第31講 基本立體圖形及幾何體的表面積與體積（精講）【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第31講基本立體圖形及幾何體的表面積與體積（精講）題型目錄一覽①空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征②空間幾何體的表面積③空間幾何體的體積一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、構(gòu)成空間幾何體的基本元素（1）空間中，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．（2）空間中，不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）．二、簡(jiǎn)單凸多面體—棱柱、棱錐、棱臺(tái)1．棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；（6）長(zhǎng)方體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體．2．棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐．3．棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．簡(jiǎn)單凸多面體的分類(lèi)及其之間的關(guān)系如圖所示．三、簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體—圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球1．圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．2．圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．3．圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)．4．球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球（球面距離：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度）．四、組合體由柱體、錐體、臺(tái)體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．五、表面積與體積計(jì)算公式表面積公式表面積柱體為直截面周長(zhǎng)錐體臺(tái)體球體積公式體積柱體錐體臺(tái)體球六、空間幾何體的直觀圖1．斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法的主要步驟如下：（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，，建立直角坐標(biāo)系．（2）畫(huà)出斜坐標(biāo)系．在畫(huà)直觀圖的紙上（平面上）畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于，，使（或），它們確定的平面表示水平平面．（3）畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于軸的線段，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一般．可簡(jiǎn)化為“橫不變，縱減半”．（4）擦去輔助線．圖畫(huà)好后，要擦去軸、軸及為畫(huà)圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫(huà)虛線．注：直觀圖和平面圖形的面積比為．2．平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．二、題型分類(lèi)精講二、題型分類(lèi)精講題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征策略方法需要熟悉幾何體的基本概念.【典例1】（單選題）如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（

）A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）【答案】D【分析】應(yīng)用空間想象，討論截面與軸截面的位置關(guān)系判斷截面圖形的形狀即可.【詳解】當(dāng)截面如下圖為軸截面時(shí)，截面圖形如（1）所示；當(dāng)截面如下圖不為軸截面時(shí)，截面圖形如（5）所示，下側(cè)為拋物線的形狀；故選：D【典例2】（單選題）將表面積的圓錐沿母線將側(cè)面展開(kāi)，得到一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的表面積公式，利用側(cè)面展開(kāi)圖扇形的幾何性質(zhì)，結(jié)合弧度的定義以及勾股定理，可得答案.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，高為，底面半徑為，如下圖所示：

則圓錐的側(cè)面展開(kāi)得到的扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，由扇形的圓心角為，則，解得，由圓錐的表面積公式可得其表面積，由圓錐表面積為，，則，解得，由勾股定理可得，已知軸截面的面積.故選：C.【典例3】（單選題）圓臺(tái)母線長(zhǎng)為3，下底直徑為10，上底直徑為5，過(guò)圓臺(tái)兩條母線作截面，則該截面面積最大值為（

）A． B． C． D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】求出軸截面時(shí)所補(bǔ)成的等腰三角形的頂角的余弦值，則判斷其為鈍角，再計(jì)算出截面積的表達(dá)式，得到最值.【詳解】由題意作出軸截面，并將其補(bǔ)充成等腰三角形，根據(jù)，則為三角形的中位線，則，在中利用余弦定理得，因?yàn)?，所以，過(guò)圓臺(tái)兩條母線所作截面也為等腰梯形，并將其補(bǔ)成的等腰三角形，設(shè)其頂角為，則，因?yàn)?，且，則當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：C.

【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直角梯形ABCD，現(xiàn)繞著它的較長(zhǎng)底CD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（

）A．一個(gè)圓柱、一個(gè)圓錐 B．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐C．一個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱 D．兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái)【答案】A【分析】將直角梯形分割成一個(gè)矩形和一個(gè)直角三角形，結(jié)合旋轉(zhuǎn)體的形成即可求解.【詳解】直角梯形ABCD分割成一個(gè)矩形和一個(gè)直角三角形，矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周得圓柱，直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)一周得圓錐，可得幾何體為：一個(gè)圓柱、一個(gè)圓錐.故選：A2．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）用一平面去截一長(zhǎng)方體，則截面的形狀不可能是（

）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形【答案】D【分析】用平面去截正方體時(shí)最多和六個(gè)面相交得六邊形.【詳解】如圖，用平面去截正方體時(shí)最多和六個(gè)面相交得六邊形，因此截面的形狀可能有：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，不可能為七邊形，故選:D.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在一個(gè)密閉透明的圓柱桶內(nèi)裝一定體積的水，將圓柱桶分別豎直、水平、傾斜放置時(shí)，圓柱桶內(nèi)的水平面所在平面截圓柱桶所成的截口曲線的所有類(lèi)型有：（

）①矩形

②圓

③橢圓

④部分拋物線

⑤部分橢圓A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④【答案】C【分析】對(duì)不同的放置情況分別判斷，得出結(jié)論【詳解】當(dāng)圓柱桶豎直放置時(shí)，截口曲線為圓；當(dāng)圓柱桶水平放置時(shí)，截口曲線為矩形；當(dāng)圓柱桶傾斜放置時(shí)，若液面經(jīng)過(guò)底面，則截口曲線為橢圓的一部分；當(dāng)圓柱桶傾斜放置時(shí)，若液面不經(jīng)過(guò)底面，則截口曲線為橢圓；故選：C4．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖所示，在三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（

）

A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．組合體【答案】B【分析】根據(jù)圖形和棱錐的定義及結(jié)構(gòu)特征，即可得出結(jié)論．【詳解】三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點(diǎn)，四邊形為底面的四棱錐．故選：B5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則過(guò)這三點(diǎn)的截面圖的形狀是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【分析】利用平行畫(huà)出截面，進(jìn)而判斷出正確答案.【詳解】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，，，，六邊形是過(guò)，，這三點(diǎn)的截面圖，過(guò)這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形．故選：D6．（2023·山西陽(yáng)泉·陽(yáng)泉市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）圓錐的母線長(zhǎng)為4，側(cè)面積是底面積的倍，過(guò)圓錐的兩條母線作圓錐的截面，則該截面面積的最大值是（

）A．8 B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓錐底面半徑為，母線為，軸截面頂角為，則根據(jù)題意可得與的關(guān)系，從而可求出為鈍角，由此可得當(dāng)圓錐兩條母線互相垂直時(shí)，截面面積最大，然后可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，母線為l，軸截面頂角為，則，得，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，即，則θ為鈍角，所以當(dāng)圓錐兩條母線互相垂直時(shí)，截面面積最大，最大值為.故選：A.7．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）毛澤東在《七律二首?送瘟神》中有句詩(shī)為“坐地日行八萬(wàn)里，巡天遙看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不動(dòng)，由于地球的自轉(zhuǎn)，每晝夜會(huì)隨著地面經(jīng)過(guò)八萬(wàn)里路程.詩(shī)中所提到的八萬(wàn)里，指的是人坐在赤道附近所得到的數(shù)據(jù).設(shè)某地所在緯度為北緯（即地球球心和該地的連線與赤道平面所成的角為），且.若將地球近似看作球體，則某人在該地每晝夜隨著地球自轉(zhuǎn)而經(jīng)過(guò)的路程約為（

