江蘇省江門中學(xué)2024屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

江蘇省江門中學(xué)2024屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,,則()A. B. C. D.2.已知函數(shù)在區(qū)間有三個零點,,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.3.雙曲線C:(,)的離心率是3,焦點到漸近線的距離為,則雙曲線C的焦距為()A.3 B. C.6 D.4.在長方體中,,則直線與平面所成角的余弦值為()A. B. C. D.5.已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.6.若的展開式中的系數(shù)為-45,則實數(shù)的值為()A. B.2 C. D.7.函數(shù)f(x)=lnA. B. C. D.8.用1,2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位,數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個數(shù)字相鄰,則滿足條件的不同五位數(shù)的個數(shù)是()A.48 B.60 C.72 D.1209.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.6310.已知雙曲線的右焦點為,若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且點到該漸近線的距離為,則雙曲線的實軸的長為A. B.C. D.11.已知l,m是兩條不同的直線,m⊥平面α,則“”是“l(fā)⊥m”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.設(shè)集合,,若,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是,乙獲勝的概率是,則乙不輸?shù)母怕适莀____.14.《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中第一題:“今有共買物,人出八,盈三錢;人出七,不足四,問人數(shù)物價各幾何?”借用我們現(xiàn)在的說法可以表述為:有幾個人合買一件物品,每人出8元,則付完錢后還多3元;若每人出7元,則還差4元才夠付款.問他們的人數(shù)和物品價格?答:一共有_____人;所合買的物品價格為_______元.15.在平面五邊形中,,,,且.將五邊形沿對角線折起,使平面與平面所成的二面角為,則沿對角線折起后所得幾何體的外接球的表面積是______.16.已知變量(m>0),且,若恒成立,則m的最大值________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)第十三屆全國人大常委會第十一次會議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法(修訂草案)》中,提出推行生活垃圾分類制度,這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中.為了解某城市居民的垃圾分類意識與政府相關(guān)法規(guī)宣傳普及的關(guān)系,對某試點社區(qū)抽取戶居民進行調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表.分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計已知在抽取的戶居民中隨機抽取戶,抽到分類意識強的概率為.(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認為居民分類意識的強弱與政府宣傳普及工作有關(guān)?說明你的理由;(2)已知在試點前分類意識強的戶居民中,有戶自覺垃圾分類在年以上,現(xiàn)在從試點前分類意識強的戶居民中,隨機選出戶進行自覺垃圾分類年限的調(diào)查,記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為,求分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式:,其中.下面的臨界值表僅供參考18.(12分)如圖,橢圓的長軸長為,點、、為橢圓上的三個點,為橢圓的右端點,過中心,且,.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個動點(異于、),且滿足,試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系,并求證直線的斜率為定值.19.(12分)已知函數(shù),函數(shù)在點處的切線斜率為0.(1)試用含有的式子表示,并討論的單調(diào)性;(2)對于函數(shù)圖象上的不同兩點,,如果在函數(shù)圖象上存在點,使得在點處的切線,則稱存在“跟隨切線”.特別地,當(dāng)時,又稱存在“中值跟隨切線”.試問:函數(shù)上是否存在兩點使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,說明理由.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x(1)討論fx(2)當(dāng)x≥-1時,fx+a21.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個公共點,求實數(shù)的取值范圍;(2)若對任意成立,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先根據(jù)得到為的重心,從而,故可得,利用可得,故可計算的值.【詳解】因為所以為的重心,所以,所以,所以,因為,所以,故選A.【點睛】對于,一般地,如果為的重心,那么,反之,如果為平面上一點,且滿足,那么為的重心.2、C【解析】

根據(jù)題意,知當(dāng)時,,由對稱軸的性質(zhì)可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【詳解】解:由于在區(qū)間有三個零點,,,當(dāng)時,,∴由對稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,考查計算能力.3、A【解析】

