2023-2024學(xué)年上海市嘉定區(qū)高二年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市嘉定區(qū)高二下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.已知等比數(shù)列｛%｝的首項4=1,%=',則公比4=

【正確答案】?

4

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得/=幺，然后運算即可得解.

?1

【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得"=旦=],

解得：q=:，

4

故答案為.了

4

本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.

2.拋物線V=?的焦點坐標(biāo)是.

【正確答案】(1,0)

【詳解】拋物線V=4x的焦點在X軸上，且p=2,.?(=l,所以拋物線丁=4x的焦點坐標(biāo)

為(1,0),故答案為(1,0).

3.正方體ABC42CA中，異面直線A片與8。所成角大小為

【正確答案】∣∕60o

【分析】連接A2、BR,,證明BQMBD,可得NAgQ即為異面直線AB∣與Bo所成角，

在.ABlDt求NABR即可求解.

【詳解】如圖，連接A。、B1D1,

因為∣BB∣∕∕DD∣,BBl=DR,

所以四邊形BBQO是平行四邊形，

所以BR//BD,

所以NABQi即為異面直線A4與Bo所成角,

設(shè)正方體A8CZ)-A8CA的棱長為。，

在「ABQ中，AD∣=AB,=BQ∣=Jia,

所以。是等邊三角形，

所以NA4。=三TT，即異面直線A4與BQ所成角為TT

4.邊長為2的正方形ABC。繞BC旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱，則該圓柱的表面積為.

【正確答案】16π

【分析】圓柱的底面半徑r=2,母線長/=2,代入公式求值即可.

【詳解】該圓柱的底面半徑r=2,母線長/=2,

所以該圓柱體的表面積為S=2π產(chǎn)+2ɑ∕=2π?22+2π22=16π?

故答案為.16兀

5.己知曲線/(力=2/—3x,過點(0,0)作曲線的切線，則切線方程.

【正確答案】y=-3x

【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為(Xo，2石-3%),求出切線方程，代入點(0,0)求出天,從而可得切線

方程.

【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為&,2片-3x0),

由f(x)=2d-3x,得f(%)=6片-3,

所以曲線/(x)在點(%,2￡-3x°)處的切線方程為y-僅石-3x°)=(6片-3)(x-與).

因為切線過點(0,0),所以-2*+3x°=(6*-3)(-X0),解得Xo=0.

所以切線方程為y=-3x.

故答案為:y=-3χ.

6.“_ABC三個內(nèi)角的度數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列”是“ABC中有一個內(nèi)角為60”的條件.

【正確答案】充要

【分析】利用等差中項的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可

得出結(jié)論.

【詳解】若ABC三個內(nèi)角的度數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)A、3、C成等差數(shù)列，

貝∣JA+8+C=38=180,可得B=60,

即“^ABC三個內(nèi)角的度數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列“n"一ASC中有一個內(nèi)角為60”；

若“ABC中有一個內(nèi)角為60,不妨設(shè)8=60,則A+C=120=28,

所以，A、8、C成等差數(shù)列，

即“Be三個內(nèi)角的度數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列"U“一ABC中有一個內(nèi)角為60

因此，“.ABC三個內(nèi)角的度數(shù)構(gòu)成等差數(shù)歹U''是".ABC中有一個內(nèi)角為60”的充要條件.

故充要.

7.無窮等比數(shù)列｛4｝的通項公式為=(sinx)",前"項的和為S,,,若陽5“=1,則滿足條件

的X的取值集合為.

【正確答案】｛x?x=2kπ+-^x=2kπ+-,keZ｝

66

【分析】利用等比數(shù)列的定義和前”項和公式求解即可.

【詳解】因為｛4｝是等比數(shù)列，所以4=%L=SinX,

又因為:吧S,,=l,所以@<1,

∩cinYI

所以由等比數(shù)列前"項和公式可得IimS.=ι1-=?-=1,所以SinX=

?-q1r-sinx2

ττ5τr

所以滿足條件的X的取值集合為｛x∣x=2E+?或x=2fac+?,keZ｝.

66

故｛x∣x=2fat+-∏Jζx=2?π+-,?∈Z)

66

8.已知P為雙曲線χ2-y2=1右支上的一個動點，若點尸到直線y=x+2的距離大于加恒成

立，則實數(shù)加的取值范圍是.

【正確答案】

把所求問題轉(zhuǎn)化為求點尸到直線y=χ+2的最小距離，結(jié)合平行線間的距離公式可求.

【詳解】雙曲線f-y2=ι的漸近線方程為y=±χ,而直線y=χ+2與y=χ平行,

平行線間的距離"==√2.