）A．萬(wàn)里 B．萬(wàn)里 C．萬(wàn)里 D．萬(wàn)里【答案】A【分析】計(jì)算出地球的半徑，可求得某地隨著地球自轉(zhuǎn)所形成圓的半徑，再利用圓的周長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，赤道周長(zhǎng)為萬(wàn)里，則地球半徑萬(wàn)里.設(shè)某地隨著地球自轉(zhuǎn)，所形成圓的半徑為，則萬(wàn)里，則該圓的周長(zhǎng)萬(wàn)里.故選：A.8．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）羽毛球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)全民喜愛(ài)的體育運(yùn)動(dòng)，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測(cè)得每根羽毛在球托之外的長(zhǎng)為，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面，測(cè)得頂端所圍成圓的直徑是，底部所圍成圓的直徑是，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開(kāi)圖的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，則羽毛所在曲面為大圓錐的側(cè)面截去一個(gè)小圓錐的側(cè)面所得，求出小圓錐的母線長(zhǎng)后可得展開(kāi)圖圓心角．【詳解】將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，則羽毛所在曲面為大圓錐的側(cè)面截去一個(gè)小圓錐的側(cè)面所得，設(shè)小圓錐母線長(zhǎng)為，則大圓錐母線長(zhǎng)為，由相似得，即，∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展開(kāi)圖的圓心角為.故選：C．9．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）如下圖所示，在正方體中，如果點(diǎn)E是的中點(diǎn)，那么過(guò)點(diǎn)、B、E的截面圖形為（

）A．三角形

B．矩形 C．正方形 D．菱形【答案】D【分析】根據(jù)題意作出截面圖形，然后利用正方體的性質(zhì)求解即可.【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，如圖即為過(guò)點(diǎn)、B、E截正方體所得的截面圖形，由題意可知：且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)榍遥?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所?所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?，所以平行四邊形為菱形，故選：.10．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？奸_(kāi)學(xué)考試）石碾子是我國(guó)傳統(tǒng)糧食加工工具，如圖是石碾子的實(shí)物圖，石碾子主要由碾盤(pán)、碾滾（圓柱形）和碾架組成．碾盤(pán)中心設(shè)豎軸（碾柱），連碾架，架中裝碾滾，以人推或畜拉的方式，通過(guò)碾滾在碾盤(pán)上的滾動(dòng)達(dá)到碾軋加工糧食作物的目的．若推動(dòng)拉桿繞碾盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)2周，碾滾的外邊緣恰好滾動(dòng)了5圈，碾滾與碾柱間的距離忽略不計(jì)，則該圓柱形碾滾的高與其底面圓的直徑之比約為（

）A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3【答案】B【分析】繞碾盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)2周的距離等于碾滾滾動(dòng)5圈的距離，列出方程即可求解.【詳解】由題意知，；故選：B.11．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為3，，分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則平面截該正方體所得截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先作出截面，然后根據(jù)梯形面積公式求得正確答案.【詳解】如圖所示，，分別是，中點(diǎn)，則，作，交于，連接，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則為過(guò)，，三點(diǎn)的截面．由于平面平面，且與平面的截面分別相交于，由面面平行的性質(zhì)定理得，從而有，，，則，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，，所以，又因?yàn)椋?，同理，，，，，梯形是等腰梯形，且梯形與梯形全等，高為，截面面積．故選：B

12．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考開(kāi)學(xué)考試）在沒(méi)有其他因素影響時(shí)，飛機(jī)的航線往往選取的是兩地之間的最短距離．設(shè)地球?yàn)橐话霃綖镽的球體，一架飛機(jī)將從A地東經(jīng)飛至B地東經(jīng)，且A，B兩地緯度都為．若飛機(jī)始終在地球球面上運(yùn)動(dòng)，則該飛機(jī)飛行的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出A，B兩地對(duì)于地球球心所成的角，再求出弧長(zhǎng)作答.【詳解】依題意，A，B兩地對(duì)于地球球心所成的角，所以該飛機(jī)飛行的最短路程為.故選：C13．（2023·海南?？凇ずＤ现袑W(xué)?？级＃﹤髡f(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個(gè)圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個(gè)圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)作于，設(shè)到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，由求解判斷.【詳解】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，過(guò)作于，如圖所示：

則由題可得，設(shè)平面截得球的截面圓的半徑為，當(dāng)EF在底面圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到平面的距離所以所以平面截得球的截面面積最小值為，故D正確；故選：D.二、多選題14．（2023·安徽安慶·安慶一中?？寄M預(yù)測(cè)）下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法正確的是（

）A．棱柱的兩個(gè)底面一定平行B．棱柱至少有五個(gè)面C．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱D．正四棱柱一定是長(zhǎng)方體【答案】ABD【分析】依據(jù)棱柱定義判斷選項(xiàng)A；依據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷選項(xiàng)B；舉反例否定選項(xiàng)C；依據(jù)長(zhǎng)方體定義判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：由棱柱定義可得棱柱的兩個(gè)底面一定平行.判斷正確；選項(xiàng)B：三棱柱是最簡(jiǎn)單的棱柱，三棱柱有五個(gè)面，則棱柱至少有五個(gè)面.判斷正確；選項(xiàng)C：在正四棱柱上面放置一個(gè)與其底面相同的斜四棱柱，所得幾何體是組合體，但是滿足兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：正四棱柱底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直，則正四棱柱一定是長(zhǎng)方體.判斷正確.故選：ABD15．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐廬中學(xué)期末）下列命題正確的是（

）A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形C．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形D．棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行【答案】BD【分析】根據(jù)常見(jiàn)幾何體的性質(zhì)與定義逐個(gè)選項(xiàng)辨析即可.【詳解】對(duì)A，棱臺(tái)指一個(gè)棱錐被平行于它的底面的一個(gè)平面所截后，截面與底面之間的幾何形體，其側(cè)棱延長(zhǎng)線需要交于一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故B正確；對(duì)C，用平面截圓柱得到的截面也可能是橢圓，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，棱柱的面中，至少上下兩個(gè)面互相平行，故D正確；故選：BD16．（2023·云南紅河·彌勒市一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，為正方體中所在棱的中點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)作正方體的截面，則截面的形狀可能為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】BD【分析】由正方體的對(duì)稱性即可得解.【詳解】由正方體的對(duì)稱性可知，截面的形狀不可能為三角形和五邊形，如圖，截面的形狀只可能為四邊形和六邊形.故選：BD17．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如果一個(gè)凸n面體共有m個(gè)面是直角三角形，那么我們稱這個(gè)凸n面體的直度為，則（

）A．三棱錐的直度的最大值為1B．直度為的三棱錐只有一種C．四棱錐的直度的最大值為1D．四棱錐的直度的最大值為【答案】AD【分析】借助于正方體模型，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】如圖，借助于正方體模型，圖1中三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，其直度為1，A正確；

