新教材人教A版高中數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊 ?？碱}型練習(xí) 04 直線方程“對稱性”綜合應(yīng)用

專題4直線方程“對稱性”綜合應(yīng)用

目錄

【題型一】點(diǎn)關(guān)于直線對稱......................................................................1

【題型二】直線關(guān)于點(diǎn)對稱......................................................................2

【題型三】直線關(guān)于直線對稱....................................................................4

【題型四】圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱................................................................6

【題型五】圓與圓關(guān)于直線對稱..................................................................7

【題型六】函數(shù)和曲線關(guān)于直線對稱.............................................................8

【題型七】光學(xué)性質(zhì)............................................................................10

【題型八】直線綜合............................................................................13

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練.....................................................................15

培優(yōu)第二階——能力提升練.....................................................................18

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練.....................................................................20

熱點(diǎn)題型歸納

對稱技巧：

如果對稱軸所在的直線斜率是±1，即直線是y=±x+b型，可以利用反解對稱軸法直接求出對稱變換式子

y=±x+b/、

Γf1其中點(diǎn)（x°,y°）是所給點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)（χ,y）是所求對稱點(diǎn)坐標(biāo)

[x=+y0-b

【題型一】點(diǎn)關(guān)于直線對稱

【典例分析】

（2021?全國?高二專題練習(xí)）己知點(diǎn)A（1,-2）,B（m,n）,關(guān)于直線x+2y-2=0對稱，則m+n的值是（）

A.-2B.3C.5D.7

【答案】C

【分析】先利用線段的中點(diǎn)公式求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再把中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線x+2y-2=0,結(jié)合斜率關(guān)

系列方程組，求得利九，從而求得〃?+〃的值.

【詳解】VA（1,-2）和8（加，〃）關(guān)于直線x+2y-2=0對稱，

二線段AB的中點(diǎn)C（等，弓2）在直線x+2y-2=0上，

Λ?+-2+n-2—0.m+2n-l,而"+〃X（一■-）—-1,得2/”-“=4,

2m-?2

?m+2n=l,

解方程組＜/可得〃?=3,〃=2,.?.m+〃=5.故選：C

2m=4

【提分秘籍】

基本規(guī)律

點(diǎn)關(guān)于直線對稱：

(I)點(diǎn)關(guān)于線對稱：方程組法，設(shè)對稱后點(diǎn)的坐標(biāo)為(X,)，)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)及垂直斜率列方程組

(2)點(diǎn)A3")關(guān)于直線—+3y+C=0的對稱點(diǎn)A'的,"),

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?江蘇連云港?高二期中)點(diǎn)(1,1)關(guān)于直線hx+y+2=0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(-1,-1)B.(—2,—2)C.(0,0)D.(一3,-3)

【答案】D

【分析】設(shè)點(diǎn)M(l,l)關(guān)于宜線Lx+y+2=0對稱的點(diǎn)N的坐標(biāo)(x,y),解方程IM=I,且等+券+2=0,

X-I22

即得解.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)M(Ll)關(guān)于直線∕x+y+2=0對稱的點(diǎn)N的坐標(biāo)(x,y)

則MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(g?,g?),

利用對稱的性質(zhì)得：KMN=*~~???,U.—^―+j-?-+2=0,

X-I22

解得：x=-3,y=-3,.,?點(diǎn)N的坐標(biāo)(-3,-3),故選：D

2.(2021?江蘇?高二期中)點(diǎn)(〃，匕)關(guān)于直線x+y+l=O的對稱點(diǎn)是()

A.(-a—1,—/?—1)B.(―Z?-1,—a—1)

C.(-af—b)D.(-b,—a)

【答案】B

【分析】結(jié)合中點(diǎn)和斜率求得對稱點(diǎn)的坐標(biāo).

—n-—b×/(-l)?=-l.

(詳解】設(shè)對稱點(diǎn)為(機(jī)〃)，則｛"A

'/FM-LZ>It-1.H

所以對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-b-1,-a-1).故選：B.

3.(2021?全國?高二課時(shí)練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系XOy中，若點(diǎn)A與點(diǎn)8(2,1)關(guān)于直線V=》對稱，則SinNAaV

等于()

A.-B.-C.@D.空

5555

【答案】D

【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】由題意A(l,2),則SinNAO尸肝'=羋故選：D

【題型二】直線關(guān)于點(diǎn)對稱

【典例分析】

（2022?全國?高二單元測試）直線4x+y+3a-1=0恒過定點(diǎn)M,則直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)M對稱的直

線方程為（）

A.2x+3y—12=0B.2x+3y+12=0C.3χ-2y—6=0D.2x÷3>,÷6=0

【答案】B

【分析】先求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)，再設(shè)出與直線2x+3y—6=0關(guān)于點(diǎn)例對稱的直線方程，利用點(diǎn)到直線距

離公式求出答案.

