信號與系統(tǒng)連續(xù)時間時域分析

1連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析第二章2引言時域分析

建立和求解線性微分方程的過程建立數學模型數學模型的建立過程與應用系統(tǒng)的特性有關對電系統(tǒng)而言，《電路分析》課程中已經提供了相應的理論和方法，主要有KCL和KVL方程線性非時變系統(tǒng)的微分方程的一般形式3引言時域分析

建立和求解線性微分方程的過程求解線性微分方程經典法

求齊次方程通解和非齊次方程特解

通解：由方程左邊部分所對應的特征方程解得的特征頻率所求解得的系統(tǒng)的自然響應（或稱自由響應）

特解：由系統(tǒng)的激勵函數得到系統(tǒng)的受迫響應

通解：將初始條件帶入，確定全解中通解的待定系數線性非時變系統(tǒng)的微分方程的一般形式4引言時域分析

建立和求解線性微分方程的過程求解線性微分方程卷積法/近代時域法/算子法

零輸入響應：系統(tǒng)在無輸入激勵的情況下，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應

零狀態(tài)響應：系統(tǒng)初始狀態(tài)為零（無初始儲能）的條件下，僅由輸入激勵引起的響應線性非時變系統(tǒng)的微分方程的一般形式5引言時域分析

建立和求解線性微分方程的過程求解線性微分方程經典法與卷積法/近代時域法/算子法在簡單激勵信號形式下經典解法求解簡單，但比較復雜的激勵信號形式下難確定特解的形式卷積法要求激勵信號是有始信號，否則無法確定初始狀態(tài)零輸入響應可用經典法求解，在只有自然響應部分零狀態(tài)響應可用經典法求解，但用卷積積分法更方便卷積積分法可借助計算機數值計算，求出任意信號激勵下的響應（數值解），實用價值大6內容系統(tǒng)方程的算子表示法1系統(tǒng)零輸入響應2奇異信號與信號時域分解3系統(tǒng)零狀態(tài)響應4疊加積分與卷積5線性系統(tǒng)響應的時域求解67系統(tǒng)方程的算子表示法1算子表達符號微分算子

積分算子應用算子8系統(tǒng)方程的算子表示法算子簡化系統(tǒng)方程微分方程積分微分方程9系統(tǒng)方程的算子表示法算子n階微分方程簡化10系統(tǒng)方程的算子表示法算子n階微分方程簡化系統(tǒng)特征多項式系統(tǒng)特征方程算子方程11系統(tǒng)方程的算子表示法運算規(guī)則利用算子符號：微分方程

形式上的代數方程。有一些代數規(guī)則可適用加法交換率分配率乘法交換率分配率結合率12系統(tǒng)方程的算子表示法運算規(guī)則因式分解系統(tǒng)的特征根13系統(tǒng)方程的算子表示法運算規(guī)則不適用算子運算等號兩邊相同微分算子不能相消代數方程： 微分方程：分子分母中相同算子不能隨意相消，微分積分運算次序不能任意顛倒代數方程： 微分方程：

14系統(tǒng)方程的算子表示法轉移算子（傳遞算子）系統(tǒng)激勵與響應之間的轉移關系，反映了系統(tǒng)對信號的影響求系統(tǒng)零輸入響應解齊次方程求系統(tǒng)零狀態(tài)響應解非齊次方程15系統(tǒng)方程的算子表示法轉移算子舉例激勵e(t)作用于電路，求i1(t)與i2(t)的轉移算子1

用克雷姆法可求解出i1(t)，i2(t)

