中考數學復習重難點專項突破訓練專題10 用三角函數解決實際問題（重點突圍）(教師版)

專題10用三角函數解決實際問題【中考考向導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一仰角俯角求距離問題】 1【考向二情景模擬抽象出三角形求解】 9【直擊中考】【考向一仰角俯角求距離問題】例題：（2022·江蘇淮安·淮陰中學新城校區(qū)校聯(lián)考二模）我市里運河風光帶的國師塔，高大挺拔，古樸雄渾，別具一格．小明想知道國師塔的高度，在附近一高層小區(qū)頂樓A處，測得國師塔塔頂D處的俯角，塔底C處俯角，小明所在位置高度m．(1)求兩棟建筑物之間的水平距離；(2)求國師塔高度．（結果精確到1m）（參考數據：）【答案】(1)190m(2)63m【分析】（1）延長交于點，根據題意得：，從而在中，利用，求得兩建筑物底部之間水平距離；（2）在中利用，求得，然后即可求得的長．【詳解】（1）解：延長交于點，根據題意得：，在中，，，，m，答：兩建筑物底部之間水平距離的長度為m；（2）解：在中，，，m，（m）．答：國師塔高度為m．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，正確標注仰角和俯角、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022春·九年級課時練習）如圖，保定市某中學在實施"五項管理"中，將學校的"五項管理"做成宣傳牌（），放置在教學樓的頂部（如圖所示），該中學數學活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為，沿該中學圍墻邊坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為．已知山坡的坡度為，m，m．(1)求點B距水平面的高度；(2)求宣傳牌的高度．（結果保留根號）【答案】(1)2米(2)米【分析】(1)根據得到，設，利用勾股定理計算即可．(2)過點B作，垂足為F，判定四邊形是矩形，解直角三角形計算計算即可．【詳解】（1）∵，∴，設，∵m，∴，解得（舍去），∴（m）．（2）如圖，過點B作，垂足為F，則四邊形是矩形，∴，∵，∴；∵，，，∴∴，∴，∴．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握解直角三角形的基本要領是解題的關鍵．2．（2022·四川成都·成都市樹德實驗中學校考模擬預測）王珊同學用航拍無人機幫小區(qū)物管測二號樓高，如圖為實踐時繪制的截面圖，無人機從地面的中點垂直起飛到達點處，測得一號樓頂部的俯角為，測得二號樓頂部的俯角為，此時航拍無人機的高度為米，已知一號樓的高為米，求二號樓的高結果精確到米參考數據，，，，【答案】二號樓的高約為米【分析】過點，分別作，，垂足分別為，，由題意可得米，在中，求出，從而求出，然后在中，求出，從而求出，即可解答．【詳解】解：過點、分別作、，垂足分別為、，由題意得，米，，，，米，米，在中，，（米），米，在中，，（米），米，答：二號樓的高約為米．【點睛】此題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，正確作出輔助線構造直角三角形是解此題的關鍵．3．（2022·江蘇泰州·模擬預測）如圖，小明在大樓高（即，且）的窗口處進行觀測，測得山坡上處的俯角為，山腳處的俯角為，已知該山坡的坡度（即）為（點，，，，在同一個平面上，點，，在同一條直線上）．(1)的度數等于________度（直接填空）(2)求，兩點間的距離（結果精確到，參考數據：，）【答案】(1)(2)A、B兩點間的距離約為52.0米【分析】（1）根據坡度求得，結合題意，得出，進而得出（2）根據，得出，解即可求解．【詳解】（1）如解圖所示；過點A作于點F，∵山坡的坡度i（即）為，∴，∴，∵在窗口P處進行觀測，測得山坡上A處的俯角為，山腳B處的俯角為，∴，∴，∴，故答案為：90；（2）∵∴，∵米，，解得：，故（米），答：A、B兩點間的距離約為52.0米．【點睛】本題考查了解直角三角形的性質應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．4．（2022·浙江舟山·統(tǒng)考二模）我市的白沙島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去白沙島釣魚，將魚竿擺成如圖1所示．