2024年中考數學復習：圓問題中的解題模型與方法及練習題匯編（含答案解析）

2024年中考數學復習：圓問題中的解題模型與方法及練習題匯編

【解題模型與方法】

轉化的思想是數學中極其重要的思想方法，把未知量轉化為已知量，把新問題轉化為已經解決

的問題，把不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形，把一般情況轉化為特殊情況，把線段相等轉化為角相等.初

中數學中諸如化繁為簡、化難為易、化未知為已知等均是轉化思想的具體體現(xiàn).

一、生疏問題向熟悉問題轉化

生疏問題向熟悉問題轉化是解題中常用的思考方法。運用過去所學的知識，將生疏問題轉化為熟

悉問題。

二、化部分為整體

三、復雜問題轉化為簡單問題

一個復雜的問題分成簡單的小問題，再分析說明這幾個小問題之間的相互聯(lián)系，以局部知識的掌握

為整體服務。復雜問題簡化是數學解題中運用最普通的思考方法。一個難以直接解決的問題，通過

深入觀察和研究，轉化為簡單問題迅速求解。

四、實際問題轉化為數學問題

重視數學知識的應用，加強數學與實際的聯(lián)系，是考試重要方向。教材在加強用數學的意識方面也

作了改進，理論聯(lián)系實際是編寫教材的重要原.

五、一般與特殊的轉化

六、數與形的轉化

常考經典試題同步強化訓練

考試范圍：圓；考試時間：100分鐘；

一.選擇題（共10小題）

1.已知。O的直徑是5“小點O到同一平面內直線I的距離5cm,則直線/與。。的位置關系是（）

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

2.如圖，某小區(qū)要綠化一扇形OAB空地，準備在小扇形OCD內種花，在其余區(qū)域內（陰影部分）

種草，測得NAOB=120°,OA=\5m,OC=\Om,則種草區(qū)域的面積為（）

第1頁共38頁

4.如圖，正方形ABCQ中，AC,8。交于點。，點P為A8上一個動點，直線P0交CO于點Q,

過點8作垂足為點M,連接AM,若A8=4,則AM的最小值為（）

V10-V2C.2D.

5.如圖，一塊含30°角的三角板和一塊量角器，點。為E尸的中點，AC經過點0,AC=EF,Z

FOC=120°,AC=4,點8恰在EC尸上，則圖中陰影部分的面積為（）

E

第2頁共38頁

A-之父喜~B.71-V3C.271———D.冗—

32232

6.如圖，正六邊形48CAEF的外接圓。。的半徑為2,過圓心。的兩條直線/|、/2的夾角為60°,

則圖中的陰影部分的面積為（）

A.An-V3B.&-近C.2TC-V3D.4—近

332332

7.如圖，正方形ABC。的邊長為2,。為對角線的交點，點E,尸分別為BC,AQ的中點.以C為

圓心，2為半徑作礪，再分別以E,尸為圓心，1為半徑作前，而，則圖中陰影部分的面積為（）

AFD

A.K-1B.IT-3C.ir-2D.4-TT

8.某數學研究性學習小組制作了如圖的三角函數計算圖尺：在半徑為1的半圓形量角器中，畫一個

直徑為1的圓，把刻度尺CA的0刻度固定在半圓的圓心。處，刻度尺可以繞點O旋轉.圖中所

示的圖尺可讀出sin/AOB的值是（）

0(0

9.如圖，在△ABC中，CA=CB,ZACB=90°,AB=2,點。為A8的中點，以點。為圓心作圓

心角為90°的扇形OE凡點C恰在弧E尸上，則圖中陰影部分的面積為（）

第3頁共38頁

*c.2L

-1）（x-9）與x軸交于A,B兩點，對稱軸與拋物線交于點C,與x

軸交于點。，OC的半徑為2,G為OC上一動點，P為AG的中點，則。P的最大值為（）

c.年D.5

二.填空題（共6小題）

11.如圖，直角△ABC中，NA=90°,ZB=30°，AC=4,以4為圓心，AC長為半徑畫四分之

一圓，則圖中陰影部分的面積是（結果保留7T）.