√2

由題意可知點P到直線y=χ+2的距離大于應(yīng)：

所以，〃≤夜.

故答案為.(-∞,0]

本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線上的點到直線的距離轉(zhuǎn)化為平行直線間的距

離，是這類問題的主要求解方向，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

9.在空間直角坐標(biāo)系。-Λ>N中，己知A(l,-2,0),B(2,1,0),C(l,l,3),則三棱錐O-ABC的

體積為.

【正確答案】I

【分析[求出平面A8C的一個法向量”=(3,τ,l),從而可求點。到平面ABC的距離，求出

ABC即可得棱錐的體積.

【詳解】Y=(1,3,0),8C=(T,0,3),設(shè)平面ABC的法向量為〃=(x,y,z),

n?AB=x+3y=0A/.

則,令x=3,可得y=-l,z=l,所以〃=(3,-1,1).

n?BC=-x+3z=0

n-OA)l55√H

所以點O到平面ABC的距離為力=

W-√9+l+l.11

、2

ABBC_(l×(-l)+3×O+O×3

又cos?(48,BC)

AB∣?∣BC∣√io×√io

所以

∣∣AB∣?∣BC∣?sin(AB,BC)=BX屈X屈.JI-COSAB,BC

U3√ΓT3√H

=5×=5X----------------------，

102

15√H3√H5

所以=—X----------X--------

31122

故答案為：g.

二的左右焦點，為「的上頂點，直線/經(jīng)過點

10.已知K，尸2為橢圓「:+V=i(α>i)AK

a~

且與「交于SC兩點；若/垂直平分線段A鳥，則AABC的周長是

【正確答案】^∕?.

33

【分析】如圖，連接CJB/"則可得IeRl=IA。,怛圖=IABI,所以"BC的周長為

|C&+忸用+1防∣+∣CKI=40,再求出。，即可求得結(jié)果.

【詳解】如圖，連接CK,8鳥,

因為/垂直平分線段,

所以ICEI=IAr,∣BR∣=IABI,

所以dBC的周長為IC周+忸圖+怛制+∣C制=44,

由題意得40,1),耳(-c,0),E(C,0),則

A∕72的中點為(Tl],心居=f=-1，

(22√*0-cc

所以直線/的斜率為c,

所以直線/的方程為y-g=c(χ-?∣),

因為直線/過K(-c,θ),

所以W=Cf-C解得C=且，

所以α=Λ∕?2+C2=Jl+；=~~~，

所以ZiABC的周長為4〃=晅，

3

故答案為,迪

3

>

X

11.已知曲線方程χbl+y∣y∣=i,若過A(M))的直線/與該曲線恰有三個不同的交點，則直

線/的傾斜角的取值范圍是.

【正確答案】（-∞,T）U（τ,-2^?）

【分析】根據(jù)曲線在不同范圍表示圓、雙曲線，結(jié)合圓和雙曲線的性質(zhì)求解.

【詳解】當(dāng)x≥O,y≥O時，方程XlXI+y∣yl=l可化為/+9=1,

其圖象為!個單位圓；

4

當(dāng)x>0,y<0時，方程x∣x∣+y∣y∣=l可化為Y->2=1，

其圖象為焦點在X上的雙曲線的右下支；

當(dāng)x<O,y>O時，方程XlXl+y∣y∣=l可化為-V+V=1,

其圖象為焦點在V上的雙曲線的左上支；

當(dāng)x<0,y<0時，方程XlXl+y∣y∣=l可化為-V-y2=],不可能成立；

設(shè)過點41。）斜率為k的直線方程為y=?（Λ-∣）,

聯(lián)立[一：），可得（*2-l）x2-2k2x+F-I=O,

ir-?=1

當(dāng)Zw±l時，由A=4∕-4伏2-1）2=0,解得A=孝（舍）或k=_曰.

由圖可知，當(dāng)Ae（-8,-l）弓）時，直線/與該曲線恰有三個不同的交點，

故答案為：（-∞,-l）U∣（-l,-立）.

2

12.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，若動點P（a,b）到兩直線/”產(chǎn)X和&y=-x+2的距離之

和為2夜，則a2+b2的最大值為

【正確答案】18

【分析】利用點到直線的距離公式可得：?a-h?+?a+h-2?=4.通過分類討論可知：點（“㈤是

如圖所示的正方形的4條邊.即可得到“2+/最大值.

【詳解】解：動點P(a,b)到兩直線4：y=x和/∕y=τ+2的距離之和為2&,

?a-b??a+b-2?=2√2,

化為|。一"十|。+人一2|=4.

a-h..0?a-b..(}Ia-公Oa-h,,0

分為以下4種情況:<a+h-2..Oa+h-2<O^<a+h-2>0^t<a+h-2<0.

a=3b=-?b=3a--?

