2024屆吳淞中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

2024屆吳淞中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知等差數(shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和為S,,且％+口8=M，^io=Pm＞則夕=()

A.3B.5

C.6D.10

2.如圖①所示，將一邊長為1的正方形ABC。沿對角線折起，形成三棱錐C-A3。，其主視圖與俯視圖如圖②

所示，則左視圖的面積為()

主視圖俯視圖

圖②

3.在棱長為1的正四面體ABC。中，點(diǎn)M滿足=++。一x—y)AD(x,ywR),點(diǎn)N滿足

DN=ADA+(1-2)DC(2eR),當(dāng)AM和。N的長度都為最短時(shí)，的值是()

11

A.-B.——

33

22

C.一D.----

33

4.下列關(guān)系中，正確的是()

A.log54<log23<log64

C.sinl<sin2<sin3D.cos2>cos3>cos4

5.與直線4x-3y-5=。關(guān)于x軸對稱的直線的方程為。

A.4x+3y+5=0B.4x-3y+5=0

C.—4x—3y—5—0D.4x+3y—5—0

6.7(無)=sinx,則/(l)與[/(l)]'分別為()

A.cos1與cos1B.cos1與sin1

C.cos1與0D.O與cos1

7.現(xiàn)從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊(duì)”，用A表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，5表示

事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則P(叫A)=()

14

A.-B.-

37

23

C.一D.一

34

8.已知數(shù)列｛4｝為遞增等比數(shù)列，為+。4=9,4-。3=8,則數(shù)列｛q,｝的前2019項(xiàng)和52019=()

A.22019B.22018—1

C.22019-1D.22020-1

22

9.片、工是橢圓。：言+1_=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓。上，|「耳|=6,過耳作/耳夕外的角平分線的垂線,

垂足為貝UIOMI的長為

A.lB.2

C.3D.4

10.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則“d>0”是“數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

11.記S"為等差數(shù)列數(shù)列的前〃項(xiàng)和.若%+。=24,§6=48,則｛為｝的公差為O

A.lB.2

C.4D.8

12.已知等差數(shù)列｛斯｝中，。4+〃9=8,則S12=()

A.96B.48

C.36D.24

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為％且％=1,若點(diǎn)尸as+J(〃￡N*)在直線X—y+l=。上，則S〃二

111

+—=

14.設(shè)函數(shù)/(%)的導(dǎo)數(shù)為/'(%),且/(x)=/[Bsinx+cosx,則/日J(rèn)=

15.設(shè)尸為曲線2'=，4+四上一點(diǎn),A(-V5,0),8(b,0),若|心|=2,貝！J|PA|=

na“-n

16.設(shè)公差2>0的等差數(shù)列｛4｝的前九項(xiàng)和為S,,已知4=5,且%,?3-1,&成等比數(shù)列，則的最小

值為______

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)4-5,0),3(3,-3),C(0,2),求邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線

的方程

18.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S"，q=2,且4M=24+2

(1)求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

(2)令a=二~記數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和為T,，求證：Tn<3

4+2、

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=ex—Inx(aeR)

(I)若/'(x)的圖象在點(diǎn)(1,/(D)處的切線與x軸負(fù)半軸有公共點(diǎn)，求。的取值范圍；

(II)當(dāng)a=l時(shí)，求〃尤)的最值

20.(12分)已知命題p：實(shí)數(shù)x滿足a4+(a—2〉2「2W0；命題夕：實(shí)數(shù)x滿足/一3x+2<0.若p是g的必

要條件，求實(shí)數(shù)”的取值范圍

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=exx+f_1,aeR.

(1)當(dāng)a=—g時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(—1"(—1))處的切線方程;

(2)若/?%)在區(qū)間(0,1)上有唯一的零點(diǎn)與.

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=e*—Inx

(1)當(dāng)相=-1時(shí)，討論了(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)相之—2時(shí)，證明/(尤)>0

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式，由題中條件，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等差數(shù)列，

由%+。8=加，m可得，S1O==5(。3+/)=57"=pm，

貝！IP=5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.

2、A

【解析】由視圖確定該幾何體的特征，即可得解.

