2023年江蘇省鹽城市中考數學練-5三角形

2023年江蘇省鹽城市中考數學專題練一一5三角形

選擇題（共8小題）

L（2022?建湖縣一模）如圖，每個小方格的邊長為1,A,8兩點都在小方格的頂點上，點

C也是圖中小方格的頂點，并且aABC是等腰三角形，那么點C的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

一副三角板如圖放置，則/1的度數為（）

B.60°C.65°D.75°

3.（2022?亭湖區(qū)校級一模）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則Na的大小為（）

A.105oB.75°C.65oD.55°

4.（2022?東臺市模擬）如圖，點E、F在AC上，AD=BC,DF=BE,要使aAOF鄉(xiāng)Z?C8E,

還需要添加一個條件是（）

A.AD//BCB.DF//BEC.NA=NCD.ND=NB

5.（2014?鹽都區(qū)二模）如圖，ΔABCΦ,AB=AC,BD=CE,BE=CF,若NA=50°,則

NoEF的度數是（）

D.

bF.C

A.75oB.70°C.65oD.60°

6.（2021?東臺市模擬）一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中Na的度數是（）

7.（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在直角AABC中，ZCAB=90°,ZABC=IOa,AD是/

CAB的平分線，交邊BC于點D,過點C作aACO中AD邊上的高線CE,則NECZ）的

度數為（）

8.（2021?亭湖區(qū)一模）如圖，己知△?!BC中，AB=10,AC=S,BC=6,AC的垂直平分線

交AB于點D,垂足為E,連接CD,則CD的長為（）

二.填空題（共9小題）

9.（2022?鹽城一模）如圖，已知RtZXABC中，ZABC=90o,A8=BC=4,過點A作AD

LAC交AB的平行線C。與點。，尸為AC上一動點，E為DF中點,連接8E,則BE的

最小值是

10.（2022?東臺市模擬）在“三角尺拼角”實驗中，小聰同學把一副三角尺按如圖所示的方

式放置，則∕α=

11.（2022?射陽縣一模）如圖，點A,B,C,力在。。上，OAlBC,垂足為E.若N4OC

=30°,BC=4√3,則AE=

12.（2022?鹽城一模）如圖，在RtaABC中，NACB=90°,點。是AB的中點，過點。

作DELBC,垂足為點E,連接C。，若CQ=5,BE=A,則AC=.

13.（2022?建湖縣一模）如圖，在RtA4BC中，ZACB=90o,BC的垂直平分線分別交

A8、BC于點D、E,若AC=5cm,BC=I2cm,則AACD的周長為cm.

14.（2022?建湖縣一模）如圖，AE//DF,AE=DF.添加下列條件中的一個：①AB=C7）；

②EC=BF；?ZE=ZF;?EC//BF.其中能證明AACE&ZkQBF的是.（只

填序號）

15.（2022?濱?？h模擬）如圖所示的網格是正方形網格，則NBAC+/CDE=（點A,

B,C,D,E是網格線交點）.

16.（2021?建湖縣二模）若一條長為320w的細線能圍成一邊長等于80w的等腰三角形，則

該等腰三角形的腰長為cm.

17.（2021?建湖縣一模）如圖，ZVlBC中，80平分∕A2C,CDLBD,垂足為。，E為AC

中點.若48=10,BC=6,則力E的長為.

18.（2022?建湖縣二模）已知：如圖，AB=DC,AC=DB,4C和BO相交于點O.點M是

BC的中點，連接OM.

（1）求證：?ABC^?DCB;

19.（2022?建湖縣二模）［問題情境］小春在數學活動課上借助幾何畫板按照下面的畫法畫出

了一個圖形:

如圖1,點C是線段AB上一點，分別以AC、AB為底邊在線段AS的同側作等腰三角形

ACP.等腰三角形A8。，PC、4。相交于點。.當P、Q、B在同一直線上時，他發(fā)現:

N∕?Q=/CP8.請幫他解釋其中的道理；

［問題探究］

如圖2,在上述情境下中的條件下，過點C作CE//AP交PB于點E,若PD=2CD,PA

=9,求CE的長.

［類比應用］

如圖3,ZXABC是某村的一個三角形魚塘，點。、E分別在邊AB、BC上，AE.CQ的交

點F為魚塘的釣魚臺，測量知道/CAD=NCD4=67.5°,NCEA=2NB,AD2=（40000

-20000√2）m2,且。8=2AD直接寫出CF的長為m.