【詳解】由Or+y+34-1=0得(x+3)α+(y-1)=O,

x+3=0

由：.M(一3,1).

y-l=O

設(shè)直線2r+3y—6=0關(guān)于點(diǎn)M對稱的直線方程為2x+3y+C=0（Cx-6）,

.∣-6+3-6∣卜6+3+C∣

解得:C=12或C=-6（舍去）,

"√4+9-√4+9

.?.直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)M對稱的直線方程為2x+3y+12=0.故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

直線關(guān)于點(diǎn)對稱:

（1方法一：可以取兩個(gè)點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)求出直線方程）

（2）方法二：對稱直線和原直線是互為平行線，且到點(diǎn)的距離相等，所以可以待定系數(shù)法，利用點(diǎn)

到直線距離公式求解（注意會(huì)有增根，增根對應(yīng)的恰好是原直線方程）

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江蘇?高二專題練習(xí)）直線Ly=2x+3關(guān)于點(diǎn)P（2,3）對稱的直線/'的方程是（）

A.2x-y-5=0B.2x÷y-5=0

C.2x-y+5=0D.2x+γ+5=0

【答案】A

【分析】由題可得/和/'平行，設(shè)出方程，根據(jù)點(diǎn)尸到兩直線距離相等即可求出.

【詳解】因?yàn)?和/'關(guān)于點(diǎn)P對稱，則兩直線平行，可設(shè)，'方程為2x-y+。=。（?≠3）,

∣2×2-3+3∣∣2×2-3+?∣

點(diǎn)P到兩直線的距離相等，則加2+.1）2=［22+（τ）2，解得%=T或3（舍去），

所以直線/'的方程是2x-y-5=0.

故選：A.

2.（2021?全國?高二專題練習(xí)）直線y=2x+l關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線方程是（）

A.y=2x-lB.y=-2x-i

C.y--2x+?D.y=2x

［答案］A

【力析】由直線y=2χ+ι上任意兩點(diǎn)，求出其關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，再求出斜率，進(jìn)而得出所求方程.

【詳解】點(diǎn)（0,1）,（1,3）在直線。=2/1上,則（0,-3）在所求直線上

所求直線的斜率Z=EW2=2,則所求直線方程為y=2（X-0）-1=2尤-1

故選：A

3.（2020?河北?元氏縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）與直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程是（）

A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0

【答案】D

【分析】設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為（X，y）,則其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-兌-2-），）,代入

己知直線即可求得結(jié)果.

【詳解】解析：

設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為（為y）,則其關(guān)于點(diǎn)（1,-I）對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-X,-2-y）,以

（2-x,-2-y）代換原直線方程中的（χ,y）得2（2-x）+3（-2-y）-6=0,即2x+3y+8=0.

故選:D.

【題型三】直線關(guān)于直線對稱

【典例分析】

（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）若兩條平行直線hx-2y+m=0（m>0g4:2x+〃y-6=0之間的距離是2遂，

則直線4關(guān)于直線4對稱的直線方程為（）

A.%—2y—13=0B.X-2y+2=0

C.x-2y+4=0D.x-2y-6=0

【答案】A

【4析】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出〃,再利用兩條平行直線間的距離求出in,再由平行線間距離即可求

解.

【詳解】因?yàn)橹本€4：x-2y+m=0（w>0）與32x+nγ-6=0,

所以"=-2χ2=-4,

又兩條平行直線4：x-2y+w=0（m>0）?∕2≈2x+/y-6=0之間的距離是26，

所以占"+∣=26解得加=7。即直線八x-2y+7=0,/,：x-2y-3=0,

√4+16

設(shè)直線4關(guān)于直線I2對稱的直線方程為X-2y+c=0,

1-3-71l-3-cl

則L=f,解得c=T3,故所求直線方程為x-2y-13=0,故選：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

線關(guān)于線對稱：

①求交點(diǎn)；

②已知直線上取一個(gè)特殊點(diǎn)，并求其關(guān)于直線的對稱點(diǎn)；

③兩點(diǎn)定線即可.