12.如圖，在△ABC中，AB=AC^2cm,/CBA=30°,以A為圓心，AB為半徑作BEC，以BC為

2

直徑作半圓BFC，則圖中陰影部分面積等于

13.如圖，在平面直角坐標系xOy中，P（4,3）,。。經過點P.點A,點8在y軸上，PA=PB,

延長以，PB分別交。。于點C,點O,設直線8與x軸正方向所夾的銳角為a.

第4頁共38頁

(1)00的半徑為;

(2)tana=____________________

14.如圖，A,3都在CD的上方，AC=2,8。=8,C￡>=8,E為CD的中點，若NAEB=120°,

則AB的最大值為.

15.如圖所示，邊長為3厘米的正方形A8CD與邊長為4厘米的正方形8EFG并排放在一起，以點

B為圓心，8E為半徑畫弧GE,連結￡>G,DE,則線段。G、OE與弧GE所圍成的陰影部分的面

積是平方厘米.

16.如圖，已知四邊形ABC。是矩形，AB=8,AO=12,點E是線段OC上一個動點，分別以OE、

EC為邊向線段。C的下方作正方形。EFG、正方形CE4/,連接G/,過點B作直線G/的垂線，

垂足是1/,連接4J,求點E運動過程中，線段AJ的最大值是.

第5頁共38頁

三.解答題(共6小題)

17.如圖，△4BC中，NC=90°,乙4BC的平分線交AC于點。，點。在A8上，以點。為圓心,

以08為半徑的圓經過點。，交BC于點E,交AB于點尸.

(1)求證：AC與。0相切;

（2）若8。=10,sin/DBC^_,求4尸的長.

5

18.如圖，在△A8O中，AB=AD,以A8為直徑的圓交A力于點M,交8。于點0,延長A0至點

C,使0C=A0,連結CD,BC.

(1)求證：四邊形ABCQ是菱形；

(2)若AM=3,2。=遙，求cosNZMB.

第6頁共38頁

c,D

19.綜合與實踐：

數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結合其

他數學知識的內在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊的數學天地.

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在△ABC和△?!￡■尸中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=30°,連

接BE,CF,延長BE交CF于點D.則BE與CF的數量關系:，/BDC=°；

(2)類比探究：如圖2,在△4BC和/中，AB=AC,AE=AF,/區(qū)4尸=120°,

連接BE,CF,延長BE,FC交于點O.請猜想BE與C尸的數量關系及NBOC的度數，并說明

理由；

(3)拓展延伸：如圖3,AABC和△AEF均為等腰直角三角形，N2AC=NEA尸=90°,連接

BE,CF,且點8,E,尸在一條直線上，過點A作AM_L8F,垂足為點M.則8F,CF,AM之間

的數量關系：;

(4)實踐應用：正方形ABCD中，AB=2,若平面內存在點P滿足NBP￡>=90°,PD=\,則S

20.(1)如圖①，在aABC中，AB=AC,/BAC=120°,BC=12,求aABC外接圓的半徑r；

(2)如圖②，是一個半徑為200米的圓形廣場，弦AB是廣場上一個長為200?米的納涼

演繹舞臺，現(xiàn)計劃在廣場上建一個長為200米的手工藝集市CD,并在舞臺AB和集市CO之間修

建兩個休閑長廊AO和8C,規(guī)劃長廊、舞臺、集市圍成四邊形A8CD為活動區(qū)域，那么能否在

優(yōu)弧A8上確定兩點C、。，使得長廊AD+8C最長？若能，請求出4O+BC的最大值，并計算此

時的度數及四邊形ABC。的面積；若不能，請說明理由.

第7頁共38頁

圖①

圖②

21.如圖①，已知線段AB與直線/,過A、8兩點，作OO使其與直線/相切，切點為尸，易證/AP2

^ZAHB>ZAQB,可知點尸對線段4B的視角最大.

問題提出

(1)如圖②，已知△ABP的外接圓為。O,PQ與。。相切于點尸，交AB的延長線于點Q.

