指數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題

根本初等函數(shù)一、知識(shí)和數(shù)學(xué)思想梳理：1．指數(shù)式和對(duì)數(shù)式：①根式概念；②分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；③指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；④對(duì)數(shù)概念；⑤對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)；⑥指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化關(guān)系；2．指數(shù)函數(shù)：①指數(shù)函數(shù)的概念；②指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；③指數(shù)函數(shù)圖象變換；④指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用〔單調(diào)性、指數(shù)不等式和方程〕；3．對(duì)數(shù)函數(shù)：①對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；③對(duì)數(shù)函數(shù)圖象變換；④對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用〔單調(diào)性、指數(shù)不等式和方程〕；4.解指數(shù)不等式、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式、對(duì)數(shù)方程，先要化同底，即，，；5.要明確區(qū)分指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)；6.反函數(shù)：①反函數(shù)概念；②互為反函數(shù)定義域和值域的關(guān)系；③求反函數(shù)的步驟；④互為反函數(shù)圖象的關(guān)系；7.函數(shù)應(yīng)用：①解應(yīng)用題的根本步驟；②幾種常見函數(shù)模型〔一次型、二次型、指數(shù)型〔利息計(jì)算〕、幾何模型、物理和生活實(shí)際應(yīng)用型〕；8.學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、分類討論思想解決問題。二、典型例如函數(shù)定義域和值域例1．求以下函數(shù)的定義域〔1〕〔2010湖北文〕函數(shù)的定義域?yàn)椤病场睞〕.(,1) 〔B〕(,∞) 〔C〕〔1，+∞〕 〔D〕.(,1)∪〔1，+∞〕(2),求的定義域例2．求以下各函數(shù)的值域〔1〕、〔2010重慶文數(shù)〕，那么函數(shù)的最小值為____________.〔2〕〔2010湖北文〕函數(shù)，那么〔A〕.4 〔B〕. 〔C〕.-4 〔D〕-〔二〕求以下函數(shù)的增區(qū)間例3.〔1〕 〔2〕〔三〕函數(shù)奇偶性例4．1、〔2010山東理4〕設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=+2x+b(b為常數(shù))，那么f(-1)=〔〕〔A〕3〔B〕1〔C-1〔D〕-32、〔2010江蘇卷〕設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a=________________〔四〕指對(duì)數(shù)函數(shù)例5．(1)(2010遼寧文〕設(shè)，且，那么〔A〕〔B〕10〔C〕20〔D〕100(2)〔2010安徽文〕設(shè)，那么a，b，c的大小關(guān)系是〔A〕a＞c＞b〔B〕a＞b＞c〔C〕c＞a＞b〔D〕b＞c＞a〔3〕．f(x)＝－x＋log2eq\f(1－x,1＋x).(1)求f(eq\f(1,2005))＋f(－eq\f(1,2005))的值；(2)當(dāng)x∈(－a，a](其中a∈(0,1)，且a為常數(shù))時(shí)，f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．〔五〕函數(shù)與方程例6〔1〕〔2010上海文〕假設(shè)是方程式的解，那么屬于區(qū)間〔〕〔A〕〔0，1〕.〔B〕〔1，1.25〕.〔C〕〔1.25，1.75〕〔D〕〔1.75，2〕〔2〕〔2010浙江文〕〔9〕x是函數(shù)f(x)=2x+的一個(gè)零點(diǎn).假設(shè)∈〔1，〕，∈〔，+〕，那么〔〕〔A〕f()＜0，f()＜0〔B〕f()＜0，f()＞0〔C〕f()＞0，f()＜0〔D〕f()＞0，f()＞0(3)〔2010天津文〕〔4〕函數(shù)f〔x〕=(A)〔-2,-1〕(B)〔-1,0〕(C)〔0,1〕(D)〔1,2〕三、穩(wěn)固并提高1．