2023-2024學(xué)年河南省濮陽(yáng)市濮陽(yáng)高一年級(jí)下冊(cè)冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

2023-2024學(xué)年河南省濮陽(yáng)市濮陽(yáng)高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.設(shè)(a—i)i=Z>+2i(4/eR),貝Ij()

A.a=2,b=lB.a=2,b--1

C.a=-2,b=-lD.。=-2,b=?

【正確答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的相等可直接求得結(jié)果.

【詳解】由(α-i)i=力+2i(4,h∈R)得：l+αi=8+2i,.?.α=2,b=?.

故選：A.

2.已知ABC中，內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別”,"c,若α=1,b=2,SinA=則sin8=()

O

A.42B.-15C.-D.?1

3362

【正確答案】B

【分析】利用正弦定理可直接求得結(jié)果.

【詳解】在_ABC中，由正弦定理三=二得..丁RAsinA2×6?

s?nAsinBsin“=---------=---=-

a13

故選：B.

3.工人師傅在檢測(cè)椅子的四個(gè)“腳''是否在同一個(gè)平面上時(shí)，只需連接對(duì)“腳”的兩條線段，看它們是

否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是()

A.兩條相交直線確定一個(gè)平面

B.兩條平行直線確定一個(gè)平面

C.四點(diǎn)確定一個(gè)平面

D.直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面

【正確答案】A

【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解.

【詳解】解：由于連接對(duì)“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格，

所以工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是“兩條相交直線確定一個(gè)平面”.

故選：A

4.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原圖形的周長(zhǎng)是()

C.4+8√2D.4+4√2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法分析運(yùn)算.

【詳解】在直觀圖中，＜7A=2,OB=JFS=20，

可得原圖形是平行四邊形，其底邊長(zhǎng)2,高為2x2夜=4五，

則另一邊長(zhǎng)為J22+(4√Σ)2=6,所以原圖形的周長(zhǎng)為2X(2+6)=16.

故選：A.

5.在ΔABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為b,c,若SinA:sinB:SinC=5:7:9,貝IJCoSC=()

?--?BTc?4d?-?

【正確答案】D

【分析】根據(jù)條件SinA:sin8:SinC=5:7:9,由正弦定理得。:。:。二5:7:9,可令

a=5t,h=7t9c=9(>0),再利用余弦定理求解.

ah

【詳解】由正弦定理:J=2R

sinAsinBsinC

得α=2RsinA,b=2RsinB,c=27?sinC

又因?yàn)镾inA:sin5:SinC=5:7:9,所以α:":c=5:7:9

令a=5"b=1t,c=9t(t>0)

/+/d_25r+49/-81產(chǎn)__j

所以COSC=

2ab2×5r×7r10

故選：D.

6.已知平面α∕/,且。uα,bu0,則直線m8的關(guān)系為()

A.一定平行B.一定異面

C.不可能相交D.相交、平行或異面都有可能

【正確答案】C

【分析】根據(jù)空間線面間的位置關(guān)系判斷.

【詳解】由平面C〃/?,且αuα,匕U尸可知直線“，b沒(méi)有公共點(diǎn)，故它們一定不相交，即可能是

平行或異面.

故選：C.

7.已知P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，^CB+λPB=λPA+CP^其中4∈R,則點(diǎn)P一定在()

A.AC邊所在直線上B.AB邊所在直線上

C.BC邊所在直線上D./U5C的內(nèi)部

【正確答案】B

【分析】根據(jù)CB+∕IP8=2PA+CP,利用平面向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為PB=∕IBA,再利用平面向量共

線定理求解.

【詳解】因?yàn)镃B+∕IPB=;IPA+CP，

所以CB-CP=；I(PA-PB),

所以PB=/184，

所以點(diǎn)P在AB邊所在直線上.

故選：B

本題主要考查平面向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.

8.有一個(gè)正三棱柱形狀的石料，該石料的底面邊長(zhǎng)為6.若該石料最多可打磨成四個(gè)半徑為g的石

球，則至少需要打磨掉的石料廢料的體積為()

A.216-4√3πB.216-16√^π

C.270-16√3πD.270-4石π

【正確答案】B

【分析】求出柱形石料的高，利用柱體體積減去四個(gè)球體體積可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)底面是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形的內(nèi)切圓的半徑為"，

由等面積法可得1χ3x6r=且χ6?,解得r=6,

24

若可以將該石料打磨成四個(gè)半徑為g的石球，則該柱形石料的高至少為8√L

因此，至少需要打磨掉的石料廢料的體積為3χ6^χ86-4x9兀X(G)'=216-166兀.

故選：B.

二、多選題

9.下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.∣2-i∣=√5B.i202>=i

C.若a>b,則α+i>6+iD.若ZeC,則z?3O

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，逐一分析即可.

