高二數(shù)學(xué)重難點(diǎn)（下）6講

專題26排列組合基礎(chǔ)模型【題型一】分類加法原理【典例分析】某學(xué)校開(kāi)設(shè)4門球類運(yùn)動(dòng)課程、5門田徑類運(yùn)動(dòng)課程和2門水上運(yùn)動(dòng)課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有()A．40種B．20種C．15種D．11種【提分秘籍】基本規(guī)律古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.【變式訓(xùn)練】1.某校開(kāi)設(shè)A類選修課4門,B類選修課3門,一同學(xué)從中選1門,則該同學(xué)的不同選法共有()A．7種B．12種C．4種D．3種2．現(xiàn)有5幅不同的油畫(huà)，2幅不同的國(guó)畫(huà)，7幅不同的水彩畫(huà)，從這些畫(huà)中選一幅布置房間，則不同的選法共有()A．7種B．9種C．14種D．70種3．為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區(qū)衛(wèi)健委在城區(qū)設(shè)立了11個(gè)接種點(diǎn)，在鄉(xiāng)鎮(zhèn)設(shè)立了19個(gè)接種點(diǎn)．某市民為了在同一接種點(diǎn)順利完成新冠疫苗接種，則不同接種點(diǎn)的選法共有()A．11種B．19種C．30種D．209種【題型二】分步乘法原理【典例分析】2022年10月22日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)勝利閉幕．某班舉行了以“禮贊二十大、奮進(jìn)新征程”為主題的聯(lián)歡晚會(huì)，原定的5個(gè)學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又臨時(shí)增加了兩個(gè)教師節(jié)目，如果將這兩個(gè)教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，則這兩個(gè)教師節(jié)目相鄰的概率為() 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171327【提分秘籍】基本規(guī)律解答排列、組合問(wèn)題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對(duì)某些元素的位置有、無(wú)限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問(wèn)題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡(jiǎn)單的排列、組合問(wèn)題，然后逐步解決．【變式訓(xùn)練】1.“誰(shuí)知盤中餐，粒粒皆辛苦”，節(jié)約糧食是我國(guó)的傳統(tǒng)美德．已知學(xué)校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜，小華準(zhǔn)備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的選取方法有()A．13種B．22種C．30種D．60種2.有5件不同款式的上衣和8條不同顏色的長(zhǎng)褲，若一件上衣與一條長(zhǎng)褲配成一套，則不同的配法種數(shù)為()ABC．72D．603.現(xiàn)有5名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是()【題型三】人坐座位【典例分析】某公司為慶祝新中國(guó)成立73周年，計(jì)劃舉行慶?；顒?dòng)，共有5個(gè)節(jié)目，要求A節(jié)目不排在第一個(gè)且C、D節(jié)目相鄰，則節(jié)目安排的方法總數(shù)為()ABC．36D．60【提分秘籍】基本規(guī)律解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．具體地說(shuō)，解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．【變式訓(xùn)練】1.11月29日，江西新余仙女湖的漁民們迎來(lái)入冬第一個(gè)開(kāi)捕日，仙女湖的有機(jī)魚(yú)迎來(lái)又一個(gè)豐收年.七位漁民分在一個(gè)小組，各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚(yú)，甲乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有()A．96種B．120種C．192種D．240種2.某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的寒假生活，寒假期間給同學(xué)們安排了6場(chǎng)線上講座，其中講座A只能安排在第一或最后一場(chǎng)，講座B和C必須相鄰，問(wèn)不同的安排方法共有()A．34種B．56種C．96種D．144種3.現(xiàn)有7位學(xué)員與3位攝影師站成一排拍照，要求3位攝影師互不相鄰，則不同排法數(shù)為()【題型四】組數(shù)字型【典例分析】從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()ABC．12D．6【變式訓(xùn)練】1.在數(shù)學(xué)中，有這樣一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，被稱為“回文數(shù)”.如44，585，2662等，那么用()ABC．360D．12962.從1至8的8個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)和為偶數(shù)的概率為() 47373.數(shù)字1，2，3，4任意組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則它為偶數(shù)的概率是() 213 1423【題型五】分類討論型【典例分析】在給某小區(qū)的花園綠化時(shí)，綠化工人需要將6棵高矮不同的小樹(shù)在花園中栽成前后兩排，每排3棵，則后排的每棵小樹(shù)都對(duì)應(yīng)比它前排每棵小樹(shù)高的概率是()13 1618 【提分秘籍】基本規(guī)律分類討論易犯錯(cuò)①搞不清楚到底是分類還是分步，不知道是用加法計(jì)數(shù)原理還是乘法計(jì)數(shù)原理；②在求解時(shí)考慮不全，存在重復(fù)或遺漏現(xiàn)象.【變式訓(xùn)練】1.開(kāi)學(xué)典禮上甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)從左至右排成一排上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，要求甲與乙相鄰且甲與丙之間恰好有1名同學(xué)的排法有()種．ABC．20D．242.綠水青山就是金山銀山，浙江省對(duì)“五水共治”工作落實(shí)很到位，效果非常好．現(xiàn)從含有甲的5位志愿者中選出4位到江西，湖北和安徽三個(gè)省市宣傳，每個(gè)省市至少一個(gè)志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者沒(méi)有條件限制，共有多少種不同的安排方法()ABC．180D．96【典例分析】如圖，矩形的對(duì)角線把矩形分成A、B、C、D四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，共有()種不同的涂色方法？ABC．240D．120【提分秘籍】基本規(guī)律染色問(wèn)題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒(méi)有公用區(qū)域”方向考慮：1.用了幾種顏色。如果顏色沒(méi)有全部用完，就要有選色的步驟2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開(kāi)始。所以要觀察“地圖”是否可以“拓?fù)洹鞭D(zhuǎn)化【變式訓(xùn)練】1.如圖，提供4種不同的顏色給圖中A，B，C，D四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有()種．ABC．48D．722.對(duì)如下編號(hào)為1，2，3，4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色，則在1號(hào)格子涂灰色的條件下，4號(hào)格子也涂灰色的概率是()3.網(wǎng)課期間，小王同學(xué)趁課余時(shí)間研究起了七巧板，有一次他將七巧板拼成如下圖形狀，現(xiàn)需要給下圖七巧板右下方的五個(gè)塊涂色(圖中的1，2，3，4，5)，有4種不同顏色可供選擇，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不能同色，有______種不同的涂色方案.