數(shù)值分析習(xí)題答案

第一章緒論3．以下各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差限不超過最后一位的半個(gè)單位，試指出它們是幾位有效數(shù)字：,,,,解：是五位有效數(shù)字；是二位有效數(shù)字；是四位有效數(shù)字；是五位有效數(shù)字；是二位有效數(shù)字。4．利用公式(2.3)求以下各近似值的誤差限：(1),(2),(3).其中均為第3題所給的數(shù)。解：6．設(shè)，按遞推公式〔n=1,2,…〕計(jì)算到。假設(shè)取〔5位有效數(shù)字〕，試問計(jì)算將有多大誤差？解：……依次代入后，有即，假設(shè)取,的誤差限為。9．正方形的邊長大約為了100cm，應(yīng)怎樣測量才能使其面積誤差不超過？解：正方形的面積函數(shù)為.當(dāng)時(shí)，假設(shè),那么故測量中邊長誤差限不超過時(shí)，才能使其面積誤差不超過10．設(shè)，假定g是準(zhǔn)確的，而對t的測量有秒的誤差，證明當(dāng)t增加時(shí)S的絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。解：當(dāng)增加時(shí)，的絕對誤差增加當(dāng)增加時(shí)，保持不變，那么的相對誤差減少。11．序列滿足遞推關(guān)系(n=1,2,…),假設(shè)〔三位有效數(shù)字〕，計(jì)算到時(shí)誤差有多大？這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎？解：又又計(jì)算到時(shí)誤差為，這個(gè)計(jì)算過程不穩(wěn)定。第二章插值法1．當(dāng)時(shí)，,求的二次插值多項(xiàng)式。解：那么二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為4．設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，求證：〔2〕證明由上題結(jié)論可知得證。5設(shè)且求證：解：令，以此為插值節(jié)點(diǎn)，那么線性插值多項(xiàng)式為=插值余項(xiàng)為8．如果是m次多項(xiàng)式，記，證明的k階差分是次多項(xiàng)式，并且〔為正整數(shù)〕。解：函數(shù)的展式為其中又是次數(shù)為的多項(xiàng)式為階多項(xiàng)式為階多項(xiàng)式依此過程遞推，得是次多項(xiàng)式是常數(shù)當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，11．證明證明得證。14．求及。解：假設(shè)那么16．求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P〔x〕，使它滿足解：利用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4的多項(xiàng)式設(shè)其中，A為待定常數(shù)從而18．求在上分段線性插值函數(shù)，并估計(jì)誤差。解：在區(qū)間上，函數(shù)在小區(qū)間上分段線性插值函數(shù)為誤差為第三章函數(shù)逼近與曲線擬合，給出上的伯恩斯坦多項(xiàng)式及。解：伯恩斯坦多項(xiàng)式為其中當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，4。計(jì)算以下函數(shù)關(guān)于的與：解：假設(shè)，那么6。對，定義問它們是否構(gòu)成內(nèi)積。解：假設(shè)，那么,那么假設(shè)，那么,且即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故可以構(gòu)成上的內(nèi)積。7。令，試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式，并求。解：假設(shè)，那么令，那么，且，故又切比雪夫多項(xiàng)式在區(qū)間上帶權(quán)正交，且是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。又8。對權(quán)函數(shù)，區(qū)間，試求首項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式解：假設(shè)，那么區(qū)間上內(nèi)積為定義，那么其中10.(Nohave)12.(Nohave)15。，在上按勒讓德多項(xiàng)式展開求三次最正確平方逼近多項(xiàng)式。解：按勒讓德多項(xiàng)式展開那么從而的三次最正確平方逼近多項(xiàng)式為16。觀測物體的直線運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù)：時(shí)間t(s)0距離s(m)010305080110求運(yùn)動(dòng)方程。解：被觀測物體的運(yùn)動(dòng)距離與運(yùn)動(dòng)時(shí)間大體為線性函數(shù)關(guān)系，從而選擇線性方程令那么那么法方程組為從而解得故物體運(yùn)動(dòng)方程為23，用輾轉(zhuǎn)相除法將化為連分式。解19。求在處的階帕德逼近。解：由在處的泰勒展開為得從而即從而解得又那么故

21。求在處的階帕德逼近。解：由在處的泰勒展開為得從而即解得又那么故第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分1.確定以下求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：解：求解求積公式的代數(shù)精度時(shí)，應(yīng)根據(jù)代數(shù)精度的定義，即求積公式對于次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，但對于m+1次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，進(jìn)行驗(yàn)證性求解?！?〕假設(shè)令，那么令，那么令，那么從而解得令，那么故成立。令，那么故此時(shí)，因此，具有3次代數(shù)精度?！?〕假設(shè)令，那么令，那么令，那么故有令，那么令，那么故此時(shí)，因此，具有3次代數(shù)精度。2.分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算以下積分：解：復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為5。推導(dǎo)以下三種矩形求積公式：證明：兩邊同時(shí)在上積分，得即兩邊同時(shí)在上積分，得即兩連邊同時(shí)在上積分，得即7。如果，證明用梯形公式計(jì)算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說明其幾何意義。解：采用梯形公式計(jì)算積分時(shí)，余項(xiàng)為又且又即計(jì)算值比準(zhǔn)確值大。其幾何意義為，為下凸函數(shù)，梯形面積大于曲邊梯形面積。11。用的高斯-勒讓德公式計(jì)算積分解：令，那么用的高斯—勒讓德公式計(jì)算積分用的高斯—勒讓德公式計(jì)算積分17.(Nohave)在，和1.2處的導(dǎo)數(shù)值，并估計(jì)誤差。的值由下表給出：xF(x)解：由帶余項(xiàng)的三點(diǎn)求導(dǎo)公式可知又又又故誤差分別為利用數(shù)值積分求導(dǎo)，設(shè)由梯形求積公式得從而有故又且從而有故即解方程組可得第5章解線性方程組的直接方法2．證明：〔1〕因A對稱正定，故其中MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h=〔0,…,0,1,0,...,0〕為第i個(gè)單位向量.(2)由A的對稱性及消元公式得=-=-=，I,j=2,…,n故也對稱.又=其中顯然非其異,從而對任意的x0,有X0,(x,AX)=(x,AX)>0(由A的正定性)故正定.又=,而>0,故正定.3.證明由矩陣乘法簡單運(yùn)算即得證.7.(Nohave)(Nohave)解設(shè)有分解=由公式其中，，分別是系數(shù)矩陣的主角線元素及其下邊和上邊的次對角線元素，那么有，，，，，，，由得=，，，，由得=，=，=，=，=10．解設(shè)=由矩陣乘法得=2，，，由得，，由得故==2.5555556，=0.7777778，==1.111111111．解A中=0，故不能分解。但det(A)=-100,故假設(shè)將A中第一行與第三行交換，那么可以分解，且分解唯一。B中，==0，但它仍可以分解為B=其中為一任意常數(shù)，且U奇異，故分解且分解不唯一，對C，0，i=1,2,3,故C可分解且分解唯一。C=13．證明〔1〕有定義知