福建專版2024春七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二章相交線與平行線素養(yǎng)集訓(xùn)2平行線中常見作輔助線的九種作法作業(yè)課件新版北師大版

第二章相交線與平行線素養(yǎng)集訓(xùn)2.平行線中常見作輔助線的九種作法技巧1加截線類型1連接兩點(diǎn)1.如圖，∠E＝∠B＋∠D，試猜想AB與CD有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由.12345678910解：AB∥CD.理由如下：如圖，連接BD.在三角形BDE中，∠1＋∠2＋∠E＝180°.因?yàn)椤螮＝∠3＋∠4，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，即∠ABD＋∠CDB＝180°.所以AB∥CD.12345678910類型2延長線段相交2.如圖，AB∥EF，CD⊥EF于點(diǎn)D，若∠ABC＝40°，則∠BCD等于（

B

）A.140°B.130°C.120°D.110°B123456789103.【立德樹人·傳承中國傳統(tǒng)文化】為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，感受中國的傳統(tǒng)文化，學(xué)校將國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽光特色大課間，如圖①是某同學(xué)“抖空竹”時(shí)的一個(gè)瞬間，小聰把它抽象成如圖②的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝100°，則∠E的度數(shù)是（

A

）A12345678910A.30°B.40°C.60°D.70°技巧2過“拐點(diǎn)”作平行線類型3

“?

?”形圖4.【一題多解】如圖，AB∥CD，P為AB，CD之間的一點(diǎn)，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度數(shù).12345678910解法一：過點(diǎn)P作射線PN∥AB，如答圖①所示.因?yàn)镻N∥AB，AB∥CD，所以PN∥CD.所以∠4＝∠2＝28°.因?yàn)镻N∥AB，所以∠3＝∠1.因?yàn)椤?＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，所以∠1＝30°.12345678910解法二：過點(diǎn)P作射線PM∥AB，如答圖②所示.因?yàn)镻M∥AB，AB∥CD，所以PM∥CD.所以∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.因?yàn)椤?＋∠BPC＋∠3＝360°，所以∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.因?yàn)镻M∥AB，所以∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.12345678910點(diǎn)技巧：兩條平行線間存在拐點(diǎn)時(shí)，通常過拐點(diǎn)作已知直線的平行線，構(gòu)造出內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，為應(yīng)用平行線的性質(zhì)創(chuàng)造條件.12345678910類型4

“?

?”形圖5.【2023·南昌期末】小林乘車進(jìn)入車庫時(shí)仔細(xì)觀察了車庫門口的“曲臂直桿道閘”，并抽象出如圖所示的模型，已知AB垂直于水平地面AE.當(dāng)車牌被自動(dòng)識(shí)別后，曲臂直桿道閘的BC段繞點(diǎn)B緩慢向上旋轉(zhuǎn)，CD段則一直保

持水平狀態(tài)上升（即CD與AE始終平行），在該過程中∠ABC＋∠BCD始終等于（

C

）C12345678910A.180°B.250°C.270°D.360°類型5

“?

?”形圖6.如圖，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°.請(qǐng)問：AB與CD平行嗎？請(qǐng)說明理由.12345678910解：AB∥CD.理由如下：如圖，過點(diǎn)E作EF∥CD，所以∠FEC＝∠DCE＝35°.因?yàn)椤螧EC＝95°，所以∠BEF＝95°－35°＝60°.因?yàn)椤螦BE＝120°，所以∠ABE＋∠BEF＝180°.所以AB∥EF.又因?yàn)镋F∥CD，所以AB∥CD.12345678910類型6

“?

?”形圖7.如圖，AB∥DE，則∠BCD，∠B，∠D有何數(shù)量關(guān)系？為什么？12345678910解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB，所以∠BCF＝∠B.因?yàn)锳B∥DE，CF∥AB，所以CF∥DE.所以∠DCF＝∠D.所以∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.因?yàn)椤螧CD＝∠BCF－∠DCF，所以∠BCD＝∠B－∠D.12345678910類型7

“?

?”形圖8.如圖，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°.求∠ABC的度數(shù).12345678910解：如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB.因?yàn)锳B∥DE，CF∥AB，所以DE∥CF.所以∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.所以∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.因?yàn)镃F∥AB，所以∠ABC＝∠BCF＝72°.12345678910類型8多“拐點(diǎn)”型9.【教材P54習(xí)題T6變式】如圖，一條公路修在湖邊，需拐彎繞道而過，如果第一次向右拐75°，第二次拐彎形成的拐角∠B＝135°，第三次拐彎后道路恰好和第一次拐彎前的道路平行，那么第三次是如何拐彎的？12345678910解：如圖，過點(diǎn)B作BM∥OA，延長BC到點(diǎn)P.因?yàn)锽M∥OA，OA∥CN，所以BM∥CN.因?yàn)榈谝淮蜗蛴夜?5°，即∠A＝105°，所以∠ABM＝∠A＝105°.因?yàn)椤螦BC＝135°，所以∠MBC＝30°.又因?yàn)锽M∥CN，所以∠NCP＝∠MBC＝30°.答：第三次應(yīng)向左拐30°.12345678910類型9復(fù)合“拐點(diǎn)”型10.如圖，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°.求∠BED的度數(shù).12345678910解：如圖，過點(diǎn)F作FG∥AB，所以∠BFG＝∠ABF.因?yàn)锳B∥CD，所以FG∥CD.所以∠CDF＝∠DFG.所以∠ABF＋∠CDF＝∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°.因?yàn)锽E平分∠ABF，DE平分∠CDF，

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