湖南省長沙市雅禮教育集團2023-2024學年高一上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省長沙市雅禮教育集團2023-2024學年高一上學期期末考試數(shù)學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以.故選：C.2.函數(shù)定義域為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，得且，定義域為.故選：C.3.將化為的形式是（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由知.故選：B.4.十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若，則下列命題正確的是（）A.若且，則 B.若，則C.若，則 D.若且，則〖答案〗B〖解析〗A中，有，錯誤；B中，時，成立，正確；C中，時，，錯誤；D中，由題設(shè)，當時，，錯誤.故選：B.5.函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數(shù)：，，，中的一個，則a，b，c，d的值分別是（）A.，，， B.，，，C.，，，， D.，，，，〖答案〗C〖解析〗由題圖，直線與函數(shù)圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c，d，a，b，而.故選：C．6.若角，均為銳角，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗角，均為銳角，即，而，則，又，則，所以.故選：B.7.將函數(shù)和直線的所有交點從左到右依次記為A1，A2，A3，…，An，若P點坐標為（0，1），則（）A. B. C. D.0〖答案〗A〖解析〗由題意作出圖象如圖，共得5個交點，根據(jù)余弦函數(shù)的中心對稱性可知，和，和關(guān)于對稱，，，∴.故選：A.8.定義在上的函數(shù)滿足：對，且，都有成立，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，因為對，且，都有成立，不妨設(shè)，則，故，則，即，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以，故可化為，所以由的單調(diào)性可得，即不等式的解集為.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，則實數(shù)a的值可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗BCD〖解析〗∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，∴實數(shù)a的值可以是4，5，6．故選：BCD．10.若，，，，則下列各式中，恒等的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因為，，，，對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，當時，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：BD.11.下列說法正確的是（）A.向量與共線是A，B，C，D四點共線的必要不充分條件B.若，則存在唯一實數(shù)使得C.已知，則與的夾角為銳角的充要條件是D.在△ABC中，D為BC的中點，若，則是在上的投影向量〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項：A，B，C，D四點共線向量與共線，反之不成立，所以A正確；對于B選項：當，時，不存在實數(shù)使得，當，時，存在無數(shù)個實數(shù)使得，故B錯誤；對于C選項：因為，，所以，則與的夾角為銳角的充要條件是且與不同向共線，即，且，解得，則實數(shù)取值范圍是，故C正確；對于D選項：由平面向量加法可知：為與的平分線表示的向量平行的向量，因為，所以為的平分線，又因為為的中線，所以，所以是在的投影向量，故選項D正確.故選：ACD.12.函數(shù)的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最大值為3 B.函數(shù)關(guān)于點對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的最小正周期為〖答案〗AD〖解析〗觀察圖象知，，函數(shù)的周期有，，即，則，顯然，則，即，因此，，函數(shù)的最大值為3，A正確；，B錯誤；，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，C錯誤；函數(shù)的最小正周期為，D正確.故選：AD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分13.命題“，”否定是______________.〖答案〗，.〖解析〗命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”否定是：，.故〖答案〗為：，.14.若是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為___________.〖答案〗.〖解析〗由題意得：，解得：，故實數(shù)a的取值范圍為.故〖答案〗為：.15.把函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半(縱坐標不變)，然后把圖象向左平移個單位，則所得圖形對應的函數(shù)〖解析〗式為__________.〖答案〗〖解析〗將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半，可得的圖象，再向左平移個單位，所得圖象的〖解析〗式為，即.故〖答案〗為：.16.若，則__________.〖答案〗或〖解析〗由，得，即，整理得，所以或.故〖答案〗為：或.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）當時，求與；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）當時，，而，所以，.（2）由，得，則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)的最大值與最小值．解：（1）由于，故，解得，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）當時，，故當時，取最小值-2，當時，取最大值.19.已知函數(shù)（）是奇函數(shù)，是偶函數(shù).（1）求；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并說明理由；（3）若函數(shù)滿足不等式，求出的范圍.解：（1）由題知（）是奇函數(shù)，，是偶函數(shù)，，，，故.（2）在上的單調(diào)遞增，理由如下：由（1）知，任取，，，，故在上的單調(diào)遞增.（3）由（1）（2）知是奇函數(shù)且在上的單調(diào)遞增，，，，故.20.某科技企業(yè)決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備，生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬元，每生產(chǎn)x臺需要另投入成本（萬元），當年產(chǎn)量不足80臺時，，當年產(chǎn)量不小于80臺時，，若每臺設(shè)備售價為100萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.（1）求年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大？并求出這個最大利潤.解：（1）當，時，；當，時，，所以年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系式是：.（2）當，時，，當時，最大值為；當，時，，當且僅當，即時取等號，而，所以當時，有最大值為.21.已知向量，，函數(shù)，.（1）若的最小值為-1，求實數(shù)的值；（2）是否存在實數(shù)，使函數(shù)，有四個不同的零點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.解：（1）∵，，∴，∵∴，，令，∴∵，對稱軸為，①當即時，當時，∴舍，②當即時，當時，∴，③當即是，當時，∴舍，綜上，.（2）令，即，∴或，∵，有四個不同的零點，∴方程和在上共有四個不同的實根，∴，∴，∴.22.已知函數(shù)的圖象過點，.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有零點，求整數(shù)k的值；（3）設(shè)，若對于任意，都有，