可知點S*)是如圖所示的正方形的4條邊.

可知：當(dāng)取點A時，G+/取得最大值仔F7=M?

.?./+〃的最大值為18.

故18.

本題考查了點到直線的距離公式、含絕對值的等式、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,

屬于中檔題.

二、單選題

13.下列求導(dǎo)數(shù)運算正確的是()

A.(∕)'=2χ2B.(IgX)'=1

X

C.(χ3+5)'=3f+5D.(SinXCOSX)'=cos2x

【正確答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)四則運算法則即可逐項計算并判斷.

【詳解】(1)=3x2,(lgxy=--,X3+5)=3X2,

`7?lnlθ`)

(SinXCoSΛ)'=cos2X-Sin,x=COS2x,

故ABC求導(dǎo)錯誤，。求導(dǎo)正確.

故選：D.

14.無窮等差數(shù)列｛4｝的首項4>0,公差d<0,｛4｝的前〃項的和為S,,,則（）

A.S“單調(diào)遞減B.S“單調(diào)遞增

C.S“有最大值D.S,,有最小值

【正確答案】C

【分析】由等差數(shù)列｛%｝的公差d<0得數(shù)列為遞減數(shù)列，且先正值，后負值，從而判斷出5.

有最大值.

【詳解】無窮等差數(shù)列伍,J的首項4>0,公差d<0,

?.?｛%｝是遞減數(shù)列，且先正值，后負值；

；?｛%｝的前〃項和為S,,先增加，后減??；

二S”有最大值;

故選C.

本題考查等差數(shù)列的單調(diào)性，求解時要從4/兩個量，判斷等差數(shù)列的性質(zhì).事實上，等差

數(shù)列的前幾項都大于或等于0,從某項起開始小于0,則此類等差數(shù)列存在前幾項和達到最

大值.

22

15.已知橢圓［+2=1（〃>6>0）的左右焦點分別為我"?，橢圓存在一點尸，若

ab

N"P名=120,則橢圓的離心率取值范圍為（）

c?凈1）D?七,爭

【正確答案】C

【分析】設(shè)IPKl=4,上居I=R,根據(jù)橢圓的定義和余弦定理得4∕-4C?2={4,再根據(jù)基本

不等式和離心率公式可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)IPKI=1,Ir瑪1=4,則4+4=2”,

在△/=；PE中，COSl20="上土，

2和

所以/+4-4C2=-rlr2,

2

所以（4+弓）2-2桃-4c=-rlr2,

所以4/-4/=榜,

因為2α=z1+與≥2而'，當(dāng)且僅當(dāng)4=4=0時，取等號，

所以化≤/,

所以4/_4C2≤a2,所以3a2<4c2,

所以《2之，所以e=C≥立，又0<e<l,

a24a2

所以且≤e<l.

2

故選：C

16.如圖，正方體ABCD-AgC田，則下列四個命題：

①點P在直線BG上運動時，直線AP與直線所成角的大小不變

②點P在直線BG上運動時，直線AP與平面AC。所成角的大小不變

③點P在直線BG上運動時，二面角P-AA-C的大小不變

④點P在直線BG上運動時，三棱錐A-APC的體積不變

其中的真命題是（）

A.①③B.③④C.①②④D.①③④

【正確答案】D

【分析】①由AQ與平面ABG。的位置關(guān)系判斷直線AP與直線AQ所成角的大小變化情

況；

②考慮AB,AC1與平面ACDt所成角的大小，然后判斷直線AP與平面ACD,所成角的大小是

否不變；

③根據(jù)BC"∕4R以及二面角的定義判斷二面角P-A0-C的大小是否不變；

④根據(jù)線面平行的性質(zhì)以及三棱錐的體積計算公式判斷三棱錐A-RPC的體積是否不變.

【詳解】①如下圖,連接A28G，

因為AOLAR,AO?LRG,ARDtCl=D1,所以4。J.平面ABCQ」

所以A1OLAP,所以直線AP與直線A。所成角的大小不變;

②如下圖，連接8C∣,記8,G到平面的距離為4,A2,

?

又因為％TBC=；?母?l=j,所以/=JC=與

'326IVJJ—×—

32

所以A8與平面AeA所成角的正弦值為：.△石上,

sinθ=上一=——

x113

?