已知，魚竿尾端A離岸邊，即．海面與地面平行且相距，即．（參考數據：，，，，，）(1)如圖1，在無魚上鉤時，魚竿與地面的夾角，海面上方的魚線與海面成一定角度．求點B到海面的距離；(2)如圖2，在有魚上鉤時，魚竿與地面的夾角，此時魚線被拉直，魚線，點O恰好位于海面．求點O到岸邊的距離．【答案】(1)點B到海面的距離為3米(2)【分析】（1）過點B作，垂足為F，延長交于E，垂足為E，首先根據求出的長度，然后加上的長度即可求出點B到海面的距離；（2）過點B作，垂足為N，延長交于點M，垂足為M，由求出，即得，由求出，從而求出的長，利用勾股定理求出，利用即可求解．【詳解】（1）解：過點B作，垂足為F，延長交于E，則，∵，∴，∴，即，∴，答：點B到海面HC的距離為3米（2）解：過點B作，垂足為N，延長交于點M，由，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，即點O到岸邊的距離為．【點睛】本題以釣魚為背景，考查了學生運用三角函數知識解決實際問題的能力，解決關鍵在于構造合適的直角三角形，運用三角函數的運算，根據一邊和一角的已知量，求其他邊；再根據特殊的幾何位置關系求線段長度．5．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）交通安全心系千萬家．高速公路管理局在某隧道內安裝了測速儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖．測速儀和測速儀到路面之間的距離，測速儀和之間的距離，一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測速儀處測得小汽車在隧道入口點的俯角為25°，在測速儀處測得小汽車在點的俯角為60°，小汽車在隧道中從點行駛到點所用的時間為38s（圖中所有點都在同一平面內）．(1)求，兩點之間的距離（結果精確到1m）；(2)若該隧道限速22m/s，判斷小汽車從點行駛到點是否超速？通過計算說明理由．（參考數據：，，，，，）【答案】(1)760米(2)未超速，理由見解析【分析】（1）分別解，求得，根據即可求解；（2）根據路程除以速度，進而比較即可求解．【詳解】（1）四邊形是平行四邊形四邊形是矩形，在中，在中，答：，兩點之間的距離為760米；（2），小汽車從點行駛到點未超速．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．【考向二情景模擬抽象出三角形求解】例題：（2022·遼寧盤錦·校考一模）如圖1，圖2分別是網上某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據商品介紹，獲得了如下信息：滑桿DE、箱長BC、拉桿AB的長度都相等，即DE＝BC＝AB，點B、F在線段AC上，點C在DE上，支桿DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．請根據以上信息，解決下列問題；參考數據：≈1．41，≈1．73，≈2．45．(1)求AC的長度（結果保留根號）；(2)求拉桿端點A到水平滑桿ED的距離（結果保留到1cm）．【答案】(1)(2)【分析】（1）過作于，解直角三角形即可得到結論；（2）過作交的延長線于，根據等腰直角三角形的性質即可得出結論．【詳解】（1）解：過作于∴∵，∴，∵∴∴∵∴∵∴（2）解：過作交的延長線于∴，∴∵，∴答：拉桿箱點到水平滑桿的距離為【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，主要是三角形函數的基本概念和運算，關鍵是用數學知識解決和實際問題．【變式訓練】1．（2022秋·浙江舟山·九年級校聯(lián)考階段練習）桔槔俗稱“吊桿”“稱桿”（如圖1），是我國古代農用工具，始見于墨子備城門，是一種利用杠桿原理的取水機械．如圖所示的是桔槔示意圖，是垂直于水平地面的支撐桿，米，是杠桿，且米，．當點A位于最高點時，．(1)求點A位于最高點時到地面的距離；(2)當點A從最高點逆時針旋轉54.5°到達最低點A1時，求此時水桶B上升的高度．（考數據：）【答案】(1)點A位于最高點時到地面的距離為米；(2)水桶上升的高度為米．【分析】（1）作出如圖的輔助線，在中，利用正弦函數求解即可；（2）作出如圖的輔助線，在中和在中，分別利用三角函數求出和的長即可．