①請判斷/8PQ與NA的大小關系，并說明理由.

②若QB=2,AB=6,求PQ的長.

問題解決

(2)如圖③，一大型游樂場入DAB設在道路。N邊上，在“雪亮工程”中，為了加強安全管理,

結合現(xiàn)實情況，相關部門準備在與地面道路。N夾角為60°的射線方向上(位于垂直于地面

的平面內)確定一個位置C,并架設斜桿AC,在斜桿AC的中點P處安裝一攝像頭，對入口/LB

實施監(jiān)控(其中點A、B、D、P、C、M,N在同一平面內)，已知。4=40米，AB=25米，調研

發(fā)現(xiàn)，當/AP8最大時監(jiān)控效果最好，請問在射線DM上是否存在一點C,使得NAPB達到最大?

若存在，請確定點C在。M上的位置及斜桿AC的長度：若不存在，請說明理由.

圖②

圖③

22.如圖，AB是。0的直徑，AC是弦，點E在圓外，OELAC于點。，8E交。。于點F,連接BD、

第8頁共38頁

BC、CF,NBFC=NAED.

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)求證：。爐=。。??！?；

(3)設ABA力的面積為Si,△BOE的面積為S2,若tan/OOB=Z,求三L的值.

3S2

第9頁共38頁

圓問題中的解題模型與方法

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.已知。0的直徑是5cm,點。到同一平面內直線I的距離5cm,則直線I與。。的位置關系是（）

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

【答案】A

【解答】解：設圓的半徑為，，點。到直線/的距離為d,

r=2.5cm,d—5cm,

直線/與圓相離.

故選：A.

2.如圖，某小區(qū)要綠化一扇形OAB空地,準備在小扇形OCQ內種花，在其余區(qū)域內（陰影部分）

OC=\Qm,則種草區(qū)域的面積為（）

125兀2「250兀2

A?等m2B.D.1252

-3-m?-3-m

【答案】B

【解答】解：S陰影=S扇形AO5-S扇形COA=兀X15_12u兀八、10,=125兀（加2）.

3603603

故選：B.

3.下列幾何體中，三視圖都是圓的為（）

第10頁共38頁

c.D.

【答案】4

【解答】解：從圓柱、圓錐、正方體側面看,看到的是矩形、三角形、正方形.

故選：A.

4.如圖，正方形A8CO中，AC,8。交于點。,前P為AB上一個動點，直線P0交CD于點Q,

過點8作垂足為點M,連接AM,若A8=4,則AM的最小值為（)

B.A/10-V2C.2D.-|V2

【答案】B

【解答】解：如圖，取0B的中點T,連接MT,AT,過點T作TGA.AB于G,

?..四邊形ABC。是正方形,

：.BC^CD=AB=4,NBCD=90°,ZABD=45°,

：.BD=-J2AB=4-J2<B0=D0=2?

:.BT=TO=?,

???△BG7是等腰直角三角形，

：.BT=GT=\,

：.AG=AB-BG=3,

???AT=VAG2-K；T2=712+32='

.?.NBMO=90°,

,:BT=TO,

:.TM=、BO=?

2

J.AM^AT-TM=yflQ-V2，

第11頁共38頁

的最小值為：^/lO-V2,

故選：B.

5.如圖，一塊含30°角的三角板和一塊量角器，點。為EF的中點，4c經過點0,AC=EF,Z

FOC=120°,AC=4,點8恰在ECF上，則圖中陰影部分的面積為（）

E

A.之穴更~B.JI-A/3C.2冗

32232

【答案】D

【解答】解：如圖，連接08,依題意NAC8=60°,OB=OC,

???△O8C為等邊三角形，

：.ZOBC=60°,

而乙鉆C=90°,

AZABO=30°,

而NA=30°,

：.OA=OB=OC,

'：AC=EF,AC=4,

：.BC=OC=OB=2,AB=2M，

VZF0C=120°,

AZACB+ZFOC=180°,

??.OF//BC,

：.OEA.AB,

???E為AB的中點，

第12頁共38頁

:?BE=M，OE=—BC=I,

2

2

，S陰影部分=S"形FOC-S四邊形OEBC=12°XJT義°B_-工(OF+BC)XBE=An-—JQ.

