2022-2023學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)高一年級下冊4月期中考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)高一下冊4月期中考試數(shù)學(xué)

模擬試題(含解析)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.cos300°=()

A.yB.--C.且D.-趙

2222

2.若a與b均為實(shí)數(shù)，且b-3i=4+ai,則|。+歷|=()

A.3B.4C.5D.6

3.關(guān)于向量萬，b，c,下列命題中正確的是()

A.若同=|可，IjliJa=bB.若b//c>則

c.若i=—5，則萬〃月D.若同>忖，則a>加

4.扇面書畫在中國傳統(tǒng)繪畫中由來已久.最早關(guān)于扇面書畫的文獻(xiàn)記載，是《王羲之書六

角扇》.扇面書畫發(fā)展到明清時期，折扇開始逐漸的成為主流如圖，該折扇扇面畫的外弧長

為24,內(nèi)弧長為10,且該扇面所在扇形的圓心角約為120。，則該扇面畫的面積約為()

(71?3)

A.185B.180C.119D.120

5.N8C的內(nèi)角48,C所對應(yīng)的邊分別為a也c,若cos/=*8=；,6=E,則。的值為()

L63

A.>/2B.—C.-D.2

“52

6.如圖，平行四邊形/BCD中，M為8c中點(diǎn)，/C與相交于點(diǎn)P,若萬=x而+y后，

則x+y=()

45

A.1B.—C."D.2

33

7.若復(fù)數(shù)4=sina+icosa,復(fù)數(shù)z?=cosa-isina,其中則復(fù)數(shù)z4所在復(fù)平

面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.設(shè)3，1為單位向量，-e^<42,a=et+e2,b=3ex+e2,設(shè)的夾角為<9,則cos的

的可能取值為（）

312—1629

A.-B.—C.—D.—

4131730

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.

9.下列說法正確的是（）

A.sinl50sin75°=—

4

B.cos2150-sin215°=—

2

C.sin20cosl100+cosl60sin70o=-l

D.---------!—=46

sinl50cosl5°

10.下列說法正確的是（）

A.在48c中，“sinJvsinb”是“a<6”的充要條件

B.將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移g個單位長度得到函數(shù)y=sin（2x-：）的圖象

,、3

C.存在實(shí)數(shù)了,使得等式sinx-cosx=7成立

D.在中，若sin?4+sin?5<sin?C,則48C是鈍角三角形

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)6（cosa,sina）,R（cos/?,-sin/）,6（cos（a+/?）,sin（a+/?））,

%Q,0）,則（）

A.國卜阿|B.|同=|福|

C.040P3=OPtO^D.OAOP,=OP2OP,

12.已知/8C的面積等于1且BC=1,內(nèi)角48,C所對應(yīng)的邊分別為a,6,c,設(shè)三條高分別

為〃“，％，%，則下列說法中，正確的命題是（）

...8

A.B.ha'hb-hc=4siiU

Q

C.siM最大值為D.siM=行時，〃“久也.最大

第II卷

三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分,

第二空3分.

3-i

13.若復(fù)數(shù)z=:」，則復(fù)數(shù)z的虛部為.

1-1

14.若tana=3,則tan（a+：）=.

15.函數(shù)/（x）=Zsin（5+o）,（4>0,①>0,0<9<兀）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則

16.在銳角Z8C中，角A,3,。所對邊的分別為。，b,c,已知邊長。=2,

sinJsinC-cos5=—sinJcosC,貝UA=；48。周長的取值范圍為.

3------------

四.解答題：共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知復(fù)數(shù)z=加一i（McR）.

（1）當(dāng)m=1,4=彳坦，求㈤的值;

1-1

⑵若式l+3i）為純虛數(shù)（彳是z的共輾復(fù)數(shù)），求實(shí)數(shù)皿的值.

18.平面內(nèi)給定三個向量。=（3,9）,另=（2,l）,c=（-l,7）

⑴求滿足￡=〃石+晶的實(shí)數(shù)加，〃的值；

⑵若（￡+"）〃伍+碼，求實(shí)數(shù)上的值；

(3)求向量￡在向量B上的投影向量的坐標(biāo).

