指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)學(xué)案與典型習(xí)題及答案

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)高考要求1理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)2掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)3理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)；4掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題知識點1根式的運算性質(zhì)：①當(dāng)n為任意正整數(shù)時，()=a②當(dāng)n為奇數(shù)時，=a；當(dāng)n為偶數(shù)時，=|a|=⑶根式的根本性質(zhì)：，〔a0〕2分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：3的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：R〔2〕值域：〔0，+∞〕〔3〕過點〔0，1〕，即x=0時，y=1〔4〕在R上是增函數(shù)〔4〕在R上是減函數(shù)4指數(shù)式與對數(shù)式的互化：5重要公式：，對數(shù)恒等式6對數(shù)的運算法那么如果有7對數(shù)換底公式：(a>0,a1，m>0,m1,N>0)8兩個常用的推論:①，②〔a,b>0且均不為1〕9對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：〔0，+∞〕值域：R過點〔1，0〕，即當(dāng)時，時時時時在〔0，+∞〕上是增函數(shù)在〔0，+∞〕上是減函數(shù)10同底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)11指數(shù)方程和對數(shù)方程主要有以下幾種類型：af(x)=bf(x)=logab,logaf(x)=bf(x)=ab;〔定義法〕af(x)=ag(x)f(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)>0〔轉(zhuǎn)化法〕af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取對數(shù)法)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(換底法)題型講解例1計算：〔1〕；〔2〕；〔3〕解：〔1〕原式〔2〕原式〔3〕原式例2，求的值解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴例3，且，求的值解：由得：，即，∴；同理可得，∴由得，∴，∴，∵，∴例4設(shè)，，且，求的最小值解：令，∵，，∴由得，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴當(dāng)時，例5設(shè)、、為正數(shù)，且滿足〔1〕求證：〔2〕假設(shè)，，求、、的值證明：〔1〕左邊；解：〔2〕由得，∴……………①由得………②由①②得……③由①得，代入得，∵，∴………………④由③、④解得，，從而例6〔1〕假設(shè)，那么，，從小到大依次為；〔2〕假設(shè)，且，，都是正數(shù)，那么，，從小到大依次為；〔3〕設(shè)，且〔，〕，那么與的大小關(guān)系是〔〕ABCD解：〔1〕由得，故〔2〕令，那么，，，，∴，∴；同理可得：，∴，∴〔3〕取，知選例8函數(shù)，求證：〔1〕函數(shù)在上為增函數(shù)；〔2〕方程沒有負數(shù)根證明：〔1〕設(shè)，那么，∵，∴，，，∴；∵，且，∴，∴，∴，即，∴函數(shù)在上為增函數(shù)；另法：∵，∴∴函數(shù)在上為增函數(shù)；〔2〕假設(shè)是方程的負數(shù)根，且，那么，即，①當(dāng)時,,∴,∴,而由知∴①式不成立；當(dāng)時，，∴，∴，而∴①式不成立綜上所述，方程沒有負數(shù)根例9函數(shù)〔且〕求證：〔1〕函數(shù)的圖象在軸的一側(cè)；〔2〕函數(shù)圖象上任意兩點連線的斜率都大于證明：〔1〕由得：，∴當(dāng)時，，即函數(shù)的定義域為，此時函數(shù)的圖象在軸的右側(cè)；當(dāng)時，，即函數(shù)的定義域為，此時函數(shù)的圖象在軸的左側(cè)∴函數(shù)的圖象在軸的一側(cè)；〔2〕設(shè)、是函數(shù)圖象上任意兩點，且，那么直線的斜率，，當(dāng)時，由〔1〕知，∴，∴，∴，∴，又，∴；當(dāng)時，由〔1〕知，∴，∴，∴，∴，又，∴∴函數(shù)圖象上任意兩點連線的斜率都大于學(xué)生練習(xí)１合，假設(shè)，，那么，那么運算可能是〔〕(A)加法 (B)減法 (C)除法 (D)乘法 ２集合，，那么滿足條件的映射的個數(shù)是()〔A〕2〔B〕4〔C〕5〔D〕7３某天清晨，小鵬同學(xué)生病了，體溫上升，吃過藥后感覺好多了，中午時他的體溫根本正常，但是下午他的體溫又開始上升，直到半夜才感覺身上不那么發(fā)燙了下面大致能上反映出小鵬這一天〔0時—24時〕體溫的變化情況的圖是()