360232

故選：D.

6.如圖，正六邊形A8CDE尸的外接圓OO的半徑為2,過圓心。的兩條直線八、/2的夾角為60°,

則圖中的陰影部分的面積為（）

DF4

【答案】C

【解答】解：如圖，連接AD,OC,

是正六邊形的外接圓，

.?.A。必過點O,ZCOD=^——=60°,

6

又.：OC=OD,

.,.△COZ）是等邊三角形，0c=OD=CZ）=2,

；直線/1、/2的夾角為60°,

AACOD-NKOD=NKOH-NKOD,

即NCOK=N。?！?，

又?：NDOH=NAOG,

：.ZCOK=ZAOG,

第13頁共38頁

9：ZOCK=ZOAG=60°，OC=OA,

A△OCK=/\OAG(ASA),S扇形COM=S扃形AON，

S扇形COM-S〉OCK=S扇形AON-SAOAG,

:.S陰影=SCOD-SGCOD,

???S有C/6QX兀”2=2.

3603

?'.s陰影=2TT-M.

3

7.如圖,正方形ABC。的邊長為2,。為對角線的交點，點E,尸分別為8C,AO的中點.以C為

圓心，2為半徑作BD再分別以￡尸為圓心，1為半徑作BO,0D，則圖中陰影部分的面積為（

A.n-1B.11-3C.TT-2D.4-n

【答案】C

【解答】解：連接BO,EF,如圖,

?.?正方形ABC。的邊長為2,O為對角線的交點,

由題意可得：EF,8。經過點。，且￡F_LAD,EFLCB.

第14頁共38頁

?.?點E,F分別為2C,AO的中點,

:.FD=FO=EO=EB=1,

???OB=OD-OB=OD.

...弓形08=弓形OO.

,陰影部分的面積等于弓形8。的面積.

QAJTXp21

，S陰影=SmCBD-SACBD=---------X9X9=TT-2-

3602

故選：C.

8.某數學研究性學習小組制作了如圖的三角函數計算圖尺：在半徑為1的半圓形量角器中，畫一個

直徑為1的圓，把刻度尺C4的0刻度固定在半圓的圓心。處，刻度尺可以繞點O旋轉.圖中所

示的圖尺可讀出sinNAO8的值是（）

A.AB.5C.工D.7

58810

【答案】A

【解答】解：如圖，把刻度尺與圓的另一個交點記作。，連接AD

力是直徑,

VZAOB+ZAOD=90°,NAOO+NAOO=90°,

NAOB=ZADO,

由刻度尺可知，04=0.8,

，sinZAOB=sinZADO=-^—=—.

105

故選：A.

第15頁共38頁

9.如圖，在△ABC中，CA^CB,/AC8=90°,A8=2,點。為A8的中點，以點。為圓心作圓

心角為90°的扇形。ER點C恰在弧E尸上，則圖中陰影部分的面積為（）

【答案】D

【解答】解：連接C。，作DNA.AC.

'：CA=CB,ZACB=9Q°，點。為AB的中點，

：.DC=1AB^\,四邊形DWCN是正方形，

22

則扇形"）E的面積是：90兀X/=三.

3604

"：CA=CB,ZACB=90Q，點。為AB的中點，

.?.CD平分N8C4,

XVDM1BC,ON_LAC,

:.DM=DN,

；NGDH=NMDN=9O°,

NGDM=ZHDN,

則在△DWG和△￡>%”中，

，ZGDM=ZHDN

<DM=DN，

ZDMG=ZDNH

:ADMG空/\DNH(ASA),

??SniiiKDGCH=SnaiKDMCN——.

2

則陰影部分的面積是：--X.

42

故選：D.

第16頁共38頁

10.已知拋物線y=-&（X-1）（x-9）與x軸交于A,B兩點,對稱軸與拋物線交于點C,與x

16

軸交于點力，0c的半徑為2,G為（DC上一動點，P為4G的中點，則力P的最大值為（）

22

【答案】A

【解答】解：如圖，連接8G.