19.設(shè)。是一個任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(，,2/).

⑴求tan。,sin。的值；

cos(n-0)+cos|--0J

(2)求-------7——9~1的值.

20.已知向量而=(sinx,l),斤=(Jjcosx,；cos2x),函數(shù)/'(x)=比?萬.

⑴求/(2)的值以及函數(shù)/")的單調(diào)增區(qū)間；

JTJT

⑵求函數(shù)/(X)在區(qū)間上的最大值.

21.如圖，一個半徑為3m的筒車按逆時針方向每分轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高

度為1.5m.設(shè)筒車上的某個盛水筒p到水面的距離為d(單位：m)(在水面下則"為負(fù)數(shù)),

若以盛水筒尸剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間/(單位：s)之間的關(guān)系為

⑴求d與/的函數(shù)解析式；

(2)此盛水筒P第一次進(jìn)入水面到離開水面至少經(jīng)過多長時間？

22.在/8C中，角4氏。所對的邊分別是以久c,點(diǎn)。在邊5c上且BO=OC.已知邊

兀

c=2,Z=-且2csin4cos5=asinA-bsinB+bsinC.

3

(1)求邊6的長度;

(2)若點(diǎn)改/分別為線段AB、線段AC上的動點(diǎn)，且線段EF交/。于G且A4EF的面積為

/8C面積的一半，求就.而的最小值.

答案解析

1.A

【分析】利用誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閏os300°=cos(360°-60°)=cos(-60°)=cos60°=；.

故選：A.

2.C

【分析】由復(fù)數(shù)相等確定參數(shù)值，進(jìn)而求復(fù)數(shù)的模.

【詳解】因?yàn)閎-3i=4+ai,所以。=-3,6=4,

所以|a+6i|=V9+16=5.

故選：C

3.C

【分析】利用向量相等、向量共線的條件、向量模的定義，逐一對各個選項分析判斷即可得

出結(jié)果.

【詳解】選項A,因?yàn)橥?|可，只說明兩向量的模長相等，但方向不一定相同，故選項A

錯誤；

選項B,當(dāng)役=。時，有a〃彼，b//c，但"可以和己不平行，故選項B錯誤；

選項C,若G=-B，由向量相等的條件知：a//b>故選項C正確；

選項D,因向量不能比較大小，只有模長才能比較大小，故選項D錯誤.

故選：C

4.C

【分析】首先由弧長和圓心角求出外弧半徑與內(nèi)弧半徑，再根據(jù)扇形面積公式$=：/，?，用

大扇形面積減去小扇形面積，即可求得答案.

【詳解】設(shè)外弧長為4,外弧半徑為心內(nèi)弧長為加內(nèi)弧半徑為弓，該扇面所在扇形的圓

心角為a,

,扇形的弧長為/=ar,

?.?A.J_=L_=36,=_￡_=15，

ana7i

?.?扇形的面積為s=1>,

2

該扇面畫的面積為S=A/1-!s=:x24x史—110乂”=里"119,

2227：27171

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)已知條件，先求出sin/,再結(jié)合正弦定理，即可求解.

【詳解】???力￡（0,兀），

/.sinA=-\/l-cos2A=—,

B=3,b=5/3,

?.j>/3x—6

則由正弦定理可得，

SinD73D

T

故選：B.

6.B

【分析1由題可得等=喘=2,進(jìn)而可得萬=京在+而），結(jié)合條件即得.

【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅?88中，M為8C中點(diǎn)，4C與相交于點(diǎn)P,

u-、］ADAP_

所以——=—=2,

CMPC

所以方=|就=|（而+珂，5LJp^xAB+yAD,

24

所以工二尸一，x+y=-.

33

故選：B.

7.D

【分析】計算得到z\z2=2sinacosa+icos2a,由a）判斷出2sinacosa>0,cos2a<0,

得到答案.