【題型七】電路圖型【典例分析】如圖，在由開(kāi)關(guān)組A與B組成的電路中，閉合開(kāi)關(guān)使燈發(fā)光的方法有()種【變式訓(xùn)練】1.如圖，要讓電路從A處到B處接通，不同的路徑條數(shù)為()ABC．8D．122.如圖所示為一電路圖，從A到B共有條不同的線路可通電()3.如圖，一條電路從A處到B處接通時(shí)，可構(gòu)成線路的條數(shù)為()AB．6CD．3【題型八】走樓梯型【典例分析】欲登上第10級(jí)樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，則不同的走法共有A種B．55種C．89種D．144種【提分秘籍】基本規(guī)律一般情況下，可以借助“數(shù)字化法”，把路口轉(zhuǎn)化為相同數(shù)字來(lái)進(jìn)行排列。如下圖，從A到B，只向右和向上，那么向右2步，向上3步，可以理解為數(shù)字1,1,2,2,2五個(gè)數(shù)字全排列，那么只選不排，相當(dāng)于五個(gè)位置，先放三個(gè)2，共有C種放法，【變式訓(xùn)練】1.欲登上7階樓梯，某人可以每步跨上兩階樓梯，也可以每步跨上一階樓梯，則共有_____種上樓梯的方法.2.有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為_(kāi)__________.3.某幢樓從二樓到三樓的樓梯共11級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用7步走完，則上樓梯的方法有______種．【題型九】摸球型【典例分析】一個(gè)口袋中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次從袋中至少取出一個(gè)球，恰好4次取完，那么不同的取法一共有()種．ABC．40D．28【變式訓(xùn)練】1.從2個(gè)不同的紅球、2個(gè)不同的黃球、2個(gè)不同的藍(lán)球共六個(gè)球中任取2個(gè)，放入紅、黃、藍(lán)色的三個(gè)袋子中，每個(gè)袋子至多放入一個(gè)球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有A．42種B．36種C．72種D．46種2.將6個(gè)不同的乒乓球全部放入兩個(gè)不同的球袋中，每個(gè)球袋中至少放1個(gè)，則不同的放法有()A．82種B．62種C．112種D．84種3.袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球的號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X，則X所有可能取值的個(gè)數(shù)是()ABC．10D．25分階培優(yōu)練一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．某中學(xué)舉行歌唱比賽，要求甲、乙、丙三位參賽選手從《難卻》《蘭亭序》《許愿》等6首歌曲中任意選2首作為參賽歌曲，其中甲和乙都沒(méi)有選《難卻》，丙選了《蘭亭序》，但他不會(huì)選《許愿》，則甲、乙、丙三位參賽選手的參賽歌曲的選法共有()2．將4名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰，短道速滑，冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，志愿者小明不去花樣滑冰項(xiàng)目，則不同的分配方案共有()A．12種B．18種C．24種D．48種3．把5個(gè)相同的小球分給3個(gè)小朋友，使每個(gè)小朋友都能分到小球的分法有()A．4種B．6種C．21種D．35種4．某鞋店銷售a，b，c，d四種不同款式的運(yùn)動(dòng)鞋，甲、乙、丙三人每人任意選擇一款運(yùn)動(dòng)鞋購(gòu)買，則不同的購(gòu)買選擇有()A．24種B．48種C．64種D．81種5．中國(guó)空間站(ChinaSpaceStation)的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.2022年10月31日15：37分，我國(guó)將“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”成功送上太空，完成了最后一個(gè)關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”也和“天和核心艙”按照計(jì)劃成功對(duì)接，成為“T”字形架構(gòu)，我國(guó)成功將中國(guó)空間站建設(shè)完畢.2023年，中國(guó)空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營(yíng)階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有()A．450種B．72種C．90種D．360種6．1至10中的質(zhì)數(shù)能夠組成的所有沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)的個(gè)數(shù)為()ABC．24D．647．導(dǎo)師制是高中新的教學(xué)探索制度，班級(jí)科任教師作為導(dǎo)師既面向全體授課對(duì)象，又對(duì)指定的若干學(xué)生的個(gè)性、人格發(fā)展和全面素質(zhì)提高負(fù)責(zé)．已知有3位科任教師負(fù)責(zé)某學(xué)習(xí)小組的6名同學(xué)，每2名同學(xué)由1位科任教師負(fù)責(zé)，則不同的分配方法的種數(shù)為()ABC．60D．1808．11月29日，江西新余仙女湖的漁民們迎來(lái)入冬第一個(gè)開(kāi)捕日，仙女湖的有機(jī)魚(yú)迎來(lái)又一個(gè)豐收年.七位漁民分在一個(gè)小組，各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚(yú)，甲乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有()A．96種B．120種C．192種D．240種1．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為AB．若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為CCC．若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為C－CD．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為CCC2．高二年級(jí)安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說(shuō)法正確的有()A．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種B．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種3．某校的高一和高二年級(jí)各10個(gè)班級(jí)，從中選出五個(gè)班級(jí)參加活動(dòng)，下列結(jié)論正確的是()A．高二六班一定參加的選法有C種B．高一年級(jí)恰有2個(gè)班級(jí)的選法有C0C種C．高一年級(jí)最多有2個(gè)班級(jí)的選法為C種D．高一年級(jí)最多有2個(gè)班級(jí)的選法為C0C+C0C0+C0種ABC暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排一名志愿者，則下列選項(xiàng)正確的是()A．共有18種安排方法B．若甲、乙被安排在同社區(qū)，則有6種安排方法C．若A社區(qū)需要兩名志愿者，則有24種安排方法D．若甲被安排在A社區(qū)，則有12種安排方法5．將8個(gè)人分成三組，其中一組由2人組成，另外兩組都由3人組成，則不同的分組方法種數(shù)為_(kāi)_____.6．2022年12月某機(jī)構(gòu)關(guān)于中國(guó)新國(guó)貨品牌“金榜題名”頒獎(jiǎng)典禮準(zhǔn)備以線上直播的形式舉辦，并邀請(qǐng)榜單中的A,B,C,D,E五家企業(yè)發(fā)言，則A在C之前發(fā)言(不一定相鄰，下同)，且B在C之后發(fā)言的方法種數(shù)為_(kāi)_________.(用數(shù)字作答)7．如圖，2根繩子上共掛有7只氣球，繩子上的氣球數(shù)依次為3，4.每槍恰打破一只氣球，而且同一條繩上，只有打破下面的氣球才能打上面的氣球，將這些氣球都打破的不同打法有______種(請(qǐng)用數(shù)字作答).8．