〔湖南卷〕f(x)＝的定義域?yàn)椋?．〔江蘇卷〕函數(shù)的定義域?yàn)椋?．〔2006年廣東卷〕函數(shù)的定義域是；4．〔2010陜西文〕13.函數(shù)f〔x〕＝假設(shè)f〔f〔0〕〕＝4a，那么實(shí)數(shù)a＝；5．〔2010山東文〕(3)函數(shù)的值域?yàn)椤病?；A.B.C.D.7．〔2010山東理〕函數(shù)y=2x-的圖像大致是8．，求； 9．假設(shè)在區(qū)間遞減，求取值范圍；10．〔2010山東文〕設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f(x)=+2x-b〔為常數(shù)〕，那么〔A〕-3〔B〕-1〔C〕1(D)311.〔2010天津文〕(6)設(shè)〔〕(A)a<c<b(B))b<c<a(C))a<b<c(D))b<a<c12.〔2010天津理〕假設(shè)函數(shù)f(x)=,假設(shè)f(a)>f(-a),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔〕〔A〕〔-1，0〕∪〔0，1〕〔B〕〔-∞，-1〕∪〔1,+∞〕〔C〕〔-1，0〕∪〔1,+∞〕〔D〕〔-∞，-1〕∪〔0,1〕13.〔2010四川理〕〔3〕2log510＋log50.25＝〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕414.〔2010天津理〕〔2〕函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是〔〕(A)〔-2，-1〕(B)〔-1,0〕(C)〔0,1〕(D)〔1,2〕15.〔2010福建文〕7．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()〔A〕．3〔B〕．2〔C〕．1〔D〕16．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)的值域；(3)解方程f(x)＝0；(4)解不等式f(x)>0.17.函數(shù)的反函數(shù)為,.(1)假設(shè)，求的取值范圍D;(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)D時(shí),求函數(shù)的值域.函數(shù)專題復(fù)習(xí)教師版知識(shí)梳理：1、函數(shù)：①函數(shù)概念；②三要素；③映射概念2、函數(shù)的單調(diào)性：①定義；②判斷證明單調(diào)性方法；〔定義法；圖象法；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性；〕③單調(diào)性性應(yīng)用；〔解〔證〕不等式；比擬大?。磺蠛瘮?shù)的值域和最值〕3、反函數(shù)：①反函數(shù)概念；②互為反函數(shù)定義域和值域的關(guān)系；③求反函數(shù)的步驟；④互為反函數(shù)圖象的關(guān)系。4、指數(shù)式和對(duì)數(shù)式：①根式概念；②分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；③指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；④對(duì)數(shù)概念；⑤對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)；⑥指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化關(guān)系。5、指數(shù)函數(shù)：①指數(shù)函數(shù)的概念；②指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；③指數(shù)函數(shù)圖象變換；④指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用〔單調(diào)性、指數(shù)不等式和方程〕。6、對(duì)數(shù)函數(shù)：①對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；③對(duì)數(shù)函數(shù)圖象變換；④對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用〔單調(diào)性、指數(shù)不等式和方程〕。7、函數(shù)應(yīng)用：①解應(yīng)用題的根本步驟；②幾種常見函數(shù)模型〔一次型、二次型、指數(shù)型〔利息計(jì)算〕、幾何模型、物理和生活實(shí)際應(yīng)用型〕典型例如函數(shù)定義域和值域【例1】求以下函數(shù)的定義域〔1〕〔2010廣東文〕函數(shù)的定義域是〔B〕A.B.C.D.