扭轉(zhuǎn)-扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度和剛度計算（材料力學(xué)）

圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形及剛度計算1圓軸扭轉(zhuǎn)的變形2圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)的變形1相距為l的兩個橫截面繞軸線的相對轉(zhuǎn)角φ，即扭轉(zhuǎn)角的一般公式為圓軸扭轉(zhuǎn)的變形單位扭轉(zhuǎn)角相距為dx的兩個橫截面之間的相對轉(zhuǎn)角dφ可記為GIp稱為抗扭剛度，能夠反映構(gòu)件抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，

抗扭剛度越大，抗扭能力越強(qiáng)，扭轉(zhuǎn)變形越小，即單位扭轉(zhuǎn)角θ就越小。圓軸扭轉(zhuǎn)的變形對于長為l、在兩端受一對外力偶矩Me作用的等直圓桿，此時T、G、Ip均為常量，則扭轉(zhuǎn)角φ與扭矩T、長度l成正比，與GIp成反比。其轉(zhuǎn)向和扭矩T相同，其正負(fù)號跟扭矩T一致。單位“rad”單位“°”圓軸扭轉(zhuǎn)的變形例

圖示傳動軸，已知MeA=4kN·m,MeB=7kN·m,MeC=3kN·m，切變模量G=80GPa，試求截面C相對于截面A的扭轉(zhuǎn)角。解:(1)繪制扭矩圖(2)計算扭轉(zhuǎn)角

由于AB段和BC段的扭矩不同，因此，要分段計算相對扭轉(zhuǎn)角，然后疊加圓軸扭轉(zhuǎn)的變形疊加得負(fù)號表示相對扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向與MeC的轉(zhuǎn)向一致圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度計算2圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度計算圓軸受扭時，除了滿足強(qiáng)度條件外，還要對它的扭轉(zhuǎn)變形加以限制，才能保證其正常工作。為了忽略長度的影響，通常是限制單位長度上的最大單位扭轉(zhuǎn)角θmax不超過規(guī)范給定的許用值[θ]，即此式為圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度條件。θmax的單位為rad/m或°/m圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度計算例

一階梯狀圓軸的直徑分別為d1=40mm，d2=60mm。已知作用在軸上的外力偶矩分別為Me1=0.7kN·m，Me2=1.5kN·m，Me3=0.8kN·m。許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，切變模量G=80GPa，許用扭轉(zhuǎn)角[θ]=2(°/m)。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。解:(1)繪制扭矩圖圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度計算（2）強(qiáng)度校核AC段DB段因此，軸的強(qiáng)度是滿足要求的。（3）剛度校核AC段DB段因此，軸的剛度是滿足要求的。圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力及強(qiáng)度計算1圓軸扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)及剪切胡克定律2圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力計算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計算3切應(yīng)力互等定理4圓軸扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)及剪切胡克定律1圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)試件：圓柱狀，直徑為10-15mm，長度為150-200mm設(shè)備扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)機(jī)圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)及剪切胡克定律圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)及剪切胡克定律實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象塑性材料（低碳鋼等）破壞特征：橫截面被切斷，斷口表面光滑脆性材料（鑄鐵等）破壞特征：在與軸線約成45°角的螺旋面被拉斷，斷口粗糙，晶粒明顯脆性材料力學(xué)性能：抗壓能力＞抗剪能力＞抗拉能力圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)及剪切胡克定律剪切胡克定律在材料線彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力τ和切應(yīng)變γ成正比，這就是剪切胡克定理，即G為比例常數(shù)，稱為材料的切變模量各向同性材料的彈性模量E、泊松比μ和切變模量G，滿足圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力計算2圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力計算圓軸橫截面上應(yīng)力的計算1變形關(guān)系