—rz

又因為匕.OIC,C="?1=1，所以4=?。?7,

—×—

32

所以Aa與平面ACA所成角的正弦值為：T?,

3忑=與

顯然α*”,所以直線”與平面ACR所成角的大小在變化;

③因為BG//AR,所以48,G，。四點共面，又P在直線4。上，所以二面角P-A。-C的

大小不變;

④因為BC"∕4R,BGa平面ACDI,ARU平面ACR,所以8C∣〃平面ACR,

所以當(dāng)P在BG上運動時，點P到平面ACR的距離不變，所以三棱錐A-RPC的體積不變.

所以真命題有：①③④.

故選：D.

本題考查空間中點、線、面的位置關(guān)系的判斷，難度一般.(1)已知直線平行平面，則該直線

上任意一點到平面的距離都相等；(2)線面角的計算方法：＜1＞作出線段的射影，計算出射影

長度，利用比值關(guān)系即可求解線面角的大小；＜2＞計算線段在平面外的一個端點到平面的距

離，該距離比上線段長度即為線面角的正弦.

三、解答題

i?n

17.蜥蜴的體溫與陽光照射的關(guān)系近似滿足函數(shù)關(guān)系式：T(r)=選+15,其中7(。為蜥蜴

的體溫(單位：P),f為太陽落山后的時間(單位：min).

(1)求7'(10),并解釋其實際意義；

(2)蜥蜴體溫的瞬時變化率為-loC/min時的時刻f是多少(精確到。01)?

Q

【正確答案】(l)T'(10)=-三，實際意義見解析；

(2)5.95min.

【分析】(1)求出τ(∕)的導(dǎo)數(shù)，代入X=IO可求7'(10),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋其實際意

義；

(2)求解r'Q)=-l即可.

7,八-120τ∕n?-1208

【詳解】⑴T⑺=宙，則T(Io)=E=F'

表示太陽落山后Iomin,蜥蜴的體溫下降的速度為-1°C∕min.

,-120

(2)令丁'(，)=〃s?2=T,解得r=2回-5≈2x5.477-5≈5.95,

故蜥蜴體溫的瞬時變化率為-l°c∕min時的時刻是5.95min.

18.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且％=10.

(1)若％,=590,求｛4｝的公差；

(2)若qeZ,且&是數(shù)列｛S,,｝中最大的項，求q所有可能的值.

【正確答案】(1)3

(2)18,19,20

【分析】(1)根據(jù)已知條件列方程，化簡求得｛%｝的公差.

(2)根據(jù)數(shù)列｛S,,｝中的最大項列不等式，從而求得《的所有可能取值.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,則

a4=q+3d=10

,解得d=3.

520=20?I+190J=590

(2)由⑴得%=4+3d=]0,d=IO3"'

由于邑是數(shù)列｛s,,｝中最大的項，d=與i?<0,4>10①,

O≥0a÷6J≥0

所以Iλ

4≤0q+7d≤0

4+6X———=20-q>0

即13

10—i7∣70—4cι.

a.+7×-------L=---------L≤0

I133

解得'3≤54≤2O,由于％是整數(shù)，所以外的可能取值是18,19,20.

19.如圖，在四棱雉P-ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，P4_L平面ABC。，M為PC

中點.

⑴求證：PA//平面M8D；

（2）若AB=40=抬=2,ZSW=120°,

①求四棱錐M-ABCD的體積；

②求二面角B-AM-。的大小.

【正確答案】（1）證明見解析；

（2）①2^；（2）π-arcsin.

37

【分析】（1）連4C交BO于點N,連MN.因為底面ABCD為平行四邊形,所以N為AC的中點.

因為M為PC中點,所以MN〃心,可利用線面平行的判定可證得；

（2）①根據(jù)V"TB8=；X2XgAB?A￡>?sinNBAD×^PA即可求解；

②取CD中點E,連AE,易證得AECR即AE.A8.又PA.平面48CZ）,故以A8√?E,AP分別

為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得二面角的余弦值，進而得到答案.

【詳解】（1）連4C交80于點N,連MN,

因為底面ABCQ為平行四邊形,所以N為AC的中點.

因為M為PC中點,所以MNHPA.

又∕?二平面MBDMNU平面MBD,

所以現(xiàn)〃平面MBD.

(2)①因為AB=AD=H4=2,/BAD=120°,M為PC中點,

所以L-32x∕8.皿?sin∕BAOXsA

ICICC61c2G

=-×2×-×2×2×—×-×2=-----.

32223

②取Co中點E,連AE.

因為AB=AD,四邊形ABCD為平行四邊形,所以四邊形ABCD為菱形,

又ZBAD=120。,所以ZADC=60。,因此一Aeo為等邊三角形，

所以AECD即AEAB.

又PA.平面ABCD,

故以AB,AE,AP分別為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(1,6,0),。(-1,G,O),M-,?,l,

所以A8=(2,0,0),AM=，AO=(-1,6,0).