某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，該崗位共有四名工作人員可以排夜班，已知同一個(gè)人不能連續(xù)安排三天的夜班，則這五天排夜班方式的種數(shù)為_(kāi)_____．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個(gè).2．某校甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)生自愿參加植樹(shù)活動(dòng)，有A，B，C這3處植樹(shù)地點(diǎn)供選擇，每人只能選其中一處地點(diǎn)參與植樹(shù)，且甲不在A地、乙不在B地植樹(shù)，則不同的選擇方式共有__________種.3．一雜技團(tuán)有8名會(huì)表演魔術(shù)或口技的演員，其中有6人會(huì)表演口技，有5人會(huì)表演魔術(shù)，現(xiàn)從這8人中選出2人上臺(tái)表演，1人表演口技，1人表演魔術(shù)，則不同的安排方法有______種．4．某興趣小組有10名學(xué)生，若從10名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的概率為，且女生人數(shù)超過(guò)1人，現(xiàn)在將10名學(xué)生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的左右相對(duì)順序固定，則共有______種不同的站隊(duì)方法.5．給正方體的八個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)不同色，現(xiàn)有三種顏色可供選擇，不同的涂色方法有________種．6．如圖，給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，若有四種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有______種.7．將5個(gè)不同的小球全部放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子中所放的球的個(gè)數(shù)不大于其編號(hào)數(shù)，則共有_________種不同的放法.8．某校高二年級(jí)共有10個(gè)班級(jí)，5位教學(xué)教師，每位教師教兩個(gè)班級(jí)，其中姜老師一定教1班，張老師一定教3班，王老師一定教8班，秋老師至少教9班和10班中的一個(gè)班，曲老師不教2班和6班，王老師不教5班，則不同的排課方法種數(shù)______．專題27排列組合綜合應(yīng)用歸類【題型一】坐座位是否相鄰模型【典例分析】中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂(lè)”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有()A．408種B．240種C．1092種.D．120種【提分秘籍】基本規(guī)律常見(jiàn)排列數(shù)的求法為：(1)相鄰問(wèn)題采取“捆綁法”；(2)不相鄰問(wèn)題采取“插空法”；(3)有限制元素采取“優(yōu)先法”；【變式訓(xùn)練】1.5個(gè)女孩與6個(gè)男孩圍成一圈，任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則不同排法有______種(填數(shù)字)．2.某學(xué)校籌備元旦晚會(huì)節(jié)目單時(shí)，準(zhǔn)備在前五個(gè)節(jié)目排三個(gè)歌唱節(jié)目，一個(gè)小品節(jié)目以及一個(gè)相聲節(jié)目，若三個(gè)歌唱節(jié)目最多有兩個(gè)相鄰，則不同的排法總數(shù)為()CD3.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有A．72種B．108種C．36種D．144種【題型二】先分組后排列型【典例分析】舉世矚目的第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至2月20日在北京舉辦，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大學(xué)生志愿者前往A、B、C三個(gè)場(chǎng)館服務(wù)，每一位志愿者只去一個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同學(xué)和乙同學(xué)不能去同一場(chǎng)館，則所有不同的安排方法種數(shù)為(ABC．108D．54【提分秘籍】基本規(guī)律先分組后排列模型，多涉及到“抽屜原則型”分，即類球放盒子，球多盒子少的分配，有多球在一個(gè)盒子中。滿足以下特征：1.一個(gè)球一個(gè)放一個(gè)盒子2.盒子可能有空，但是一般情況下球不能剩余。3.球數(shù)量比盒子多。方法：1.需要用幾個(gè)盒子放球，通過(guò)組合數(shù)剔除掉多余的盒子2.根據(jù)放球盒子數(shù)，把球分組，分組數(shù)與放球盒子數(shù)相同3.如果涉及到分組的兩組甚至多組球數(shù)量相等，注意用平均分組模型：除以相同組數(shù)的全排列4.再把分組的按照組數(shù)全排列即可【變式訓(xùn)練】1..某小區(qū)共有3個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行檢測(cè)，有6名志愿者被分配到這3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)參加服務(wù)，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進(jìn)行檢測(cè)工作的傳授，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，則不同的分配方案種數(shù)是()ABC．216D．4322.疫情之下，口罩成為家家戶戶囤貨清單中必不可少的一項(xiàng)，某新聞?dòng)浾邽檎{(diào)查不同口罩的防護(hù)能力，分別在淘寶、京東、拼多多等購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)買了7種口罩，安排4人進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，且每人至少統(tǒng)計(jì)1種口罩的相關(guān)數(shù)據(jù)(不重復(fù)統(tǒng)計(jì))，則不同的安排方法有()A．6000種B．7200種C．7800種D．8400種3.在某互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)上，為了提升安保級(jí)別，將甲、乙等5名特警分配到3個(gè)不同的路口執(zhí)勤，每個(gè)人只能分配到1個(gè)路口，每個(gè)路口最少1人，且甲和乙不能安排在同一個(gè)路口，則不同的安排方法有()A．180種B．150種C．96種D．114種【題型三】球放盒子基礎(chǔ)型【典例分析】.某日，甲、乙、丙三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗且每個(gè)單位只能被隨機(jī)預(yù)約到一家醫(yī)院，每家醫(yī)院每日至多接待兩個(gè)單位．已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預(yù)約方案種數(shù)為()ABC．18D．16【提分秘籍】基本規(guī)律球放盒子模型應(yīng)用比較多，許多的“人坐座位”模型其實(shí)就是“球放盒子”型。結(jié)合題意，確認(rèn)是按照先分組后排列模型，還是特殊元素優(yōu)先排特殊位置優(yōu)先站的分類討論型。，【變式訓(xùn)練】1.、乙、丙、丁4名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有A，B，C三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū)去服務(wù)．則甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的概率為()134959 【題型五】節(jié)假日值班型2.將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球，至多2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)有()A．30種B．90種C．180種D．270種三個(gè)項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人.