(由實(shí)驗(yàn)找出變形規(guī)律→應(yīng)變的變化規(guī)律)圓周線：圓周線的形狀、尺寸和間距均未變，只是繞軸線轉(zhuǎn)動縱向線：縱向線均傾斜了一個角度，矩形變成了平行四邊形圓軸橫截面始終保持平面，且其形狀、大小以及兩相鄰橫截面的距離保持不變，即各橫截面只是不同程度地、剛性地繞軸轉(zhuǎn)動。這個假設(shè)稱為平面假設(shè)。定性分析橫截面上的應(yīng)力即圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上，只有切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力。圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力計算圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力計算軸表面滿足軸內(nèi)部滿足即橫截面上切應(yīng)變γ與半徑ρ呈正比，稱為單位扭轉(zhuǎn)角圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力計算2物理關(guān)系

(由應(yīng)變的變化規(guī)律→應(yīng)力的分布規(guī)律)在彈性范圍內(nèi)滿足

由于變形前后橫截面的形狀和尺寸均未發(fā)生改變，因此，切應(yīng)力必垂直于半徑。因此，橫截面上的切應(yīng)力與半徑ρ呈正比。圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力計算3靜力學(xué)關(guān)系（由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系→應(yīng)力的計算公式）令，稱為極慣性矩單位扭轉(zhuǎn)角計算公式代入物理關(guān)系得，圓軸橫截面任一點(diǎn)切應(yīng)力計算公式圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力計算由可知，橫截面上的切應(yīng)力，沿半徑方向呈線性分布，圓心處為零，表面處取得最大值。，記為截面的抗扭截面系數(shù)截面極慣性矩和抗扭截面系數(shù)，均是只與橫截面形狀、尺寸有關(guān)的量實(shí)心圓軸極慣性矩和抗扭截面系數(shù)圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力計算在橫截面上距圓心為ρ處取寬度的dρ的圓環(huán)面積為面積元素極慣性矩抗扭截面系數(shù)空心圓軸極慣性矩和抗扭截面系數(shù)圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力計算空心圓截面的內(nèi)、外直徑分別為d和D，記內(nèi)外徑之比為極慣性矩抗扭截面系數(shù)例一直徑為D=60mm的圓軸受力如圖所示，外力偶Me=5kN·m，求：（1）指定點(diǎn)a，b（ρb=10mm），c三點(diǎn)的切應(yīng)力；（2）圓軸的最大切應(yīng)力。解(1)計算極慣性矩和抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)極慣性矩圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力計算圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力計算(2)計算切應(yīng)力整個軸的扭矩a，b，c三點(diǎn)到形心距離ρa(bǔ)=0mm，ρb=10mm，

ρc=D/2=30mma點(diǎn)b點(diǎn)c點(diǎn)根據(jù)橫截面切應(yīng)力分布特點(diǎn)直接推出和圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計算3圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計算等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件的應(yīng)用校核構(gòu)件強(qiáng)度設(shè)計截面尺寸確定許用載荷圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計算例一階梯形實(shí)心圓軸，AB段直徑為60mm，BC段直徑為80mm。所受到的外力偶矩MeA=2kN·m，MeB=5kN·m，MeC=3kN·m，許用切應(yīng)力[τ]

=60MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。解:(1)繪制扭矩圖(2)強(qiáng)度計算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計算AB段BC段整個軸的最大切應(yīng)力因此，該軸滿足強(qiáng)度要求。圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計算例

一傳動軸為實(shí)心圓軸，其受到的最大扭矩T=5kN·m，材料的許用切應(yīng)力[τ]=100MPa，試設(shè)計其直徑D。若將此軸改為空心圓軸，且內(nèi)、外直徑之比α=0.8，試設(shè)計該圓軸的內(nèi)、外直徑d0和D0，并求實(shí)心和空心圓軸的重量比。解:此題屬于強(qiáng)度條件的第二類應(yīng)用，設(shè)計截面尺寸根據(jù)強(qiáng)度條件，取D=64mm(1)設(shè)計實(shí)心圓軸的直徑圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計算(2)設(shè)計空心圓軸的直徑取D0=76mm，d0=61mm(3)兩軸的重量比實(shí)心圓軸截面面積空心圓軸截面面積面積比中空軸自重小，節(jié)約材料，但工藝復(fù)雜，壁