2

［詳解］ZjZ2=(sina+icosa)(cosa-isina)=sinacosa-isin2a+icosa-,sinacosa

二(sinacosa+sinacosa)+i(cos~a-sin2a)=2sintzcosa+icos2a,

因?yàn)樗詓ina〉0,cosa〉0,2sinacosa>0,

又2a￡仁,兀），所以cos2a<0,

所以Z|Z?所在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(2sinacosa,cos2<z)位于第四象限.

故選：D

8.D

【分析】由題意可得裾用，利用向量夾角公式可得太。=牛-中

即可求得

可能的取值.

【詳解】由?為單位向量可得同=厘卜1,

根據(jù)監(jiān)-可4應(yīng)可得4-%W+l42,所以

228

「、3

5+3x-29

47

易知四個選項中只有系>|^,即只有D符合題意.

故選：D

9.ABC

【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式可得AB正確，由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式

可知C正確；通過通分計算并逆用和差角公式可計算出2-----1—=40,可知D錯誤.

sinl5°cosl50

【詳解】對于A,由誘導(dǎo)公式可得5畝15飛皿75°=或1115飛0515。=』5m30。=1,即A正確：

24

對于B,由二倍角公式可得cos350-sin's。=cos3(T=巫，所以B正確;

2

對于C,利用誘導(dǎo)公式可得

sin20°cosl10°+cosl60°sin70°=-(sin20°cos700+cos20°sir?0)=-sin(20*70)=T

對于D,化簡可得

lr-2—cosl5ft--sinl50

V31_Scosl50-sinl5°_1222sin（60°-15°）「

—f-------472

sinl50cosl5°sinl5°cosl5°1sin30。

2sin-sin300

2

所以D錯誤;

故選：ABC

10.AD

【分析】利用正弦定理可判斷A正確；由三角函數(shù)圖像平移變換規(guī)則可知B錯誤；利用輔

助角公式可知sin%-cosxKg"，即不存在滿足條件的％,C錯誤；由正弦定理和余弦定理可

知為鈍角，D正確.

【詳解】對于A,由正弦定理可得三=芻，因?yàn)閟iM<sin8,所以a<b,即充分性成

sinJsinn

立；

同理若則有siM<sin8,即必要性成立，所以A正確；

對于B,將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移1個單位長度得到y(tǒng)=sinQ(x-撲sin(2x-詈

所以B錯誤；

對于C,sinx-cosx=V2sinf</2<.|,所以不存在x,使得等式sinx-cosx=|■成立，

即C錯誤；

對于D,若si/z+si/BvsinNc，由正弦定理可得/+從<02,

所以85。="+"一、<。即可得兀)為鈍角，即D正確.

2ab(2)

故選：AD

11.AC

uumuuu

【分析】A、B寫出詼，麗、AP]f的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、

D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.

【詳解】A：OP}=(cosa,sina),OP2=(cos-sin/?),所以|O川ujcos：a+sin2a=1,

2

\OP21=才(cosJ3y+(—sin/?)=1,故|。月|二|OP2\,正確；

B：APX=(cosa-1,sina),4g=(cos戶一1,-sin尸)，所以

22222

|APX|=-y/(cosa-l)+sina=Vcosa-2cosa+l+sina=J2(l-cosa)=^4siny=2|siny|

，同理|四|=J(cos夕-lA+sin?夕=2|sinj,故|亞正|不一定相等，錯誤；

C：由題意得：=1xcos(a+^)+0xsin(a+/?)=cos(a+/3),

OP}OP2=cosa-cos/?+sina?(-sinp)=cos(a+p)，正確；

D：由題意得：=lxcosa+Oxsina=cosa,

OP2OP3=cospxcos(a+)0)+(-sin夕)xsin(a+(5)

=cos(p+(a+p))=cos(a+20),故一般來說方.西片麗.砒故錯誤；

故選：AC

12.ABD

(分析］根據(jù)題意得到4=?也=2%=2,,可判定A正確；由Jbcsin/=1,得到sin4==，

bac乙be

21

可判定B正確；由余弦定理和bc=—二，結(jié)合基本不等式，求得cosZNl-：sin4,利用三

sinA4

Q

角函數(shù)的基本關(guān)系式，列出不等式求得OWsinZW自，可判定c錯誤，D正確.