則學(xué)生甲不會(huì)被安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者的概率為()342356 2【題型四】球放盒子：電梯、公交車型【典例分析】某大樓共有12層，有11人在第一層上了電梯，他們分別要去第2至12層，每層1人，因特殊原因，電梯只能停在某一層，其余10人都要步行到所要去的樓層，假設(shè)初始的“不滿意度”為0，每位乘客每向下步行一層的“不滿意度”增量為1，每向上步行1層的“不滿意度”增量為2，要使得10人“不滿意度”之和最小，電梯應(yīng)該停在第幾層()ABC．9D．10【提分秘籍】基本規(guī)律電梯，公交車基本型，是指數(shù)型。n個(gè)人從m層下電梯，總共有mn，有限制條件，則可以先分組在排列，或者剔除掉受限制的樓層，再先分組后排列或者分類討論【變式訓(xùn)練】1.甲、乙、丙3人從1樓乘電梯去商場(chǎng)的3到9樓，每層樓最多下2人，則下電梯的方法有A．210種B．84種C．343種D．336種2.甲、乙兩位同學(xué)到莆田市湄洲島當(dāng)志愿者，他們同時(shí)從“媽祖祖廟”站上車，乘坐開(kāi)往“黃金沙灘”站方向的3路公交車(線路圖如下)．甲將在“供水公司”站之前的任意一站下車，乙將在“鵝尾神化石”站之前的任意一站下車．假設(shè)每人自“管委會(huì)”站開(kāi)始在每一站點(diǎn)下車是等可能的，則甲比乙后下車的概率為()D3.有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發(fā)(G77只會(huì)在長(zhǎng)沙、廣州、深圳停)，分別在每個(gè)停的站點(diǎn)至少下一個(gè)人，則不同的下車方案有()A．24種B．36種C．81種D．256種【典例分析】某公司安排6位員工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，則6位員工中甲不在1日值班的概率為()13233456專題48隨機(jī)事件的概率與古典概型-2022年(新高考)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)重點(diǎn)題型【提分秘籍】基本規(guī)律節(jié)假日值班是排列組合的綜合應(yīng)用型：1.直接法:把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算;2.優(yōu)先法:優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置;3.捆綁法:把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列;4.插空法:對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)5.定序問(wèn)題除法處理:對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.間接法:正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法.【變式訓(xùn)練】1.某辦公室為保障財(cái)物安全，需在春節(jié)放假的七天內(nèi)每天安排一人值班．已知該辦公室共有四個(gè)人，每人需值班一天或兩天，則不同的值班安排種數(shù)為()ABC．2520D．151202.甲、乙、丙三人值班，從周一到周六按每人分別值班2天排班，若甲不在周一值班，則不同的排班方案有()A．15種B．30種C．45種D．60種3.某單位在春節(jié)七天的假期間要安排值班表，該單位有值班領(lǐng)導(dǎo)3人，值班員工4人，要求每位值班領(lǐng)導(dǎo)至少值兩天班，每位值班員工至少值一天班，每天要安排一位值班領(lǐng)導(dǎo)和一位值班員工一起值班，且一人值多天班時(shí)要相鄰的安排方案有()A．249種B．498種C．1052種D．8640種【典例分析】因演出需要，身高互不相等的9名演員要排成一排成一個(gè)“波浪形”，即演員們的身高從最左邊數(shù)起：第一個(gè)到第三個(gè)依次遞增，第三個(gè)到第七個(gè)依次遞減，第七、八、九個(gè)依次遞增，則不同的排列方式有()種．ABC．243D．217【變式訓(xùn)練】1.2020年疫情期間，某縣中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務(wù)人員支援武漢六個(gè)不同的方艙醫(yī)院，每個(gè)方艙醫(yī)院分配一人.第一批派出一名醫(yī)務(wù)人員的年齡為P1，第二批派出兩名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為P2，第三批派出三名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為P3，則滿足P1P2P3的分配方案的概率為()2.．幾只猴子在一棵枯樹(shù)上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝A，B，C；(2)乙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝D，E，F(xiàn)；(3)丙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝G，A，C；(4)丁在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝B，D，H；(5)戊在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝I，C，E,則這九棵樹(shù)枝從高到低不同的順序共有()ABC．32D．333.身高從矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相間的一個(gè)隊(duì)形，則甲、丁不相鄰的不同的排法種數(shù)為ABC．16D．18【題型七】相同元素：空坐位(空車位)型【典例分析】一個(gè)停車場(chǎng)有5個(gè)排成一排的空車位，現(xiàn)有2輛不同的車停進(jìn)這個(gè)停車場(chǎng)，若停好后恰有2個(gè)相鄰的停車位空著，則不同的停車方法共有A．6種B．12種C．36種D．72種【提分秘籍】基本規(guī)律空座位空車位型，屬于相同元素的排列，遵循相同元素?zé)o排列原則。如果多個(gè)空位連在一起，則可以采取插孔不同空位法?！咀兪接?xùn)練】1.某等候區(qū)有7個(gè)座位(連成一排)，甲、乙、丙三人隨機(jī)就坐，因受新冠疫情影響，要求他們每?jī)扇酥g至少有一個(gè)空位，則不同的坐法有()A．4種B．10種C．20種D．60種2.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人入座，則恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法的種數(shù)是()AB．48C2D．1203.電影院一排10個(gè)位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，那么他們每人左右兩邊都有空位且甲坐在中間的坐法的種數(shù)為()ABC．32D．20【題型八】配對(duì)(不配對(duì))型【典例分析】從6雙不同鞋子中任取4只，使其中至少有2只鞋配成一雙的概率是(). 337【題型十】相同元素型【提分秘籍】基本規(guī)律配對(duì)性步驟：1.先選取配對(duì)的組數(shù)。用組合數(shù)。2.再?gòu)氖Ｓ嘀羞x取未能配對(duì)的組數(shù)，每一組只能選取一只。3.如果有復(fù)雜的限制條件，可以采取樹(shù)圖法分類討論【變式訓(xùn)練】1.．從不同號(hào)碼的5雙鞋中任取4只，其中恰好有1雙的取法種數(shù)為()2.—對(duì)夫婦帶著他們的兩個(gè)小孩一起去坐纜車，他們隨機(jī)地坐在了一排且連在一起的4個(gè)座位上(一人一座)．為安全起見(jiàn)，管理方要求每個(gè)小孩旁邊要有家長(zhǎng)相鄰陪坐，則他們4人的坐法符合安全規(guī)定的概率是3.新冠疫情期間，網(wǎng)上購(gòu)物成為主流．因保管不善，五個(gè)快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個(gè)快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個(gè)地方，全部送錯(cuò)的概率是() 133025【典例分析】2019年10月1日，中華人民共和國(guó)成立70周年，舉國(guó)同慶.將2，0，1，9，10這5個(gè)數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成一個(gè)6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為()ABC．120D．360安徽省蕪湖市第一中學(xué)2020屆高三下學(xué)期3月第五次線上考試數(shù)學(xué)試題【提分秘籍】基本規(guī)律復(fù)雜的分類討論。