但系數中有p和1/p，為避開算子乘除能否相消，先將方程改寫成為16系統(tǒng)方程的算子表示法轉移算子舉例整個變量17系統(tǒng)方程的算子表示法轉移算子舉例兩邊微分，先除后乘可消18系統(tǒng)方程的算子表示法轉移算子舉例分子、分母中多下公因子，但不能隨意相消，因此產生一個問題既三階系統(tǒng)其特征多項式為四階，注意以后問題不要這樣處理，求零輸入響應時由于多了一特征根則多出一項19系統(tǒng)的零輸入響應零輸入響應激勵信號e(t)=0，由初始狀態(tài)所產生的響應求解方法解特征方程確定零輸入響應模式由初始條件確定常數220系統(tǒng)的零輸入響應一階系統(tǒng)零輸入響應小結若初始r(0),代入可確定C1=r(0)則rzi(t)=r(0)eλt，t≥0若初狀為r(t0)，則rzi(t)=r(t0)eλ(t-t0)，t≥t0221系統(tǒng)的零輸入響應二階系統(tǒng)零輸入響應初始條件若222系統(tǒng)的零輸入響應二階系統(tǒng)零輸入響應異實根重實根共軛復根23系統(tǒng)的零輸入響應例題1(p33)已知某系統(tǒng)微分方程相應的齊次方程為系統(tǒng)的初始條件為求系統(tǒng)的零輸入響應24系統(tǒng)的零輸入響應例題2(p32)在RLC串聯電路中，設L=1H，C=1F，R=2Ω激勵e(t)=0,且電路的初始條件為求兩種初值下電流的零輸入響應求關于電流的微分方程特征方程求特征根，求微分方程解初始條件求系數25系統(tǒng)的零輸入響應例題3系統(tǒng)的微分方程是初始狀態(tài)為求系統(tǒng)的零輸入響應齊次方程特征方程求特征根初始條件求系數26系統(tǒng)的零輸入響應n階系統(tǒng)零輸入響應不同特征根所對應的齊次解單實根

r重實根一對共軛復根特性根，自然頻率

特性方程代數量27系統(tǒng)的零輸入響應n階系統(tǒng)零輸入響應初始條件

范德蒙德矩陣28奇異信號單位階躍函數定義延遲3t

(t)01t

(t-t0)t00129奇異信號利用階躍信號描述理想開關的動作t=0合閘

u(t)=Et=0合閘

i(t)=IsIsKu(t)KEu(t)30奇異信號利用階躍信號表示矩形脈沖

110=+-1門函數31奇異信號利用階躍信號組成復雜信號1t1

f(t)0

1t1

f(t)032奇異信號任何一個函數乘以單位階躍函數后，其乘積在階躍之前為零，在階躍之后保持原函數值1t1

f(t)0-11t1

f(t-2)(t-2)02右移2個單位保持階躍后值33奇異信號單位沖激函數定義設矩形脈沖函數f(t)，面積恒定為13（1）

34奇異信號單位沖激函數定義本質在t=0處一個寬度無限小。幅度無限大，面積為“1”的脈沖函數表示δ(t)

箭頭表示是沖激函數。沖激函數的強度,1表示面積t

(t)(1)0335奇異信號單位沖激函數數學定義式沖激函數面積為A則表示為Aδ(t)

t

(t)(1)0336奇異信號單位沖激函數延遲

t0處沖激函數t

(t-t0)t00（1）337奇異信號沖激函數性質抽樣性任一函數f(t)與單位沖激函數相乘后,在(－∞,＋∞)區(qū)間上的積分，等于f(t)在沖激時刻的函數值

從函數f(t)中抽取一個樣值t

(t)(1)0f(t)f(0)38奇異信號沖激函數性質抽樣性任一函數f(t)與單位沖激函數相乘后,在(－∞,＋∞)區(qū)間上的積分，等于f(t)在沖激時刻的函數值

從函數f(t)中抽取一個樣值t

(t)(1)0f(t)f(0)339奇異信號沖激函數性質偶函數時域壓擴性340奇異信號沖激函數性質單位沖激函數的積分是單位階躍函數單位階躍函數的導數是單位沖激函數341奇異信號沖激函數性質奇異函數若干次積分和微分也是奇異函數單位階躍函數的積分是單位斜變函數單位沖激函數的導數是單位沖激偶11010求導342奇異信號沖激函數性質

練習343奇異信號沖激函數性質練習44奇異信號練習：求f(t)，并畫出f(t)的導數的波形f(t)44t(1)(2)f(t)t1Att2f(t)11t(3)-12-1012342-2(4)跳變值45奇異信號分段函數求一階導數小結分段進行在波形上直接進行，注意間斷點出會產生沖激函數,其系數為正或負的跳變值，再寫出相應導數函數對函數表達式直接求導，再畫出導數波形圖，注意分步求導波形直接求解法簡單方便46奇異信號斜變函數f(t)tt347奇異信號沖激偶t由－∞→0－時,是一個強度無限大的正沖激t由+∞→0＋時,是一個強度無限大的負沖激f(t)348信號時域分解任務外加的復雜激勵信號分解成一系列單元激勵信號周期性脈沖信號分解為奇異函數之和3矩形脈沖49信號時域分解周期性脈沖信號分解為奇異函數之和鋸齒形脈沖梯形脈沖350信號時域分解任意函數表示為階躍函數的積分分解為無限多個小階躍函數相疊加的疊加積分表示式將t軸n等分每段△t作階梯信號fa(t)逼近f(t)