【詳解】由主視圖可以看出，A點(diǎn)在面上的投影為8。的中點(diǎn)，

由俯視圖可以看出C點(diǎn)在面形。上的投影為6D的中點(diǎn)，

所以其左視圖為如圖所示的等腰直角三角形，直角邊長為巫，

2

于是左視圖的面積為L義叵又顯=上

2224

故選：A.

3、A

【解析】根據(jù)給定條件確定點(diǎn)M,N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.

【詳解】因AM=xAB+yAC+(l—x—y)AD,則AM—A。=x(A3—A￡>)+y(AC—A。)，即

DM=xDB+yDC,

而x,yeR,則。共面，點(diǎn)M在平面BCD內(nèi)，

XDA^=2DA+(1-2)DC(2eR),即CN=2C4,于是得點(diǎn)N在直線AC上，

棱長為1的正四面體ABC。中，當(dāng)40長最短時(shí)，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面BCD上的射影，即正△BCD的中心，

因此，AM=-AB+-AC+-AD,當(dāng)。N長最短時(shí)，點(diǎn)N是點(diǎn)O在直線AC上的射影，即正"CD邊AC的中點(diǎn),

333

AN——AC9而N_BAC—N_DAC-60，AJB,AC-AD,AC=1x1xcos60——,

22

I?［一］??-2-?—j

所以AMA7V=—(AB+AC+A。)一AC二—(ABAC+AC+ADAC)=~.

3263

故選：A

4、B

【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷C,根據(jù)余

弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷D；

【詳解】解：對于A：因?yàn)?。823〉1。822=1,0=log51<log54<log55=1,0=log61<log64<log66=1,故

A錯(cuò)誤;

%3

對于B：因?yàn)閥=在定義域上單調(diào)遞減，因?yàn)?<?，所以1J：〉

31j_1

因?yàn)閥=，在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以j

j_35

故B正確；

對于C：因?yàn)閥=sin尤在—,n上單調(diào)遞減，因?yàn)?>3>?-1>2>工，所以sin3<sin(?-l)<sin2,又

_2J2

sin(乃一l)=sinl,所以sin3vsinl<sin2,故C錯(cuò)誤；

對于D：因?yàn)閥=cosx在[0,可上單調(diào)遞減，又2<2?—4<3<%,所以cos2〉cos(2%—4)>cos3,又

cos(2%-4)=cos4,所以cos2>cos4>cos3,故D錯(cuò)誤;

故選：B

5、D

【解析】點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.

【詳解】設(shè)(x,y)是與直線4x-3y-5=。關(guān)于x軸對稱的直線上任意一點(diǎn),

貝！IG,一切在4x—3y—5=0上，故4x+3y—5=0,

.??與直線4x—3y—5=0關(guān)于x軸對稱的直線的方程為4x+3y—5=0.

故選：D.

6、C

【解析】利用正弦函數(shù)和常數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ?=sinx,所以/(x)=cos尤,所以/(l)=cosl,[/(l)]'=(cosl)'=0,

故選:C

7、A

【解析】先求出抽到的兩名醫(yī)生性別相同的事件的概率，再求抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生事件的概率，然后代入條件

概率公式即可

C2+C293C231

【詳解】解：由已知得尸(A)=43=w=方=亍,

1

則P(張戶瑞=91

7

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查條件概率問題，屬于基礎(chǔ)題

8、C

【解析】根據(jù)數(shù)列｛/｝為遞增的等比數(shù)列，為+%=9,。2?。3=8,利用“q,q”法求得q,4,再代入等比數(shù)列的前"

項(xiàng)和公式求解.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝為遞增等比數(shù)列，

所以4+。4==9,。2?。3=a：.q3=8，

解得：4=1,q=2,

所以邑。|9=3-=2劃9-1?

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】延長F｝M交PF2延長線于N,

則|OM|=gEN=g(|PN|-PE)=g(mHPE)

=^(\PFi\-2a+\PFi\)=\PF1\-a=6-5=l

選:A.

【點(diǎn)睛】涉及兩焦點(diǎn)問題，往往利用橢圓定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化研究，而角平分線性質(zhì)可轉(zhuǎn)化到焦半徑問題，兩者切入點(diǎn)為橢

圓定義.

