2022-2023學(xué)年廣東省云浮市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省云浮市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

A.-1B.—iC.1D.i

2.若正方形4BC。的邊長為2,則I而—荏I=（）

A.4√-2B.2√^2C.√^7D.?

3.高一年級(jí)有男生480人，女生520人，張華按男生、女生進(jìn)行分層，通過分層隨機(jī)抽樣的

方法抽取了總樣本量為50的樣本，則張華從男生中抽取的樣本量為（）

A.23B.24C.25D.26

4.一個(gè)幾何體由6個(gè)面圍成，則這個(gè)幾何體不可能是（）

A.四棱臺(tái)B.四棱柱C.四棱錐D.五棱錐

5.如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，ArE=2^EB'>BF=^FB'>G,H,分別在棱CC',C'D'

上,EH//B'C'//FG,該長方體被平面EFGH截成兩個(gè)幾何體,設(shè)體積較大的幾何體的體積為匕,

體積較小的幾何體的體積為V2,則￡=（）

A.10B.5C.12D.11

6.柜子中有3雙不同顏色的手套，紅色、黑色、白色各1雙.若從中隨機(jī)地取出2只，則取出

的手套是一只左手套一只右手套，但不是一雙手套的概率為（）

Art?-5B-5jC-5D-5

7.2012年至2021年全國及廣東固定資產(chǎn)投資年增速情況如圖所示，則（）

2012年至2021年全國及廣東固定資產(chǎn)投資年增速情況如圖

增速/%

2O

10.o

86.

1O

1O

14.

2.

1O

08.O

6

4.()

2.(,)

()

.0

2012201320142015201620172018201920202021年份

A.2012年至2021年全國固定資產(chǎn)投資先減后增

B.2012年至2021年廣東固定資產(chǎn)投資年增速的40%分位數(shù)為11.1%

C.2012年至2021年全國固定資產(chǎn)投資年增速的平均數(shù)比2012年至2021年廣東固定資產(chǎn)投

資年增速的平均數(shù)大

D.2012年至2021年全國固定資產(chǎn)投資年增速的方差比2012年至2021年廣東固定資產(chǎn)投資

年增速的方差大

8.羅定文塔，位于廣東省云浮市羅定市城區(qū).寶塔平面上呈八角形，

各層塔檐微微翹起,狀如綻開的花瓣.頂層的蓮花座鐵柱、塔剎九霄盤、

寶珠等鑄件總重逾七噸，為廣東古塔之最.如圖，為了測量羅定文塔的

高度，選取了與該塔底B在同一平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D,現(xiàn)測得

乙BCD=69°,ACDB=37o,CD=37.6m,在點(diǎn)C測得羅定文塔頂端4

的仰角為64。，則羅定文塔的高度4B=（參考數(shù)據(jù)：取血九64。=2,

cos370=0.8,√^6≈2.449，C≈1.414）（）

A.23.5m

B.47m

C.24.5τn

D.49m

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.若（l+i）2=5-3i,則（）

A.z的實(shí)部為1

B.z的虛部為一4

C.∣z∣=√T7

D.Z-2—i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

10.己知△?!BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,己知α=3,6=4,銳角C滿足SinC=W更,

4

貝∣J（）

A.△?!BC的面積為3√^1IB.cosC=?

C.c=√19D.cosB=

B.pμuB）=I

C.4與B互斥

D.4與B相互獨(dú)立

12.己知矩形ABC。，AB=I,BC=口，將△?!￡>C沿對(duì)角線AC進(jìn)行翻折，得到三棱錐。一

ABC,在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（）

A.三棱錐。-4BC的外接球的體積不變

B.三棱錐D-ZBC的體積的最大值為,

C.當(dāng)三棱錐。一ABC的體積最大時(shí)，二面角。一BC-A的正切值為

D.異面直線AB與CD所成角的最大值為90。

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.從1?9這9個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為4的概率為.

14.己知向量落至滿足I磯=5,?b?=2,且日在至上的投影向量為2B，則五，石夾角的余弦

值為?α?K=?

