八章幾何七節(jié)拋物線

第七節(jié)拋物線?1.了解拋物線的實(shí)際背景，感受拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的應(yīng)用.2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).3.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.CONTENTS010203/目錄

知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)考點(diǎn)·分類突破課時(shí)·過關(guān)檢測(cè)01?1.拋物線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：（1）在平面內(nèi)；（2）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離

相等

?；（3）定點(diǎn)

不在

?定直線上.提醒

定義中易忽視“定點(diǎn)不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)且與定直線垂直的直線.相等

不在

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程的右端為±2px，左端為y2；焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程的右端為±2py，左端為x2.p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離.標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）圖形????頂點(diǎn)O（0，0）對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)離心率e＝1準(zhǔn)線方程

續(xù)表標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑（其中P（x0，y0））?1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.

（

）答案：（1）×

（2）方程y＝4x2表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）.

（

）（3）拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.（

）（4）若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線相切.

（

）答案：（2）×

答案：（3）×

答案：（4）×2.拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為

（

）D.y＝－1

3.已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是

?.

4.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)P（－2，3）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

?.

?

與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾個(gè)常用結(jié)論

設(shè)AB是過拋物線y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），α為弦AB的傾斜角，則：

（5）以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；（6）以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；（7）過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于2p（通徑）.?1.如圖，過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若F是AC的中點(diǎn)，且｜AF｜＝4，則線段AB的長(zhǎng)為

（

）A.5B.6

2.直線l過拋物線C：y2＝12x的焦點(diǎn)，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的長(zhǎng)為16，則直線l的傾斜角等于

?.

02?拋物線的方程與幾何性質(zhì)【例1】

（1）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px（p＞0）交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

（

）A.（1，0）B.（2，0）

答案

（1）D

（2）（2021·新高考Ⅰ卷）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，則C的準(zhǔn)線方程為

?.

｜解題技法｜1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（1）定義法：若題目已給出拋物線的方程（含有未知數(shù)p），那么只需求出p即可；（2）待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax（a≠0），a的正負(fù)由題設(shè)來定；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝ay（a≠0），這樣就減少了不必要的討論.2.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧（1）利用拋物線方程確定其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.?

答案：y2＝4x2.若點(diǎn)P為拋物線y＝2x2上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則｜PF｜的最小值為

?.

拋物線的定義及應(yīng)用考向1

求軌跡方程【例2】

已知?jiǎng)訄AP與定圓C：（x－2）2＋y2＝1相外切，又與定直線l：x＝－1相切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程是

（

）A.y2＝4xB.y2＝－4xC.y2＝8xD.y2＝－8x

答案

C｜解題技法｜求軌跡問題的兩種方法（1）直接法：按照動(dòng)點(diǎn)適合條件直接代入求方程；（2）定義法：用拋物線的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線.考向2

最值問題【例3】

（1）若在拋物線y2＝－4x上存在一點(diǎn)P，使其到焦點(diǎn)F的距離與到A（－2，1）的距離之和最小，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為

?；

（2）設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A（－1，1）的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為

?；

（3）已知拋物線x2＝4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為

?.

｜解題技法｜與拋物線有關(guān)的最值問題的求解策略（1）將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決；（2）將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”解決.?1.若拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線為l，P是拋物線上任意一點(diǎn)，則P到準(zhǔn)線l的距離與P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值是

（

）A.2D.3

2.已知拋物線y2＝4x，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則｜AC｜＋｜BD｜的最小值為

?.

解析：由題意知F（1，0），｜AC｜＋｜BD｜＝｜AF｜＋｜FB｜－2＝｜AB｜－2，即｜AC｜＋｜BD｜取得最小值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)｜AB｜取得最小值.依拋物線定義知，當(dāng)｜AB｜為通徑，即｜AB｜＝2p＝4時(shí)為最小值，所以｜AC｜＋｜BD｜的最小值為2.答案：23.動(dòng)圓過點(diǎn)（1，0），且與直線x＝－1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為

?.

解析：設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為（x，y），則圓心到點(diǎn)（1，0）的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y2＝4x.答案：y2＝4x直線與拋物線的位置關(guān)系

（1）若｜AF｜＋｜BF｜＝4，求l的方程；

｜解題技法｜求解直線與拋物線綜合問題的方法（1）研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用；（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式｜AB｜＝x1＋x2＋p（焦點(diǎn)在x軸正半軸），若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長(zhǎng)公式.?

答案：x＋2y－3＝02.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線Γ：x2＝8y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F'（0，－2）的直線l與拋物線Γ交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)（其中0＜x1＜x2），連接BF并延長(zhǎng)交拋物線Γ于點(diǎn)C，記直線l的斜率為k，直線CF'的斜率為k'，則k＋k'＝

?.

答案：003?1.已知拋物線y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)P（－1，－2），則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

（

）A.（1，0）B.（2，0）C.（0，1）D.（0，2）

2.已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn).若｜AB｜＝9，則拋物線C的方程為

（

）A.x2＝3yB.x2＝12y

3.已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，M，N是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn).若｜MF｜＋｜NF｜＝5，則線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為

（

）A.3C.5

4.已知點(diǎn)P是拋物線C：y2＝4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，Q（－3，3），則｜PQ｜＋d的最小值為

（

）A.5D.4解析：D

∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，焦點(diǎn)F（1，0）.P到直線x＝－1的距離等于｜PF｜，∴P到y(tǒng)軸的距離d＝｜PF｜－1，∴d＋｜PQ｜＝｜PF｜＋｜PQ｜－1.∴當(dāng)F，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，｜PF｜＋｜PQ｜取得最小值｜QF｜.∵Q（－3，3），F(xiàn)（1，0），∴｜QF｜＝5，∴d＋｜PQ｜的最小值為5－1＝4.故選D.5.（多選）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝x－1與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，則

（

）A.｜AB｜＝8B.OA⊥OBD.線段AB的中點(diǎn)到直線x＝0的距離為2

6.（多選）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，直線l過點(diǎn)F且與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若M（m，2）是線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

（

）A.p＝4B.拋物線方程為y2＝16xC.直線l的方程為y＝2x－4D.｜AB｜＝10

7.已知直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為

?.

解析：直線y＝kx＋2中，當(dāng)k＝0時(shí)，y＝2，此時(shí)直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，把y＝kx＋2代入拋物線y2＝8x，得（kx＋2）2＝8x，整理得k2x2＋（4k－8）x＋4＝0，∵直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，∴Δ＝（4k－8）2－16k2＝0，解得k＝1.故k的值為0或1.答案：0或18.動(dòng)圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動(dòng)圓恒與直線x＋2＝0相切，則動(dòng)圓必過點(diǎn)

?.

解析：拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線方程為x＋2＝0.因?yàn)閯?dòng)圓與直線x＋2＝0相切，所以圓心到直線x＋2＝0的距離等于半徑，所以圓心到焦點(diǎn)的距離等于半徑，所以動(dòng)圓必過焦點(diǎn)（2，0）.答案：（2，0）

10.已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn).（1）若直線l的傾斜角為60°，求｜AB｜的值；

（2）若｜AB｜＝9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.

?11.已知拋物線M的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上.經(jīng)過拋物線M的焦點(diǎn)作直線與拋物線M相交于A，B兩點(diǎn).若｜AB｜＝12，線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－5，則拋物