fa(t)≈f(t)當△t→0，n→∞，fa(t)→f(t)△tk△tf(0)f(t)t(k-1)△tf(k△t)-f((k-1)△t)351信號時域分解任意函數表示為沖激函數的積分分解為無限多個沖激函數相疊加的疊加積分的形式將t軸n等分每段△t作階梯信號fb(t)逼近f(t)

fb(t)≈f(t)當△t→

，n→∞，fb(t)→f(t)△tk△tf(0)f(t)t(k-1)△tf(k△t)352信號時域分解總結信號在時間域里分解成階躍函數、沖激函數、斜變函數這樣的一些單元激勵信號任意函數表示為階躍函數或沖激函數的積分為求響應方便，分解的單元激勵種類越少越好求系統(tǒng)零狀態(tài)響應，可先求對各單元激勵信號的響應，再利用系統(tǒng)線性、時不變性求所有單元響應353系統(tǒng)的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應定義無初始狀態(tài)條件下，系統(tǒng)對激勵信號e(t)產生的響應典型單元激勵響應沖激響應h(t)階躍響應r

(t)斜變響應rR(t)h(t),r

(t),rR(t)三者之間存在互求關系，h(t)用處最多454系統(tǒng)的零狀態(tài)響應沖激響應系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，對單位沖激函數激勵所產生的響應，用h(t)表示

455系統(tǒng)的零狀態(tài)響應關于0-與0+值0+：t=0+時刻的初始值，即y(j)(0+)0-：t=0-時刻,激勵尚未接入，響應及其各階導數在該時刻的值y(j)(0-)，即初始狀態(tài)對于具體系統(tǒng)，初始狀態(tài)0-值容易求得如果激勵f(t)中含有沖激函數及其導數，當t=0激勵接入系統(tǒng)，響應及其導數y(j)(0-)值到y(tǒng)(j)(0+)值可能發(fā)生躍變56系統(tǒng)的零狀態(tài)響應關于0-與0+值舉例：LTI系統(tǒng)初始狀態(tài)求小結：二階系統(tǒng)將輸入f(t)代入微分方程對積分求得將上述代入微分方程，根據系數相等原則，求各待定系數分別對兩邊從0-與0+進行積分，依次求得y(0+)，y’(0+)57系統(tǒng)的零狀態(tài)響應關于0-與0+值舉例：LTI系統(tǒng)求零狀態(tài)響應58系統(tǒng)的零狀態(tài)響應階躍響應系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，對單位階躍函數激勵所產生的響應，用rε(t)表示

459系統(tǒng)的零狀態(tài)響應斜變響應系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，對單位斜變函數激勵所產生的響應，用rR(t)表示

60系統(tǒng)的零狀態(tài)響應沖激響應h(t)的平衡求取法保持系統(tǒng)對應的動態(tài)方程式恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號函數及其各階導數必須相等求沖激響應61系統(tǒng)的零狀態(tài)響應n階系統(tǒng)沖激響應h(t)的求法62系統(tǒng)的零狀態(tài)響應n階系統(tǒng)沖激響應h(t)的求法n>m第i項構成的一階微分方程解63系統(tǒng)的零狀態(tài)響應n階系統(tǒng)沖激響應h(t)的求法n>m第i項構成的一階微分方程解64系統(tǒng)的零狀態(tài)響應

n階系統(tǒng)沖激響應h(t)的求法

n>m第i項構成的一階微分方程解依同樣方法可求出部分分式中每一項所對應的一階微分方程的解，得到65系統(tǒng)的零狀態(tài)響應n階系統(tǒng)沖激響應h(t)的求法

n＝m66系統(tǒng)的零狀態(tài)響應n階系統(tǒng)沖激響應h(t)的求法

n<m67系統(tǒng)的零狀態(tài)響應n階系統(tǒng)沖激響應h(t)的求法討論存在重根或共軛復根和單根情況下h0(t)的模式一定與零輸入響應模式相同68系統(tǒng)的零狀態(tài)響應

n階系統(tǒng)沖激響應h(t)的求法討論若系統(tǒng)有m重根λs,n－m個相異實根若系統(tǒng)有2m個復根，n－