15.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4,圓心角為］的扇形，將該圓錐加工打磨成一個(gè)球

狀零件，則該零件表面積的最大值為.

16.如圖，在正方體力BCD-&BlCID2中，AB=2,E,M,N,P,

Q分別為AB,C1D1,B1C1,BC,CD的中點(diǎn)，。為平面MNPQ內(nèi)的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則為。+。E的最小值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知點(diǎn)4(1,1),5(-1,0),C(0,l),且而=說.

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)求AABC的面積.

18.(本小題12.0分)

如圖，在正三棱柱4BC-4∕ιCι中，P,Q分別為&B,CCl的中點(diǎn).

(1)證明：PQ〃平面4BC.

(2)證明：平面AlBQI平面44ιBιB.

19.體小題12.0分)

村全稱是“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽，近幾個(gè)月以來，廣東各地村居籃球聯(lián)賽眾多.村BA以籃

球?yàn)榧~帶，掀起鄉(xiāng)村體育熱潮，大力促進(jìn)全民健身和鄉(xiāng)村振興的發(fā)展.某村球隊(duì)對(duì)最近50場

比賽的得分進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]分為4組,畫出的頻率

分布直方圖如圖所示.

(1)求頻率分布直方圖中Tn的值；

(2)估計(jì)這50場比賽得分的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)；

(3)若該球隊(duì)準(zhǔn)備對(duì)得分排名前20%的比賽進(jìn)行宣傳，試估計(jì)被宣傳的比賽得分不低于多少.

20.(本小題12.0分)

已知α,b,C分別為△4BC三個(gè)內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊，且Ca—2加譏4=0，B為銳角.

⑴求B；

(2)若α+c=5,b=C,求同?J?.

21.(本小題12.0分)

某高校的入學(xué)面試中有4B,C三道題目，規(guī)則如下：第一環(huán)節(jié)，面試者先從三道題目中隨

機(jī)抽取一道，若答對(duì)抽到的題目，則面試通過，若沒答對(duì)抽到的題目，則進(jìn)入第二環(huán)節(jié)；第

二環(huán)節(jié)，該面試者從剩下的兩道題目中隨機(jī)抽取一道，若答對(duì)抽到的題目，則面試通過，若

沒答對(duì)抽到的題目，則進(jìn)入第三環(huán)節(jié)；第三環(huán)節(jié)，若該面試者答對(duì)剩下的一道題目，則面試

通過，若沒有答對(duì)剩下的題目，則面試失敗.假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，李明

答對(duì)4B,C題的概率依次是J,?,?

234

(1)求李明第一環(huán)節(jié)抽中4題，且第一環(huán)節(jié)通過面試的概率；

(2)求李明第二環(huán)節(jié)或第三環(huán)節(jié)通過面試的概率.

22.體小題12.0分)

如圖，在四面體ABCD中，AB=AD,BC=CD,E為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為4C上一點(diǎn).

(1)求證：平面4CEL平面BDF；

(2)若Z?BCD=90°,/.BAD=60o,AC=√3BC,求直線BF與平面ACC所成角的正弦值的最

大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：［=-?=—i.

I-ι?ι

故選8.

2.【答案】B

【解析】解：因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為2,

所以I而|=|四|=2，且而1荏，

所以I粉一適I=?^BD?=√22+22=2√^2?

故選：B.

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由題意，高一年級(jí)有男生480人，女生520人，可得高一年級(jí)共有480+520=1000

人，

可得分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了總樣本量為50的樣本，

則張華從男生中抽取的樣本量為贏X480=24人.

故選：B.

根據(jù)分層抽樣的概念以及抽取方法，即可求解.