圖I圖2圖3

20.（2022?鹽城一模）【問題背景】

在一次數學興趣小組活動中，小軍對蘇科版數學九年級教材第42頁的第4題很感興趣.

教材原題：如圖1,BD、CE是AABC的高，M是BC的中點.點B、C、D、E是否在以

點M為圓心的同一個圓上？為什么？

小軍在完成此題解答后提出：如圖2,若BD、CE的交點為點O,則點A、。、。、E四

點也在同一個圓上.

（1）請對教材原題或小軍提出的問題進行解答.（選擇一個解答即可）

【直接應用】

當大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級通過畫圖歸納出的一個結論：三

角形的三條高所在直線交于同一點，可通過上面的結論加以解決.

（2）如圖3,AABC的兩條高B。、CE相交于點。，連接AO并延長交BC于點E

求證：A尸為AABC的邊BC上的高.

圖3圖4

【拓展延伸】

在大家完成討論后，曾老師根據大家的研究提出一個問題：

（3）在（2）的條件下連接DE、EF、FD（如圖4）,設NDEF=a,則NAOB的度數

為.（用含α的式子表示）

21.（2022?建湖縣一模）如圖，點力、E分別為4A8C的邊AC、BC的中點，連接OE.

求證：

（1）DE//AB；

1

（2）DE=^AB.

22.（2022?建湖縣一模）如圖，等腰AABC中，AB=AC,NBAC=36°,以C為旋轉中心,

順時針旋轉AABC到aOCE位置,使點A落在Be邊的延長線上的E處,連接AD和BD.

（1）求證：Z?AOC絲Z?8CD；

（2）請判斷BE的形狀，并證明你的結論.

23.（2021?鹽城二模）如圖，AB是。0的直徑，點￡＞、E在。0上，連接AE、ED、DA,

連接BD并延長至點C,使得ND4C=NAED

（1）求證：AC是。。的切線；

（2）若點E是前的中點，AE與BC交于點凡

①求證：CA-CFi

②若。。的半徑為3,BF=2,求AC的長.

24.(2021?濱?？h一模)如圖，在aABC中，ZB=ZC,過BC的中點D作力E_L4B,DF

J_AC,垂足分別為點E、F.

(1)求證：DE=DF;

(2)若NBDE=55°，求/8AC的度數.

2023年江蘇省鹽城市中考數學專題練一一5三角形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2022?建湖縣一模）如圖，每個小方格的邊長為1,A,B兩點都在小方格的頂點上，點

C也是圖中小方格的頂點，并且aABC是等腰三角形，那么點C的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如圖，C點與P、。、R重合時，均滿足448C是等腰三角形,

故選：C.

2.（2022?鹽城一模）一副三角板如圖放置，則Nl的度數為（）

【解答】解三角板是一副,

.?ZECD=45°,ZADC=6O°.

ZCFD=I80o-NECD-NADC

=180°-45°-60°

=75o.

ΛZl=75o.

故選：D.

3.（2022?亭湖區(qū)校級一模）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∕α的大小為（）

【解答】解：由三角形的外角性質可知：∕α=30°+45°=75°,

故選：B.

4.（2022?東臺市模擬）如圖，點E、F在AC上，AO=5C,DF=BE,要使aAOF絲Z?C8E,

還需要添加一個條件是（）

A.AD//BCB.DF//BEC.ZA=ZCD.ND=NB

【解答】解：ZD=NB,

理由是：：在aAD尸和ACBE中

TlD=BC

乙D—/-B，

.DF=BE

：.4ADF沿叢CBE（SAS）,

即選項Z）正確；

具備選項A、選項B,選項C的條件都不能推出兩三角形全等，

故選：D.

5.（2014?鹽都區(qū)二模）如圖，ZXABC中，AB=AC,BD=CE,BE=CF,若/4=50°,則

/OEF的度數是（）

D1

bEc

A.75°B.70oC.65oD.60o

【解答】解：TA8=AC,

ΛZB=ZC,

在ADBE和AECF中，

BD=EC

Z-B=ZC,

EB=CF

??.△DBE咨AECF（SAS）,

：./EFC=/DEB,

YNA=50°,

ΛZC=（180o-50o）÷2=65o,

：.ZCFE+ZFEC=ISOo-65°=115°,

,NDEB+NFEC=115°,

ΛZDEF=180o-115°=65°,

故選：C.