P為AG中點，。為A3中點，所以是aAPG的中位線，則。尸=』BG,當BG最大時，則

2

DP最大.

由圓的性質可知，當G、C、B三點共線時，BG最大.

VC（5,3）,B（9,0）,

?*-BC=｛呼+42=5,

；.BG的最大值為2+5=7,

.?.￡>P的最大值為二.

2

填空題（共6小題）

第17頁共38頁

11.如圖，直角△ABC中，N4=90°,NB=30°,AC=4,以A為圓心，AC長為半徑畫四分之

一圓，則圖中陰影部分的面積是_4y二媼_（結果保留皿）.

【解答】解：連接AD.

?.?直角△ABC中，ZA=90°,ZB=30°,AC=4,

AZC=60°,AB=4愿，

'：AD=AC,

...三角形AC。是等邊三角形，

AZCAD=60°,

；.ND4E=30°,

???圖中陰影部分的面積=4X4百+2-4X2百+2-迎工212sA_=4百-In.

3603

故答案為：473--IT.

3

12.如圖，在△A8C中，AB=AC=2cm,ZCBA=30°,以A為圓心，AB為半徑作BEC，以8c為

直徑作半圓氤，則圖中陰影部分面積等于土通_07?2.

-6

【答案】見試題解答內容

7122

【解答】解：5端形ACB=12°X±=1AZLcnAsB/,__1KX(5/3)=^2L-cm,5AABC=—

3603222

第18頁共38頁

X2代X1=依的2；

=

所以商標圖案面積=S.^[31CBF+SA4^C-S^ACB12L+百-"=(2L+北)必.

236

故答案為：A+Vs.

6

13.如圖，在平面直角坐標系X。)，中，P(4,3),。。經過點P.點A,點B在y軸上，PA=PB,

延長附，PB分別交。0于點C,點￡>,設直線CD與x軸正方向所夾的銳角為a.

(1)00的半徑為5；

(2)tana=—.

(2)A

3

【解答】解：(1)連接0P.

VP(4,3),

°p=732+42=5'

故答案為：5.

(2)設CD交x軸于J,過點P作PTLAB交。。于T,交4B于E,連接CT,DT,0T.

'：P(4,3),

：.PE=4,0E=3,

在RdOPE中，tan/P0E=F^=2,

OE3

'：OEA.PT,OP=OT,

：.ZPOE=NTOE,

：.ZPDT=^ZPOT=APOE,

2

第19頁共38頁

'：PA=PB.PELAB,

?,./APT=/DPT,

???TC=DT.

：.ZTDC=ZTCD,

：PT〃x軸，

：.ZCJO^ZCKP,

■:NCKP=NTCK+NCTK,NCTP=NCDP,NPDT=NTDC+NCDP,

：.ZTDP=ZCJO,

.\ZCJO=ZPOE,

AtanZCJO=tanZPOE=&.

3

補充方法：證明/C/O=NEO尸時，可以這樣證明：：/CJO+/TOJ=90°,NTQ/+/EOT=90°,

:.NCJO=NEOT,

"：ZEOT=ZEOB,

：.ZCJO=ZEOP,可得結論.

故答案為：A.

3

14.如圖，A,B都在C￡>的上方，AC=2,BD=8,CD=8,E為CD的中點，若NAEB=120°,

【答案】14.

第20頁共38頁

【解答】解：如圖，作點C關于AE的對稱點C',點。關于BE的對稱點?！?，連接C4、EC.

VZAEfi=120°,

.?.乙4EC+/OEB=60°,

:.NCEC'+ZDED1=60°,

r.ZCED'=60°,

,:EC'=ED',

:.XCED'為等邊三角形

"：AB^AC'+C'D'+D1B=CA+CE+BD=2+4+8=14,

：.AB的最大值為14,

答案為：14.

15.如圖所示，邊長為3厘米的正方形A8CZ）與邊長為4厘米的正方形8EFG并排放在一起，以點

B為圓心，BE為半徑畫弧GE,連結OG,DE,則線段DG、OE與弧GE所圍成的陰影部分的面

積是4n平方厘米.