要注意0在開(kāi)頭是否符合題意，還要對(duì)1,0的組合與10相鄰不相鄰的分類討論【變式訓(xùn)練】為0)，則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.2.將六個(gè)數(shù)0、1、2、9、19、20將任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個(gè)數(shù)是()【典例分析】用數(shù)字1，2，3排成一個(gè)五位數(shù)，要求每個(gè)數(shù)字至少用一次，則不同的五位數(shù)有()A．180個(gè)B．150個(gè)C．120個(gè)D．90個(gè)【變式訓(xùn)練】1.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()2.已知一袋中有標(biāo)有號(hào)碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，當(dāng)四種號(hào)碼的卡片全部取出時(shí)即停止，則恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為_(kāi)_____.3.由1,1,2,2,3,3,4,4可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．分階培優(yōu)練一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．某校大一新生A，B，C，D欲加入該校的文學(xué)社、書(shū)法社、羽毛球社．已知這4名大一新生每人只加入了1個(gè)社團(tuán)，則這4名大一新生恰好加入其中2個(gè)社團(tuán)的不同情況有()A．21種B．30種C．42種D．60種2．將英文單詞“rabbit”中的6個(gè)字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有()A．120種B．240種C．480種D．960種3．如圖，三根繩子上共掛有6只氣球，繩子上的球數(shù)依次為1，2，3，每槍只能打破一只氣球，而且規(guī)定只有打破下面的氣球才能打上面的氣球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是()ABC．90D．1204．導(dǎo)師制是高中新的教學(xué)探索制度，班級(jí)科任教師作為導(dǎo)師既面向全體授課對(duì)象，又對(duì)指定的若干學(xué)生的個(gè)性、人格發(fā)展和全面素質(zhì)提高負(fù)責(zé)．已知有3位科任教師負(fù)責(zé)某學(xué)習(xí)小組的6名同學(xué)，每2名同學(xué)由1位科任教師負(fù)責(zé)，則不同的分配方法的種數(shù)為()ABC．60D．1805．將6個(gè)人(含甲乙兩人)平均分成3組，則甲乙不在同一組的概率為()6．8個(gè)人坐成一排，現(xiàn)要調(diào)換其中3個(gè)人中每一個(gè)人的位置，其余5個(gè)人的位置不變，則不同調(diào)換方式有()7．某醫(yī)院安排甲、乙等4名醫(yī)生到2個(gè)社區(qū)去義診，每個(gè)社區(qū)至少安排1名醫(yī)生，且每名醫(yī)生只到1個(gè)社區(qū)義診，則甲、乙被安排在同一個(gè)社區(qū)義診的概率是()8．中國(guó)古代哲學(xué)用五行“金、木、水、火、土”來(lái)解釋世間萬(wàn)物的形成和聯(lián)系，如圖，現(xiàn)用3種不同的顏色給五“行”涂色，要求相鄰的兩“行”不能同色，則不同的涂色方法種數(shù)有()ABC．30D．201．現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數(shù)可以表示為()B．AA2．為了貫徹常態(tài)化疫情防控工作，動(dòng)員廣大醫(yī)護(hù)人員抓細(xì)抓實(shí)各項(xiàng)防疫工作，人民醫(yī)院組織護(hù)理、感染、兒科、疾控、藥劑、呼吸六位專家進(jìn)行“防疫有我，健康同行”知識(shí)講座，每天一人，連續(xù)6天.則下列結(jié)論正確的是()A．從六位專家中選兩位的不同選法共有20種B．“呼吸類專家”不排在最后一天的不同排法共有600種C．“護(hù)理、感染類專家”排在相鄰兩天的不同排法共有240種D．“護(hù)理、感染、兒科類專家”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種3．下列說(shuō)法正確的是()B．將10個(gè)團(tuán)員指標(biāo)分到3個(gè)班，每班要求至少得2個(gè)，有15種分配方法.C．小明去書(shū)店看了4本不同的書(shū)，想借回去至少1本，有16種方法.D．甲、乙、丙、丁各寫了一份賀卡，四人互送賀卡，每人各拿一張賀卡且每人不能拿到自己寫的賀卡，有9種不同的方法.是()B．若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，則這樣的數(shù)列共有288個(gè)C．若該數(shù)列恰好先減后增，則這樣的數(shù)列共有50個(gè)D．若a1a2a3,a3a4a5,a5a6a7，則這樣的數(shù)列共有71個(gè)5．“內(nèi)卷”作為高強(qiáng)度的競(jìng)爭(zhēng)使人精疲力竭.為了緩解了教育的“內(nèi)卷”現(xiàn)象，2021年7月24日，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》.某初中學(xué)校為了響應(yīng)上級(jí)的號(hào)召，每天減少了一節(jié)學(xué)科類課程，增加了一節(jié)活動(dòng)課，為此學(xué)校特開(kāi)設(shè)了乓乓球，羽毛球，書(shū)法，小提琴四門選修課程，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，初一到初三3學(xué)年將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有_______種6．安排A，B，C，D，E五名志愿者到甲，乙兩個(gè)福利院做服務(wù)工作，每個(gè)福利院至少安排一名志愿者，則A，B被安排在不同的福利院的概率為_(kāi)_____．7．將紅、黃、藍(lán)三種顏色的涂料都涂在下圖的六個(gè)區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，要求有三個(gè)區(qū)域涂同一顏色，且相鄰的兩個(gè)區(qū)域不同色，共有_________涂法(用數(shù)字作答)．8．為美化重慶市忠縣忠州中學(xué)校銀山校區(qū)的校園環(huán)境，在學(xué)校統(tǒng)一組織下，安排了高二某班勞動(dòng)課在如圖所示的花壇中種花，現(xiàn)有4種不同顏色的花可供選擇，要求相鄰區(qū)域顏色不同，則有______種不同方案．三階——培優(yōu)拔尖練1．2022年12月某機(jī)構(gòu)關(guān)于中國(guó)新國(guó)貨品牌“金榜題名”頒獎(jiǎng)典禮準(zhǔn)備以線上直播的形式舉辦，并邀請(qǐng)榜單中的A,B,C,D,E五家企業(yè)發(fā)言，則A在C之前發(fā)言(不一定相鄰，下同)，且B在C之后發(fā)言的方法種數(shù)為_(kāi)_________.(用數(shù)字作答)2．小王、小楊、小李三人同在某公司上班，若該公司規(guī)定，每位職工可以在每周七天中任選兩天休息(如選定星期一、星期三)，以后不再改動(dòng)，則他們選定的兩個(gè)休息日相同的概率是______3．黨的二十大報(bào)告指出，建設(shè)教育強(qiáng)國(guó)是民族復(fù)興的偉大基礎(chǔ)工程.某師范院校為了支持鄉(xiāng)村教育振興計(jì)劃，擬委派10名大學(xué)生到偏遠(yuǎn)山區(qū)支教，其中有3名研究生.現(xiàn)將這10名大學(xué)生分配給5個(gè)鄉(xiāng)村小學(xué)，每校2人，則不同的研究生分配情況有______種(用數(shù)字作答).4．某興趣小組有10名學(xué)生，若從10名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的概率為，且女生人數(shù)超過(guò)1人，現(xiàn)在將10名學(xué)生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的左右相對(duì)順序固定，則共有______種不同的站隊(duì)方法.5．如圖，由66=36個(gè)邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形組成一個(gè)大正方形．某機(jī)器人從C點(diǎn)出發(fā)，沿若小正方形的邊走到D點(diǎn)，每次可以向右走一個(gè)單位或者向上走一個(gè)單位．