10、C

【解析】利用等差數(shù)列的定義和數(shù)列單調(diào)性的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】若d〉0,則?！?i—a〃=d〉0,即為M〉a“，此時(shí)，數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，

即“d>0"n”數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列”；

若等差數(shù)列｛叫為單調(diào)遞增數(shù)列，則d=an+l-an>0,

即“d>0"u"數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列”.

因此，“d>0”是“數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.

故選：C.

11、C

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前幾項(xiàng)和公式利用條件％+%=24,§6=48列出關(guān)于由與d的方程組，通過解

方程組求數(shù)列｛4｝的公差.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

6x5

則a4+〃5=q+3d+q+4d=2%+7d=24,S6=6(\=6al+15d=48,

2〃i+7d=24

聯(lián)立＜，解得d=4.

6q+15d=48

故選：C.

12、B

【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得5]2=；*12乂(4+囚2)=6(%+%)=48.

故選：B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

12n

13、①.一+②.----

2n+1

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P(4，a,,+J(〃eN*)在直線x—y+l=。上，

所以q—4+i+l=Ona“+i—%=1,所以數(shù)列｛4｝是以%=1,公差為1的等差數(shù)列,

所以S”=叫(〃-l)d="+g〃("-l)=n(n+1)；

因?yàn)镾,=；"("+l)，

12J1、

所以工=記行=2(/二^),

于是―++j-+11xI、2〃

+-------)=2(1-----)二——

SlS2Sn223nn+\n+1n+\

12n

故答案為：-n(n+l)；--

2zi+1

14、-72

【解析】=f^i—jcosx-sinx,而：|=jcos^-sin-^-=-1,所以/'8)=-85乂-血丁，

J_=—cos——sin_=一無，故填：.

44

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)

15、4

【解析】化簡曲線方程2x=j4+y2,得到雙曲線的一支，結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果

_____22

【詳解】由2x=j4+y2,得=4+y2(x〉o),即f—2L=1?！?),故P為雙曲線必—2L=i(x〉o)右支上

v-44

一點(diǎn)，且A3分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，貝！|依|=2。=2,|B4|=2+2=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義，解題時(shí)要先化簡曲線方程，然后再結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)

2

16、-##0.4

5

【解析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差d,進(jìn)而寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前"項(xiàng)和公式，再求目

標(biāo)式的最小值.

【詳解】由題設(shè)，(%—1)2=44,則(2d+4)2=5(5"5),整理得4d?-94一9=0，又d>0,

解得2=3,故4=3附+2,3=〃⑶;+=,

na-n3H+1,62

所以一『=三17=1-不有，故當(dāng)〃=1時(shí)目標(biāo)式有最小值為三.

2Sn3〃+73〃+75

2

故答案為：j

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、5x+3y—6—0?%+13y+5=0

【解析】根據(jù)兩點(diǎn)式方程和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，并化為一般式方程即可.

V—2x—0

【詳解】解：過5(3,—3),C(0,2)的兩點(diǎn)式方程為=整理得5x+3y—6=0

—j—23—0

即BC邊所在直線的方程為5x+3y—6=0,

8C邊上的中線是頂點(diǎn)A與邊中點(diǎn)M所連線段,

3+0-3+21

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為

2)

y-01135

的直線的方程為4-。*5,即寸+廣。

整理得x+13y+5=0

所以8C邊上中線所在直線的方程為x+13y+5=0

18、(1)=2,!+1-2

(2)證明見解析

【解析】(1)依題意可得4+1+2=2(%+2),即可得到｛%+2｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)

列｛4｝的通項(xiàng)公式；

72+1

(2)由(1)可得利用錯(cuò)位相減法求和，即可證明；

【小問1詳解】

解：因?yàn)閝=2,an+l=2an+2,所以+2=2(為+2),所以+2｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所

以4+2=4x2"T=2用，所以4=2m-2；

【小問2詳解】

解：由(1)可知d=——+==—需+工=二n+二1，所以7；=：2+3+三4++n等+1①，所以

n+1n123n

an+2222222

J234n+1^

5北=球+初+吩++廣②；

①-②*-+99+.貴…見上1幫二1一景

乙乙乙乙乙1A乙乙乙

~2

〃+3

所以(=3-〒<3；

19、(I)(-oo,l);(II)答案見解析.