【變式訓(xùn)練】

y=—X

1.（2022?江蘇?高二專題練習(xí)）直線.3關(guān)于X=I對稱直線/,直線/的方程是（）

A.?/??+y-2=0B.?∣3x+y+2=0

C.x+√3y-2=0D.x+√3y+2=0

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知直線y=3χ與直線X=I交于點(diǎn)4（1,年），求出原點(diǎn)關(guān)于直線X=I對稱的對稱點(diǎn)8,

利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率公式和直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果.

【詳解】如圖，直線y=*x與直線X=I交于點(diǎn)A(l,*),直線y=等X過原點(diǎn)(0,0),

因?yàn)橹本€y=半X與直線/關(guān)于直線X=I對稱,所以原點(diǎn)關(guān)于直線X=I的對稱點(diǎn)為8(2,0),且直線/過點(diǎn)A、

B,

√3nG

則直線/的斜率為心_7一0_6，所以直線/的方程為y-0=-t(x-2),

^=_rr=_T3

即x+6y-2=0.故選：C

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))直線y=2x+l關(guān)于直線y=x對稱的直線方程為()

A.x-3y+l=0B.x-3y-l=OC.x-2y-?=OD.x-2γ+l=0

【答案】C

［分析］先聯(lián)立方程［'12x+1得(τ,T),再求得直線y=2x+1的點(diǎn)(0,1)關(guān)于直線y=X對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

(1,0),進(jìn)而根據(jù)題意得所求直線過點(diǎn)(T,T),(1,0),進(jìn)而得直線方程.

fy=2x÷l/、/、

【詳解】解：聯(lián)立方程—得(TT),即直線y=2χ+ι與直線y=%的交點(diǎn)為(-1,-1)

［y=χ

設(shè)直線y=2χ+1的點(diǎn)((U)關(guān)于直線y=*對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(七,券)，

X。_%+1

97

所以一］,解得Xo=I,%=0所以直線y=2χ+ι關(guān)于直線y=χ對稱的出線過點(diǎn)(τ,τ),(1,0)

I?

所以所求直線方程的斜率為所以所求直線的方程為y=g(x-l),即x-2y-l=0故選：c

3.(2022?全國?高三專題練習(xí))與直線2x-y+l=O關(guān)于X軸對稱的直線的方程為()

A.%-2y+l=0B.2x+y-l=0C.x+2y+l=0D.2x+y+l=0

［答案］D

【彳析】求出給定直線的斜率及與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用對稱的性質(zhì)計(jì)算作答.

【詳解】直線2x-y+l=0的斜率為2=2,與X軸交于點(diǎn)A(-g,O),

直線2x-y+l=0關(guān)于X軸對稱的直線的斜率為Tt=-2,并且過點(diǎn)A,

由直線的點(diǎn)斜式方程得：y-0=-2(x+；),即2x+y+l=0,

所以所求直線的方程為：2x+y+l=0.

故選：D

【題型四】圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱

【典例分析】

（2020?全國?高二課時(shí)練習(xí)）若圓Y+尸-6x-2y=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線0x+?y-4=0對稱，則ab的最大

值為（）

【答案】B

【解析】由題意可知直線6+勿-4=0必過圓心⑶1）,從而得3a+b=4,再利用基本不等式可求出成的最

大值

【詳解】解：由圓的對稱性可得，直線0r+by-4=0必過圓心（3,1）,所以3α+b=4.

所以4=3α+b..2屬，所以她,不當(dāng)且僅當(dāng)b=2,Q=W時(shí)取等號，

??

故選:B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

則對稱直線必過圓心且與兩點(diǎn)所在的弦中垂

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若直線y=依與圓（x+2）2+（y-l）2=l的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線2x-y+6=0對稱，

則上,b的值分別為（）

A.k=—,b=5B.k——,b=—3

22

C.k=--,h=-4rD.k=2,b=5

2

【答案】A

【分析】由題意分析得知直線2x-y+0=0經(jīng)過圓心求出也由直線y=H與直線2x-y+b=0垂直求出Jt即可.

【詳解】因?yàn)橹本€>=區(qū)與圓（x+2>+（y-l）2=l的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線2x-y+b=0對稱，

所以直線2χ-y+人。經(jīng)過圓心（—2,1）,

且直線N=履與直線2χ-y+b=0垂直，

所以"72"”=°解得：\1.故選：A.

?2k=-?k=——

lI2

2.（2020?江西?南昌縣蓮塘第三中學(xué)高二期中）已知4-2,0）,8（0,2）,M,N是圓V+y?+依=0（%是常

數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，如果M,N兩點(diǎn)關(guān)于直線x-y-1=0對稱，則面積的最大值

是（）

A.3-√2B.3+√2C.2√2D.2+√2

［答案］B

【彳析】首先根據(jù)圓的對稱性得直線χ-yτ=。過圓心，求得圓的方程，再求圓心到直線AB的距離d,則

圓上的點(diǎn)到直線A3的距離的最大值是d+r,即可得面積的最大值.