【詳解】由48c的面積等于1且8c=1,所以;6%=1,；。也=l,；c也=1,

97?22

則隊=3也=4也所以4%4=--=白，所以A正確；

bacabcbe

又由乞csin/=l,所以sin/=1，所以％力也=4sin/,所以B正確.

由余弦定理可得cos/=忙上^二，又由兒=，，

2bcsinA

22

所以cosZx2x------=b2+c2-\2>2bc-1=2-----------1,

sinAsinA

因?yàn)?w(0,兀)，可得sin/>0,所以4cosZN4—sin4,

所以cos4>1--sinJ>0,可得cos?A>(1--sinA)2,

44

1Q

又因?yàn)閏os?Z+sin?Z=1,所以(1一二sin+sin24W1,解得OWsin/4丁7,

417

Q

所以sin/的最大值為卷，且此時//八取最大值，所以C錯誤，D正確.

故選：ABD.

13.1

【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算將其化簡，即可得到結(jié)果.

3-i(3-i)(l+i)4+2i

【詳解】因?yàn)閆M7—nWrYuF—nZ+i,所以復(fù)數(shù)z的虛部為1.

故1

14.-2

【分析】由兩角和的正切公式直接求解即可.

【詳解】若tana=3,

n

tana+tan一

則tan[a+；43+1

l-tana.tan711-3x,

4

故答案為.-2

15.6

【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出。，由五點(diǎn)法作圖求出。的值，可得

函數(shù)的解析式，從而求出/卜看)的值.

【詳解】根據(jù)函數(shù)/(x)=Nsin(0X+e),(4>0,。>0,0<夕(兀)在一個周期內(nèi)的圖象，

一3,127r5兀兀

可得4=2,—x—=—+—,co=2.

2co1212

再根據(jù)最高點(diǎn)的坐標(biāo)，可得2乂卜曰+*帶+如，keZ,

結(jié)合夕的范圍，可得笈=0,0=g,.?J(x)=2sin(2x+胡，

故如.

6.y(2石+2,6].

【分析】(1)利用三角函數(shù)恒等變形得到tan/=宕，即可求出力=?;

(2)利用正弦定理把周長轉(zhuǎn)化為4+6+c=2+4sin,+^J,利用三角函數(shù)求出范圍.

【詳解】因?yàn)?+8+。=萬，所以cos3=-cos（4+C）,所以cos8=-cosAcosC+sinJsinC.

所以sinXsinC-cos5=^-sinJcosC可化為sinJsinC+cosAcosC-sinAsinC=^-sinJcosC,即

33

cosAcosC=——sinAcosC?

3

因?yàn)?BC為銳角三角形,所以cosC>0,所以cos%=避^出力，即tan力=S\

3

因?yàn)楸?。，3，所以

0<B<-

因?yàn)閆8C為銳角三角形，所以.2,解得

C2汽n冗62

2_b_c

由正弦定理得：Yj=/^=-7,即sin4Sin5sinC,所以

sm4sin5sinCsin—

3

,473.?4%46.（2TTA）

333UJ

所以48C周長：a+b+c=a++^^-sin

33<3）

=2+2百sin3+2cosB

=2+4sin（8+

因?yàn)椤?lt;5<g,所以+所以<sin（8+m）41，

623632I6J

所以2百<4sin（8+^）44,所以2道+2<2+4sin（8+高46.

即周長的范圍為（2百+2,6].

故土（273+2,6]

17.（1）1

（2）3

【分析】(1)將機(jī)=1代入計算可得3=i,即可計算出㈤=1；

(2)由共軌復(fù)數(shù)定義可知~(1+3i)=m-3+(3機(jī)+l)i,再由純虛數(shù)定義可知"?=3.