【解答】解：OE和BC交于點H,

稀形ABGD=』(AD+BG>AB=1X(3+4)X3,

22

Sg4E=Lo?E=」X3X(3+4),

22

第21頁共38頁

S梯形ABGD=SADAE，

:?SAEBH=S4DGH，

??S陰=S扇形BEG，

,:S扇形BEG=—TIXBE1=AxnX42=4n,

44

，S陰=4it.

故答案為：4n.

16.如圖，己知四邊形ABC。是矩形，AB=8,AZ)=12,點E是線段0c上一個動點，分別以OE、

EC為邊向線段OC的下方作正方形OEFG、正方形CE”/,連接G/,過點B作直線G/的垂線，

垂足是J,連接AJ,求點E運動過程中，線段A/的最大值是10+2JF.

【答案】10+2^/17.

【解答】解：如圖，取G/中點P,以PB為直徑作。0,

連接AO并延長交。。于點J,

作。M_LAC于M,作PQ_LA8于Q,交,OM、DC于點N、K,

二PK是梯形DGIC中位線，

?.?OC=8,

：.PK=1.(C/+DG)=4,

2

是G/中點，

.?.P到DG、Cl的距離均為4,

...尸一定是以。C為邊的正方形的中心點，

：.J一定在以BP為直徑的圓上運動，

.?.當AJ過點圓心。時，A/最大，

：AB=8,

第22頁共38頁

，QB=4,

VAD=12,

APQ=16f

???Q8=4,

V42+162=4，

???01=2^/17，

???PQ=16,

???QV=AM=8,

?：ON=^QB=2,

???0M=6,

：.AO=\Of

：.AJ=\0+2-/u.

故答案為：10+25/17.

三.解答題(共6小題)

17.如圖，△ABC中，ZC=90°,NA3C的平分線交AC于點。，點。在AB上，以點。為圓心,

以0B為半徑的圓經過點。，交BC于點E,交AB于點F.

(1)求證：AC與。0相切；

(2)若8。=10,sinZDBC=^_,求AF的長.

5

第23頁共38頁

A

【答案】（I）見解析：

（2）225一

14

【解答】（1）證明：連接?！?gt;,

；。力是半徑

：.OD=OB,

；./ODB=NOBD,

VZABC的平分線交AC于點D,

：.ZABD=ZCBD,

：.ZODB=ZCBD,

：.OD//BC,

.?.乙4E>O=NC=90°,

；.AC是。。的切線；

(2)解：連接。F,

第24頁共38頁

??./r.ryp_3—CD—CD

?sinZDBC-5而百

：.CD=6,

：.BC=S,

?.?尸8為直徑，

：.ZBDF=90°,

:.NBDF=/C,

■:NCBD=NFBD,

:ACDBs叢DFB,

?BDBC

??麗司

2

；.OO=OE=OB=空，

4

"：OD//BC,

：.XADOsXACB,

.?&5,即______去=上

ABBC好會8

2

解得：4F=磔.

14

18.如圖，在△ABO中，AB=AD,以AB為直徑的圓交AO于點M,交BD于點、O,延長AO至點

C,使OC=AO,連結CD,BC.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)若AM=3,BO=娓,求cosNZMB.

【答案】(1)證明見解析部分;

(2)3.

5

第25頁共38頁

【解答】(1)證明：是直徑,

AZAOB=90°,

：.AC±BD,

"：AB=AD,

：.BO=DO,

在△COD和△AOB中，

，CO=AO

<ZC0D=ZA0B>

DO=BO

：./\COD^^AOB(SAS),

：.CD=AB,NDCO=/OAB,

：.CD//AB,

四邊形ABC。是平行四邊形，

'：AB=AD,

二四邊形ABC。為菱形；

(2)解：?；8。=遙，

:.BD=2疾,

連接8M,則/AMB=90°,

設菱形的邊長為2r,則。例=A。-AM=2r-3,

VBD2-DM2=AB2-AM2,即(2遙)2-(2r-3)2=⑵)2-32

解得或r--1(舍去)，

2

：.AB=5,

19.綜合與實踐:

第26頁共38頁

數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結合其

他數學知識的內在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊的數學天地.