本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4四棱臺(tái)是上下兩個(gè)四邊形，四個(gè)側(cè)面有一6個(gè)面，滿足題意;

對(duì)于B,四棱柱是上下兩個(gè)四邊形，四個(gè)側(cè)面有6個(gè)面，滿足題意；

對(duì)于C,四棱錐有一個(gè)底面，四個(gè)側(cè)面有5個(gè)面，不滿足題意；

對(duì)于D,五棱錐有一個(gè)底面，五個(gè)側(cè)面有6個(gè)面，滿足題意.

故選：C.

根據(jù)題意，由棱柱，棱臺(tái)和棱錐的面的個(gè)數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)得出答案即可.

本題考查棱臺(tái)、棱錐、棱柱的結(jié)構(gòu)特征，注意常見幾何體的面、棱、頂點(diǎn)的數(shù)目，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：不妨設(shè)4'B'=3,BB'=2,?.?力唁=2EB；，'''A'E=2,EB'=1,

又混=而，：?BF=FB，=1,

λSAEFB，=2×1×1=2,得S∕18FE4=^ABB∣A∣~SAEFB，=?×2--=—)

???EH∕∕B'C,∕∕FG,二長方體被平面EFGH截成的兩部分均為高為BC的直棱柱，

其體積之比即為底面積之比，得#=評(píng)皿=H.

V2SAEF8，

故選：D.

、

不妨設(shè)AB'=3,BB'=2,即可求出SAEFB，SABFEAI,依題意截成的兩部分均為高為BC的直棱柱，

則體積之比即為底面積之比.

本題考查棱柱體積的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：由題意，分別用藥,a2,bi，b2,c1,c2表示6只手套，

從中隨機(jī)地取出2只,包含(αι,o?),(%，瓦)，(%也)，(%,Cι),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),

(α2>C2),(瓦,。2)，(瓦,Ci)，(瓦,。2)，(p2'cl)t(匕2兒2)，(Cl,C2),共有15種,

其中取出的手套中一只左手套一只右手套，

包含(的也)，(α1,c2),(α2,b1),(a2,ci),(bvc2),(.b2,c1),共有6種,

所以不是一雙手套的概率為P=?=∣.

故選：B.

利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典擷型的概率

計(jì)算公式，即可求解.

本題考查古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)4由折線統(tǒng)計(jì)圖可知2012年至2021年全國固定資產(chǎn)投資年增速先減后增，

但是均為正數(shù)，故全國固定資產(chǎn)投資均增加，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)8,2012年至2021年廣東固定資產(chǎn)投資年增速從小到大排列為6.3%、7.2%、10.0%、

10.7%、11.1%、13.5%、14.6%、15.8%、15.9%、18.2%,

因?yàn)?0X40%=4,所以第40%分位數(shù)為第4、5位兩數(shù)的平均數(shù)，即為此%嚴(yán)%=10.9%,故

3錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,由統(tǒng)計(jì)圖可知只有2012年全國固定資產(chǎn)投資年增速比廣東固定資產(chǎn)投資年增速大，

其余年份廣東固定資產(chǎn)投資年增速均大于全國固定資產(chǎn)投資年增速，

所以2012年至2021年全國固定資產(chǎn)投資年增速的平均數(shù)比2012年至2021年廣東固定資產(chǎn)投資年

增速的平均數(shù)小，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，全國固定資產(chǎn)投資年增速比較分散，廣東固定資產(chǎn)投資年增速比較集中，

所以2012年至2021年全國固定資產(chǎn)投資年增速的方差比2012年至2021年廣東固定資產(chǎn)投資年增

速的方差大，故。正確.

故選：D.

根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖一一分析即可.

本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，考查了平均數(shù)、方差和百分位數(shù)的計(jì)算，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閏os37。=0.8,所以S譏37°=√1-3237。=0.6,

又sin74°≈sin75o=sin(45o+30°)

=sin450cos300+cos450sin300

?l<3,C-I√-6+?Γ2

=—×-+—×2=—-'

因?yàn)閆BCC=69°,乙CDB=37°,所以NCBD=I800-69°-37°=74°,

在ABCD中由正弦定理

SinNC8。SinzCDB

CDsinLCDB37.6sin37o

即CB又tcm640=—

λnnz,.UZIO?nz,Q37.6sE37°2×37.6×0.6.?

