廣東省深圳市寶安區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市寶安區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橹本€的方程為，則斜率，且，，所以.故選：B2.直線和直線平行，則直線和直線的位置關(guān)系是（）A.重合 B.平行 C.平行或重合 D.相交〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橹本€和直線平行，所以，故直線為，與直線平行，故選：B3.已知表示的曲線是圓，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由方程可得，所以當(dāng)時(shí)表示圓，解得.故選：C.4.不論m取何值，直線都過(guò)定點(diǎn)（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，整理得，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn).故選：B.5.已知圓，則圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗圓的圓心為，半徑為，關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，圓對(duì)稱后只是圓心位置改變，圓的半徑不會(huì)變化，仍為，因此所求的圓的方程為.故選：D6.下列說(shuō)法正確的是（）A.零向量沒(méi)有方向B.空間向量不可以平行移動(dòng)C.如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等D.同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A：零向量的方向是任意的，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D：大小相等方向相同的兩個(gè)向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯(cuò)誤；D符合定義，正確.故選：D.7.若數(shù)列是等差數(shù)列，則下列數(shù)列不一定是等差數(shù)列的是（

）A. B.C.（為常數(shù)） D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，可得，對(duì)于A中，例如：等差數(shù)列，則，此時(shí)數(shù)列不是等差數(shù)列，所以A符合題意；對(duì)于B中，數(shù)列中，可得，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以B不符合題意；對(duì)于C中，數(shù)列中，可得（常數(shù)），所以數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以C不符合題意；對(duì)于D中，數(shù)列中，可得，所以數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以D不符合題意.故選：A.8.設(shè)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，且，若的面積為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知的面積為，故，在中，設(shè)，由余弦定理可得，即，則，所以的面積，即，所以，即，由于，．又．所以△的是等邊三角形，即，由橢圓的定義可得，即有則，則，則，，則．故選：．二、多選題9.下面說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）.A.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)直線都可以用方程表示C.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示D.經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線都可以用方程表示〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A中，因?yàn)橹本€的點(diǎn)斜式方程，只能表示斜率存在的直線，所以經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線不一定可以用方程表示，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)橹本€不能表示與軸垂直的直線，所以經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線不一定可以用方程表示，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，因?yàn)榉匠讨荒鼙硎拘甭蚀嬖诘闹本€，所以經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線不一定可以用方程表示，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)榉匠?，即為直線的一般式方程，可以表示坐標(biāo)系能所有的直線，所以經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線，都可以用方程表示，所以D正確.故選：ABC.10.若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.的方程為 B.的離心率為C.焦點(diǎn)到漸近線的距離為 D.兩準(zhǔn)線間的距離為〖答案〗AD〖解析〗由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且漸近線方程為，∴，解得，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，A對(duì)；∴其離心率為，B錯(cuò)；焦點(diǎn)到漸近線的距離，C錯(cuò)；準(zhǔn)線方程為，則兩準(zhǔn)線間的距離為，D對(duì)；故選：AD．11.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，所以重心坐標(biāo)為，因?yàn)闅W拉線方程為，所以.A：當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，顯然不滿足；B：當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，顯然滿足；C：當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，顯然滿足；D：當(dāng)頂點(diǎn)C坐標(biāo)為時(shí)，顯然不滿足，故選：BC12.已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且滿足，則下列結(jié)論正確（）A. B.C.當(dāng)時(shí)，最小 D.當(dāng)時(shí)，n的最小值為8〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以.因?yàn)?，所以，所以，所以，故A，B正確；又因?yàn)?，所以，且為的最小值，故C錯(cuò)誤；又，故D正確.故選：ABD三、填空題13.如圖，在四棱錐中，底面平行四邊形，E為中點(diǎn)，若，，，則__________．〖答案〗〖解析〗)=．故〖答案〗為：.14.已知雙曲線的一條漸近線方程為分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，則________________．〖答案〗或〖解析〗由題知雙曲線的一條漸近線方程為，即，則，又，由雙曲線的定義得，，或．故〖答案〗為或15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的傾斜角為120°，那么|PF|＝________.〖答案〗4〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°，又tan60°＝，所以yA＝2.因?yàn)镻A⊥l，所以yP＝y(tǒng)A＝2，代入y2＝4x，得：，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.故〖答案〗為：416.過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若為正三角形，則該橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗由題意知，為正三角形，且，則，所以，，由橢圓的定義知，即，解得.故〖答案〗為：.四、解答題17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）已知，，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列；（2）若，求公差.解：（1）∵數(shù)列等差數(shù)列，設(shè)公差為，∴，，∴，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，∴的通項(xiàng)公式為，，∴，∴是等差數(shù)列，（2）由可得，化簡(jiǎn)得，即，解得.18.已知⊙：和定點(diǎn)，由⊙外一點(diǎn)向⊙引切線，切點(diǎn)為，且滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）求線段長(zhǎng)的最小值；（3）若以為圓心所做的⊙與⊙有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）連接，因?yàn)榍悬c(diǎn)為，所以，由勾股定理可得，因?yàn)?，所以，所以所以化?jiǎn)可得．（2）方程，可化為，則圓心，半徑為，所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，因?yàn)椋跃€段長(zhǎng)的最小值；（3）⊙半徑取最小值時(shí)，直線與圓相交的交點(diǎn)為所求，因?yàn)?，所以直線的方程為，代入，可得，解得，所以當(dāng)時(shí)，⊙半徑取最小值，此時(shí)19.如圖所示，在三棱錐中，兩兩垂直，且，E為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求直線與所成角的余弦值．解：（1），所以，所以．（2），，所以，即直線與所成角的余弦值為．20.已知是過(guò)拋物線焦點(diǎn)且互相垂直的兩弦，（1）若直線的傾斜角為，求弦長(zhǎng)；（2）求的值.解：（1）由拋物線，可得焦點(diǎn)為，因?yàn)槭沁^(guò)焦點(diǎn)F且互相垂直的兩弦，可得直線的斜率一定存在，又由直線的斜率為，且，可得，則直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，根據(jù)拋物線的定義，可得.（2）由直線的斜率一定存在，設(shè)的方程為，且，，聯(lián)立方程組，整理得且，可得，，又由拋物線的定義，可得，，所以，由，設(shè)直線方程為，且，，聯(lián)立方程組，整理得，同理有，，所以，綜上可得.21.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點(diǎn)的位置．解：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．設(shè)E(0，a，e)(0≤e≤a)．＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴，即A1E⊥BD；（2）設(shè)平面A1BD，平面EBD的法向量分別為＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)∴，，，.∴,取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．由平面A1BD⊥平面EBD