+2=(/XL)+2=2T

由(1)得：z1=1-i,z2

Λ∣z2∣=∣2-i∣=V5.

19.已知向量。=(—3,4),6=(2,2).

（1）求五與B夾角的余弦值；

（2）/1為何值時(shí)，1+與）垂直.

【正確答案】（1）巫

10

【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及夾角公式計(jì)算可得：

⑵首先求出萬+"的坐標(biāo)，依題意伍+問方=0,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程,

解得即可；

【小問1詳解】

解：由題意可得同=J（—3>+42=5,∣S∣=√22+22=2√2,

α??=-3×2+4×2=2,設(shè)3與B夾角為。，

a-b2√2_√?

'??c°sa°=麗=E=而‘即萬與6夾角的余弦值為奇.

【小問2詳解】

解:因?yàn)?=(-3,4),?=(2,2),所以9+福=(-3,4)+/(2,2)=(-3+22,4+22),

行+;IB與N垂直，

所以,+4”=(一3)(-3+24)+4(4+2彳)=0,解得a=_胃.

Q

20.在①3cos28-cosC=l；②tan'=tan8；③sin3+√‰inC=2這三個(gè)條件中任

選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.

久

??C

AB

71

問題：如圖，直角AZ8C中，A=-,BC=4,且點(diǎn)。在6C的延長線上，

2

CD=I,求長.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【正確答案】條件選擇見解析；AD=布.

【分析】若選①，根據(jù)二倍角公式求得，從而求出JT

sin8=1B=再用余弦定理求ZO

26

即可；

?Jl

若選②，運(yùn)用切化弦、二倍角公式得CoSC=―,從而求出C=—,再用余弦定理求ZO即

23

可；

TT

若選③，運(yùn)用輔助角公式得C=—,再用余弦定理求ZD即可；

3

JT

【詳解】選①?；直角"8C中，A=-

2

3cos25-cosC=3(1-2sin2B)-Sin8=1

即6sin28+sin8-2=0,得sin5=1

2

ττπ

?.?O<5<-,：.B=-

26

27

VBC=A,.?.∕C=2且乙48=—

3

VCD=?,.?.AD=y∣AC2+CD2-2AC-CDcosZACD=√7

TT

選②???直角A∕8C中，A=-

2

.C?,2C

Csin—2sin

:.tan—=__L=____2_

C—C.CC

2cos—Zsin--COS-

222

1-cosCCsinBcosC.,〃1

=----------=tanB=-----=------,得ccosC=-

sinCCoSBsinC2

??0<C<-,:.C=-

23

?.?BC=A,.,./。=2且乙4。。="

3

VCD=\,...AD=y∣AC2+CD2-2AC-CDcosZACD=

TT

選③???直角a∕8C中，A=-

2

/.sinB+V3sinC=V3SinC+cosC=2

且inC+，COSC=Sin(C+3=1

22<6)

?.?8C=4,.?.∕C=2且NZCD=—

3

VCD=I,λAD=NAC2+CD?-2AC?CDcosNACD=√7-

21.已知四棱錐P—/8C。的底面是菱形，N8C0=6O°,POLZ0,點(diǎn)E是BC邊的中

點(diǎn).

①點(diǎn)P到平面ZBC。的距離；

②求直線PB與平面ABCD所成角的大小.

TT

【正確答案】（I）證明見解析；（H）①4,②

【分析】（I）連接8。，點(diǎn)E是8C邊的中點(diǎn)，得出。EJ_BC,OEI再由￡）P_L/￡）,

得出結(jié)果；

（II）DElAD,PDlAD,NPr應(yīng)為二面角尸一ZO-C的平面角，NPDE=60°,

過尸在平面尸ZJE內(nèi)做尸KJ.。E于K，易證尸K_L面N88,為點(diǎn)到面的距離，NPBK即

為線面角.

【詳解】(I)連接8。，底面18C。是菱形，NBDC=60。,

.'△BCD是正三角形.

：點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，.".DElBC,

"."AD∕∕BC,LDEUD.'：DPVAD,DPCAD=D,

平面PDEi

(11)?"：D