圖1中三棱錐，三個(gè)面都是直角三角形，面為正三角形，其直度為；圖2中三棱錐，三個(gè)面都是直角三角形，面為正三角形，其直度為，故直度為的三棱錐不止一種，B錯(cuò)誤；四棱錐的共有5個(gè)面，底面為四邊形，故其直度不可能為1，C錯(cuò)誤；圖3中的四棱錐的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，底面為正方形，故四棱錐的直度的最大值為，D正確，故選：AD三、填空題18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)有以下四個(gè)命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；③直四棱柱是直平行六面體；④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是.【答案】①④【解析】根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】命題①,符合平行六面體的定義,故命題①正確；命題②,底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直,故命題②錯(cuò)誤；命題③,因直四棱柱的底面不一定是平行四邊形,故命題③錯(cuò)誤；命題④,由棱臺(tái)的定義知,棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn),故命題④正確.綜上可知,正確的為①④故答案為:①④【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,對(duì)各類(lèi)型的空間幾何體概念要理解準(zhǔn)確,屬于基礎(chǔ)題.19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一圓心角為的扇形，該圓錐母線長(zhǎng)為6，則圓錐的底面半徑為．【答案】2【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的性質(zhì)，結(jié)合弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為6，所以側(cè)面展開(kāi)圖扇形的半徑為6，設(shè)該圓錐的底面半徑為，所以有，故答案為：.20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若在側(cè)棱上至少存在一點(diǎn)，使得，則側(cè)棱的長(zhǎng)的最小值為.【答案】2【分析】根據(jù)，利用勾股定理建立方程，則方程有解即可求解.【詳解】設(shè)又因?yàn)?，所以即化?jiǎn)得，即關(guān)于的方程有解，當(dāng)時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以側(cè)棱的長(zhǎng)的最小值為2，故答案為:2.21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)．將沿折起，在翻折過(guò)程中，直線被三棱錐的外接球截得的線段長(zhǎng)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意得到為三棱錐的外接球的直徑，即半徑，過(guò)分別向的垂線，設(shè)向量和所成的角為，結(jié)合，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得，設(shè)外接球截直線的弦長(zhǎng)為，結(jié)合球的截面圓和圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，在翻折的過(guò)程中，可得，即為三棱錐的外接球的直徑，且，即三棱錐的外接球的半徑為，過(guò)分別向的垂線，垂足分別為，如圖所示，可得，則，設(shè)向量和所成的角為，其中，因?yàn)椋瑒t，所以，可得，即，設(shè)三棱錐的外接球截直線的弦長(zhǎng)為，又因?yàn)?，在翻折前，?dāng)取得最大值時(shí)，此時(shí)球心到的距離最短，此時(shí)直線被球截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，所以截得的線段長(zhǎng)的最大值為；當(dāng)取得最小值時(shí)，此時(shí)球心到的距離最長(zhǎng)，取的中點(diǎn)，則，可得最大距離為，此時(shí)直線被球截得的弦長(zhǎng)最短，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，可得最短弦長(zhǎng)為，所以直線被三棱錐的外接球截得的線段長(zhǎng)的取值范圍為.故答案為：.22．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)P、Q分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)M為正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，若MP與CQ垂直，則點(diǎn)M所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)為.【答案】【分析】分析得到只需過(guò)點(diǎn)P作直線CQ的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，作出輔助線，證明線面垂直，找到軌跡為矩形，求出矩形各邊，得到答案.【詳解】如圖，只需過(guò)點(diǎn)P作直線CQ的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.分別取，的中點(diǎn)R，S，由，知，易知，又，，平面ABRS，所以平面ABRS，過(guò)P作平面ABRS的平行平面，點(diǎn)M的軌跡為四邊形，其周長(zhǎng)與四邊形ABRS的周長(zhǎng)相等，其中，，所以點(diǎn)M所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)為.故答案為：23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，某圓柱的高為4，底面周長(zhǎng)為16，，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為.【答案】【分析】由圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，利用勾股定理求出圓柱側(cè)面上從B到C的最短路徑的長(zhǎng).【詳解】圓柱的高為4，底面周長(zhǎng)為16，,則在底面圓中如圖將圓柱的側(cè)面沿母線展開(kāi),其側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，且矩形的長(zhǎng)為16，寬為4.在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為展開(kāi)圖中線段的長(zhǎng)度故答案為：題型二空間幾何體的表面積策略方法空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．【典例1】（單選題）在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹堵”的底面是斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，高為，則該“塹堵”的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用柱體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，該“塹堵”的表面積為.故選：D.【典例2】（單選題）一個(gè)正三棱錐的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)是1的正三角形，則此正三棱錐的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出底面積和側(cè)面積，即可求出正三棱錐的表面積.【詳解】一個(gè)正三棱錐的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)是1的正三角形，所以一個(gè)面為，故三棱錐的表面積為.故選：D

【典例3】（單選題）亭是我國(guó)古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場(chǎng)所，也是園林風(fēng)景的重要點(diǎn)綴．重檐圓亭（圖1）是常見(jiàn)的一類(lèi)亭，其頂層部分可以看作是一個(gè)圓錐以及一個(gè)圓臺(tái)（圖2）的組合體．已知某重檐涼亭的圓臺(tái)部分的軸截面如圖3所示，則該圓臺(tái)部分的側(cè)面積為（）A．m2 B．3.6m2 C．7.2m2 D．11.34m2【答案】A【分析】由圓臺(tái)的截面圖，計(jì)算出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，再求得圓臺(tái)的側(cè)面積.【詳解】由圓臺(tái)的軸截面圖，母線，所以該圓臺(tái)側(cè)面積.故選：A.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)正六棱柱中挖去一個(gè)圓柱后，剩余部分幾何體如圖所示．已知正六棱柱的底面正六邊形邊長(zhǎng)為3cm，高為4cm，內(nèi)孔半徑為1cm，則此幾何體的表面積是（

）．

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)棱柱與圓柱的側(cè)面積公式求解.【詳解】所求幾何體的側(cè)面積為，上下底面面積為，挖去圓柱的側(cè)面積為，則所求幾何體的表面積為．故選：C．2．（2023·廣東深圳·深圳市高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知一個(gè)直棱柱與一個(gè)斜棱柱的底面多邊形全等，且它們的側(cè)棱長(zhǎng)也相等．若直棱柱的體積和側(cè)面積分別為和，斜棱柱的體積和側(cè)面積分別為和，則（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系無(wú)法確定【答案】A【分析】結(jié)合棱柱的側(cè)面積和體積公式判斷即可.【詳解】設(shè)棱柱的底面周長(zhǎng)為，底面面積為，側(cè)棱長(zhǎng)為，斜棱柱的高為，則，而，斜棱柱各側(cè)面的高均不小于，所以，于是，有，所以，．故選：A.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹堵”的底面是斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，高為，則該“塹堵”的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用柱體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，該“塹堵”的表面積為.故選：D.4．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）位于徐州園博園中心位置的國(guó)際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個(gè)國(guó)際館中3個(gè)展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達(dá)了理性主義與浪漫主義的對(duì)立與統(tǒng)一.其中最大的是3號(hào)展館，其頂部所對(duì)應(yīng)的正四棱錐底面邊長(zhǎng)為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2 B．1.71 C．1.37 D．1【答案】C【分析】根據(jù)圖形,作出直觀圖,利用正四棱錐的相關(guān)性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖，設(shè)H為底面正方形ABCD的中心，G為BC的中點(diǎn)，連接PH，HG，PG，則，，所以，則，故選：C.5．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了給熱愛(ài)朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出相關(guān)棱長(zhǎng)，利用面積公式求出正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積，然后可得答案.【詳解】設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，由題意正六棱柱的高為，因?yàn)檎忮F的高與底面邊長(zhǎng)的比為，所以正六棱錐的高為，正六棱錐的母線長(zhǎng)為，正六棱錐的側(cè)面積；正六棱柱的側(cè)面積，所以.故選：B.6．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知兩個(gè)圓錐的軸截面均為等邊三角形，兩個(gè)圓錐的表面積分別為，，體積分別為，.若，則（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)圓錐的體積比求得兩個(gè)圓錐底面半徑的比，進(jìn)而求得表面積的比.【詳解】設(shè)兩圓錐的底面半徑分別為，，母線長(zhǎng)分別為，，高分別為，，由兩個(gè)圓錐的軸截面均為等邊三角形知，，而，即，而，所以.故選：D7．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）柷（zhù），是一種古代打擊樂(lè)器，迄今已有四千多年的歷史，柷的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂(lè)曲將開(kāi)始.如圖，某柷（含底座）高，上口正方形邊長(zhǎng)，下口正方形邊長(zhǎng)，底座可近似地看作是底面邊長(zhǎng)比下口邊長(zhǎng)長(zhǎng)，高為的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（）（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)，即可求出斜高，再根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖正四棱臺(tái)中，連接，，過(guò)點(diǎn)、分別作、，交于點(diǎn)、，依題意，，，則，所以，所以正四棱臺(tái)的斜高為，所以正四棱臺(tái)的側(cè)面積，又正四棱柱的側(cè)面積，所以該柷（含底座）的側(cè)面積約為；故選：B