根據(jù)焦點到漸近線的距離,可得,然后根據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:雙曲線的漸近線方程為取右焦點,一條漸近線則點到的距離為,由所以,則又所以所以焦距為:故選:A【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程,以及之間的關(guān)系,識記常用的結(jié)論:焦點到漸近線的距離為,屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】

在長方體中,得與平面交于,過做于,可證平面,可得為所求解的角,解,即可求出結(jié)論.【詳解】在長方體中,平面即為平面,過做于,平面,平面,平面,為與平面所成角,在,,直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”,三步驟缺一不可,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由已知可將問題轉(zhuǎn)化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點,作出圖象,由圖可得:點(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時,k=;結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點.作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,故點(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當(dāng)直線y=kx-和y=lnx相切時,設(shè)切點橫坐標(biāo)為m,則k==,∴m=.此時,k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個交點,不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力,還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計算能力、觀察能力,屬于難題.6、D【解析】

將多項式的乘法式展開,結(jié)合二項式定理展開式通項,即可求得的值.【詳解】∵所以展開式中的系數(shù)為,∴解得.故選:D.【點睛】本題考查了二項式定理展開式通項的簡單應(yīng)用,指定項系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=8、A【解析】

對數(shù)字分類討論,結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個數(shù)字相鄰,利用分類計數(shù)原理,即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時,數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時,同理也有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時,數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個故滿足條件的不同的五位數(shù)的個數(shù)是個故選【點睛】本題主要考查了排列,組合及簡單計數(shù)問題,解題的關(guān)鍵是對數(shù)字分類討論,屬于基礎(chǔ)題。9、B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時,則的最大值為15,故選B.考點:程序框圖.10、B【解析】

雙曲線的漸近線方程為,由題可知.設(shè)點,則點到直線的距離為,解得,所以,解得,所以雙曲線的實軸的長為,故選B.11、A【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】當(dāng)m⊥平面α?xí)r,若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,則l∥α或l?α,即必要性不成立,則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件,故選:A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大,屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】

由得出,利用集合的包含關(guān)系可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】,且,,.因此,實數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù),考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】乙不輸?shù)母怕蕿?,?14、753【解析】

根據(jù)物品價格不變,可設(shè)共有x人,列出方程求解即可【詳解】設(shè)共有人,由題意知,解得,可知商品價格為53元.即共有7人,商品價格為53元.【點睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)文化及一元一次方程的應(yīng)用,屬于中檔題.15、【解析】

設(shè)的中心為,矩形的中心為,過作垂直于平面的直線,過作垂直于平面的直線,得到直線與的交點為幾何體外接球的球心,結(jié)合三角形的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】設(shè)的中心為,矩形的中心為,過作垂直于平面的直線,過作垂直于平面的直線,則由球的性質(zhì)可知,直線與的交點為幾何體外接球的球心,取的中點,連接,,由條件得,,連接,因為,從而,連接,則為所得幾何體外接球的半徑,在直角中,由,,可得,即外接球的半徑為,故所得幾何體外接球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及多面體的外接球的表面積的計算,其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,求得外接球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔試題.16、【解析】

在不等式兩邊同時取對數(shù),然后構(gòu)造函數(shù)f(x)=,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】不等式兩邊同時取對數(shù)得,即x2lnx1<x1lnx2,又即成立,設(shè)f(x)=,x∈(0,m),∵x1<x2,f(x1)<f(x2),則函數(shù)f(x)在(0,m)上為增函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由f′(x)>0得1﹣lnx>0得lnx<1,得0<x<e,即函數(shù)f(x)的最大增區(qū)間為(0,e),則m的最大值為e故答案為:e【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用,根據(jù)條件利用取對數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù),是解決本題的關(guān)鍵三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系.見解析(2)分布列見解析,期望為1.【解析】