【詳解】因?yàn)镸,N是圓9+/+丘=o（%是常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，RM,N兩點(diǎn)關(guān)于直線x-y-l=0對

稱，所以圓心（-*o）在直線χ-y-i=o上，得-T-I=0,解得：k=-2,即圓的方程是

x2+∕-2x=0<=>(x-l)2+∕=l,直線AB:x-y+2=0,

圓心(1,0)至Il直線x-y+2=0的距離d=裳=|&,所以圓上的點(diǎn)到直線AB的最遠(yuǎn)距離為1+半，所以

co∕y>

△PA8面積的最大值為S=]1X∣4B∣X!+?=3+0.

\/

故選：B

3.(2021?全國?高三專題練習(xí)(文))如果直線Ly=米-5與圓/+),2-2*+歿_4=0交于M、N兩點(diǎn)，且M、

N關(guān)于直線2χ+y=0對稱，則直線/被圓截得的弦長為()

A.2B.3C.4D.2√3

【答案】C

【解析】由題意推出圓心在直線上，求出機(jī)，求出圓的半徑與弦心距，利用圓心距、半徑、半弦長滿足勾

股定理，求出弦長.

tn

【詳解】因M、N關(guān)于直線2x+y=0對稱，故圓心(1,-萬)在直線2x+y=0上，.?.zn=4.

又因?yàn)橹本€2χ+y=0與/：y=依-5垂直，.?.-2xK=-l,.?.K=:,

2

?×?-(-2)-5

設(shè)圓心(1,-2),至IJ直線1x-y-5=0的距離為d,:.d=—,---------=√5,圓的半徑為

22

r=lλ∕(-2)+4+16=3.

.?.∣MN∣=2√T%τ=4.故選：C.

【題型五】圓與圓關(guān)于直線對稱

【典例分析】

(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))己知圓G：(x-4+(y-A?=4(α,6為常數(shù))與G+V-2x=0.若圓心Cl

與G關(guān)于直線χ-y=o對稱，則圓G與G的位置關(guān)系為()

A.內(nèi)含B.相交C.相切D.外離

【答案】B

【分析】根據(jù)條件求出G的圓心(α,b)，再根據(jù)G,C?圓心的距離即可判斷.

【詳解】依題意Q(1,0),所以G(0,l),又｛=2,r2=l,rl+r2=3,∣∕[-^∣=1,

22

∣C1C2∣=√1+1=√2∈(1,3),所以兩個(gè)圓相交；

故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

圓關(guān)于線對稱：圓心對稱，半徑不變

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))圓(x-1)2+(>2丫=2關(guān)于直線/：x+y-2=0對稱的圓的方程為()

A.(X-4)2+(>>-1)2=2B.(%÷4)2+(y+l)2=2

C.(x-4)2+(y+l)2=2D.(x+4)2+(y-l)2=2

【答案】A

【分析】首先求出圓(>1丫+(尹2)2=2的圓心坐標(biāo)與半徑，再設(shè)圓心(1,-2)關(guān)于直線/:x+y-2=0對稱的

點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,6),即可得到方程組，求出。、b,即可得到圓心坐標(biāo)，從而求出對稱圓的方程；

【詳解】解：圓(x-iy+(y+2)2=2的圓心為(1,—2),半徑廠=0,設(shè)圓心(1,一2)關(guān)于直線/:x+y-2=0對

稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),

f?+2(.

-1n,

—?！?)=^fa=4

則=b-2，解得6=1，即圓(χ-iy+(y+2)2=2關(guān)于直線/：x+y-2=°對稱的圓的圓心為(4,1)，

12=0〔

2-----2

半徑r=&,

所以對稱圓的方程為(x-4)2+(yT)2=2;故選：A

2.(2021?浙江?吳興高級中學(xué)高二階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系Xo)，中，若圓G：(X-2y+(y-lf=4上存在

點(diǎn)M,且點(diǎn)M關(guān)于直線x+y+1=O的對稱點(diǎn)N在圓G：(x+lf+(y+l)2=∕(r>0)上，則r的取值范圍是

()

A.[√17-2,√17+2]B.[2√2-2,2√2+2]

C.[√13-2,√13+2]D.[√5-2,√5+2]

【答案】D

【分析】求得圓G關(guān)于直線χ+y+ι=o的對稱圓的方程，轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系，即

可求解.