【詳解】解：∣2-i∣=722+（-l）2=√5,故A對(duì)，因?yàn)閺V=1,故i?⑶=i,故B對(duì)，

虛數(shù)不能比較大小，故C錯(cuò)，設(shè)2=2-1,22=（2-1）2=3-41仍為虛數(shù)，不能與O比較大小，故D錯(cuò).

故選：CD.

10.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.若直線α,6不共面，則”,人為異面直線

B.若直線“〃平面α,則。與α內(nèi)任何直線都平行

C.若直線H/平面α,平面ɑ//平面￡,則

D.如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等

【正確答案】BCD

【分析】由空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A.直線4,6不共面，即不平行，不相交，則”，人為異面直線，故正確；

B.直線?！ㄆ矫姒?則α與。內(nèi)的直線平行或異面，故錯(cuò)誤；

C.直線α〃平面α,平面?！ㄆ矫嫦?，則ɑ//α或αu分，故錯(cuò)誤；

D.空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故錯(cuò)誤；

故選：BCD

11.在，ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,有如下判斷，其中正確的判斷是（）

A.若A>B,則SinA>sin8

B.若"cosA=6cos3,則一.ABC是等腰三角形

C.若為銳角三角形，則SinA>cosB

D.若CoS,A+cos?8-CoS°C>1,則_ASC是鈍角三角形

【正確答案】ACD

【分析】A：由大角對(duì)大邊，及正弦定理判定；利用正弦定理及二倍角公式判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)的

性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷C；根據(jù)余弦定理判斷D；

【詳解】解：對(duì)于A：在..ABC中，若A>B,則”>〃，

則2RsinA>2Rsin8,則SinA>sin8,故正確;

對(duì)于B：JaCOSA=bcos8,.?.sinΛcosA=sinBcosB,

.?.sin2A=sin28,.?.A=B,或24+25=180。即A+B=90°,

:45C為等腰或直角三角形，故不正確.

對(duì)于C：當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，Λ+B>p∣>A>y-B>O,

兀

.*.sinA>sin(B)=cosB,可得SinA>cos3成立，故C正確.

2

對(duì)于D：若cos?A+cos2B-cos2C>l,則I-Sin?A+l—sin2β-l+sin2C>l,

即sin?C>sin?8+sir?A,即c?〉。?+”？，即/+/)>。所以COSC<0,

即C為鈍角，故MC是鈍角三角形,故D正確;

故選：ACD.

12.如圖所示，在正方體ABCD-A河CA中，點(diǎn)E、尸、例、N分別為所在棱上的中點(diǎn)，下列判斷

A.直線AD〃平面MNEB.直線FG〃平面MNE

C.平面ABe〃平面MNED.平面ABR//平面MNE

【正確答案】ABC

【分析】作出過(guò)點(diǎn)M、N、E的截面,由FG、AB、AD與截交可判斷ABe選項(xiàng)，利用面面平行

的判定定理可判斷D選項(xiàng).

【詳解】過(guò)點(diǎn)〃、N、E的截面如圖所示（H、/、■/均為中點(diǎn)）,

所以直線An與截面MNE交于點(diǎn)H點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

直線FG與直線IJ在平面BCCg必定相交，故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

直線AB與直線E/相交，故平面ABC與平面MNE不平行，C項(xiàng)錯(cuò)誤;

因?yàn)镋、/分別為A8、8B∣的中點(diǎn)，則AB"E∕,

因?yàn)锳Bla平面MNE,￡7U平面MNE則ABl〃平面MNE,

同理可證4。"平面MNE,

因?yàn)锳BlBQt=BI,ABlyBQU平面ABa,故平面反冷〃平面MNE,D對(duì).

故選：ABC.

三、填空題

13.在一ABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,3,c.若A=&,8=],α=20,則。=__________

43

【正確答案】2后

【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.

,.?2√2×-

【詳解】因?yàn)樘?hào)=」；；，所以人=*-=—∕=^-=2√3.

SinAsmBSinA√2

~τ

故答案為.2月

14.已知平面向量4,6滿足"=2,W=G,且(a+b)_L6,則向量〃與加的夾角為.

【正確答案】150°

【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積等于0,結(jié)合已知條件求出“/的值，利用向量夾角公式即可求解.

【詳解】由(2+?_1爪得(G+B”=0,即。%+廣=0,

因?yàn)閃=2，W=K,所以α∕=-3,

所以c°=i?=Ξ?=與又o?≤α㈤≤180?,

所以向量α與加的夾角為150°.