6.（2021?東臺市模擬）一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中Na的度數是（）

【解答】解：由題意得/1=90°-60°=30°,

VZa=45o+Zl,

.?∕a=45°+30°=75°,

故選：B.

7.（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在直角AABC中，ZCAB=90°,NABC=70°,AD是N

CAB的平分線，交邊BC于點D,過點C作aACO中AD邊上的高線CE,則NECD的

度數為（）

E

Xp

A

A.35oB.30°C.25oD.20o

【解答】解：..?∕CAB=90°,AQ是NCAB的角平分線，

1

ΛZCAD^ZBAD=^ZCAB=45o,

VCELAD,

二NEC4=/CEA-Ne4E=45°,

?'ZBCA^ZCAB-ZB=20o,

：.ZECD^ZACE-ZBCΛ=25o,

故選：C.

8.（2021?亭湖區(qū)一模）如圖，已知AABC中，AB=10,AC=S,BC=6,AC的垂直平分線

交AB于點。，垂足為E,連接CO,則CO的長為（）

A.3B.4C.4.8D.5

【解答】解:VAB=IO,AC=8,BC=6,

.?BC2+AC2=AB2,

,△ABC是直角三角形，

「OE是AC的垂直平分線，

ΛΛE=EC=4,DE//BC,且線段。E是AABC的中位線，

.?.OE=3,

：.AD=DC=y∣AE2+DE2=√32+42=5.

故選：D.

二.填空題（共9小題）

9.（2022?鹽城一模）如圖，已知RtZXABC中，ZABC=90Q,AB=BC=4,過點A作AO

LAC交AB的平行線C。與點O,F為AC上一動點，E為。F中點，連接8E,則BE的

最小值是4√2.

VZABC=90o,AB=BC=4,

???NCAB=/ACB=45°,

?：CD〃AB,

ΛZDCA=ZCAB=450.

*：DA.LDC9F為。尸中點，

.?AE=沙F=EF,

：.AEAF=AEFA,

：尸為AC上一動點，

：.ZEFA^ZACD,

ΛZEM≥45o.

ΛZE4F>45o,

ΛZEAB^ZCAB+ZEAF^90o.

二當NEAB=90°時,BE取得最小值，

當NE4B=90°時，尸與C重合，此時AE=BA=4,

：.BE=y∣AE2+BA2=4√2.

故答案為：4√2.

10.（2022?東臺市模擬）在“三角尺拼角”實驗中，小聰同學把一副三角尺按如圖所示的方

式放置，則∕α=15°.

【解答】解：由三角形的外角的性質可知，Nα=60°-45°=15°,

故答案為：15.

11.(2022?射陽縣一模)如圖，點A,B,C,。在C)O上，OAlBC,垂足為E.若NAZ)C

,：OALBC,OA過圓心O,BC=4√3,

ΛZOEC=90o,CE=BE=25

；NADC=30°,

ΛZAOC=2ZADC=60o,

CE

SinNAoC=近，

.?52、"

..SinoO=

解得：OC=4,

VZBCO=90o-60°=30°,

：.OE=^OC=2,

.?.AE=4-2=2,

故答案為：2.

12.（2022?鹽城一模）如圖，在RtAABC中，NACB=90°,點。是AB的中點，過點。

作。EJ_BC,垂足為點E,連接C￡>,若CO=5,BE=4,則AC=6.

【解答】解：：NACB=90°,DELBC,

.".DE//AC,

；點。是AB的中點，

.?.E是BC的中點,AB=ICD=W,

.?.BC=2BE=8,

.,.AC=y∣AB2-BC2=6,

故答案為6.

13.（2022?建湖縣一模）如圖，在RtAABC中，NACB=90°,BC的垂直平分線分別交

AB.BC于點D、E,若AC=5cm,BC=12cm,則AACZ）的周長為18cm.

【解答】解：在RtZXABC中，∕AC3=90°,AC=5cm,BC^12cm,

.'.AB=?∣AC2+BC2=√52+122=13（cm）,

；OE是BC的垂直平分線，

：.CD=BD,

,△ACD的周長為：AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB=5+?3=?S（cm）,

故答案為：18.