8．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺(tái)（即正四棱臺(tái)）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺(tái)，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺(tái)（如圖所示），其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)的倍.已知方亭的體積為，則該方亭的表面積約為（

）（，，）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)方亭相應(yīng)的正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)，則，棱臺(tái)的高，根據(jù)棱臺(tái)的體積求出，再根據(jù)棱臺(tái)的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)方亭相應(yīng)的正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)，則，棱臺(tái)的高，所以，解得，所以正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為，下底面邊長(zhǎng)為，棱臺(tái)的高為，所以方亭的斜高為，由于各側(cè)面均為相等的等腰梯形，所以，所以方亭的表面積.故選：C9．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓臺(tái)上下底面半徑之比為，母線與底面所成的角的正弦值為，圓臺(tái)體積為，則該圓臺(tái)的側(cè)面面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】做出圓臺(tái)的軸截面圖，結(jié)合條件算出母線與高，與上底面半徑的關(guān)系，并利用體積公式可得，，進(jìn)而計(jì)算出圓臺(tái)的側(cè)面積.【詳解】

解：做出圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為，則下底面半徑為，作，垂足為，則，母線與底面所成的角的正弦值為，即，設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，高為，則，，因?yàn)閳A臺(tái)的體積為，由圓臺(tái)的體積公式，計(jì)算得，所以.再由圓臺(tái)側(cè)面積公式，可得圓臺(tái)的側(cè)面積為.故選：C.10．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考一模）已知某圓臺(tái)的高為，上底面半徑為1，下底面半徑為2，則其側(cè)面展開(kāi)圖的面積為（

）A．9π B． C． D．8π【答案】A【分析】求圓臺(tái)的側(cè)面積，直接利用公式求解.【詳解】∵圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，∴其側(cè)面展開(kāi)圖的面積.故選：A.11．（2023秋·遼寧朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為和的正方形，側(cè)面均為腰長(zhǎng)為的等腰梯形，則該四棱臺(tái)的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】計(jì)算出四棱臺(tái)側(cè)面的高，再利用梯形和正方形的面積公式可求得該四棱臺(tái)的表面積.【詳解】設(shè)在正四棱臺(tái)中，取側(cè)面，則，，，如下圖所示：分別過(guò)點(diǎn)、在側(cè)面內(nèi)作，，垂足分別為、，因?yàn)?，，，所以，，，因?yàn)?，，，故四邊形為矩形，故，所以，，，因此，該四棱臺(tái)的表面積為.故選：C.12．（2023·重慶萬(wàn)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤(rùn)澤，底足露胎，胎質(zhì)致密．碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書(shū)有一文字，碗外壁繪有一周纏枝團(tuán)菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫．該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.3厘米，底徑2.8厘米，高4厘米，它的形狀可近似看作圓臺(tái)，則其側(cè)面積約為（單位：平方厘米）（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式求出對(duì)應(yīng)的值，代入公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的上底面、下底面的半徑分別為R，r，若當(dāng)，時(shí)，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，所以其側(cè)面積為，若當(dāng)，時(shí)，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，所以其側(cè)面積為，所以其側(cè)面積S滿足．故選：C．13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）黃地綠彩云龍紋盤(pán)是收藏于中國(guó)國(guó)家博物館的一件明代國(guó)寶級(jí)瓷器.該龍紋盤(pán)敞口，弧壁，廣底，圈足.器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤(pán)可近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑22.5cm，足徑14.4cm，高3.8cm，其中底部圓柱高0.8cm，則黃地綠彩云龍紋盤(pán)的側(cè)面積約為（

）（附：圓臺(tái)的側(cè)面積，，為兩底面半徑，為母線長(zhǎng)，其中的值取3，）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求圓臺(tái)母線長(zhǎng)，再代入圓臺(tái)和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，兩底面圓半徑分別為，（其中），則，，，所以，故圓臺(tái)部分的側(cè)面積為，圓柱部分的側(cè)面積為，故該黃地綠彩云龍紋盤(pán)的側(cè)面積約為.故選：B.14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，它是由正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐得到.已知，若該半正多面體的表面積為，體積為，則為（

）

A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)表面積公式計(jì)算表面積，把多面體積轉(zhuǎn)化為正方體體積去掉8個(gè)三棱錐體積求解，最后求比值即可.【詳解】如圖，該半正多面體的表面由6個(gè)正方形和8個(gè)正三角形構(gòu)成，則其表面積，該半正多面體的體積可以由正方體截去8個(gè)三棱錐的體積計(jì)算，.

故選:A.15．（2023·北京·?？寄M預(yù)測(cè)）在2023年3月12日馬來(lái)西亞吉隆坡舉行的YongJunKLSpeedcubing比賽半決賽中，來(lái)自中國(guó)的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績(jī)打破了“解三階魔方平均用時(shí)最短”吉尼斯世界紀(jì)錄稱號(hào).如圖，一個(gè)三階魔方由27個(gè)單位正方體組成，把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了之后，表面積增加了（

）

A．54 B． C． D．【答案】C【分析】利用截面圖，得出魔方相對(duì)原來(lái)魔方多出了16個(gè)小三角形的面積，再利用幾何關(guān)系求出多出的一個(gè)小三角形的面積，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】如圖，

轉(zhuǎn)動(dòng)了后，此時(shí)魔方相對(duì)原來(lái)魔方多出了16個(gè)小三角形的面積，顯然小三角形為等腰直角三角形，設(shè)直角邊，則斜邊為，則有，得到，由幾何關(guān)系得：陰影部分的面積為，所以增加的面積為.故選：C.16．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看作一個(gè)多面體，圖2是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形ABFE和四邊形DCFE是兩個(gè)全等的等腰梯形，，和是兩個(gè)全等的正三角形.已知該多面體的棱BF與平面ABCD所成的角為45°，，，則該屋頂?shù)谋砻娣e為（