如果要求機(jī)器人不能接觸到線段AB，那么不同的走法共有______種．6．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，要求甲不當(dāng)語(yǔ)文科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，若丙當(dāng)物理科代表則丁必須當(dāng)化學(xué)科代表，則不同的選法共有_____種7．某校高二年級(jí)共有10個(gè)班級(jí)，5位教學(xué)教師，每位教師教兩個(gè)班級(jí)，其中姜老師一定教1班，張老師一定教3班，王老師一定教8班，秋老師至少教9班和10班中的一個(gè)班，曲老師不教2班和6班，王老師不教5班，則不同的排課方法種數(shù)______．8．一個(gè)非負(fù)整數(shù)的有序數(shù)對(duì)(x,y)，如果在做x與y的加法時(shí)不用進(jìn)位，則稱(x,y)為“中國(guó)夢(mèng)數(shù)對(duì)”，x+y稱為“中國(guó)夢(mèng)數(shù)對(duì)”(x,y)的和，則和為2018的“中國(guó)夢(mèng)數(shù)對(duì)”的個(gè)數(shù)有____________(注：用數(shù)字作答).【題型二】積型求某項(xiàng)專題28二項(xiàng)式定理歸類【題型一】二項(xiàng)式通項(xiàng)公式【典例分析】(2)5二項(xiàng)式|\-3x)|(2)5【提分秘籍】基本規(guī)律二項(xiàng)式定理(1)這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理．(2)展開(kāi)式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式，展開(kāi)式中一共有n＋1項(xiàng)．(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)Ckn(k∈{0，1，2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)(a＋b)n展開(kāi)式的第_k＋1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，記作Tk＋1＝Cknan-kbk.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【變式訓(xùn)練】1.將二項(xiàng)式|\x+1.將二項(xiàng)式|\x+24x)|的展開(kāi)式中所有項(xiàng)重新排成一列，有理式不相鄰的排法種數(shù)為()3.．在x2-))|6的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)為()【典例分析】【變式訓(xùn)練】1.．(x_y)(x+y)8的展開(kāi)式中x3y6的系數(shù)為()2.在(1+x)2(1_x)3展開(kāi)式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)是()ABCD．1ABC．8D．12【典例分析】．(x_1)10的展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()．ABC．512D．1024【提分秘籍】基本規(guī)律各二項(xiàng)式系數(shù)的和【變式訓(xùn)練】1.已知(x2+)n的展開(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則x7的系數(shù)為()ABC．60D．802.已知x2_))|n(n=N*)的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開(kāi)式中x3的系數(shù)為()3.已知二項(xiàng)式x+))|m的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式中含x3項(xiàng)的系數(shù)是()【題型四】展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和【典例分析】(1)n在|\3x+x)|(1)nABC．135D．405【提分秘籍】基本規(guī)律二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)，可以借助展開(kāi)式來(lái)觀察理解【變式訓(xùn)練】ABC．242D．2432.已知二項(xiàng)式3-))|n的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則該展開(kāi)式中x的系數(shù)為()3.已知x+))|2x-))|5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()【題型五】賦值法求部分項(xiàng)系數(shù)和【典例分析】ABC．64D．128【提分秘籍】基本規(guī)律賦值法原理：nxn2.2.【變式訓(xùn)練】x=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，則a0+a1+a2+…+a7=()AB．2187C．78125D．823543aaABCD．一3xxa0+a1x+a2x2+…+a9x9，則a2+a4+a6+a8=()【題型六】換元型賦值求系數(shù)與系數(shù)和【典例分析】已知(2一x)2023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2023(x+1)2023，則a0+a1+a2+…+a2023=()【提分秘籍】基本規(guī)律換元賦值法原理形如(a+bx)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n可以通過(guò)令x+1=t，化為簡(jiǎn)單形式【變式訓(xùn)練】其中正確的個(gè)數(shù)有()3.．已知(x一1)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為64，若【題型七】求系數(shù)最大項(xiàng)【典例分析】n項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第()項(xiàng).ABC．5D．6【變式訓(xùn)練】1.已知一))|n的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最小值為()2.已知m為正整數(shù)，(x+y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x+y)2m+1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，且13a=7b，則m的值為()ABC．6D．7ABC．247D．255【題型八】楊輝三角形應(yīng)用【典例分析】“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項(xiàng)式展開(kāi)式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是()B．在第2022行中第1011個(gè)數(shù)最大C個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于9行的第8個(gè)數(shù)【變式訓(xùn)練】1.將三項(xiàng)式展開(kāi)，得到下列等式：(a2+a+1)1=a2+a+1(a2+a+1)2=a4+2a3+3a2+2a+1(a2+a+1)3=a6+3a5+6a4+7a3+6a2+3a+1…觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法為：第0行為1，以下各行每個(gè)數(shù)是它正上方與左右兩肩上的3個(gè)數(shù)(不足3個(gè)數(shù)時(shí)，缺少的數(shù)以0計(jì))之和，第k行共有2k+1個(gè)數(shù)．則關(guān)于x的多項(xiàng)式(a2+ax3)(x2+x+1)5的展開(kāi)式中，x8項(xiàng)的系數(shù)()2.當(dāng)nN時(shí)，將三項(xiàng)式(x2+x+1)n展開(kāi)，可得到如圖所示的三項(xiàng)展開(kāi)式和“廣義楊輝三角形”：若在(1+ax)(x2+x+1)5的展開(kāi)式中，x8的系數(shù)為75，則實(shí)數(shù)a的值為()3.如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，若第n行中從左至右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2:3，則n的值為_(kāi)__________.