14.（2022?建湖縣一模）如圖，AEHDF,AE=DF.添加下列條件中的一個：①AB=C￡＞；

②EC=BF；?ZE=ZF-,?EC//BF.其中能證明aACE絲Z?DBF的是①③④.（只

填序號）

E

：.ZA=ZD,

①：AB=CD,

.".AB+BC=DC+BC,

即AC=DB,

AE=-DF,NA=ND,AC=OB,符合全等三角形的判定定理SAS,能推出aACEgZ?OBF,

故①正確；

②根據AE=DF,N4=NO和EC=BF不能推出AACfgZiOBR故②錯誤；

③NA=ND,AE=DF,ZE=ZF,符合全等三角形的判定定理ASA,能推出aACE絲

△DBF,故③正確；

@'：EC//BF,

："ECA=NFBD,

NECA=NFBD,NA=NO,AE=DF,符合全等三角形的判定定理AA5,能推出aACE

注ADBF,故④正確；

即正確的有①③④，

故答案為：①③④.

15.（2022?濱?？h模擬）如圖所示的網格是正方形網格，則NB4C+/CDE=45。（點

A,B,C,D,E是網格線交點）.

【解答】解：設小正方形的邊長是1,連接A。,

DE

?"AD=√32+12=√Tθ,CD=√12+32=√Tθ,AC=√42+22=√20,

AD=CD,AD1+Cb1=AC2,

.".ZADC=90°,

即XADC是等腰直角三角形，

：.ZDAC=ZDCA=45°,

`:AB//DE,

：.ZBAC+ΛDAC+ZCDE=XW,

NBAC+NCDE=45°,

故答案為：45°.

16.(2021?建湖縣二模)若一條長為32a”的細線能圍成一邊長等于8cm的等腰三角形，則

該等腰三角形的腰長為12cm.

【解答】解：若腰長為8cm則此三角形的另一邊長為32-8-8=16(c∕π),

而8+8=16,無法構成三角形，

.?.此情形舍去；

若底邊為8的，則腰長為(32-8)÷2=12(cm),

此時12+12>8,12+8>8,可以構成三角形.

故答案為：12.

17.(2021?建湖縣一模)如圖，Z?ABC中，BD平分NABC,CDlBD,垂足為C,E為AC

中點.若AB=I0,BC=6,則QE的長為2.

【解答】解：延長CO交A8于凡

在ABDC和ABDF中,

'/DBC=NDBF

BD=BD>

WBDC=Z.BDF=90°

：.ABDC空ABDF(ASA),

：.BF=BC=6,CD=DF,

.?AF=AB-BF=4,

?：CD=DF,CE=EA,

：.DE=SF=2,

故答案為：2.

18.(2022?建湖縣二模)已知：如圖，AB=DC,AC=DB,AC和8。相交于點O.點M是

BC的中點，連接。

(1)求證：XABCmXDCB;

(2)求/8Mo的度數.

【解答】(1)證明：在aABC和△/)CB中，

AB=DC

AC=DB,

CB=BC

：.?ABC^?DCB(SSS).

(2)解：由(1)得：ZOBC=ZOCB,

...△B。C是等腰三角形.

：點M是BC的中點，

.?OM±BC,

：.ZBMO=90Q.

19?(2022?建湖縣二模)［問題情境］小春在數學活動課上借助幾何畫板按照下面的畫法畫出

了一個圖形：

如圖1,點C是線段A8上一點，分別以AC、AB為底邊在線段A8的同側作等腰三角形

ACP,等腰三角形A8。，PC、A。相交于點D當P、Q、B在同一直線上時，他發(fā)現:

NflAQ=NCPB.請幫他解釋其中的道理；

［問題探究］

如圖2,在上述情境下中的條件下，過點C作CE//AP交PB于點E,若PD=2CD,PA

=9,求CE的長.

［類比應用］

如圖3,4ABC是某村的一個三角形魚塘，點。、E分別在邊AB、BCk,AE.CO的交

點F為魚塘的釣魚臺，測量知道NCAD=NCD4=67.5°,NCEA=2NB,AD2=(40000

L?200√2

-20000√2)/Ti2,S.DB=2AD,直接寫出C廠的長為)m.