）A．100 B． C．200 D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)F作平面ABCD，O為垂足，作于點(diǎn)N，連接OB，ON，通過(guò)線面垂直的性質(zhì)定理可得，通過(guò)幾何關(guān)系可算出，即可得到答案【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)F作平面ABCD，O為垂足，作于點(diǎn)N，連接OB，ON，則，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，易知，∴.在直角三角形FON中，易知，∴，∴在直角三角形FBN中，，∴，∴，，∴該屋頂?shù)谋砻娣e為，故選：D.二、多選題17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面積為 B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等 D．三個(gè)幾何體的表面積中，球的表面積最小【答案】ABC【分析】根據(jù)球、圓錐、圓柱的表面積公式一一計(jì)算可得；【詳解】解：依題意球的表面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以AC選項(xiàng)正確．圓錐的側(cè)面積為，所以B選項(xiàng)正確．圓錐的表面積為，圓柱的表面積為，所以D選項(xiàng)不正確．故選：ABC18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】分2種情況，一種是繞直角邊，一種是繞斜邊，分別求形成幾何體的表面積.【詳解】如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，所以所形成的幾何體的表面積是.如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成的是上下兩個(gè)圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長(zhǎng)是1，所以寫(xiě)成的幾何體的表面積.綜上可知形成幾何體的表面積是或.故選：AB【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積，意在考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.19．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線長(zhǎng)為2，為母線中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓臺(tái)母線與底面所成角為60° B．圓臺(tái)的側(cè)面積為C．圓臺(tái)外接球半徑為2 D．在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為5【答案】ACD【分析】對(duì)于A：過(guò)A作交底面于F，判斷出即為母線與底面所成角.即可求解；對(duì)于B：作出圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，直接求出面積，即可判斷；對(duì)于C：設(shè)圓臺(tái)外接球的球心為O，半徑R.由，求出；對(duì)于D：圓臺(tái)的側(cè)面上，判斷出從到的最短路徑的長(zhǎng)度為CE，利用勾股定理求解.【詳解】對(duì)于A：過(guò)A作交底面于F，則底面，所以即為母線與底面所成角.在等腰梯形ABCD中，,所以.因?yàn)闉殇J角，所以.故A正確；對(duì)于B：由題意，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓環(huán)，其面積為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)圓臺(tái)外接球的球心為O，半徑R.由題意可得：.設(shè)，則，由，即，解得：a=0.即OO1重合，所以.故C正確；對(duì)于D：如圖示，在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為CE.由題意可得：.由為中點(diǎn)，所以，所以.故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】立體幾何中的折疊、展開(kāi)問(wèn)題：要把握折疊（展開(kāi)）過(guò)程中的不變量.20．（2023·遼寧遼陽(yáng)·統(tǒng)考一模）在矩形ABCD中，以AB為母線長(zhǎng)，2為半徑作圓錐M，以AD為母線長(zhǎng)，8為半徑作圓錐N，若圓錐M與圓錐N的側(cè)面積之和等于矩形ABCD的面積，則（

）A．矩形ABCD的周長(zhǎng)的最小值為B．矩形ABCD的面積的最小值為C．當(dāng)矩形ABCD的面積取得最小值時(shí)，D．當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，【答案】AC【分析】由題意分別表示兩個(gè)圓錐的側(cè)面積與矩形面積建立方程，對(duì)選項(xiàng)一一分析利用基本不等式處理即可.【詳解】設(shè)，，則圓錐M的側(cè)面積為，圓錐N的側(cè)面積為，則，則，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以矩形ABCD的面積的最小值為，此時(shí)，所以B錯(cuò)誤，C正確.矩形ABCD的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以矩形ABCD的周長(zhǎng)的最小值為，此時(shí)，所以A正確，D錯(cuò)誤.故選：AC21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭閣式建筑，園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個(gè)角接近，若取，側(cè)棱長(zhǎng)為米，則（

）A．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6米 B．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3米C．正四棱錐的側(cè)面積為平方米 D．正四棱錐的側(cè)面積為平方米【答案】AC【分析】利用已知條件畫(huà)出圖像，設(shè)O為正方形的中心，為的中點(diǎn)，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，利用線面角的定義得出，根據(jù)已知條件得到各邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求出正四棱錐的側(cè)面積即可.【詳解】如圖，在正四棱錐中，O為正方形的中心，為的中點(diǎn)，則，設(shè)底面邊長(zhǎng)為．因?yàn)?，所以．在中，，所以，底面邊長(zhǎng)為6米，平方米．故選：AC.三、填空題22．（2023秋·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為.【答案】【分析】依題意圓錐的底面半徑，母線，根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算可得.【詳解】依題意圓錐的底面半徑，母線，則圓錐的側(cè)面積.故答案為：23．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“幾何之父”歐幾里得最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書(shū)．《幾何原本》中提出了面積射影定理：平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦．已知正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為5、13，側(cè)面與底面成角，則它的側(cè)面積等于．【答案】72【分析】根據(jù)面積射影定理求得正確答案.【詳解】正三棱臺(tái)的上、下底面的面積分別為、，則側(cè)面在底面的射影面積為，設(shè)側(cè)面積為，由面積射影定理知，可得．故側(cè)面積等于.故答案為：24．（2023春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓臺(tái)的下底面半徑是上底面半徑的2倍，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)面積為的半圓環(huán)，則該圓臺(tái)的高為．【答案】【分析】設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，母線長(zhǎng)為，結(jié)合圓臺(tái)側(cè)面積的求法列方程求，進(jìn)而求圓臺(tái)的高.【詳解】設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則其下底面半徑為，由圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐的母線長(zhǎng)為，由圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)面積為的半圓環(huán)，得，解得.所以該圓臺(tái)的高為.故答案為：25．（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）陀螺是中國(guó)民間較早的娛樂(lè)工具之一，也稱陀羅，圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中是圓錐的頂點(diǎn)，分別是圓柱的上、下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為1，則該陀螺的表面積是.

【答案】【分析】求出圓錐的側(cè)面積和圓柱的側(cè)面積，進(jìn)而求出則該陀螺的表面積.【詳解】已知底面圓的半徑，由，則，圓錐的母線長(zhǎng)為，圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，故該陀螺的表面積.故答案為：26．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）直四棱柱的底面是菱形，其側(cè)面積是，若該直四棱柱有外接球，則該外接球的表面積的最小值為．【答案】【分析】由題意可確定直四棱柱的底面是正方形，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為h，可推出，得出其外接球的表面積的表達(dá)式，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】因?yàn)橹彼睦庵牡酌媸橇庑?，且它有外接球，所以其底面是正方形，設(shè)直四棱柱底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為h，則其側(cè)面積為，故，又該直四棱柱的外接球的半徑，所以其外接球的表面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故其外接球的表面積的最小值為，故答案為：27．（2023春·山東菏澤·高三校考開(kāi)學(xué)考試）在正四棱臺(tái)中，，，，則該棱臺(tái)的表面積為．【答案】【分析】過(guò)作，求出四棱臺(tái)的側(cè)面面積、上下底面積可得答案.【詳解】如圖，過(guò)作，垂足為，所以為四棱臺(tái)的側(cè)面的高，

因?yàn)?，則，,，所以正四棱臺(tái)的側(cè)面積為，正四棱臺(tái)的上底面積為，正四棱臺(tái)的下底面積為，則該棱臺(tái)的表面積為.故答案為：.