【詳解】解：由題意知,圓G圓心G(2,l),半徑4=2,圓C2圓心G(T-I),半徑4=r,

2+Qb+1.

------+-----+1=0

22

G(2,1)關(guān)于x+y+1=0的對稱點(diǎn)設(shè)為G(α,0)(α≠2),則，

口(T)=T

α-2''

解得《二j所以圓Cl關(guān)于x+y+l=°的對稱圓C3：(x+2)2+(y+3)2=4,

由題意知，圓C?與圓C,有公共點(diǎn)，因?yàn)楱OC2C3∣=J(-2+lf+(-3+l)2=&，

所以∣r-2∣≤6≤r+2,解得&-2≤r≤*+2,故選:D.

3.(2021.天津市咸水沽第二中學(xué)高二期中)已知圓C/：(x+l)2+(>-1)2=1,圓C2與圓C/關(guān)于直線x—y—

1=0對稱，則圓C2的方程為()

A.(x+2)2+(γ-l)2≈lB.(χ-2)2+(y+2)2=l

C.(x+2F+(y+2)2=lD.(χ-2)2+(y-2)2=l

【答案】B

【解析】本題首先可以設(shè)出圓G的圓心，再根據(jù)圓。的方程得出它的圓心與半徑，然后通過圓G與圓Cl關(guān)

于直線％-yτ=O對稱得出圓G的圓心與半價(jià)，最后得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)。2(。力)，圓C∣:(x+l)2+(y—1)2=1,圓心G為(一1，1).半徑為1.易知點(diǎn)c(—l,1)關(guān)于直

?-l

-----=—11

∕,+,,,.解得4=2/\

線X—y-1=0對稱的點(diǎn)為Ca,則?b=-2'所以G(2一),所以圓G的圓心為

佇I一處U=O

22

C2(2,-2),半徑為1,所以圓G的方程為(x—2)2+(γ+2)2=l.故選：B.

【題型六】函數(shù)和曲線關(guān)于直線對稱

【典例分析】

(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)的圖象與y=2""的圖象關(guān)于直線y=f對稱，若，祖+〃=2020,

f(-2m)+f(-2")=2,則”=()

A.1011B.1009C.-1009D.-1011

【答案】A

【分析】在函數(shù)y=f(x)的圖象上取點(diǎn)(x,y),則關(guān)于直線y=-X對稱點(diǎn)為(-y,-x),代入y=2r+α,

結(jié)合題目條件可得答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=∕(x)的圖象與y=2χ+α的圖象關(guān)于直線y=-X對稱，

令f(-2/77)=pf/(-2〃)=q,則p+q=2;故(-p,2m)1Q-q,2n)在y=2r+”的圖象上，

[m=-p+a

所以2m=2ρ+α,2n=2y+a即1,兩式相加得，%+鹿=-(P+夕)+2π,

f[n=-q+a

所以2〃="i+"+p+g=2020+2=2022,解得a=1011,故選：A.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

曲線關(guān)于直線對稱：

(1)對稱軸直線多為特殊直線(豎直，或者斜率為±1),可以特殊化處理

⑵可以利用函數(shù)點(diǎn)(X。，f(x0)),利用對稱軸特殊性，尋找對稱點(diǎn)，代入計(jì)算化簡

(3)如果對稱軸不特殊，則轉(zhuǎn)化為“求軌跡題型”

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?全國?高二專題練習(xí))若函數(shù)y=∕(χ-2)的圖象關(guān)于直線χ=2對稱，f(χ)對任意的實(shí)數(shù)X都有

f(x+4)-f(x)=2f(2),且/(I)=1,則/(2022)+/(2021)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由函數(shù)/(x-2)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，得y=∕(x)關(guān)于x=0對稱，即為偶函數(shù)，根據(jù)已知條

件賦值可求/(2)="-2)=O,可得"χ+4)=∕(x),所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，計(jì)算化簡可得所

求和.