【詳解】（1）解：過O作，過A作于G，∵米，，∴米，米，∵，，∴，在中，（米），點A位于最高點時到地面的距離為（米），答：點A位于最高點時到地面的距離為米；（2）解：過O作，過B作于C，過作于D，∵，∴，，∵（米），在中，（米），在中，（米），∴（米），∴此時水桶B上升的高度為1.6米．．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，讀懂題意，構造直角三角形是解題的關鍵．2．（2022·江西贛州·統(tǒng)考二模）“為夢想戰(zhàn)，決戰(zhàn)中考”，如圖①是尋烏縣第三中學的中考倒計時牌，圖②為它的側面圖，圖③為它的側面簡意圖，已知，．(1)如圖③，A處離地面多高？(2)如圖④，芳芳站在倒計時牌前的點H處觀察倒計時牌（點D、C、H在同一水平線上），測得芳芳的身高為，當芳芳的視線恰好落在點B處時（忽略眼睛到頭頂的距離）視線俯角為，求此時的距離．（結果精確到．參考數據：，，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，先證明，在中，再根據即可求解；（2）過點B作于點E，過點B作于點F，則可得四邊形是矩形，即有，，根據，，可得，即有，在中，，根據即可求解．（1）解：連接，圖，∵，，，∴，，，∴，∴在中，，即A處離地面；（2）解：過點B作于點E，過點B作于點F，圖②，根據題意有：，則可得四邊形是矩形，即有，，∵，，∴，∴，，∴，∴，在中，，∴．答：的長度約為．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，明確題意，找準對應關系，靈活運用三角函數是解答本題的關鍵．3．（2022·九年級單元測試）風能作為一種清潔能源越來越受到世界各國的重視，我市結合自身地理優(yōu)勢架設風力發(fā)電機利用風能發(fā)電．王芳和李華假期去明月峰游玩，看見風電場的各個山頭上布滿了大大小小的風力發(fā)電機，好奇的想知道風力發(fā)電機塔架的高度．如圖，王芳站在點測得點與塔底點的距離為，李華站在斜坡的坡頂處，已知斜坡的坡度，坡面長，李華在坡頂處測得輪轂點的仰角，請根據測量結果幫他們計算：(1)斜坡頂點B到CD所在直線的距離；(2)風力發(fā)電機塔架的高度．結果精確到，參考數據，，，，【答案】(1)；(2)．【分析】（1）在中，，可得，根據解直角三角形進行求解即可；（2）根據求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點分別作的垂線，垂足分別為，，則為坡頂B到所在直線的距離，則，，在中，，∴，∵，∴；（2）由題意得，四邊形是矩形，由勾股定理得：，∵，∴，∴，在中，，，∴，答：塔架高度約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用以及勾股定理，根據題意構造直角三角形是解本題的關鍵．4．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考模擬預測）有一只拉桿式旅行箱（圖1），其側面示意圖如圖2所示，已知箱體長AB＝50cm，拉桿BC的伸長距離最大時可達35cm，點A、B、C在同一條直線上，在箱體底端裝有圓形的滾筒⊙A，⊙A與水平地面切于點D，在拉桿伸長至最大的情況下，當點B距離水平地面38cm時，點C到水平地面的距離CE為59cm．設AFMN．(1)求⊙A的半徑長；(2)當人的手自然下垂拉旅行箱時，人感覺較為舒服，某人將手自然下垂在C端拉旅行箱時，CE為80cm，．求此時拉桿BC的伸長距離．【答案】(1)⊙A的半徑長為8cm(2)此時拉桿BC的伸長距離為30cm【分析】（1）如圖所示，過點B作BH⊥MN于H交AF于K，設⊙A的半徑長為xcm，證明△ABK∽△ACG，得到，即，由此求解即可；（2）先解直角三角形ACG求出AC的長即可求出BC的長．（1）解：如圖所示，過點B作BH⊥MN于H交AF于K，設⊙A的半徑長為xcm，∵，AD⊥MN，∴，四邊形ADHK和四邊形ADEG都是矩形，∴AD=HK=GE=xcm，∵BH=38cm，CE=59cm，∴BK=（38-x）cm，CG=（59-x）cm，∵，∴△ABK∽△ACG，∴，即，解得，∴⊙A的半徑長為8cm；（2）解：在Rt△ACG中，CG=CE-GE=72cm，∵，∴，∴BC=AC-AB=30cm，