(1)由在抽取的戶居民中隨機抽取戶,抽到分類意識強的概率為可得列聯(lián)表,然后計算后可得結(jié)論;(2)由已知的取值分別為,分別計算概率得分布列,由公式計算出期望.【詳解】解:(1)根據(jù)在抽取的戶居民中隨機抽取戶,到分類意識強的概率為,可得分類意識強的有戶,故可得列聯(lián)表如下:分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計因為的觀測值,所以有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系.(2)現(xiàn)在從試點前分類意識強的戶居民中,選出戶進行自覺垃圾分類年限的調(diào)查,記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為,則0,1,2,3,故,,,,則的分布列為.【點睛】本題考查獨立性檢驗,考查隨機變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力.18、(1);(2)詳見解析.【解析】試題分析:(1)利用題中條件先得出的值,然后利用條件,結(jié)合橢圓的對稱性得到點的坐標(biāo),然后將點的坐標(biāo)代入橢圓方程求出的值,從而確定橢圓的方程;(2)將條件得到直線與的斜率直線的關(guān)系(互為相反數(shù)),然后設(shè)直線的方程為,將此直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,求出點的坐標(biāo),注意到直線與的斜率之間的關(guān)系得到點的坐標(biāo),最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.(1),,又是等腰三角形,所以,把點代入橢圓方程,求得,所以橢圓方程為;(2)由題易得直線、斜率均存在,又,所以,設(shè)直線代入橢圓方程,化簡得,其一解為,另一解為,可求,用代入得,,為定值.考點:1.橢圓的方程;2.直線與橢圓的位置關(guān)系;3.兩點間連線的斜率19、(1),單調(diào)性見解析;(2)不存在,理由見解析【解析】

(1)由題意得,即可得;求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)、、、分類討論,分別求出、的解集即可得解;(2)假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,由題意得可得,令(),構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)后證明即可得解.【詳解】(1)由題可得函數(shù)的定義域為且,由,整理得..(?。┊?dāng)時,易知,,時.故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(ⅱ)當(dāng)時,令,解得或,則①當(dāng),即時,在上恒成立,則在上遞增.②當(dāng),即時,當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以在上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.③當(dāng),即時,當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以在上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.當(dāng)時,在及上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.當(dāng)時,在上遞增.當(dāng)時,在及上單調(diào)遞增;在上遞減.(2)滿足條件的、不存在,理由如下:假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,則,又,由題可知,整理可得:,令(),構(gòu)造函數(shù)().則,所以在上單調(diào)遞增,從而,所以方程無解,即無解.綜上,滿足條件的A、B不存在.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.20、(1)見解析;(2)-∞,1【解析】

(1)f′(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).對a分類討論,即可得出單調(diào)性.

(2)由xex-ax-a+1≥0,可得a(x+1)≤xex+1,當(dāng)x=-1時,0≤-1e+1恒成立.當(dāng)x>-1時,a≤xe【詳解】解法一:(1)f①當(dāng)a≤0時,x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)單調(diào)遞增.②當(dāng)a>0時,f'(x)=0的根為x=ln若lna>-1,即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1),(lna,+∞)上單調(diào)遞增,在若lna=-1,即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,所以f(x)在若lna<-1,即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,lna),(-1,+∞)上單調(diào)遞增,在綜上:當(dāng)a≤0時,f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)0<a<1e時,f(x)在(-∞,lna),自a=1e時,f(x)在當(dāng)a>1e時,f(x)在(-∞,-1),(ln(2)因為xex-ax-a+1≥0當(dāng)x=-1時,0≤-1當(dāng)x>-1時,a≤x令g(x)=xex設(shè)h(x)=e因為h'(x)=e即hx=e又因為h0=0,所以g(x)=xex則g(x)min=g(0)=1綜上,a的取值范圍為-∞,1.解法二:(1)同解法一;(2)令g(x)=f(x)+a所以g'當(dāng)a≤0時,g'(x)≥0,則g(x)在所以g(x)≥g(-1)=-1當(dāng)0<a≤1時,令h(x)=e因為h'(x)=2ex+x又因為h-1=-a<0,所以h(x)=ex+xexx(-1x(g-0+g(x)↘極小值↗g==-e當(dāng)a>1時,g(0)=-a+1<0,不滿足題意.綜上,a的取值范圍為-∞,1.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

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