所以AB=BCtanM=2BC=2×?Sin74?！?汽冢至≈47m-

4

故選：B.

首先求出sin37。，再由兩角和的正弦公式求出S譏75。，在△BCD中由正弦定理表示出BC,再由銳

角三角函數(shù)得到4B=BCtan64°,從而計(jì)算可得.

本題主要考查了和差角公式，正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：因?yàn)?l+i)W=5—33所以W=F=舁等*=^=I-43

'Jl+ι(l+O(l-ι)2

所以z=l+4i,所以Z的實(shí)部為1,虛部為4,∣z∣=√M+42=CV,故A、C正確，8錯(cuò)誤；

z—2-i=l+4i—2—i=-1+3i,

所以z-2-i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-1,3)位于第二象限，故。正確.

故選:ACD.

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡W，即可求出z,從而判斷4、B、C,再求出Z-2-3根據(jù)復(fù)

數(shù)的幾何意義判斷即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：在AABC中，因?yàn)棣?3,6=4,且SirlC=匚身，

4

由三角形的面積公式，可得S-BC=gabsinC=：x3x4xf=甘，所以A錯(cuò)誤；

由C為銳角，且SinC=H可得CoSC=√1-si/C=所以8正確；

44

i___

由余弦定理得C?=α2÷/?2-2abcosC=9÷16-2×3×4×-=19,可得C=√19,所以C正

4

確；

由余弦定理得COSB=α2+c2j2=9+194=紅廳,所以。不正確.

2ac2×3×y∏919

故選：BC.

由三角形的面積公式，可判定4錯(cuò)誤；由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可判定8正確，由余弦定理,

可判定C正確，。錯(cuò)誤.

本題考查了三角形的面積公式，三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查

了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)閚(0)=12O,n(4)=4O,n(β)=30,n(A∩β)=10,

所以P(A)=箸P(B)=職=；,P(Λδ)=?≡=?

所以PoIB)=PG4)?P(B),即4與B相互獨(dú)立，故A、D正確;

因?yàn)閚(AnB)=10,所以4與B不互斥，故C錯(cuò)誤；

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=g+；—?=g,故B正確.

故選：ABD.

根據(jù)古典概型的概率公式求出PG4),P(B),P(AB),即可判斷從C、。，再根據(jù)和事件的概率公

式計(jì)算P(AUB),即可判斷B.

本題主要考查了獨(dú)立事件和互斥事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A,設(shè)AC的中點(diǎn)為。，則由Rt4ABC'RtADC

OA=OB=OC=OD,所以。為三棱錐D-ABC外接球的球心，其半徑為TAC=1,

所以三棱錐D-ABC外接球的體積為守兀，故A正確；

對(duì)于B,設(shè)三棱錐D-4BC底面4BC上的高為九，則％-.BC=^SA4BC,八，

當(dāng)平面4CC_L平面ABC時(shí)，三棱錐D-4BC的高最大，

此時(shí)三棱錐D-4BC的體積IZDrBC=*xlXCX?=；,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,三棱錐D-ABC的體積的最大時(shí)，平面4DC平面4BC,

D

過點(diǎn)。作DMI4C交4C于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN〃/1B,交BC于點(diǎn)N,連接。N,

由平面AOC_L平面4BC,平面4DCΓI平面4BC=4C,DMU平面4DC,

所以DMJ_平面4BC,BCU平面ABC,所以DMIBC,

又MNUAB,AB1BC,所以MNIBC,

DMnMN=M,DM,MNU平面DMN,所以BCl平面DMN,

ONU平面。MN,所以BCj.CN,所以NDNM即為二面角。一BC-4的平面角，

又DM=.則MC=√DC2-DM2=?