圖1圖2圖3

,

【解答】解：(1)?AP=PC,AQ=BQf

：.APAC=APCA,ZB=ZQABf

?：NPCA=NB+NCPB,ZPAC=ZPAQ+ZQAB9

：.ZPAQ=ZCPB；

(2)由(1)可知，/PAQ=/CPB,

：.ZPAD=ZCPE9

9CPD=ICD,PC=9,

2

.?.∕?=PC=9,PD=勺PC=6,

?9CE∕/PA,

：.ZAPD=ZPCE9

在ABAO和ACPE中，

(ZPAD=NCPE

?AP=PC，

IzylPD=Z-PCE

ΛΔ∕?D^?CPE(ASA),

：.CE=PD=6、

(3)過點。作。"J_AC于點”，

*：ZCAD=ACDA=67.5°,

.?AC=CD,ZACD=180o-ZCAD=ZCDA=45Q,

在Rt4CC∕7中，sin/ACZ)=若=苧=盍，

.*.CD=?[2DH,

設DH=k,則AC=CZ)=√∑k,CH=k,AH=AC-CH=(√2-l)k,

在RtZ?AOH中，AD1=AH2+DH2,

Λ40000-20000√2=(√2-l)2∕c2,

解得，A=100,

ΛAC=100√2(M,

過點D作DG//AC交BC于G,

uDGDB2

AC~AB~31

?DG_2

**100√2-3’

?200、/X

??DCJ—??m)9

由［問題探究］可知ABAO也△?￡■,

,CF=OG=繆√Σ(m),

20.(2022?鹽城一模)【問題背景】

在一次數學興趣小組活動中，小軍對蘇科版數學九年級教材第42頁的第4題很感興趣.

教材原題：如圖1,BD.CE是AABC的高，M是BC的中點.點8、C、。、E是否在以

點M為圓心的同一個圓上？為什么？

小軍在完成此題解答后提出：如圖2,若30、CE的交點為點。，則點A、。、0、E四

點也在同一個圓上.

(1)請對教材原題或小軍提出的問題進行解答.(選擇一個解答即可)

圖1

【直接應用】

當大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級通過畫圖歸納出的一個結論：三

角形的三條高所在直線交于同一點，可通過上面的結論加以解決.

(2)如圖3,ZVlBC的兩條高8￡＞、CE相交于點。，連接Ao并延長交BC于點F.

求證：A尸為AABC的邊BC上的高.

圖3圖4

【拓展延伸】

在大家完成討論后，曾老師根據大家的研究提出一個問題：

（3）在（2）的條件下連接OE、EF、/=Ix如圖4）,設/力Er=α,MZAOB的度數為90°

+∣a.（用含a的式子表示）

【解答】解：（1）選擇教材原題，

點8、C、D、E是否在以點M為圓心的同一個圓上.

如圖，連接“￡、MD,

:BD、CE是AABC的高，M是BC的中點，

.*.ME=MB=MC=MD,

點8、C、。、E是否在以點M為圓心的同一個圓上.

（2）如圖，連接DE,由點B、C、D、E四點共圓得/8。E=NEC8,

由點A、。、。、E四點共圓得NBOE=∕8AF,

；.NECB=NBAF,

,：ZBEC=90o,

NECB+/ABF=90°,

：.ZBAF+ZABF=90°,

ΛZBM=90o,

：.AF為aABC的邊BC上的高.

（3）如圖，YNBEo=NBFo=90°,

.?.點B、R0、E在以點N為圓心的同一個圓上，

；.NFBO=/FEO,

：由（1）證得點8、C、D、E在同一個圓上，

：.AFBO=ZCED,

：.NFEO=NCED,

同理可證：NEFO=NAFD,ZEDO=ZFDO,

.?.點。是△￡>￡下的內心.

1

ΛZAOB=90o+*α.

Λ

A

21.（2022?建湖縣一模）如圖，點。、E分別為aABC的邊AC、BC的中點，連接。E.

求證：

(1)DE//AB；

(2)DE=^AB.

【解答】證明：（1）延長OE至點凡使EF=OE,連接8凡

???點E為BC的中點，

ZCE=BE,

?：NCED=NBEF,

:.ACDE也∕?BFE(SAS),

：.CD=FB,/C=NFBC,

.?BF∕∕AC,

???點。為AC的中點,

：.CD=ADi

：.AD=BF1

???四邊形A3F。是平行四邊形,

.?DE∕∕AB↑

（2）由（1）知：四邊形ABFo是平行四邊形，

：.DF=AB.

YDE=EF,

1

：.DE=WDF,

1

：.DE=^ΛB.

22.（2022?建湖縣一模）如圖，等腰AABC中，AB=ACfNBAC=36°,以C為旋轉中心,

順時針旋轉AABC到AOCE位置,使點A落在BC邊的延長線上的E處,連接Ao和BD.

（1）求證：XKDg*BC6

（2）請判斷AABE的形狀，并證明你的結論.

【解答】解：