設(shè)平面AMB的一個法向量為勺=(x,y,z),

…八[2x=0

nλ?AB=0

則｛,即｛1√3,取產(chǎn)2,貝IJx=0tz=-y∣3,

πAM=O-x+-y+z=O

1[22

即nl=(0,2,-√3).

設(shè)平面AMD的一個法向量為〃2=(x∣,Y,zJ,

[∏2?AD=OF+Gyl=O

則V即，]λ/?,取XI=6廁M=1,Z[=-G

%YM=0-X1÷-^-y1+z1=0

即∏2=(?/?,?,-y∣3)?

0×√3+2×l+(-√3)×(-√3)5

則CoS(晨嗎

√7×√7-7

又如丐閆。,兀］,

所以二面角B-AM-O的平面角的正弦值為j考

結(jié)合圖形易得二面角B-AM-。的平面角為鈍角,

所以求二面角5-AM—。的大小為兀-arcsin辿.

7

20.己知過點A(—1,0)的直線/與圓U∕+(),-3)2=4相交于尸、Q兩點，M是弦PQ的中點,

且直線/與直線機/+3α+6=0相交于點N.

(1)當(dāng)直線/與直線掰垂直時，求證：直線/經(jīng)過圓心C；

(2)當(dāng)弦長IPQI=26時，求直線/的方程；

(3)設(shè)，=AM?AN，試問，是否為定值，若為定值，請求出■的值；若不為定值，請說明理由.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)尸一1或4x-3y+4=0

(3"為定值，且f=-5

【分析】(1)利用垂直時配&=7求出勺，利用點斜式即可得出直線/的方程，然后驗證

圓心C在直線/上即可；

(2)討論直線/斜率是否存在，當(dāng)斜率存在時，利用點斜式設(shè)出方程，再根據(jù)CM=I即可

得解；

(3)先轉(zhuǎn)化AM?AN=AC?AN,根據(jù)直線斜率是否存在分別求出點N點坐標(biāo)，計算后即可

得解.

【詳解】ɑ)解：直線/與直線加垂直，且⑥=-g，??%=T=3.

故直線/方程為y=3(x+l),即3x-y+3=0.

圓心為C(0,3),且3x0-3+3=0,故當(dāng)直線/與直線加垂直時，直線/經(jīng)過圓心C.

(2)解：①當(dāng)直線/與X軸垂直時，則直線/的方程為尸-1,圓心C到直線/的距離為1,

且IPQI=2√F7^=2√L合乎題意；

②當(dāng)直線/與X軸不垂直時，設(shè)直線/的方程為y=A(χ+ι),即依-y+4=o,

IPQl=26,Af是PQ中點，圓C圓心為(0,3),半徑為2,

.?.∣CM∣=√4^3=1,則由ICMl=EU=1,得無=g

4

此時，直線/的方程為y=](x+l),即4x-3y+4=0.

綜上所述，直線/的方程為X=-I或4x-3y+4=0.

⑶解：CMLNA,■■AM-AN=(^AC+CM)-AN=ACAN+CMAN=AC-AN.

X=-I

X=-I,

①當(dāng)/與X軸垂直時，直線/的方程為x=-l,聯(lián)立x+3y+6=?？傻?，

即點NU,則AN=(O5

3

又AC=(1,3),.IAM?∕υV=AC?AN=-5?

②當(dāng)/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y=Mx+1),其中心-3

-3?-6

X-

3V1'即點N-3?-6-5k一5-5k?

則由可得,則AN=,

-5k1+3&'1+3A1+3?1+3ΛJ*

y=~~"

3?+l

-5-↑5k

??.AM-AN=AC-AN=-------÷-—=-5.

1+321+3攵

綜上所述，f=AM?AN與直線/的斜率無關(guān)，且f=AM?AN=-5.

?>2

21.已知橢圓儲：5+'=1,以橢圓G的右焦點為焦點的拋物線的頂點為原點，點尸是

拋物線C?的準線上任意一點，過點?作拋物線G的兩條切線叢、PB,其中A、B為切點,

設(shè)直線E4、PB的斜率分別為尢、k2.

(1)求拋物線C2的標(biāo)準方程及其準線方程；

(2)計算匕注的值;

(3)求證：直線A3過定點，并求出這個定點的坐標(biāo)；

【正確答案】(1)拋物線C?的標(biāo)準方程V=4χ,準線方程為x=-l

⑵占？&-1

(3)證明見解析，直線AB過定點(以))

【分析】(1)求出橢圓CI的右焦點坐標(biāo)，可