【詳解】函數(shù)/(x-2)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

二由函數(shù)圖象的平移可知函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=0對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，

"x)對任意的實(shí)數(shù)X都有/(x+4)-/(X)=2/(2),令x=-2可得,所以/(2)-〃-2)=2"2),

.?.∕(-2)=-∕(2)=∕(2),.?.∕(2)=∕(-2)=0,.?.∕(x+4)=∕(x),即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù),

.?.∕(2022)=∕(4×505+2)≈∕(2)=0./(2021)=∕(4×505+l)=/(1)=1,

.?.∕(2022)+γ(2021)=0+l≈l.故選：B

2.(2021.內(nèi)蒙古?赤峰二中高二期末(理))設(shè)函數(shù)"x)=eαt與g(x)=力InX的圖象關(guān)于直線x-y=0對稱,

其中α,Z>eR且4>0.則。，方滿足()

A.tz+?=2B.a=b=lC.Qb=ID.—=1

【答案】C

【分析】由題意可知函數(shù)/(x)=e'”圖象上任意一點(diǎn)A(x,eαr)關(guān)于χ-y=0對稱點(diǎn)A(e",x)在函數(shù)

g(x)=匕InX的圖象上，代入利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：設(shè)A(Xe)是函數(shù)/(x)=eαt圖象上任意一點(diǎn)，

則它關(guān)于直線aV=0對稱的點(diǎn)A(eαv,x)在函數(shù)g(x)=ZHnx的圖象上，

所以x=i>lne'"="x,即。5=1,故選：C.

3.(2020?湖南?雅禮中學(xué)模擬預(yù)測(理))若曲線y=e*關(guān)于直線>=工+〃2(加呈0)的對稱曲線是)，=m"+。)+力，

則2的值為()

a

A.2B.-1C.1D.不確定

【答案】C

【分析】本題首先可以在曲線y=e'上任取一點(diǎn)尸(r,e'),然后設(shè)出點(diǎn)P關(guān)于直線y=χ+”的對稱點(diǎn)Q,再然

后根據(jù)線段中點(diǎn)以及兩條直線相互垂直的性質(zhì)求出。點(diǎn)坐標(biāo)，最后將Q點(diǎn)坐標(biāo)帶入y=In(x+α)+b中即可

得出結(jié)果.

【詳解】在曲線y=e'上任取一點(diǎn)p(r,e'),設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線y=x+m(m≠θ)的對稱點(diǎn)為。(玉,yl),

則PQ中點(diǎn)的“'JFL在直線y=x+wι上，即三產(chǎn)=(L+根，因?yàn)橹本€PQ與直線》=》+加垂直，所

Z+X

d+)1=-----L+"?

以一22

=-ι,聯(lián)立V解得克I=--"?,y1=t+m,Q(e'-機(jī)J+M),

xl-1

因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線yTn(x+α)+Z?匕所以f+w=ln(e'-機(jī)+〃)+/?,對?切r∈R恒成立,

故α=機(jī)，b=m,-=1,故選：C.

a

【題型七】光學(xué)性質(zhì)

【典例分析】

(2021.廣東.廣州市真光中學(xué)高二階段練習(xí))已知：A(-2,0),B(2,0),C(0,2),￡(-1,0),F(l,θ),一束

光線從尸點(diǎn)出發(fā)射到4C上的。點(diǎn)經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上(不含端點(diǎn)).則尸。斜率

的取值范圍是()

y

(1,3)D.(4,+∞)

【答案】D

(分析］先作出F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P，再作P關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M,因?yàn)楣饩€從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的。

點(diǎn)經(jīng)8C反射后，入射光線和反射光線都經(jīng)過/關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)P點(diǎn)，又因?yàn)樵俳?jīng)AC反射，反射光

線經(jīng)過P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)，所以只需連接M4、ME交AC與點(diǎn)N,連接PN、BA分別交BC為點(diǎn)G、H,

則G,日之間即為點(diǎn)。的變動(dòng)范圍.再求出直線FG,的斜率即可.

【詳解】VA(-2,0),8(2,0),C(0,2),

.?.直線BC方程為χ+y-2=0,直線AC方程為x—y+2=0,

如圖，作尸關(guān)于8C的對稱點(diǎn)P,

VF(l,0),ΛP(2,1),再作尸關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M,則M(T,4),

連接M4、ME交AC與點(diǎn)N,則直線ME方程為X=-I,N(T,1),

連接PN、24分別交BC為點(diǎn)G、則直線PN方程為y=l,直線24方程為x-4y+2=0,

G(l,l),H.連接GF,HF,則G,”之間即為點(diǎn)O的變動(dòng)范圍.

4

：直線FG方程為x=l,直線F”的斜率為*=4,

5^

【提分秘籍】

基本規(guī)律

涉及到最短距離，可以利用“光學(xué)性質(zhì)”：光走的路徑最短，借助對稱性來求解

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知直線(：x-y+2=0,l2:x-y-2=0,直線垂直于4，3且垂足分

別為A,B,若C(T,0),D(4,0),貝“C4∣+∣AB∣+忸。的最小值為()

A.√10+2√2B.8+√2C.2√K)+2√2D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)條件設(shè)出直線/3的方程X+y=2"，求出點(diǎn)A,B坐標(biāo)，用,〃表示出IC4∣+∣A8∣+忸力，再借助

幾何意義即可計(jì)算得解.