故150°

15.一個(gè)鋼筋混凝土預(yù)制件可看成一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一個(gè)底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體，其

尺寸如圖所示（單位：米），澆制一個(gè)這樣的預(yù)制件需要__________立方米混凝土（鋼筋體積略去不

計(jì)）.

【正確答案】324

【分析】將預(yù)制件看成由一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一個(gè)底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體，可求得截面

的面積，由柱體的體積公式即可求得預(yù)制件的體積.

【詳解】將預(yù)制件看成由一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一個(gè)底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體.

所以S底面=6xll-gx（5+3）χ3=54（平方米），

設(shè)該預(yù)制件的高為兒則該預(yù)制件的體積V=S）Oj?=54x6=324（立方米）.

故澆制一個(gè)這樣的預(yù)制件需要約324立方米的混凝土.

故324.

16.已知正方體ABCO-A耳GR的棱長(zhǎng)為6,E、尸分別是A9、AA的中點(diǎn)，則平面CEF截正方體

所得的截面的周長(zhǎng)為

【正確答案】6√13+3√2

【分析】延長(zhǎng)EF交D4的延長(zhǎng)線于N,連接CN交AB于點(diǎn)G,連接FG；延長(zhǎng)FE交?？诘难娱L(zhǎng)線于

點(diǎn)M,連接CM交GR點(diǎn)H,連接E”；則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG則EF+FG+GC

+CH+"E為平面CEF截正方體所得的截面的周長(zhǎng)，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解.

【詳解】延長(zhǎng)EF交D4的延長(zhǎng)線于M連接CN交AB于點(diǎn)G,連接FG；延長(zhǎng)在交。R的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)M,連接CM交Ca點(diǎn)連接E”；

則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG.

F分別是AQ、AA的中點(diǎn)，則易知AN=AE=；A。，

.'.AN=-ND,ΛAG=-CD=2,

33

?^?EF=3√2>FG=岳,CG=2√13；

同理，DiH=^CD=2,￡/7=713,CH=2√13；

.?.平面CE/截正方體所得截面的周長(zhǎng)為：

EF+FG+GC+CH+HE=3√2+√13+2√13+2√B+√13=6√13+3√2.

故答案為.6g+3√Σ

四、解答題

17.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=（病-5根+6）+（療一2嶗,m∈R.

(1)當(dāng)復(fù)數(shù)Z為實(shí)數(shù)時(shí)，求加的值；

(2)當(dāng)復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)時(shí)，求加的值；

【正確答案】(1)加=0或，〃=2

(2)m=3

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)和純虛數(shù)定義可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】(I)Z為實(shí)數(shù)，.?.AM2-2Zn=0,解得：6=0或%=2.

**2-

/??"—5777+6=0

(2)Z為純虛數(shù)，.??2C八，解得?"=3

m^-2m≠0

18.已知α=(-l,3),?=(2,-4),m=a-kb,n={k-i)a-2b.當(dāng)/為何值時(shí):

(1)w∕∕n

(2)mLn

【正確答案】(I)A=T或2

【分析】(1)根據(jù)根〃〃，利用共線向量定理求解；

(2)根據(jù)機(jī)_L〃，利用數(shù)量積運(yùn)算求解.

【詳解】(1)解：因?yàn)椤?(—1,3),6=(2,—4),In=a—kb，〃=(k-l)a-2b,

所以加=(-1,3)-4(2,-4)=(-2無(wú)一1,4后+3),

n~(Jc-?)(—1,3)—2(2,—4)=(—k—3,3k+5)?

因?yàn)閙//〃，所以(一2&-1)(3&+5)=Jk-3)(4氏+3),

整理為公乂-2=0,

解得左=T或2；

(2)因?yàn)闄C(jī)_L〃，

所以(-2Λ-l)(-?-3)+(4k+3)(32+5)=0,

整理為7公+1弘+9=0,

解得.％=-9±30

7

19.已知..45C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c,ABC的面積為S,且滿足

4S+?c?tan(B+C)=O.

(1)求角A的大小；

(2)若a=4,求.ABC周長(zhǎng)的最大值.

【正確答案】⑴A=

⑵12

【分析】(1)由4S+bc?tan(B+C)=0結(jié)合三角形面積公式可化簡(jiǎn)得到CoSA=；,即可求得答案；

(2)利用余弦定理得到〃2+c2-[6=bc,進(jìn)而化為(8+C)2=16+3A,結(jié)合基本不等式求得b+c≤8,

即可得一43C周長(zhǎng)的最大值.