AC22

又zCMNsχCAB,所以黑=鬻，則MN=1所以tanzJ)NM=黑=2「，

ABCA4MN

即二面角D-BC-A的正切值為2，？，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)翻折后點(diǎn)。到點(diǎn)B的距離為C，即BD=C，在ABCD中，BC2=BD2+CD2,

則CD?LBD,又CDIAD,AD∩BD=D,AD,BDU平面4BD,則CDI平面4BD,即異面直線4B

與CD所成角為90。，

即異面直線AB與CD所成角的最大值為90。，故。正確.

故選：ACD.

由直角三角形的性質(zhì)得出AC的中點(diǎn)為三棱錐。-力BC外接球的球心，進(jìn)而得出A正確；當(dāng)平面

40CJ_平面ABC時(shí)，三棱錐。-ABC的體積最大，從而判斷8；三棱錐。一ABC的體積的最大時(shí)，

平面ADC_L平面ABC,二面角?！狟C—A的正切值；當(dāng)BD=/1，由線面垂直判定定理證明CDl

平面ABD,進(jìn)而得出異面直線AB與CD所成角的最大值為90。.

本題主要考查棱錐的體積，異面直線所成的角，二面角的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】I

【解析】解：因?yàn)?=1,22=4,32=9,42=16,52=25,62=36,72=49,82=64,92=81,

從1?9這9個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)共有9種選法，

其中這個(gè)數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為4的只有2、8共2個(gè),

所以所求的概率P=a

故答案為：

根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.

本題考查古典型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】I8

【解析】解：???I磯=5,住|=2,且五在石上的投影向量為2反

??j=j?=2b)即五?b=2∣b∣2=8,

T→a`b84

.?"°$如，切=麗=應(yīng)=+

故答案為：?;8.

根據(jù)方在加上的投影向量為鬻???,求出心&再求出夾角的余弦值，即可得出答案.

?b?∣?∣

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】胃

【解析】解：根據(jù)題意，該圓錐的母線長為，=4,設(shè)圓錐底面圓半徑為R,

高為八，如圖所示，

由2兀/?=4X］得，R=I,所以h=√B-R2=√^5.

圓錐Po內(nèi)切球的半徑等于△PAB內(nèi)切圓的半徑，

設(shè)的內(nèi)切圓圓心為。1，半徑為r,

由于SAPAB=SAPAOl+SAPBe)&+^ΔABO1>則有"×2×√15=?×4r+?X

4r+?×2r,

解得r=2ψ.

所以該球狀零件表面積的最大值為4口2=零.

故答案為：ψ?

根據(jù)題意，運(yùn)用扇形的弧長公式可求得圓錐半徑，結(jié)合等面積法可求得三角形的內(nèi)切圓半徑，進(jìn)

而求得圓錐內(nèi)切球的表面積.

本題考查球的表面積計(jì)算，涉及旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】E

【解析】解：延長EP,與DC的延長線交于點(diǎn)7,ABCD是正方形,

因?yàn)?C1BD,EP//AC,QP//BD,

所以EPIQP,

所以EPJ.PN,

又PNnPQ=P,PNU平面MNPQ,PQU平面MNPQ,

所以EP1平面MNPQ,

所以TPj■平面MNPQ,EP=PT,

所以E關(guān)于面MNPQ的對(duì)稱點(diǎn)7,

所以4。+OE=A1O+0T≥A1T,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDl所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)锳B=2,E,P,分別為4B,BC的中點(diǎn)，EP=PT,

因?yàn)?ι(2,0,2),T(0,3,0),

所以必7=√以+33+22=λ∏7,

故答案為：V17.

先根據(jù)線面垂直得出E關(guān)于面MNPQ的對(duì)稱點(diǎn)F,EP=PT,再建系根據(jù)兩點(diǎn)間距離求解即可.

本題考查空間中距離，解題關(guān)鍵是空間向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)?(1,1),β(-l,0),C(0,l),

所以荏=(-1,0)-(LI)=(—2,—1)，設(shè)Qay),則而=(X,y)—(0,1)=(x,y-1),

又荏=而,所以憂：_1，解得憂J即0(—2,0).

