北京市通州區(qū)2023-2024學年高二上學期期末質量檢測數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市通州區(qū)2023-2024學年高二上學期期末質量檢測數(shù)學試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知等差數(shù)列，則等于（）A. B.0 C.2 D.5〖答案〗B〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得：，.故選：B.2.已知P為雙曲線右支上一點，為雙曲線的左右焦點，等于（）A.8 B.6 C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗因為P為雙曲線右支上一點，所以.故選：B.3.已知橢圓的左右焦點為，上下頂點為，若四邊形為正方形，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為四邊形為正方形，所以，所以，所以，故選：C.4.已知點在拋物線上，且點A到拋物線準線的距離為3，則等于（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由拋物線的定義知，點A到拋物線準線的距離為，所以，又，所以.故選：D.5.已知雙曲線的離心率為，則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為雙曲線的離心率為，所以，所以，又因為的漸近線方程為，且，所以漸近線方程為，故選：A.6.已知數(shù)列，則等于（）A.511 B.1022 C.1023 D.2047〖答案〗C〖解析〗因為，所以，，，，，，累加可得：，所以.故選：C7.已知等差數(shù)列的前項和為，若，公差，則（）A.有最大值為 B.有最大值為C.有最大值為30 D.有最小值為30〖答案〗C〖解析〗由，公差得，，易知一定為正整數(shù)，且結合二次函數(shù)性質得當或時，取得最大值30，顯然C正確.故選：C8.已知首項為，公比為q的等比數(shù)列，其前n項和為，則“”是“單調遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗在等比數(shù)列中，，則，當時，，所以單調遞增，故充分性成立；當單調遞增時，時，單調遞增，但是推不出，故必要性不成立.故選：A.9.已知雙曲線的左、右焦點分別為，直線與C交于，兩點，若面積是面積的2倍，則m等于（）A.6 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗易得，故，設，，直線與軸交點，面積為，面積為，由題意得面積是面積的2倍，則，化簡得，結合，故，解得，即，故，解得.故選：D.10.已知數(shù)列的通項公式為，給出下列四個結論：①數(shù)列單調遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；②數(shù)列為單調遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；③數(shù)列為單調遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；④數(shù)列為單調遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立．其中正確結論個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，所以為單調遞減數(shù)列；又因為，當且，，當時，，所以，當時，恒成立，當時，恒成立，由上可知，②④正確，故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知等比數(shù)列，則__________．〖答案〗27〖解析〗由題意（為公比），所以.故〖答案〗為：27.12.若拋物線的準線經過雙曲線的左焦點，則__________．〖答案〗4〖解析〗因為雙曲線的左焦點為，又拋物線的準線為，所以，得到，故〖答案〗為：.13.已知數(shù)列的通項公式是，使數(shù)列中存在負數(shù)項的一個t的值為__________．〖答案〗（〖答案〗不唯一，中的一個值）〖解析〗記，當時，即，顯然恒成立，不滿足要求；當時，或，若，則，所以恒成立，不滿足要求；若，此時，必然滿足數(shù)列中存在負數(shù)項，由上可知，的可取值的范圍是，故可取，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，中的一個值）.14.如圖，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構成．為保證安全，要求行使車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差不小于，已行車道AB總寬度，則車輛通過隧道的限制高度為__________m．〖答案〗〖解析〗取隧道截面，拋物線的頂點為原點，對稱軸為軸，建立直角坐標系，設拋物線方程為，由圖易知拋物線過點，所以，得到，故拋物線方程為，又行車道AB總寬度，將代入，得到，所以限制高度為，故〖答案〗為：.15.已知曲線．關于曲線W有四個結論：①曲線W既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②曲線W的漸近線方程為；③當時曲線W為雙曲線，此時實軸長為2；④當時曲線W為雙曲線，此時離心率為．則所有正確結論的序號為__________．〖答案〗①②④〖解析〗①以代換可得方程，即為，故曲線關于軸對稱，以代換可得方程，即為，故曲線關于軸對稱，以代換，代換可得方程，即為，故曲線關于原點成中心對稱，所以曲線既關于軸對稱，也關于軸對稱，同時關于原點成中心對稱，故①正確；②如下圖：當時，，可知漸近線為；當時，，可知漸近線為；所以曲線漸近線方程為，故②正確；③當時，，顯然此時曲線為雙曲線，因為與的交點為，所以，將雙曲線繞原點順時針旋轉，如下圖：此時雙曲線與軸的交點為，所以，所以實軸長為，故③錯誤；④當時，，顯然此時曲線雙曲線，將雙曲線繞原點順時針旋轉，此時漸近線方程為，所以，所以離心率，故④正確，故〖答案〗為：①②④.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．16.已知圓，點．（1）求圓C的圓心坐標及半徑；（2）求過P點的圓C的切線方程．解：（1）將圓的一般方程化為標準方程可得：，所以圓心坐標為，半徑為.（2）當切線斜率不存在時，切線方程為，此時，不符合題意；當切線斜率存在時，設過P點的切線方程為，即，圓心到直線的距離，解得或，當時，切線方程為，當時，切線方程為，即，綜上所述，過P點的圓C的切線方程為或．17.已知直線與拋物線相交于A，B兩點．（1）求弦長及線段的中點坐標；（2）試判斷以為直徑的圓是否經過坐標原點O？并說明理由．解：（1）設，聯(lián)立，消去y整理得，且，所以，所以，又因為，所以線段的中點坐標為．（2）以為直徑的圓不經過坐標原點O．因為，所以與不垂直，故以為直徑的圓不經過坐標原點O．18.設數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個符合題目要求的條件作為已知，完成下列問題．（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和．條件①：且;條件②：且；條件③：且．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為d．選擇條件①：且，解得，不合題意．選擇條件②：且，由等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式得解得．所以等差數(shù)列的通項公式為．選擇條件③：且，由等差數(shù)列前n項和公式得解得．所以等差數(shù)列的通項公式為．（2）選擇條件②：因為，所以，．選擇條件③：因為，所以．所以．19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點B到平面的距離．解：（1）因為為正方形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為平面，平面，所以，，又，所以兩兩垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖，由，則，，設平面的法向量，則，令，則，所以，又因為平面，所以為平面的一個法向量，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）因為平面的法向量，，所以，所以點B到平面的距離為.20.已知橢圓，點A，B為橢圓C的左右頂點（A點在左），，離心率為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線與橢圓C交于（與A，B不重合）兩點，直線與交于點P，證明：點P在定直線上．解：（1）由題意可知：，所以，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）由題意，直線的斜率不為0，設直線，，聯(lián)立可得，顯然，所以，所以，又因為，所以，令，則，解得，即，所以點P在定直線上.21.已知數(shù)列滿足：．（注：