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在△4BC和/中，A8=AC,AE=AF,N54C=NE4F=30°,連

接BE,CF,延長BE交CF于點D.則BE與CF的數量關系：BE=CF,ZBDC=30°；

(2)類比探究：如圖2,在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE^AF,/BAC=NEA尸=120°,

連接8E,CF,延長BE,FC交于點D.請猜想BE與CF的數量關系及/BOC的度數，并說明

理由；

(3)拓展延伸：如圖3,aABC和aAEF均為等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF=90°,連接

BE,CF,且點3,E,F在一條直線上，過點A作垂足為點M.則8F,CF,AM之間

的數量關系：8F=CF+2AM；

(4)實踐應用：正方形ABCO中，AB=2,若平面內存在點P滿足/BP￡>=90°,PD=\,則S

【答案】過叵或工77..

44

【解答】解：(1)BE=CF,ZBDC=30°,

理由如下：如圖1所示：

???△A8C和都是等腰三角形，

：.AB=AC,AE=AFf

又???N3AC=NE4F=30°,

AAABE^AACF(SAS),

:.BE=CF,

：.NABE=ZACD,

*/ZAOEZABE+ZBAC,

ZAOE=ZACD+ZBDC,

：.ZBDC=ZBAC=30°；

第27頁共38頁

A

圖1

(2)BE=CF,ZBDC=60Q,

理由如下：如圖2所示：

證明：VZ^C=ZEAF=120°,

：.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即NA4E=NCAF,

又???AABC和都是等腰三角形，

：.AB=AC,AE=AF,

(SAS)

：.BE=CF,

：.ZAEB=ZAFC,

VZEAF=120°,AE=AF,

：.ZAEF=ZAFE=30°,

：.ZBDC=ZBEF-ZEFD=ZAEB+300-(ZAFC-30°)=60°；

(3)BF=CF+2AM,

理由如下：如圖3所示：

,/AABC和△AM都是等腰三角形，

：.ZCAB=ZEAF=90°,AB=AC,AE=AF,

：./CAB-ZCAE=ZFAE-NCAE,

即：N8AE=NCAF,

第28頁共38頁

.?.△BAE絲△CAE(SAS),

：.BE=CF,

"：AM±BF,AE=AF,EA尸=90°,

：.EF=2AM,

,:BF=BE+EF,

：.BF=CF+2AM-,

(4))如圖4所示：

連接8D,以BO為直徑作圓，

由題意，取滿足條件的點P,P',則PO=P'0=1.ZBPD^ZBP'0=90°

:.BD=2?

B/>=VBD2-BP2=V(2V2)2-12=^7，

連接南，作AF_LPB于點F,在BP上截取BE=PD,

"：ZPDA=ABE,AD=AB,

：./\ADP^/\ABE(SAS),

：.AP=AE,NBAE=NDAP,

...NB4E=90°,

由(3)可得：PB-PD=2AF,

:.AF=P^PD=JT_±,

22

.'.S^PAB=—PB*AF=,

24

同理可得：SMAB=2正，

4_

故△A8P的面積為：立巨或上巨.

44

第29頁共38頁

20.(1)如圖①，在△A8C中，AB=AC,NBAC=120°,BC=\2,求△ABC外接圓的半徑r；

(2)如圖②，。0是一個半徑為200米的圓形廣場，弦AB是廣場上一個長為200如米的納涼

演繹舞臺，現(xiàn)計劃在廣場上建一個長為200米的手工藝集市CQ,并在舞臺AB和集市C￡＞之間修

建兩個休閑長廊AO和8C,規(guī)劃長廊、舞臺、集市圍成四邊形AB8為活動區(qū)域，那么能否在

優(yōu)弧AB上確定兩點C、。，使得長廊4D+BC最長？若能，請求出AO+BC的最大值，并計算此

時NBA。的度數及四邊形ABC。的面積；若不能，請說明理由.

