福建專版2024春七年級數(shù)學(xué)下冊第一章整式的乘除素養(yǎng)集訓(xùn)利用乘法公式及其變形進(jìn)行計算作業(yè)課件新版北師大版

第一章整式的乘除素養(yǎng)集訓(xùn)利用乘法公式及其變形進(jìn)行計算

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2.【2023·成都青羊區(qū)期末】對完全平方公式（a±b）2

＝a2±2ab＋b2適當(dāng)變形，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題.

請嘗試解決：（1）若a＋b＝5，ab＝2，求a2＋b2的值.解：（1）因為a＋b＝5，ab＝2，所以a2＋b2＝a2＋b2＋2ab－2ab＝（a＋b）2－2ab＝52－2×2＝21；1234567891011解：（2）因為（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，a＋b＝70，a2＋b2＝502，所以702＝502＋2ab，解得ab＝1200.2.【2023·成都青羊區(qū)期末】對完全平方公式（a±b）2

＝a2±2ab＋b2適當(dāng)變形，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題.

請嘗試解決：（2）若a＋b＝70，a2＋b2＝502，求ab的值.1234567891011題型2巧用乘法公式進(jìn)行簡便計算3.【教材P34復(fù)習(xí)題T9變式】計算：（1）2012－198×202；解：原式＝（200＋1）2－（200－2）×（200＋2）＝2002＋400＋1－2002＋4＝405；1234567891011

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1234567891011題型3巧用乘法公式解決整除問題5.296－1可以被60至70之間的哪兩個整數(shù)整除？解：296－1＝（248＋1）（248－1）＝（248＋1）（224＋1）（224－1）＝（248＋1）（224＋1）（212＋1）（212－1）＝（248＋1）（224＋1）（212＋1）（26＋1）（26－1）.因為26＋1＝65，26－1＝63，65和63都在60至70之間，所以296－1可以被60至70之間的65和63整除.1234567891011題型4巧用乘法公式求個位數(shù)字6.觀察下列各式：（x－1）（x＋1）＝x2－1；（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1；（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1；（x－1）（x4＋x3＋x2＋x＋1）＝x5－1；

……（1）試求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值.1234567891011解：（1）26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝（2－1）（26＋25＋24＋23＋22＋2＋1）＝27－1＝128－1＝127.12345678910116.觀察下列各式：（x－1）（x＋1）＝x2－1；（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1；（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1；（x－1）（x4＋x3＋x2＋x＋1）＝x5－1；

……（2）判斷22024＋22023＋…＋2＋1的值的個位數(shù)字.1234567891011解：（2）22024＋22023＋…＋2＋1＝（2－1）（22024＋22023＋…＋2＋1）＝22025－1.因為21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，所以2n的值的個位數(shù)字依次為2，4，8，6……每4個為一個循環(huán).因為2025÷4＝506……1，所以22025的個位數(shù)字為2.所以22024＋22023＋…＋2＋1的值的個位數(shù)字為1.1234567891011題型5巧用乘法公式解決實際問題7.廣場內(nèi)有一塊邊長為4am的正方形花園，統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短2m，東西方向要加長2m.改造后的長方形花園的面積與原來的面積相比，是增加了還是減少了？增加或減少了多少平方米？1234567891011解：原正方形花園的面積為4a×4a＝16a2（m2），改造后的長為（4a＋2）m，改造后的寬為（4a－2）m，所以改造后的長方形花園的面積為（4a＋2）（4a－2）＝16a2－4（m2），因為16a2－（16a2－4）＝4（m2），所以改造后的長方形花園的面積與原來的面積相比，是減少了，減少了4m2.1234567891011題型6乘法公式在幾何中的應(yīng)用8.【數(shù)形結(jié)合】將一個長方形按如圖①所示進(jìn)行分割，得到兩個完全相同的梯形，再將它們拼成如圖②所示的圖形，根據(jù)兩個圖形中面積間的關(guān)系，可以驗證的乘法公式為_______________________________.（a＋b）·（a－b）＝a2－b2

1234567891011點撥：題圖①為長為（a＋b），寬為（a－b）的長方形，因此它的面積為（a＋b）（a－b），題圖②的面積可以看作邊長為a，邊長為b的兩個正方形的面積差，即a2－b2，因此有（a＋b）（a－b）＝a2－b2.12345678910119.【2023·寧波海曙區(qū)期末】數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖①的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形.并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖②的大正方形.1234567891011（1）請用兩種不同的方法表示圖②大正方形的面積：方法

1：____________；方法2：_______________.（a＋b）2

a2＋b2＋2ab

1234567891011（2）觀察圖②，請你寫出代數(shù)式：（a＋b）2，a2＋b2，ab

之間的等量關(guān)系：________________________

?.（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab

1234567891011（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：

已知a＋b＝5，a2＋b2＝17，求ab的值.解：根據(jù)題意可知（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝25，將a2＋b2＝17代入，得17＋2ab＝25，所以ab＝4.1234567891011題型7巧用乘法公式解決規(guī)律問題10.【學(xué)科素養(yǎng)·推理能力】南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律（如圖），后人也將此圖稱為“楊輝三角”.1234567891011（a＋b）0＝1；（a＋b）1＝a＋b；（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；

……

則（a＋b）9展開式中所有項的系數(shù)和是（

C

）A.128B.256C.512D.1024C1234567891011題型8巧用乘法公式解決探究問題11.發(fā)現(xiàn)

任意五個連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù).驗證

（1）（－1）2＋02＋12＋22＋32的結(jié)果是5的幾倍？解：驗證

（1）（－1）2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15，15÷5＝3，所以（－1）2＋02＋12＋22＋32的結(jié)果是5的3倍.123456789101111.發(fā)現(xiàn)

任意五個連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù).

（2）設(shè)五個連續(xù)整數(shù)的中間一個為n，寫出它們的平方

和，并說明是5的倍數(shù).

延伸

任意三個連續(xù)整數(shù)的平方和被3除的余數(shù)是幾

呢？

請寫出理由.1234567891011（2）若五個連續(xù)整數(shù)的中間一個為n，則其余的四個整數(shù)分別是n－2，n－1，n＋1，n＋2，它們的平方和為（n－2）2＋（n－1）2＋n2＋（n＋1）2＋（n＋2）2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10＝5（n2＋2）.因為n是整數(shù)，所以n2＋2是整數(shù).所以五個連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù).延伸