【題型九】三項(xiàng)展開(kāi)式【典例分析】下列各式中，不是(a2+2a-b)4的展開(kāi)式中的項(xiàng)是()【提分秘籍】【提分秘籍】基本規(guī)律三項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：【變式訓(xùn)練】xy2.在(1+x-x2)6的展開(kāi)式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為()zABC．28D．21分階培優(yōu)練一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練ABCD-2(1)62．|\2-)|(1)64．在(1+x)4(1+2y)a(a=N)的展開(kāi)式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n)，若f(0,1)+f(1,0)=6，則a的值為()CD7．已知(a+b)n的展開(kāi)式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=()ABC．12D．13(1)8(1)8A．第3項(xiàng)B．第4項(xiàng)C．第5項(xiàng)D．第6項(xiàng)2．在+x))|6的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是()A．常數(shù)項(xiàng)為160B．第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大C．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為26D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為36ax4．下列說(shuō)法中正確的有()D．(1+x)4展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)5．(1+x+y2)5展開(kāi)式中x2y4的系數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答).三階——培優(yōu)拔尖練中各元素的乘積依次為m1、m2、L、m1023，則m1+m2+…+m1023的值為_(kāi)__________.SnnN則使得Sn能被n+2整除的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是________．5．如圖，我們?cè)诘谝恍刑顚懻麛?shù)0到n(n>1)，在第二行計(jì)算第一行相鄰兩數(shù)的和，像在Pasoal三角(楊輝三角)中那樣，如此進(jìn)行下去，在最后一行我們會(huì)得到的整數(shù)是______.0123Ln一1n135L2n一148LL6．已知y,f,d為正整數(shù)，f(x)=(1+x)y+(1+x)f+(1+x)d.其中x的系數(shù)為10，則x2的系數(shù)的最大可能值與最小可能值之和為_(kāi)__________.Drn叫做三項(xiàng)式系數(shù)，則專題29條件概率全概率與貝葉斯公式【題型一】條件概率性質(zhì)【典例分析】 24 24【提分秘籍】基本條件概率的性質(zhì)(1)設(shè)P(A)>0，則P(ΩA)=1．(3)設(shè)B和B互為對(duì)立事件，則P(BA)=1-P(BA)．(4)0<P(A)共1．【變式訓(xùn)練】2.已知隨機(jī)事件A，B的概率分別為P(A),P(B)，且P(A)P(B)士0，則下列說(shuō)法中正確的是()A．P(A|B)<P(AB)B．P(B|A)=P(A|B)3.已知A，B分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，P(A)>0，P(B)>0，則下列說(shuō)法正確的是()【題型二】古典概型中的條件概率：取球型【典例分析】袋中有4個(gè)黑球，3個(gè)白球.現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點(diǎn)就從袋中取出幾個(gè)球.若已知取出的球全是白球，則擲出2點(diǎn)的概率為()23 14 23【提分秘籍】基本規(guī)律對(duì)于古典概型類，可以采用基本事件總數(shù)的方法來(lái)計(jì)算.P(B|A)=，其中N(AB)表示事件AB所包含的基本事件個(gè)數(shù)。N(A)表示事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)【變式訓(xùn)練】1.袋中有5個(gè)球，其中紅、黃、藍(lán)、白、黑球各一個(gè)，甲、乙兩人按序從袋中有放回的隨機(jī)摸取一球，記事件A:甲和乙至少一人摸到紅球，事件B:甲和乙摸到的球顏色不同，則條件概率P(BA)=()2.一個(gè)袋子中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些小球除顏色外沒(méi)有其他差異．從中不放回地抽取2個(gè)球，每次只取1個(gè)．設(shè)事件A=“第一次抽到紅球”，B=“第二次抽到紅球”，則概率P(B|A)是()D3.袋子中裝有大小、形狀完全相同的2個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個(gè)球，已知第一次摸到的是紅球，則第二次摸到白球的概率為()【典例分析】將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個(gè)村莊進(jìn)行義診活動(dòng)，每個(gè)村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則()A．事件A與B相互獨(dú)立B．事件A與C相互獨(dú)立【變式訓(xùn)練】1.有甲乙丙丁4名人學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會(huì)志愿服務(wù)，志愿者指揮部隨機(jī)派這4名志愿者參加冰壺，短道速滑、花樣滑冰3個(gè)比賽項(xiàng)目的志愿服務(wù)，假設(shè)每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能參與其中一個(gè)項(xiàng)目，求在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺的概率()2.2020年初，我國(guó)派出醫(yī)療小組奔赴相關(guān)國(guó)家，現(xiàn)有四個(gè)醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁，和有4個(gè)需要援助的國(guó)家可供選擇，每個(gè)醫(yī)療小組只去一個(gè)國(guó)家，設(shè)事件A＝“4個(gè)醫(yī)療小組去的國(guó)家各不相同”，事件B＝“小組甲獨(dú)自去一個(gè)國(guó)家”，則P(AB)=()49593.2020年初，我國(guó)派出醫(yī)療小組奔赴相關(guān)國(guó)家，現(xiàn)有四個(gè)醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁，和有4個(gè)需要援助的國(guó)家可供選擇，每個(gè)醫(yī)療小組只去一個(gè)國(guó)家，設(shè)事件A＝“4個(gè)醫(yī)療小組去的國(guó)家各不相同”，事件B＝“小組甲獨(dú)自去一個(gè)國(guó)家”，則P(A|B)＝()【題型四】條件概率列表型【典例分析】已知某家族有A、B兩種遺傳性狀，該家族某位成員出現(xiàn)A性狀的概率為，出現(xiàn)B性狀的概率為，A、B兩種遺傳性狀都不出現(xiàn)的概率為．則該成員在出現(xiàn)A性狀的條件下，出現(xiàn)B性狀的概率為() 1438 234【變式訓(xùn)練】1.某射擊選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是，連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是，已知該選手某次擊中10環(huán)，則隨后一次擊中10環(huán)的概率是()452.甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.8，在目標(biāo)被擊中的條件下，甲、乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為()2325213.．某人連續(xù)兩次對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，若第一次擊中目標(biāo)，則第二次也擊中目標(biāo)的概率為0.7，若第一次未擊中目標(biāo)，則第二次擊中目標(biāo)的概率為0.5，已知第一次擊中目標(biāo)的概率為0.8，則在第二次擊中目標(biāo)的條件下，第一次也擊中目標(biāo)的概率為()25332539【題型五】全概率公式基礎(chǔ)型【典例分析】長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約30%的人近視，而該校大約有40%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)2h，這些人的近視率約為60%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)2h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為()D【提分秘籍】基本規(guī)律全概率公式ij(2)A1UA2U…UAn=．