【答案】(1)4、笈；(2)在優(yōu)弧AB匕確定兩點C、。，使得長廊AQ+BC最長，此時/84)=75°,

四邊形ABC。的面積為(40000+2000073)米

【解答】解：(1)設AABC外接圓為。0,連接04,OB,OA交BC于點。,如圖，

AB=AC-

第30頁共38頁

AODA.BC,BD=DC=LBC=6,

2

；AB=AC,NB4C=I20°,

AZBAD=^ZBAC=60°,

2

.'.^ABO為等邊三角形.

AZAOB=60°,

在RtAAOD中，

??

?s?in6z-n0o—_*BD?一——，6_,

OBOB

2

（2）在優(yōu)弧AB上確定兩點C、D,使得長廊AD+8c最長.

連接04,OB,OC,OD,過點。分別作OE_LAQ,OFLBC,OH±AB,垂足分別為E,F,H,

如圖，

：。。的半徑為200米，AB=200愿米，

;./M=LB=IOO代米，

2

.\sinZAOH=里正，

OA2

；.N4O”=60°,

AZAOB=2ZAOH=\20°.

'：OB=OCD=200^,

...△OC。為等邊三角形，

AZDOC=60°,

AZAOB+ZDOC=\^0°.

：.ZAOD+ZBOC=180°.

vZAOE^^LZAOD,/BOF=LNBOC,

22

AZAOE+ZBOF=90°.

第31頁共38頁

'：BFLOF,

：.ZBOF+ZBFO=90°,

：.NAOE=NFBO.

在△AE。和△OFB中，

，ZAE0=Z0FB=90"

'ZA0E=Z0BF>

OA=OB

：./\AEO^^OFB(AAS).

：.OE=BF.

VOELAD,OFVBC,

:.AE=1AD,BF=LBC,

22

：.OE=^BC.

2

,：AE1+OE1=OA1,

(-|AD)2+(-1BC)2=2002-

AAD2+BC2=160000,

:.AD+BC^yj(AD+BC)2AD2+BC2+2AD'BC=V160000+2AD?BC.

VeA=XxAD'OE=^XADX^BC=^AD'BC,

AOAD2224

.?.當SAOAO最大時，AD+BC取最大值，

VSA0AD[OA?O?sinNAO￡)=20000Xsin/A。。，

.?.當NAOQ=90°,sin/A。。，最大，即SAQID最大，最大值為20000,

...當NAO￡)=/BOC=90°時，AO+BC的值最大.

工在優(yōu)弧48上確定兩點C、。，使得長廊AO+8C最長：

此時，如圖,

；NOAD=NODA=45°,NOAB=NOBA=30°,

第32頁共38頁

：.ZBAD=ZOAD+ZOAB=15°.

四邊形ABCD的面積=S/i0A4+Sa08C+Sz\0A￡)+Sz\0C。

=2X20000+AX20073X100+AX200X100V3

22

=(4OOOO+2OOOO5/3)米2.

21.如圖①，已知線段AB與直線/,過A、B兩點，作。。使其與直線/相切，切點為P,易證/AP8

=NAH2>NAQ2,可知點P對線段AB的視角最大.

問題提出

(1)如圖②，已知△ABP的外接圓為。0,PQ與相切于點P,交AB的延長線于點Q.

①請判斷N8PQ與NA的大小關系，并說明理由.

②若08=2,AB=6,求PQ的長.

問題解決

(2)如圖③，一大型游樂場入口48設在道路DN邊上，在“雪亮工程”中，為了加強安全管理，

結合現(xiàn)實情況，相關部門準備在與地面道路DN夾角為60°的射線QM方向上(位于垂直于地面

的平面內)確定一個位置C,并架設斜桿AC,在斜桿AC的中點尸處安裝一攝像頭，對入口48

實施監(jiān)控(其中點A、B、D、尸、C、M、N在同一平面內)，已知D4=40米，AB=25米，調研

發(fā)現(xiàn)，當NAPB最大時監(jiān)控效果最好，請問在射線DM上是否存在一點C