【詳解】(1)A+B+C=π,

.,.45=-Z7ctan(B+C)=-?ctan(π-A)=?tanA,

,?,..sinA

則rιl2∕?CSlnA4=be------,

cosA

A∈(O,π),.,.sinΛ≠O,.,.cosA=?,

2

又Ae(O,π),.1A=/；

7Γ

(2)a=4,A=-,

二?由余弦定理得COSA="一"=1，

Ibc2

BP?2+c2-16=?c,(?+c)2=16+3>c,

所以(6+C)2-16=3Z>C≤3X^^-

(當(dāng)且僅當(dāng)6=c=4時(shí)取“=”),

故;S+c『W16,6+c≤8,

.?.h+c?的最大值為8,α+/?+C?的最大值為12,

.?.ASC周長(zhǎng)的最大值為12.

20.在正方體ABCO-AMGA中，S是42的中點(diǎn)，E,F,G分別是BC,DC,SC的中點(diǎn)，求證:

(I)EG//平面RAC；

(2)平面EGC//平面ARF

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)連AC,2。交于點(diǎn)。，連SB,D1O,證明GE〃R。，利用線面平行的判定定理證明即

可；

(2)證明EG,EC都平行于平面ARF,然后利用面面平行的判定定理證明即可.

【詳解】(1)證明：連AC,BO交于點(diǎn)0,連SB,D1O,

G,E分別是SC,Be的中點(diǎn)，.?.GE"S8,

又D?SUBO,D1S=BO,則四邊形RSBO為平行四邊形，

SB//Di0,:.GE//DtO,

GEa平面AAC,AoU平面。IAC,

.?.EG//平面D1AC-

(2)由題連接OF,AiF,

OF是4E>3C的中位線，???0尸〃8C〃AA〃A。，

;。BA，A四點(diǎn)共面,

由(1)可知，EG//DiO,OoU平面AR尸，EG(Z平面AR尸，

則EG〃平面A。F

又EC〃AA,AAu平面AAF,ECa平面A。/，

則召C//平面AQ/,又EGCEC=E,

EGU平面EGC,ECu平面EGC,

平面EGe〃平面AAF.

21.在①CCOSA=GlSinC;②(。一力(SinA+sinB)=(c-√3?)sinC；(3)3?cosA+acosB=?βb+c送

三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.

問(wèn)題：在一ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足.

(1)求角A的大??；

(2)若。為線段CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，KCB=2BD,Ai>=√3MC=2√3,求一A3C的面積.

【正確答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，A=BTT

O

Q)上

【分析】(1)選擇①：由正弦定理邊化角得方程，求解即可.

選擇②：由正弦定理角化邊得關(guān)于三邊的方程，代入余弦定理可得.

選擇③：由正弦定理邊化角，再由SinC=Sin(8+C)=sin8cosC+sinCcos8展開(kāi)計(jì)算可得結(jié)果.

(2)設(shè)比>=x,AB=y,ZABD=B,在AABC中，由CoSNABC、CoSe4B列等式①②，在AABQ

中，由COSNAB。列等式③，由①②③解方程可得X,y?代入三角形面積公式可得結(jié)果.

【詳解】(1)若選擇①，：CeosA=GasinCsinCcosA=Λ∕5sinAsinC,

'."sinC≠0,.?.cosA=GSinA,

即tanA=—,

3

TT

'.,A∈(O,π).?A=—；

6

若選擇②，V(a-?)(sinA+sinB)=(c-?/?/?)sinC,

?(a-b)(a?vb)=C(C-8b),

8-b~—c2-Λ∕3?C

a2=h2+c2->∕3hc，

.2o，

b-÷c--α^√3?c√3

cosAx=---------------

2bc2?c^^2-

Tt

?.?A∈(O,π).?A=—

6

若選擇③，:3?cosA+acosB=?/?/?+c,

?*?3sinBcosA÷sinAcosB=6sin5+sinC，

.*.3sinBcosA+sinAcosB=?/?sinθ+sin(A+B),

?*?3sinBCOSA÷sinAcosB=y∕3sinB+sinAcosB+cosAsinB，

?,?2sinBcosA=?/?sinB,又：BG((),π)./.sinB≠O,

?*?cosA=,;A∈(O,π),/.A=y?

26

(2)設(shè)瓦>=x,AB=y9ZABD=6,

在.ABC中，用余弦定理可得AC?=BC2+BA2-2BC?BA-cosZABC,

即12=4X2÷y2-2×2x)^cos(π-θ)①，

又Y在.ABC中，BC2=AC2+AB2-2AC-AB?cosZCAB，

BP4x2=12+y2-2×2y∣3ycosZCAB.EP4x2=y2-6y÷12,BPχ2=?~6>?+12②,

在/XABD中，用余弦定理可得AD?=BO?+創(chuàng)2一23。&?cos/ABD,

EP3=x2+y2-2孫CoSθ③，③x2+①可得6x2+3y2=18,

將②式代入上式可得y=2,X=I,S4βc≈∣ΛB?AC?sinA=√3