時0612182437體溫(℃)37體溫(℃)時0612182437時06121824體溫(℃)37時06121824體溫(℃)A)(B)(C)(D)４定義兩種運算：，，那么函數(shù)為〔〕〔A〕奇函數(shù)〔B〕偶函數(shù)〔C〕奇函數(shù)且為偶函數(shù)〔D〕非奇函數(shù)且非偶函數(shù)５偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，那么與的大小關(guān)系是() 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕6如圖，指出函數(shù)①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的圖象，那么a,b,c,d的大小關(guān)系是Aa<b<1<c<dBb<a<1<d<cC1<a<b<c<dDa<b<1<d<c7假設(shè)logx3>logy3>0,那么以下不等式恒成立的是()A<y–1/3B<3x–yC<31–yD>31–y8函數(shù)f(x)=lg(ax–bx)(a,b為常數(shù)，a>1>b>0),假設(shè)x(1,+∞)時，f(x)>0恒成立，那么()Aa–b1Ba–b>1Ca–b1Da=b+19如圖是對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象，a取值,4/3,3/5,1/10,那么相應(yīng)于①,②,③,④的a值依次是10y=loga(2–ax)在[0,1]上是x的減函數(shù)，那么a的取值范圍是11函數(shù)，且正數(shù)C為常數(shù)對于任意的，存在一個，使，那么稱函數(shù)在D上的均值為C試依據(jù)上述定義，寫出一個均值為９的函數(shù)的例子：_____12設(shè)函數(shù)f(x)=lg,其中aR,如果當(dāng)x(–∞,1)時，f(x)有意義，求a的取值范圍13a為何值時，關(guān)于x的方程2lgx–lg(x–1)=lga無解？有一解？有兩解？14綠緣商店每月向工廠按出廠價每瓶3元購進一種飲料根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，假設(shè)零售價定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；假設(shè)每瓶售價每降低005元，那么可多銷售40瓶請你給該商店設(shè)計一個方案：每月的進貨量當(dāng)月銷售完，銷售價應(yīng)定為多少元和從工廠購進多少瓶時，才可獲得最大的利潤？15定義域為[0，1]的函數(shù)f(x)同時滿足：〔1〕對于任意x∈[0，1]，總有f(x)≥0；〔2〕f(1)=1〔3〕假設(shè)，，，那么有〔Ⅰ〕試求f(0)的值；〔Ⅱ〕試求函數(shù)f(x)的最大值；〔Ⅲ〕試證明：滿足上述條件的函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x，都有f(x)≤2x16設(shè)、為常數(shù)，：把平面上任意一點〔，〕映射為函數(shù)〔1〕證明：不存在兩個不同點對應(yīng)于同一個函數(shù)；〔2〕證明：當(dāng)時，，這里t為常數(shù)；〔3〕對于屬于M的一個固定值，得，在映射F的作用下，M1作為象，求其原象，并說明它是什么圖象？參考答案：１D２D３C４A５D6B7D8A9,4/3,3/5,1/10,10(1,2)11，，〔〕12a–3/4130<a<4時，無解；a=4時，方程有一解；a>4時，方程有兩解1445015〔I〕令，依條件〔3〕可得f(0+0)≥f(0)+f(0)，即f(0)≤0又由條件〔1〕得f(0)≥0，那么f(0)=0〔Ⅱ〕任取，可知,那么,即，故于是當(dāng)0≤x≤1時，有f(x)≤f(1)=1因此，當(dāng)x=1時，f(x)有最大值為1，〔Ⅲ〕證明：研究①當(dāng)時，f(x)≤1<2x②當(dāng)時，首先，f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴顯然，當(dāng)時，成立假設(shè)當(dāng)時，有成立，其中k＝1，2，…那么當(dāng)時，可知對于，總有，其中n=1，2，…而對于任意，存在正整數(shù)n，使得，此時,③當(dāng)x=0時，f(0)=0≤2x綜上可知，滿足條件的函數(shù)f(x)，對x∈[0，1]，總有f(x)≤2x成立16(1)假設(shè)有兩個不同的點〔