【詳解】因直線4垂直于4，3則設(shè)直線〃的方程為：x+y=2m(meR),

(x+y=2m[x+y=2m

由-C得點(diǎn)A5-l,m+l),由〈-C得點(diǎn)仇機(jī)+l,∕n-l),而C(zT,0λ,D(z4,0λ,

[x-y=-2[x-y=2

于是得∣C4∣+∣A8∣+IBq=JG〃+3)2+(曰+1)2+2√2+√(w-3)2+(W-I)2,

而J(〃?+3)2+("+I)?+"(〃?—3)?+(加一I)?表示動(dòng)點(diǎn)M(見⑼到定點(diǎn)^(-3,-l)HF(3,1)的距離的和，

顯然,動(dòng)點(diǎn)M(wj,m)在直線N=X上,點(diǎn)E(-3,-l)與F(3,l)在直線y=X兩側(cè),因此，IMEI+1例尸∣≥∣EF?=2√W,

當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)點(diǎn)M是直線N=X與線段￡F：y=gx(-3≤x≤3)的交點(diǎn)，即原點(diǎn)時(shí)取“="，此時(shí)"?=0,

從而得J(W+3)2+(++1)2+Jo_31+(+7)2取最小值2癡，

所以，當(dāng)直線/3方程為：χ+y=o時(shí)，|。1|+|知+|即取最小值2屈+2&.

故選：C

2.(2022?重慶南開中學(xué)高二期末)平面直角坐標(biāo)系中，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)為,50,0)48,0),8(8,6),C(0,6),

光線從OA邊上一點(diǎn)4(4,0)沿與X軸成。角的方向發(fā)射到AB邊上的《點(diǎn)，被48反射到BC上的鳥點(diǎn)，再

被BC反射到OC上的Λ點(diǎn),最后被OC反射到X軸上的Bao)點(diǎn),若fe(4,8),則tan。的取值范圍是()

【分析】根據(jù)光線反射的性質(zhì)，利用解三角形可得乙坐標(biāo)，再由re(4,8)求解即可.

【詳解】由題意，A[=4tan6,則B[=6-4tan。.=S-4,

tanθtanθ

612tanl96

c∕>=[8-(—--4)]tan(9=12tan6>-6,OP4=~<-)=一12ι即--12,0),

tanΘtanθtanΘtanΘ

1233

.」=-----12∈(4,8),解得二<tan6<3.故選：A

tan654

3.(2021?四川?成都市溫江區(qū)第二中學(xué)校高二期末(理))己知兩點(diǎn)A(T8),8(2,4),點(diǎn)C在直線y=χ+l上,

則IACl+∣8Cl的最小值為（)

A.2√13B.9C.√74D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件求出B關(guān)于直線y=χ+i的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.

【詳解】依題意,若8（2,4）關(guān)于直線y=χ+l的對稱點(diǎn)*（見〃）,

連接48'交宜線y=x+l于點(diǎn)C',連接BC',如圖,

1上任取點(diǎn)C,連接ACBC,B'C,顯然，直線y=χ+l垂直平

則有IACl+18CI=IACl+∣g,C∣≥∣AB'?=?AC'∣+∣QC∣=∣AC∣+18C∣,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與C'重合時(shí)取等號,

二(IAa+1Bel)min=|AB'I=U-3尸+(8-3)2=5,故IACl+怛。的最小值為舊.故選：C

【題型八】直線綜合

【典例分析】

（2021?江蘇?高二專題練習(xí)）在ABC中，8=30°,BC=BAB=2,。是邊8C上的點(diǎn)，及C關(guān)于直線

AZ）的對稱點(diǎn)分別為8',C',則453'C'面積的最大值為（）

?6r3石R,2Λ∕3γ.3—6

A.o.-------IX?--------L/.-----------

2777

【答案】A

【分析】由題意可得AABC為直角三角形，則以C為原點(diǎn)，C4為X軸，C8為），軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)直

線方程以及點(diǎn)到直線的距離表示出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào).即可求得最值得選項(xiàng).