【詳解】(1)當(dāng)m=l時，可得4=與葉二=*^—；===「

1-1(1-1)(1+1)2

則㈤=1.

(2)易知z=加-i的共飄復(fù)數(shù)5=加+i,

所以＞(1+3。=(5+1)(1+3。=根-3+(37?+1》為純虛數(shù)，

所以實(shí)數(shù)用的值為3.

18.⑴陽=2,，?=1

(2)1

(3)(6,3)

【分析】(1)由3=加彼+應(yīng)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示列出方程組，即可求解；

(2)由?+")//0+無)，根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解；

(3)分別求得|=且同cos(詞=36，進(jìn)而求得量°在向量上的投影向量的

坐標(biāo).

【詳解】⑴解：由向量￡=(3,9)F=(2,1)R=(T,7),

因?yàn)?=〃石+〃方，可得(3⑼=陽(2,1)+〃(-1,7)=(2/?,??)+(-〃,7")=(2%-"加+7"),

~I2m一〃=3

所以〃，+7〃=9'解得僅=2,〃=1.

(2)解：由題意可得萬+萬=(3,9)+(7,7)=(2,16),很+1=(2,1)+左(-1,7)=(2,1+7左)

因?yàn)?Z+4//0+無)，可得2(1+7%)-16(2-笈)=0,解得左=1.

則向量"在向量B上的投影向量的坐標(biāo)為3石島U=(6,3).

19.(I)tan0=2；當(dāng)，〉0時,sin。=2',當(dāng)f<0時，sin?=—2近

55

喈

【分析】(1)利用三角函數(shù)定義代入計算即可得出結(jié)果；

(2)利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡后代入計算即可得結(jié)果.

八2/C-八2/2/

【詳解】(1)由三角函數(shù)定義得tand=]■=2,sin，=+=商，

當(dāng)/>0時，sin*撞，

5

當(dāng)，＜0時，sin9=-還

5

（2）易得

coss_R+cos^_"j_-cose+sine_tan"l_tanj_,(tan"l)

sin(6+力f(sin6+cos?)f(tan?+1)f(tan?+l)佃皿+1)

由(1)得tan。=2代入計算可得，原式=收(2-1)=1.

2+13

20.(1)-三+伍聿+女兀,(/reZ)

(2)1

【分析】（1）由已知利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算寫出/（x）,再由輔助角公式化簡，即

可求解/（5）的值以及函數(shù)/（X）的單調(diào)增區(qū)間；

（2）由x的范圍求得2x+￡的范圍，即可求得Ax）的最大值.

6

《2代）

【詳解】(1)f^x)=ih-n=VJsinACOSXcos2x=si

sinf3x-^=sin—=1

2

令一]+24兀<2x+^<^+2kn,(^kGZ)

/.——+ku<x^—+kn人k￡Z)

rr-rr

則/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為++E，伏eZ）

3o

71兀，1C兀71571

(2)VXG—2xH---￡

6'36

???函數(shù)Lsinr在一：、單調(diào)遞增，值存單調(diào)遞減,

62）k26

...當(dāng)2X+￡=5,即x=g時，函數(shù)/(x)有最大值1

626

21.(l)d=3sin]—/—|+1.5

v1206J

40

(2)ys

【分析】（1）根據(jù)"的最值即可求得4=3,K=1.5,再利用轉(zhuǎn)速和即可求得

,r?(兀兀、、廣

d—3sin—t—+1.5；

1206J

(2)利用正弦函數(shù)單調(diào)性即可解得dWO時，的取值范圍，進(jìn)而求得經(jīng)過的時間.

[詳解】(1)由題意知4陋=/+犬=4.5,"向?=_>1+長=_1.5;

可得K=1.5,A=3

由于每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，所以周期T=40s,o=^=^

貝!|/1)=3$詒(4￡+，+1.5.

當(dāng)f=0時,剛浮出水面，即/(O)=3sin*+1.5=O

又可得0=J

226

則d與/的函數(shù)解析式為"=3sin+1.5

\20O

(2)盛水筒進(jìn)入水面時.40,令3sin9/-