28．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓柱的側(cè)面積為，其外接球的表面積為，則的最小值為．【答案】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，根據(jù)題意求得，利用基本不等式求得圓柱的外接球半徑，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為，所以，得，設(shè)圓柱的外接球半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1，所以外接球的表面積的最小值為.故答案為：．29．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為3a，4a，．用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍是．

【答案】【分析】分情況分別求解組成三棱柱和四棱柱時(shí)的全面積，根據(jù)題意列出限制條件，可求范圍.【詳解】拼成一個(gè)三棱柱時(shí)，全面積有三種情況：①上下底面對(duì)接，其全面積為.②邊合在一起時(shí)，全面積為.③邊合在一起時(shí)，全面積為.

拼成一個(gè)四棱柱時(shí)，有四種情況，全面積有三種情況：讓邊長(zhǎng)為所在的側(cè)面重合，其上下底面積之和都是，但側(cè)面積分別為，顯然，三種情況中全面積最小的是；因?yàn)楸刃?，所以由題意得，解得.故答案為：.

30．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知球O的半徑為，正三棱錐O－ABC的底面的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，當(dāng)正三棱錐O－ABC的體積取得最大值時(shí)，其側(cè)面積為【答案】【分析】設(shè)出底面邊長(zhǎng)為，利用條件求出到底面的距離，從而求出，再利用不等式求出體積的最大值，從而求出，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，因?yàn)檎忮F的底面的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，所以球心在底面上的投影為底面三角形的中心，設(shè)邊長(zhǎng)為，外接圓半徑為，因?yàn)闉檎切?，所以易知，所以，?易知，所，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)的最大值為，故當(dāng)正三棱錐O－ABC的體積取得最大值時(shí)，邊長(zhǎng)為4，又，故側(cè)面均為直角三角形，所以正三棱錐O－ABC的側(cè)面積為，故答案為：12.題型三空間幾何體的體積策略方法求空間幾何體的體積的常用方法【典例1】（單選題）已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖內(nèi)切圓的半徑為1，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖即可求解,由體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，由側(cè)面展開(kāi)圖的內(nèi)切圓半徑為1可知：，所以圓柱的體積為，故選：A【典例2】（單選題）氣象學(xué)中，24小時(shí)內(nèi)降落在某面積上的雨水深度（無(wú)滲漏?蒸發(fā)?流失等，單位：）叫做日降雨量，等級(jí)如下劃分：降水量等級(jí)小雨?陣雨中雨大雨暴雨某同學(xué)用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖所示，則那天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)（

）

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【分析】利用圓錐內(nèi)積水的高度，求出圓錐內(nèi)積水部分的半徑，求出積水的體積，再求出平面上積水的深度，由此確定降雨等級(jí).【詳解】作圓錐截面圖如下，

由已知，，，，設(shè)圓錐內(nèi)積水部分的底面半徑為，則，故，由錐體體積公式可得積水的體積，因?yàn)槭占晁钠降孛娣e為圓錐的底面，故其面積所以對(duì)應(yīng)的平地上的積水深度為，所以該天降雨的等級(jí)為中雨.故選：B.【典例3】（單選題）如圖，一種棱臺(tái)形狀的無(wú)蓋容器(無(wú)上底面)模型其上、下底面均為正方形，面積分別為4cm2，9cm2，且.若該容器模型的體積為cm3，則該容器模型的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)體積求得模型的高，進(jìn)而求得側(cè)面的高，從而求得模型的表面積.【詳解】依題意可知，上底面邊長(zhǎng)為，下底面邊長(zhǎng)為，設(shè)模型的高為，則，所以側(cè)面等腰梯形的高，所以模型的表面積為.故選：A【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．地區(qū)不同，制作的粽子形狀也不同，圖中的粽子接近于正三棱錐．經(jīng)測(cè)算，煮熟的粽子的密度為，若圖中粽子的底面邊長(zhǎng)為，高為，則該粽子的重量大約是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等邊三角形面積公式和正三棱錐體積公式求出粽子的體積，然后利用密度公式計(jì)算粽子的質(zhì)量.【詳解】由題知，粽子的體積，根據(jù)可得，該粽子重量大約為，與C選項(xiàng)最為接近.故選：C2．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》（1247年）.該書(shū)第二章為“天時(shí)類(lèi)”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：?jiǎn)挝唬?，則平地降雪厚度的近似值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)梯形中位線定理，結(jié)合圓臺(tái)體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為，所以平地降雪厚度的近似值為.故選：C3．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）《工程做法則例》是清朝雍正時(shí)期官方發(fā)布的一部較為系統(tǒng)全面的建筑工程專(zhuān)書(shū)，里面有一句話：“凡檐柱（支撐屋檐的柱子）以面闊十分之八定高，以百分之七定徑寸（直徑）．”這句話規(guī)定了房屋檐柱的高、直徑與房屋寬度之間的比例．假設(shè)某座房子的“面闊”為，檐柱形狀為圓柱，根據(jù)書(shū)中這句話的要求，這座房子的一根檐柱的體積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由圓柱的體積計(jì)算公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，檐柱的高為，檐柱的直徑為，所以檐柱的體積為．故選:A4．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺(tái)的下底面過(guò)球心，上底面半徑為1，則圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圓臺(tái)的高后，根據(jù)圓臺(tái)的體積公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面的圓心為，下底面的圓心為O，點(diǎn)A為上底面圓周上任意一點(diǎn)，則，設(shè)圓臺(tái)的高為h，上底面的又球的半徑為，則，所以圓臺(tái)的體積．故選：C．5．（2023·遼寧沈陽(yáng)·校聯(lián)考二模）遼寧省博物館收藏的商晚期饕餮紋大圓鼎（如圖1）出土于遼寧省略左縣小波汰溝．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分別飾單層獸面紋，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主體部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（忽略鼎壁厚度），如圖2所示．已知球的半徑為R，圓柱的高近似于半球的半徑，則此鼎的容積約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用球體、圓柱體體積公式求鼎的容積.【詳解】由題設(shè)，此鼎的容積為半球體積與圓錐體積的和，所以容積約為.故選：D6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中分別是上?下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓錐與圓柱的體積公式，可得答案.【詳解】已知底面圓的半徑，由，則，故該陀螺的體積.故選：D.7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且面積為4，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓錐軸截面形狀和面積易得體高、底面半徑均為，利用圓錐體積公式求體積.【詳解】由題設(shè)，圓錐的體高、底面半徑均為，所以圓錐的體積為.故選：D8．（2023·天津南開(kāi)·統(tǒng)考二模）如圖，某種中藥膠囊外形是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成的，半球的直徑是，圓柱高，則該中藥膠囊的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由球的體積公式和圓柱的體積公式求解即可；【詳解】由題意得該幾何體由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成，所以體積為一個(gè)球體體積和一個(gè)圓柱體積之和，由球體的體積為：，圓柱體積為：，所以浮球的體積為：.故選：B.9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱體積比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知若球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，結(jié)合球與圓柱的體積公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，因?yàn)?，所以．故選：A10．（2023·西藏昌都·校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，并且圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則此圓錐的體積為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由圓錐側(cè)面展開(kāi)圖得圓錐底面半徑及高，再由錐體體積公式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，圓錐的高為h，根據(jù)題意得，解得：，所以圓錐的高，所以圓錐的體積，故選：D．11．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)歷史文化悠久，“爰”銅方彝是商代后期的一件文物，其蓋似四阿式屋頂，蓋為子口，器為母口，器口成長(zhǎng)方形，平沿，器身自口部向下略內(nèi)收，平底、長(zhǎng)方形足、器內(nèi)底中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字.通高24cm，口長(zhǎng)13.5cm，口寬12cm，底長(zhǎng)12.5cm，底寬10.5cm.現(xiàn)估算其體積，上部分可以看作四棱錐，高約8cm，下部分看作臺(tái)體，則該文物的體積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)棱臺(tái)與棱錐的體積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A12．（2023秋·云南曲靖·高三宣威市第三中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水體積為盆體積的一半，則平地降雨量約是（

