湖北省黃石市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省黃石市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)直線的傾斜角為，由直線的方向向量可知直線的斜率，所以.故選：D.2.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則（）A.16 B.8 C.4 D.2〖答案〗C〖解析〗設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．3.已知函數(shù)在的附近可導(dǎo)，且，，則在處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知，，函數(shù)在處的切線斜率為：，又，切線過點(diǎn)，代入點(diǎn)斜式有：，即：.故選：A.4.已知等比數(shù)列滿足，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，即，又，則，即則當(dāng)時，由，此時即由“”可得到“”成立.由，即，即，即或若時，，成立若時，，則不成立所以若“”則“”不成立.所以“”是“”充分不必要條件故選：A5.已知為拋物線上一動點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最小值是（）A.5 B.4 C.3 D.2〖答案〗B〖解析〗的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，即為，所以圓心為即為焦點(diǎn)，半徑，顯然在拋物線內(nèi)部，過點(diǎn)作準(zhǔn)線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，記點(diǎn)如下圖所示：所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取最小值，此時，所以的最小值為，故選：B.6.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……．記各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，且為等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，由于為等差數(shù)列，所以，所以，也符合，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：D7.已知橢圓：，橢圓與橢圓的離心率相等，并且橢圓的短軸端點(diǎn)就是橢圓的長軸端點(diǎn)，據(jù)此類推：對任意的且，橢圓與橢圓的離心率相等，并且橢圓的短軸端點(diǎn)就是橢圓的長軸端點(diǎn)，由此得到一個橢圓列：，，，，則橢圓的焦距等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可設(shè)橢圓的長半軸為，短半軸為，焦半距為，對于橢圓：，有，則由題意可知所有橢圓的離心率都為，由于橢圓的短軸端點(diǎn)就是橢圓的長軸端點(diǎn)，故，則，即，即為首項(xiàng)為4，公比為的等比數(shù)列，故，所以，故橢圓的焦距等于，故選：B8.雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過作的切線與曲線在第一象限交于點(diǎn)，且，則曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，，連接，則，，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)E，則，故，因?yàn)?，解得，由雙曲線定義得，所以，在中，由余弦定理得，化簡得，又，所以，方程兩邊同時除以得，解得，所以離心率.故選：A二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)，曲線為橢圓B.當(dāng)時，曲線為雙曲線，其漸近線方程為C.“或”是“曲線為雙曲線”的充要條件D.不存在實(shí)數(shù)使得曲線為離心率為的雙曲線〖答案〗BCD〖解析〗對A，若，則曲線方程表示圓，故A錯誤；對B，當(dāng)時，曲線方程為，表示雙曲線，其漸近線方程為，故B正確；對C，要使曲線為雙曲線，需滿足，解得或，故“或”是“曲線為雙曲線”的充要條件，故C正確；對D，若離心率為，則，則可得，則或，兩個方程均無解，故D正確.故選：BCD.10.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（）A. B.使得成立的最大自然數(shù)C. D.中最小項(xiàng)為〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)題意：即兩式相加，解得：，故A正確.由，可得到，所以，，，所以，故C正確；由以上可得：，，而，當(dāng)時，；當(dāng)時，；要使得成立最大自然數(shù)，故B錯誤.當(dāng)，或時，；當(dāng)時，；由，,所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：ACD.11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（）A.直線的斜率為 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，易得，由可得點(diǎn)在垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（，2，…），則（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由條件，兩邊同時除以，得，∴∴，∴，對于A選項(xiàng)，∵，∴，∴，故A選項(xiàng)正確；，，所以B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，，等價(jià)于，由極限思想知，當(dāng)時，，故C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，，∴，又∵，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有____________個公共點(diǎn)．〖答案〗12〖解析〗不妨設(shè)正方體棱長為2，中點(diǎn)為，取，中點(diǎn)，側(cè)面的中心為，連接，如圖，由題意可知，為球心，在正方體中，，即，則球心到的距離為，所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點(diǎn)，同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點(diǎn)，所以以EF為直徑的球面與正方體棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.故〖答案〗為：1214.已知函數(shù)，，請寫出函數(shù)和的圖象的一條公共切線的方程為______.〖答案〗（或）〖解析〗因?yàn)?，，則，，設(shè)函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，由切線斜率可得，即，可得公切線方程為，代入點(diǎn)可得，代入可得，整理得，解得或，所以切線方程為或.故〖答案〗為：（或）.15.已知點(diǎn)在拋物線上，B，C是拋物線上的動點(diǎn)且，若直線AC的斜率，則點(diǎn)B縱坐標(biāo)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗點(diǎn)在拋物線上，，解得，即，設(shè)，，則，，直線AC的斜率，，解得：，，，且，由解得：，由可得：，整理化簡為：，則關(guān)于的方程，在上有解，則，解得：或，綜上所述：點(diǎn)B縱坐標(biāo)的取值范圍是，故〖答案〗為：.16.已知各項(xiàng)都不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，則的通項(xiàng)公式是______；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對，恒成立，則的取值范圍是______.〖答案〗①②〖解析〗因?yàn)?，且，若，則，可得；若，則，可得，且，可得，可知：數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均成等差數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)，則；當(dāng)為偶數(shù)，則；綜上所述：；因?yàn)?，可知，設(shè)，由題意可知：，因?yàn)?，可知?shù)列為遞增數(shù)列，則數(shù)列的最小項(xiàng)為，則，所以取值范圍是.故〖答案〗為：；.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知直線與圓相切.（1）求的值及圓的方程；（2）已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.解：（1）因?yàn)閳A，可知圓心，半徑，且，由題意可得：，解得，此時圓.（2）由（1）可知：圓心，半徑，由題意可知：，可得，且，若，則圓心到直線的距離，可得，解得或，此時直線的方程為或；若，則圓心到直線的距離，可得，解得或，此時直線的方程為或；綜上所述：直線的方程為或或或.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，時，,兩式相減得，，，，，相乘得，所以，當(dāng)時符合上式，所以；（2），當(dāng)為奇數(shù)時，19.如圖，在幾何體中，平面.（1）求證：平面平面；（2）若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.解：（1）因?yàn)槠矫?，且，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，則平面，所以，又，所以，取的中點(diǎn)，連接，則，且，又，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量，則即取，可得.設(shè)，所以，記與平面所成的角為，所以，解得，故為的中點(diǎn)，即.所以在棱上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，且.20.已知數(shù)列滿足，當(dāng)時，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列，證明：.解：（1）當(dāng)時，在等式兩邊同除后得，所以，，上述等式累加得，即，所以，.又時，滿足該式，故.（2）由，所以，，所以，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.綜上所述，對任意的，.21.已知雙曲線過點(diǎn)，且焦距為10．（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)，E為線段AB上一點(diǎn)，且直線DE交C于G，H兩點(diǎn)．證明：．解：（1）由題意可得，故，所以C的方程為．（2）設(shè)，，當(dāng)時，即，解得，則，雙曲線的漸近線方程為，故當(dāng)直線與漸近線平行時，此時和雙曲線僅有一個交點(diǎn)，此時直線方程為，令，則，故．則直線．由得，所以，．．所以，所以即．22.已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最大值為4.（1）求的方程；（2）設(shè)軸上的一定點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若在上存在一點(diǎn)A，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值，求實(shí)數(shù)的