∴此時拉桿BC的伸長距離為30cm．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，矩形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，切線的性質等等，正確作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．5．（2022·湖南永州·?？寄M預測）某市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖①是某品牌共享單車放在水平地面上的實物圖，圖②是其示意圖，其中AB、CD都與地面l平行，車輪半徑為32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐墊E與點B的距離BE為15cm．(1)求坐墊E到地面的距離；(2)根據經驗，當坐墊E到CD的距離調整為人體腿長的0.8時，坐騎比較舒適．小明的腿長約為80cm，現(xiàn)將坐墊E調整至坐騎舒適高度位置，求E的長．（結果精確到0.1cm，參考數據：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【答案】(1)99.5cm(2)3.9cm【分析】（1）通過作垂線，構造直角三角形，利用銳角三角函數求解即可；（2）根據坐墊E到CD的距離調整為人體腿長的0.8時，由小明的腿長約為80cm,求出BE′，進而求出即可．（1）如圖1，過點E作EM⊥CD于點M，由題意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），則單車車座E到地面的高度為67.5+32≈99.5（cm）；（2）如圖2所示，過點E′作⊥CD于點H，由題意知＝80×0.8＝64，則E′C＝＝≈71.1（cm），∴＝CE﹣＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解題意構建直角三角形并熟練掌握三角函數的定義．6．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）“五一”節(jié)期間，許多露營愛好者在我市郊區(qū)露營，為遮陽和防雨會搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹干上的點處，使得，，在一條直線上，通過調節(jié)點的高度可控制“天幕”的開合，m，m．(1)天晴時打開“天幕”，若，求遮陽寬度（結果精確到0.1m）；(2)下雨時收攏“天幕”，從65°減少到45°，求點下降的高度（結果精確到0.1m）．（參考數據：，，，）【答案】(1)遮陽寬度約為(2)點下降的高度約為【分析】（1）在中，利用正弦可得的長，由此即可得；（2）設點下降到點，過點作于點，過點作于點，先根據矩形的判定與性質可得，從而可得，再分別解直角三角形可得的長，然后根據線段和差即可得．【詳解】（1）解：由題意得：是軸對稱圖形，，，，，，答：遮陽寬度約為．（2）解：如圖，設點下降到點，過點作于點，過點作于點，則四邊形和四邊形都是矩形，，，即，當時，，當時，，則，答：點下降的高度約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用、軸對稱圖形、矩形的判定與性質，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關鍵．7．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人示意圖，是垂直于工作臺的移動基座，、為機械臂，m，m，m，．機械臂端點到工作臺的距離m．(1)求、兩點之間的距離；(2)求長．（結果精確到0.1m，參考數據：，，，）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）連接，過點作，交的延長線于，根據銳角三角函數定義和勾股定理即可解決問題．（2）過點作，垂足為，根據銳角三角函數定義和勾股定理即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖2，連接，過點作，交的延長線于．在中，，，所以，，所以，在中，m，m，根據勾股定理得m，答：、兩點之間的距離約6.7m．（2）如圖2，過點作，垂足為，則四邊形為矩形，m，，所以