）寸.（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式求得天池盆的體積，即可求得盆中積水的體積，根據(jù)平地降雨量的含義即可求得答案.【詳解】由題意可知天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，

則天池盆體積為（立方寸）故盆中積水體積為（立方寸），故平地降雨量約為（寸），故選：C13．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是我國(guó)古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺(tái)，上、下底面邊長(zhǎng)分別為20cm和10cm，側(cè)棱長(zhǎng)為cm．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝（

）

A．1.5L B．1.7L C．2.3L D．2.7L【答案】C【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出正四棱臺(tái)的直觀圖，其中底面是邊長(zhǎng)為20的正方形，底面是邊長(zhǎng)為10的正方形，側(cè)棱，記底面和底面的中心分別為和，則是正四棱臺(tái)的高.

過(guò)作平面的垂線，垂足為，則且，，所以，，故，所以棱臺(tái)的高，由棱臺(tái)的體積公式得．故選：C.14．（2023·北京海淀·?？既＃┕?44年，先秦法家代表人物商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，開(kāi)創(chuàng)了秦朝統(tǒng)一度量衡的先河.如圖，升體是長(zhǎng)方體，手柄近似空心的圓柱.已知銅方升總長(zhǎng)是，內(nèi)口長(zhǎng)，寬，高（忽略壁的厚度，取圓周率），若手柄的底面半徑為，體積為，則銅方升的容積約為（小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字）（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由手柄的體積求出手柄的長(zhǎng)度，即可得到長(zhǎng)方體的內(nèi)口長(zhǎng)，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】依題意手柄的底面半徑為，體積為，則手柄的底面積為，所以手柄的長(zhǎng)度為，所以長(zhǎng)方體的內(nèi)口長(zhǎng)，所以升體的容積為，即銅方升的容積約為.故選：A15．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓臺(tái)上下底面半徑之比為，母線與底面所成的角的正弦值為，圓臺(tái)體積為，則該圓臺(tái)的側(cè)面面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】做出圓臺(tái)的軸截面圖，結(jié)合條件算出母線與高，與上底面半徑的關(guān)系，并利用體積公式可得，，進(jìn)而計(jì)算出圓臺(tái)的側(cè)面積.【詳解】

解：做出圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為，則下底面半徑為，作，垂足為，則，母線與底面所成的角的正弦值為，即，設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，高為，則，，因?yàn)閳A臺(tái)的體積為，由圓臺(tái)的體積公式，計(jì)算得，所以.再由圓臺(tái)側(cè)面積公式，可得圓臺(tái)的側(cè)面積為.故選：C.16．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是年在陜西寶雞賈村出土的一口“何尊”（尊為古代的酒器，用青銅制成），尊內(nèi)底鑄有行、字銘文．銘文中寫(xiě)道“唯武王既克大邑商，則廷告于天，曰：‘余其宅茲中國(guó)，自之辟民’”，其中宅茲中國(guó)為“中國(guó)”一詞最早的文字記載．“何尊”可以近似看作是圓臺(tái)和圓柱組合而成，經(jīng)測(cè)量，該組合體的高約為，上口的直徑約為，圓柱的高和底面直徑分別約為，，則“何尊”的體積大約為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】利用圓柱和圓臺(tái)體積公式直接求解即可.【詳解】由題意知：圓柱的底面半徑為，高為；圓臺(tái)的上下底面半徑分別為和，高為，圓柱的體積；圓臺(tái)的體積，“何尊”的體積大約為.故選：A.17．（2023·全國(guó)·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知菱形的邊長(zhǎng)為，則將菱形以其中一條邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】該幾何體上部分為圓錐,下部分為在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)與上部分相同的圓錐,根據(jù)圓柱的體積公式即可求解.【詳解】如圖是所求的幾何體,該幾何體上部分為圓錐,下部分為在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)與上部分相同的圓錐,其中圓柱的高為，點(diǎn)到的距離為，所以該幾何體的體積為.故選:B.18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在馬致遠(yuǎn)的《漢宮秋》楔子中寫(xiě)道：“氈帳秋風(fēng)迷宿草，穹廬夜月聽(tīng)悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個(gè)圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，則該氈帳的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用圓錐側(cè)面積公式以及母線、底面半徑和高的關(guān)系得到方程組即可解出圓錐底面半徑，再利用圓柱側(cè)面積公式即可求圓柱的高，最后再根據(jù)相關(guān)體積公式即可得到答案.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積為，所以，即.因?yàn)椋月?lián)立解得（負(fù)舍）.因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為，所以，即，解得，所以該氈帳的體積為.故選：A.19．（2023·江蘇徐州·江蘇省沛縣中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時(shí)期的文物，現(xiàn)收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個(gè)幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺(tái)，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺(tái)，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的4倍，若幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分別為，則幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的體積之比為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)上面的六棱柱的底面面積為S，高為，根據(jù)棱柱和棱臺(tái)的體積公式直接計(jì)算，然后求比可得.【詳解】設(shè)上面的六棱柱的底面面積為S，高為，由上到下的三個(gè)幾何體體積分別記為，則，，，所以故選：D

20．（2023·廣東深圳·深圳市高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知一個(gè)直棱柱與一個(gè)斜棱柱的底面多邊形全等，且它們的側(cè)棱長(zhǎng)也相等．若直棱柱的體積和側(cè)面積分別為和，斜棱柱的體積和側(cè)面積分別為和，則（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系無(wú)法確定【答案】A【分析】結(jié)合棱柱的側(cè)面積和體積公式判斷即可.【詳解】設(shè)棱柱的底面周長(zhǎng)為，底面面積為，側(cè)棱長(zhǎng)為，斜棱柱的高為，則，而，斜棱柱各側(cè)面的高均不小于，所以，于是，有，所以，．故選：A.21．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）車(chē)木是我國(guó)一種古老的民間手工工藝，指的是用刀去削旋轉(zhuǎn)著的木頭，可用來(lái)制作家具和工藝品，隨著生產(chǎn)力的進(jìn)步，現(xiàn)在常借助車(chē)床實(shí)施加工．現(xiàn)要加工一根正四棱柱形的條木，底面邊長(zhǎng)為，高為．將條木兩端夾住，兩底面中心連線為旋轉(zhuǎn)軸，將它旋轉(zhuǎn)起來(lái)，操作工的刀頭逐步靠近，最后置于離旋轉(zhuǎn)軸處，沿著旋轉(zhuǎn)軸平移，對(duì)整塊條木進(jìn)行加工，則加工后木塊的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先作出加工后木塊的橫截面的形狀，據(jù)此計(jì)算即可得加工后木塊的體積.【詳解】加工后木塊的橫截面的形狀如圖所示，

其中O為橫截面的中心，,，，計(jì)算可得,:,所以加工后木塊的體積為.故選：B.22．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”，即（表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，S表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)）.如圖，等腰梯形∥，已知，則其重心到的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意旋轉(zhuǎn)等腰梯形求該組合體體積及等腰梯形的面積由公式計(jì)算即可.【詳解】分別過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)F，，等腰梯形繞底邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為兩個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合體的體積；等腰梯形的面積，記重心到的距離為，則重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)為，根據(jù)題意可知，則.