【解析】(I)求導(dǎo)數(shù).求得切線方程，由切線與x軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸可得。的范圍；

(II)求導(dǎo)數(shù)f\x),由/'(%)的正負(fù)確定單調(diào)性，極值得最值

【詳解】命題意圖本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的應(yīng)用

解析(I)由題可知r(x)=ex-a--,x>0

X

川)=/⑴=ej

故可得/(x)的圖象在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y-e?=(e?―l)(x-1)

令y=o,可得x=-

1-e~

由題意可得」T"<0,

即ej>l，解得。<1，即。的取值范圍為(—8,1)

(II)當(dāng)a=l時(shí)，y(x)=er-l-lnx

r(x)=en」，x>0

X

易知/'(x)=e--工在(0,+8)上單調(diào)遞增

X

又廣⑴=0,

.?.當(dāng)xe(0,l)時(shí)，f'(x)<Q,此時(shí)/(X)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，f'(x)>0,此時(shí)單調(diào)遞增

???/?in=/(l)=h無最大值

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的的最值.解題關(guān)鍵是求出導(dǎo)函數(shù)/'(x),由

/'(x)的正負(fù)確定單調(diào)性，得函數(shù)的極值，從而可得最值

,1

20、aV—

2

【解析】由題設(shè)得(L2)是P為真時(shí)的子集，即。.2*-2<0,法一：討論。40、a>0,根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

范圍；法二：利用「.2工-2<0在(L2)恒成立，結(jié)合參變分離及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍.

【詳解】由三―3%+2<0,得l<x<2,則命題4對應(yīng)的集合為A={x|1<x<21,

設(shè)命題夕對應(yīng)的集合為3,〃是q的必要條件，則人口5,

由a-22，+(a—2)2、一240,得(「?2'—2)(2,+1)<0,又2，+1>0，

法一：若時(shí)，a-2x-2<09則XER,人口5顯然成立；

221

若a>0時(shí)，x<log2—,則log2—22,可得0<a4彳，

aa2

…/I

綜上：〃V—

2

法二：a?2工—240在(1,2)恒成立,即4<￡_=(；)=/(x)，

???/(尤)在(1,2)單調(diào)遞減,

1

???aV—?

2

3

21、(1)y=----；

2e

(2)(i)(O,+8);(ii)證明見解析.

【解析】(1)求出/(-1),/'(-1),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程;

(2)(i)根據(jù)題意對參數(shù)。分類討論，當(dāng)a>0時(shí)，等價(jià)轉(zhuǎn)化刊［%)=0,且構(gòu)造函數(shù)/2(%)=三+依-。，利用零

點(diǎn)存在定理，即可求得參數(shù)。的取值范圍；

=/-2+占

(ii)根據(jù)(i)中所求得到。與%的等量關(guān)系，求得/(七)并構(gòu)造函數(shù)〃z(x),xe(0,1),利用導(dǎo)

數(shù)研究其單調(diào)性和最值，則問題得證.

【小問1詳解】

當(dāng)a=一工時(shí),/(x)=e4x-^--ll則/刎=e[2x：x+l),故/(-六一尸㈠卜。,

2\)2工2

則曲線y=/(x)在點(diǎn)(-1,/(-1))處的切線方程為V=

【小問2詳解】

(i)因?yàn)?(x)=e[x+--1故可得/<%)=e，

因?yàn)橛萫(O,l),則當(dāng)aWO時(shí)，x+--4=x+-［1--|>0,則尤)>0,無零點(diǎn)，不滿足題意;

當(dāng)a>0時(shí)，若在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn)，即y=x+@-烏在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn)，

XX

也即人⑺=3+融一a在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn),又用'(尤)=3/+4>0,則人⑺單調(diào)遞增,

則只需/z(0)=—40皿1)=1)0,解得a>0.

綜上所述，若在區(qū)間(0,1)上有唯一的零點(diǎn)飛,則ae(O,”)；

(ii)由(i)可知，若刊［%)在區(qū)間(0,1)上有唯一的零點(diǎn)/,則焉+ax°—a=0，

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也即a=」!L_