(2)因?yàn)镸Cl=1,且4C〃x軸，B到AC的距離為1,

所以S&4BC=/XlXl=2，

【解析】(1)設(shè)。(χ,y),表示出荏、麗的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等得到方程組，解得即可;

(2)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，直接求出三角形的面積.

本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

A

18.【答案】解：(1)證明：取AB的中點(diǎn)D,連接P。、CD,因?yàn)镻,Q分別為?-------刁Cl

aB,CCi的中點(diǎn)，V×γ>≤.

所以PL√∕Λ4ι且PD=^AAl,?"?71

又三棱柱ABe-AIBlCI是正三棱柱，所以CQ〃44「CQ=^AA1,八；,斗'少少C

所以P?！–Q且PD=CQ,B

所以PDCQ為平行四邊形，所以PQ〃CD,

又因?yàn)镻QC平面ZBC,CDU平面4BC,

所以PQ〃平面4BC.

(2)證明：在正三棱柱4BC-&8道1中。為48的中點(diǎn)，

所以CDIAB,又44]L平面ZBC,CDU平面NBC,所以CDIA

AA1C?AB=A,AA1,ABU平面ABBIa「所以CC_L平面力BBla「

又CDllPQ,所以PQI平面28B14,又PQU平面&BQ,

所以平面4BQ1平面44a及

【解析】(1)取AB的中點(diǎn)D,連接P。、CD,即可證明PDCQ為平行四邊形，從而得到PQ〃CD,即

可得證；

(2)首先證明CDl平面ZBB√lι,即可得到PQ_L平面4BB√lι,從而得證.

本題考查線面平行的證法及面面垂直的證法，屬于中檔題.

19.【答案】解：(I)由頻率分布直方圖可得(m+0.03+2τn+0.01)XlO=1,解得m=0.02.

(2)由頻率分布直方圖可得平均數(shù)為(0.02×60+0.03×70+0.04×80+0.01X90)×10=74.

(3)因?yàn)?0.02+0.03+0.04)×10=0.9>0.8,

(0.02+0.03)×10=0.5<0.8,

所以第80%百分位數(shù)位于［75,85)之間，設(shè)為X,

則(0.02+0.03)×10+(x-75)X0.04=0.8,解得X=82.5,

所以被宣傳的比賽得分不低于82.5.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程，解得即可；

(2)根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可得；

(3)計(jì)算第80%百分位數(shù)，即可得解.

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)、平均數(shù)、百分位數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)分布能力，屬于基礎(chǔ)

題.

20.【答案】解：(1)y∕~3a—2bsinA=0>

由正弦定理得√^?SiMA=2sinBsinA>

又SinA≠0,

即SinB=亨，又B為銳角，所以B=M

Z?

(2)由余弦定理可得COSB=a2+c2-b2=1,

2ac2

即M-Fc2-7=αc,由Q÷c=5,即M+2ac+C2=25,

則25—2ac—7=ac,即QC=6,

所以拜第

若｛：二;，由余弦定理=爐+￠2-2bcC0S4,

即22=(√^7)2+32-2×3×CcosA,

解得cos4=?,所以屈-AC=?AB?-?ACICoSA=CX3x?=6;

若｛;二分由余弦定理=/+￠2-2bccos4,

即32=(√^7)2+22-2×2×CcosA,

解得CoS力=-

14

所以荏-AC=?AB??AC∣cos4=√^7x2xg=L

【解析】(1)利用正弦定理將邊化角，即可求出SinB,從而得解；

(2)利用余弦定理求出a、c,再由余弦定理求出cos4最后由數(shù)量積的定義計(jì)算可得.

本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和向量數(shù)量積的定義，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

21.【答案】解：(1)設(shè)事件D為李明第一環(huán)節(jié)抽中4題，且第一環(huán)節(jié)通過面試.

由題意得李明第一環(huán)節(jié)抽到每道題目的概率均為5

所以P(O)=WXRa

(2)設(shè)事件E為李明第一環(huán)節(jié)