〔2〕〔2010湖北文〕函數(shù)的定義域?yàn)椤病矨A.(,1) B(,∞) C〔1，+∞〕 D.(,1)∪〔1，+∞〕(3)〔2010廣東理〕9.函數(shù)=lg(-2)的定義域是.答案(1,+∞)．【解析】∵，∴．(4),求的定義域〔〕【變式】1、〔湖南卷〕f(x)＝〔－∞，0]〕 2、〔江蘇卷〕函數(shù)的定義域?yàn)?、〔2006年廣東卷〕函數(shù)的定義域是【例2】求以下各函數(shù)的值域1、〔2010重慶文數(shù)〕〔4〕函數(shù)的值域是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答案B解析：2、〔2010重慶文數(shù)〕(12)，那么函數(shù)的最小值為____________.答案-2解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，3、〔2010湖北文〕3.函數(shù)，那么A.4 B. C.-4 D-【答案】B【解析】根據(jù)分段函數(shù)可得，那么，【變式】1、〔2010陜西文〕13.函數(shù)f〔x〕＝假設(shè)f〔f〔0〕〕＝4a，那么實(shí)數(shù)a＝.答案2【解析】f〔0〕=2，f〔f〔0〕〕=f(2)=4+2a=4a，所以a=22、〔2010山東文〕(3)函數(shù)的值域?yàn)椤睞〕A.B.C.D.3、〔2010天津理數(shù)〕〔16〕設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是.【解析】此題主要考查函數(shù)恒成立問題的根本解法，屬于難題。依據(jù)題意得在上恒定成立，即在上恒成立。當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值，所以，即，解得或函數(shù)的表達(dá)式【例3】〔1〕〔04湖北卷〕，求解：〔1〕令〔2〕函數(shù)的圖象A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.關(guān)于直線y=x對(duì)稱C.關(guān)于x軸對(duì)稱D.關(guān)于y軸對(duì)稱答案D解析：是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱【變式】1、〔2010山東理〕(11)函數(shù)y=2x-的圖像大致是【答案】A【解析】因?yàn)楫?dāng)x=2或4時(shí)，2x-=0，所以排除B、C；當(dāng)x=-2時(shí)，2x-=，故排除D，所以選A。〔2〕，求 〔〕〔三〕求以下函數(shù)的增區(qū)間【例4】〔1〕 〔2〕答案：〔1〕∴〔2〕作圖∴【變式】假設(shè)在區(qū)間遞減，求取值范圍。解：①，成立②∴〔四〕函數(shù)奇偶性【例5】1、〔2010山東理4〕設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=+2x+b(b為常數(shù))，那么f(-1)=〔〕(A)3(B)1(C)-1(D)-32、〔2010江蘇卷〕5、設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a=________________答案a=－1【解析】考查函數(shù)的奇偶性的知識(shí)。g(x)=ex+ae-x為奇函數(shù)，由g(0)=0，得a=－1?！咀兪健俊?010山東文〕〔5〕設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f(x)=+2x-b〔為常數(shù)〕，那么A〔A〕-3〔B〕-1〔C〕1(D)3〔五〕指對(duì)數(shù)函數(shù)【例6】1、(2010遼寧文〕〔10〕設(shè)，且，那么〔A〕〔B〕10〔C〕20〔D〕100答案A【解析】選A.又2、〔2010安徽文〕〔7〕設(shè)，那么a，b，c的大小關(guān)系是〔A〕a＞c＞b〔B〕a＞b＞c〔C〕c＞a＞b〔D〕b＞c＞a答案A【解析】在時(shí)是增函數(shù)，所以，在時(shí)是減函數(shù)，所以。3、〔2010全國(guó)卷1文〕(7)函數(shù).假設(shè)且，，那么的取值范圍是(A)(B)(C)(D)【解析】因?yàn)閒(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=又0<a<b,所以0<a<1<b，令由“對(duì)勾”函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在(0,1)上為減函數(shù)，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范圍是(2,+∞).