【詳解】解：在，ASC中B=30,BC=BAB=2,可得ABC為直角三角形，且C=90,

則以C為原點(diǎn)，CA為X軸，CB為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

則A(l,0),fi(θ,√3),C(0,0),設(shè)￡>(O,X)(O<∕<√5),則直線AD：y=-Λ(x-l),

即/U+y-∕l=0.設(shè)88,與4。交于點(diǎn)E，則BE=怛二W，又因?yàn)橹本€8E：y-G=5x,即x-/l），+&=0.

√i7Irλ

此時(shí)C到直線BE的距離為〃=,所以58.=2χl^T,C'到88’的距高為6=El

√l+λ2√1÷221+A2

則所求面積S=k2χ怛比lx&=3"⑨

1+Λ2]+λ2

所以當(dāng)Nw時(shí)，S'>0,當(dāng)Xe時(shí)，S<0.

所以當(dāng)力=迫時(shí)，s,,m=^,故選：A.

3IlldX2

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?山東省日照實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高二階段練習(xí))將一張畫了直角坐標(biāo)系(兩坐標(biāo)軸單位長度相同)的紙

折疊一次，使點(diǎn)(2⑼與點(diǎn)(々4)重合，點(diǎn)(2021,2022)與點(diǎn)(加,〃)重合，則??:+〃=()

A.1B.2023C.4043D.4046

【答案】C

【分析】設(shè)A(2,0),B(-2,4),進(jìn)而根據(jù)題意得過點(diǎn)(2021,2022)與點(diǎn)(八〃)的直線與直線AB平行，再根據(jù)

斜率公式計(jì)算求解即可.

【詳解】解：設(shè)A(Z0),8(-2,4),則AB所在直線的斜率為L=三三=T,

-2—2

由題知過點(diǎn)(2021,2022)與點(diǎn)(m,n)的直線與直線AB平行,

?f???

所以----=-1,整理得6+”=2021+2022=4043

∕n-2021

故選：C

2.(2022.全國?高二課時(shí)練習(xí))已知平面上任意一點(diǎn)。(詬,人)，直線∕f=fcr+人，則點(diǎn)P到直線/的距離為

"當(dāng)點(diǎn)"(題,與)在函數(shù)y=∕(x)圖象上時(shí)，點(diǎn)P到直線/的距離為d=也花孝叫，請

參考該公式求出卜+

3-Ji≡T+r-3+

【答案】6-2垃##-20+6

x+3-用∣r-3+√l-f2∣

【分析】令u=&+,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=√1≡7圖象上的點(diǎn)到直線

√Γ

x-)，+3=0、x+y-3=0的距離之和的四倍，即可求得最小值.

卜+3-Jj?卜-3+√I≡7∣Λ-+3-√1-√∣r-3+√l→i

【詳解】令=近

U^√2+√2J，%=√5―

...%表示函數(shù)y=√Γ1圖象上的點(diǎn)到直線X-y+3=0的距離，

〃2表示函數(shù)y=Ji二7圖象上的點(diǎn)到直線x+y-3=0的距離，

二目標(biāo)式幾何意義：半圓y=√iM上的點(diǎn)到直線x-y+3=。、χ+y-3=0的距離之和的近倍,

3.(2021?全國?高二專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，長度為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在X軸和)，軸上運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)M是直線x+y-4=0上的動(dòng)點(diǎn)，則∣M4∣+∣MB∣的最小值為.

【答案】4

【分析】設(shè)點(diǎn)A(α,0),B(0,b),則/+〃=9,求出點(diǎn)8關(guān)于直線x+y-4=0的對稱點(diǎn)為E(Λ1,X),問題

轉(zhuǎn)化為要使IMAl+∣M8∣最短，則需IABI最短，再由兩點(diǎn)的距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.

【詳解】設(shè)點(diǎn)A(α0),3(0,b),則/+〃=9,點(diǎn)B關(guān)于直線x+y-4=0的對稱點(diǎn)為BG,y),

x-4-b

則%,解得l

J小4=0yt=4

122

所以要使∣ΛM∣+∣M8∣最短，則需∣A8∣最短,

22

而IABI=λ∕(a-4+?)+4=J(α+B)2-8(α+4)+32，

Xa2+h2=9,設(shè)α=3cosab=3sin<9,^f?a+?=3sin0+3cos6,=3√2sin^+^,所以一30≤α+%≤3√J,

所以當(dāng)α+b=4時(shí)(滿足-3JΣ≤4+ZJ≤3五)，IAAl取得最小值，最小值為∣A8|=,4?—8x4+32=4，

所以∣K4∣+∣MB∣的最小值為4,

故答案為：4.

M分階培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))點(diǎn)(1,2)關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點(diǎn)是()

A.(1,0)