(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n．則對(duì)任意事件BΩ，都有P(B)=nP(Ai)P(BAi)，則稱該公式為全概i=1率公式_．上述公式可借助圖形來(lái)理解：【變式訓(xùn)練】1.設(shè)某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器，第一車間的次品率為0.15，第二車間的次品率為0.12，兩個(gè)車間的成品都混合堆放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，假設(shè)第一，二車間生產(chǎn)的成品比例為2:3，今有一客戶從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，則該產(chǎn)品合格的概率為()ABCD.8882.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%；加工出來(lái)的零件混放在一起，且第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.現(xiàn)從加工出來(lái)的零件中任取一個(gè)零件，則取到的零件是次品的概率為()A．0.0415B．0.0515C．0.0425D．0.05253.設(shè)某醫(yī)院倉(cāng)庫(kù)中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再?gòu)倪@盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為()【題型六】貝葉斯公式【典例分析】一道考題有4個(gè)答案，要求學(xué)生將其中的一個(gè)正確答案選擇出來(lái).某考生知道正確答案的概率為時(shí)，4個(gè)答案都有機(jī)會(huì)被他選擇，若他答對(duì)了，則他確實(shí)知道正確答案的概率是()132334 14【提分秘籍】基本規(guī)律貝葉斯公式【變式訓(xùn)練】AAAABBBBCCCC三者之一，傳輸三者的概率分別為0.3，0.4，0.3.由于通道噪聲的干擾，正確地收到被傳輸字符的概率為0.6，收到其他字符的概率為0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影響．若收到的字符為ABCA，則傳輸?shù)淖址茿AAA的概率為_(kāi)_______．2.設(shè)某公路上經(jīng)過(guò)的貨車與客車的數(shù)量之比為2:1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01.今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為_(kāi)_______．3.已知在自然人群中，男性色盲患者出現(xiàn)的概率為7%，女性色盲患者出現(xiàn)的概率為0.5%．今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，則此人是男性的概率是______．【題型七】概率綜合題【典例分析】2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者活動(dòng)．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過(guò)F事20件B；從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分(路口除外)，則P(BA)=A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【變式訓(xùn)練】1.．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球(球除顏色外，大小質(zhì)地均相同)．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1,A2和A3表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()⑤P(A1|B)=ABC．3D．22．拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，在有一枚正面朝上的條件下，另外兩枚也正面朝上的概率是()【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，考查分析和計(jì)算能力．分階培優(yōu)練一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.已知P(A|B)=，P(B)=，則P(AB)=()2．某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對(duì)其中3道題有思路，1道題完全沒(méi)有思路．有思路的題目每道做對(duì)的概率為0.8，沒(méi)有思路的題目，只好任意猜一個(gè)答案，猜對(duì)的概率為0.25．若從這4道題中任選2道，則這個(gè)學(xué)生2道題全做對(duì)的概率為()ABC．0.42D．0.433．某地?cái)偧悬c(diǎn)在銷售旺季的某天接納顧客量超過(guò)1萬(wàn)人次的概率是9，連續(xù)兩天顧客量超過(guò)1萬(wàn)人次的概率是，在該地?cái)偧悬c(diǎn)在銷售旺季的某天接納顧客量超過(guò)1萬(wàn)人次的條件下，隨后一天的接納顧客量超過(guò)1萬(wàn)人次概率是().4．已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是90%，則從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格產(chǎn)品的概率是()5．將甲、乙、丙、丁4名志愿者隨機(jī)派往①，②，③三個(gè)社區(qū)進(jìn)行核酸信息采集，每個(gè)社區(qū)至少派1名志愿者，A表示事件“志愿者甲派往①社區(qū)”；B表示事件“志愿者乙派往①社區(qū)”；C表示事件“志愿者乙派往②社區(qū)”，則()B．事件A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為CA與B相互獨(dú)立D．事件A與C為互斥事件 體重(單位:kg)6．目前，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI=身高2(單位:m2)來(lái)衡量成人人體胖瘦程度以及是否健康．某公司對(duì)員工的BMI值調(diào)查結(jié)果顯示，男員工中，肥胖者的占比為；女員工中，肥胖者的占比為．已知該公司男、女員工的人數(shù)比例為3:2，為了解員工肥胖原因，現(xiàn)從該公司中任選一名肥胖的員工，則該員工為男性的概率為()7．從分別標(biāo)有1,2,3,…,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則在抽取第1張為偶數(shù)的前提條件下，抽到第2張卡片上的數(shù)也為偶數(shù)的概率為()38 16 241．2022年6月，某學(xué)校為宣傳我國(guó)第三艘航空母艦“中國(guó)人民解放軍海軍福建艦”下水試航，增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)防意識(shí)，組織了一次“逐夢(mèng)深藍(lán)，山河榮耀”國(guó)防知識(shí)競(jìng)賽，對(duì)100名學(xué)生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，為進(jìn)一步了解學(xué)生的答題情況，通過(guò)分層抽樣，從成績(jī)?cè)趨^(qū)間[70,90)內(nèi)的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中先后抽取2人的成績(jī)作分析，下列結(jié)論正確的是()A．頻率分布直方圖中的x=0.030B．估計(jì)100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是85C．估計(jì)100名學(xué)生成績(jī)的80%分位數(shù)是95D．從6人中先后抽取2人作分析時(shí)，若先抽取的學(xué)生成績(jī)位于[70,80)，則