答案C【變式】1、〔2010天津文〕(6)設(shè)(A)a<c<b(B))b<c<a(C))a<b<c(D))b<a<c【解析】此題主要考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比擬大小的根本方法，屬于容易題。因?yàn)榇鸢窪2、〔2010天津理〕〔8〕假設(shè)函數(shù)f(x)=,假設(shè)f(a)>f(-a),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔A〕〔-1，0〕∪〔0，1〕〔B〕〔-∞，-1〕∪〔1,+∞〕〔C〕〔-1，0〕∪〔1,+∞〕〔D〕〔-∞，-1〕∪〔0,1〕【答案】C【解析】由分段函數(shù)的表達(dá)式知，需要對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行分類討論。[3、〔2010四川理〕〔3〕2log510＋log50.25＝〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2答案C〔六〕函數(shù)與方程【例7】1、〔2010上海文〕17.假設(shè)是方程式的解，那么屬于區(qū)間〔〕〔A〕〔0，1〕.〔B〕〔1，1.25〕.〔C〕〔1.25，1.75〕〔D〕〔1.75，2〕答案D【解析】知屬于區(qū)間〔1.75，2〕2、〔2010浙江文〕〔9〕是函數(shù)f(x)=2x+的一個(gè)零點(diǎn).假設(shè)∈〔1，〕，∈〔，+〕，那么〔A〕f()＜0，f()＜0〔B〕f()＜0，f()＞0〔C〕f()＞0，f()＜0〔D〕f()＞0，f()＞0解析：選B，考察了數(shù)形結(jié)合的思想，以及函數(shù)零點(diǎn)的概念和零點(diǎn)的判斷，屬中檔題3、〔2010天津文〕〔4〕函數(shù)f〔x〕=(A)〔-2,-1〕(B)〔-1,0〕(C)〔0,1〕(D)〔1,2〕【答案】C因?yàn)閒〔0〕=-1<0f(1)=e-1>0,所以零點(diǎn)在區(qū)間〔0，1〕上，選C【變式】1、〔2010天津理〕〔2〕函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(A)〔-2，-1〕(B)〔-1,0〕(C)〔0,1〕(D)〔1,2〕【答案】B由及零點(diǎn)定理知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間〔-1，0〕上。2、〔2010福建文〕7．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．3B．2【解析】當(dāng)時(shí)，令解得；當(dāng)時(shí)，令解得，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，選B?！财摺澈瘮?shù)綜合【例8】x滿足,函數(shù)y＝的值域?yàn)?求a的值.解：由由y＝,①當(dāng)時(shí),為單調(diào)增函數(shù),,無解。②當(dāng)時(shí),為單調(diào)減函數(shù),，【變式】函數(shù)的反函數(shù)為,.(1)假設(shè)，求的取值范圍D;(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)D時(shí),求函數(shù)的值域.解：(1)(2),〔3〕．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)的值域；(3)解方程f(x)＝0；(4)解不等式f(x)>0.[解析](1)∵y＝(eq\f(1,2))x＋(eq\f(1,4))x－2，由于y1＝(eq\f(1,2))x在x∈R上單減，y2＝(eq\f(1,4))x在x∈R上單減∴y＝(eq\f(1,2))x＋(eq\f(1,4))x－2在R上單減．(2)y＝(eq\f(1,2))x＋(eq\f(1,4))x－2＝[(eq\f(1,2))x]2＋(eq\f(1,2))x－2>－2，∴值域?yàn)閧y|y>－2}(3)∵f(x)＝0，∴[(eq\f(1,2))x＋2][(eq\f(1,2))x－1]＝0∴(eq\f(1,2))x－1＝0∴x＝0.(4)∵y＝(eq\f(1,2))x＋[(eq\f(1,2))x]2－2＝[(eq\f(1,2))x＋2][(eq\f(1,2))x－1]∵f(x)>0而(eq\f(1,2))x＋2>2∴(eq\f(1,2))x－1>0(eq\f(1,2))x>1∴x<0，即不等式f(x)>0的解集為{x|x<0}．11．f(x)＝－x＋log2eq\f(1－x,1＋x).(1)求f(eq\f(1,2005))＋f(－eq\f(1,2005))的值；(2)當(dāng)x∈(－a，a](其中a∈(0,1)，且a為常數(shù))時(shí)，f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如