故選：C.二、多選題23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫(huà)的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是3和9，且，則該圓臺(tái)的（

）A．高為 B．體積為C．表面積為 D．上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為【答案】AC【分析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，求出，即可判斷選項(xiàng)A正確；利用公式計(jì)算即可判斷選項(xiàng)BCD的真假得解.【詳解】解：設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，則，解得．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，圓臺(tái)的高為，則選項(xiàng)正確；圓臺(tái)的體積，則選項(xiàng)錯(cuò)誤；圓臺(tái)的上底面積為，下底面積為，側(cè)面積為，則圓臺(tái)的表面積為，則正確；由前面可知上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．24．（2023秋·山東煙臺(tái)·高三山東省煙臺(tái)第一中學(xué)校考期末）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭閣式建筑，園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值近似為，側(cè)棱長(zhǎng)近似為米，則下列結(jié)論正確的是（

）A．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)近似為3米B．正四棱錐的高近似為米C．正四棱錐的側(cè)面積近似為平方米D．正四棱錐的體積近似為立方米【答案】BD【分析】利用已知條件畫(huà)出圖像，設(shè)O為正方形的中心，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，利用線面角的定義得到求得a，根據(jù)已知條件得到各邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求出正四棱錐的側(cè)面積、體積即可.【詳解】如圖，在正四棱錐中，為正方形的中心，則平面，則為側(cè)棱與底面所成角，且．設(shè)底面邊長(zhǎng)為．所以，．在中，，所以，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6米，高為，側(cè)面積平方米，體積，故選:BD．25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為，則下列敘述正確的是（

）A．正三棱錐高為3 B．正三棱錐的斜高為C．正三棱錐的體積為 D．正三棱錐的側(cè)面積為【答案】ABD【分析】先求出正三棱錐的高和斜高，從而可判斷AB的正誤，再計(jì)算出體積和側(cè)面積，從而可判斷CD的正誤.【詳解】設(shè)為等邊三角形的中心，為的中點(diǎn)，連接，則為正三棱錐的高，為斜高，又，，故,故AB正確.而正三棱錐的體積為，側(cè)面積為，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.26．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）沙漏，據(jù)《隋志》記載：“漏刻之制，蓋始于黃帝”．它是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)．如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）．假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆．以下結(jié)論正確的是（

）A．沙漏的側(cè)面積是B．沙漏中的細(xì)沙體積為C．細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cmD．該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是837秒【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，求出圓錐的母線長(zhǎng)，從而利用錐體體積公式求出沙漏的側(cè)面積；B選項(xiàng)，根據(jù)細(xì)沙形成的圓錐的高度得到此圓錐的底面半徑，得到細(xì)沙的體積；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)求出的體積公式得到細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度；D選項(xiàng)，利用細(xì)沙的體積和沙漏漏下的速度求出時(shí)間.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)下面圓錐的母線長(zhǎng)為，則cm，故下面圓錐的側(cè)面積為，故沙漏的側(cè)面積為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)榧?xì)沙全部在上部時(shí)，高度為圓錐高度的，所以細(xì)沙形成的圓錐底面半徑為cm，高為cm，故底面積為，所以沙漏中的細(xì)沙體積為，B正確；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的體積為，其中此錐體的底面積為，故高度為cm，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，秒，故該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是837秒，D正確.故選：BD27．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，與分別為圓臺(tái)上?下底面直徑，，若，則（

）

A．圓臺(tái)的全面積為B．圓臺(tái)的體積為C．圓臺(tái)的中截面（過(guò)圓臺(tái)高的中點(diǎn)且平行底面的截面）面積為D．從點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓臺(tái)的側(cè)面到點(diǎn)的最短距離為【答案】AD【分析】根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)代入圓臺(tái)的全面積公式和體積公式可知A正確，B錯(cuò)誤；易知圓臺(tái)的中截面是以等腰梯形的中位線為直徑的圓，可得其截面積為，所以C錯(cuò)誤；根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖利用弧長(zhǎng)公式和余弦定理即可求得點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓臺(tái)的側(cè)面到點(diǎn)的最短距離為，即D正確.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：圓臺(tái)的全面積包括上下底面積及側(cè)面積，底面積為，根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面積公式可得其側(cè)面積為，所以圓臺(tái)的全面積為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)臺(tái)體體積公式可得圓臺(tái)的體積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：易知圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，其中位線為中截面圓的直徑，所以中截面圓的半徑長(zhǎng)為，所以中截面圓的面積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：將圓臺(tái)沿著軸截面切開(kāi)，將圓臺(tái)的側(cè)面的一半展開(kāi)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：

在圓臺(tái)的軸截面等腰梯形中，，根據(jù)臺(tái)體性質(zhì)易知分別為的中點(diǎn)，所以3，設(shè)，則，則，在中，，由余弦定理可得，因此，從點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓臺(tái)的側(cè)面到點(diǎn)的最短距離為，故D正確.故選：AD.28．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）在正四棱臺(tái)中，分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A．與是異面直線B．與平面所成的角為C．正四棱臺(tái)的體積為D．正四棱臺(tái)的表面積為【答案】BC【分析】對(duì)于A：根據(jù)已知結(jié)合棱臺(tái)的性質(zhì)得出與交于一點(diǎn)，即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)已知設(shè)在平面中的投影為，則平面，且，即與平面所成的角為，即可計(jì)算得出，即可得出答案來(lái)判斷；對(duì)于C：根據(jù)正四棱臺(tái)的體積求法得出即可判斷；對(duì)于D:根據(jù)正四棱臺(tái)的表面積求法得出即可判斷；【詳解】對(duì)于A：為正四棱臺(tái)，四條側(cè)棱所在直線交于一點(diǎn)，記為，分別是棱的中點(diǎn)，也過(guò)點(diǎn)，，與屬于同一平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：為正四棱臺(tái)，點(diǎn)在平面上的射影一定在上，記為，則平面，且，與平面所成的角為，，，，，，，故B正確；對(duì)于C：根據(jù)選項(xiàng)B中可得，即正四棱臺(tái)的高，設(shè)分別為正四棱臺(tái)上、下底面積，，故C正確；對(duì)于D：正四棱臺(tái)是四個(gè)全等的等腰梯形，梯形的上、下底分別為1、3，高為，則面積為，根據(jù)選項(xiàng)C可得，，則正四棱臺(tái)的表面積為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.29．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A．圓臺(tái)的體積為B．圓臺(tái)的側(cè)面積為C．圓臺(tái)母線與底面所成角為60°D．在圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為4【答案】AC【分析】根據(jù)已知求體積;過(guò)作交底面于F，判斷出即為母線與底面所成角；作出圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，直接求出面積；圓臺(tái)的側(cè)面上，判斷出從到的最短路徑的長(zhǎng)度為CE,等逐個(gè)判斷即可求解.【詳解】對(duì)于A：圓臺(tái)的高為，則圓臺(tái)的體積，A