第18講 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第二冊）（原卷版）

第18講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義【人教A版2019】·模塊一導(dǎo)數(shù)的概念·模塊二導(dǎo)數(shù)的幾何意義·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一導(dǎo)數(shù)的概念1．瞬時速度(1)平均速度設(shè)物體的運動規(guī)律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內(nèi)的平均速度為=.(2)瞬時速度①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

②一般地，當(dāng)t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當(dāng)t趨近于0時，的極限是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==.2．函數(shù)的平均變化率函數(shù)平均變化率的定義

對于函數(shù)y=f(x)，設(shè)自變量x從變化到+x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f()變化到f(+x).這時，x的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)-f().我們把比值，即=叫做函數(shù)y=f(x)從到+x的平均變化率.【考點1瞬時速度、平均速度】【例1.1】（2023下·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習(xí)）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+4.8t+11．該運動員在t=1s時的瞬時速度（單位：mA．10.9 B．-0.1 C．6 D．-5【例1.2】（2023下·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）球的體積V（單位：cm3）與半徑R（單位：cm）的關(guān)系為V=43πRA．9π B．18π C．27π【變式1.1】（2023下·山東棗莊·高二?？茧A段練習(xí)）一質(zhì)點做直線運動，其位移s與時間t的關(guān)系為s=t2+2t，設(shè)其在t∈2,3內(nèi)的平均速度為v1，在t=3時的瞬時速度為vA．76 B．78 C．67【變式1.2】（2023·高二單元測試）某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時需在2s內(nèi)完成剎車，其位移(單位：m)關(guān)于時間(單位：s)的函數(shù)為s(t)＝－13t3－4t2＋20t＋15，則s′(1)的實際意義為（

A．汽車剎車后1s內(nèi)的位移B．汽車剎車后1s內(nèi)的平均速度C．汽車剎車后1s時的瞬時速度D．汽車剎車后1s時的位移【考點2平均變化率】【例2.1】（2023下·北京房山·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)fx=2x+1A．212 B．72 C．76【例2.2】（2023下·江西九江·高二校聯(lián)考期中）某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程y與時間t的函數(shù)圖象如圖.記該車在時間段t1,t2，t2,t3，t3,t4，

A．v1 B．v2 C．v3【變式2.1】（2023下·江西新余·高二統(tǒng)考期末）2020年12月1日22時57分，嫦娥五號探測器從距離月球表面1800m處開始實施動力下降，7500牛變推力發(fā)動機開機，逐步將探測器相對月球縱向速度從約1800m/s降為零.12分鐘后，探測器成功在月球預(yù)選地著陸，記探測器與月球表面距離的平均變化率為v，相對月球縱向速度的平均變化率為a，則（A．v=52m/s，a=52C．v=-52m/s，a=-52【變式2.2】（2022下·北京·高二?？计谥校樵u估某種治療肺炎藥物的療效，有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關(guān)系為c=f(t)．甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間t變化的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個結(jié)論：①在t1②在t2③在[t④在[t1其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③④ C．②③ D．①③【考點3利用導(dǎo)數(shù)的定義解題】【例3.1】（2023下·河北廊坊·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)fx在R上可導(dǎo)，若f'2=3，則A．12 B．9 C．6 D．3【例3.2】（2022下·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)fx存在導(dǎo)函數(shù)且滿足limΔx→0f1-f1-2A．-1 B．-2 C．1 D．2【變式3.1】（2023下·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）定義在R上的函數(shù)y=fx在區(qū)間2,2+ΔxΔx>0內(nèi)的平均變化率為ΔyΔx=ΔxA．-1 B．1 C．3 D．9【變式3.2】（2023·高二課時練習(xí)）定義1?2?3???n=n!，已知函數(shù)fx=xx-1x-2?x-2020在-1,+∞內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為A．2019! B．-2019! C．2020! D．-2020!模塊二模塊二導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x))，如果當(dāng)點P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(,f())時，割線P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線T(T是直線T上的一點)稱為曲線y=f(x)在點處的切線.(2)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在x=處的導(dǎo)數(shù)f'()就是切線T的斜率，即==f'().這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.相應(yīng)地，切線方程為y-f()=f'()(x-).【考點4求曲線切線的斜率（傾斜角）】【例4.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)fx=x3-3x+1A．-1 B．-3 C．1 D．0【例4.2】（2023下·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖，函數(shù)y=fx的圖象在點P1,y0處的切線是l，則

A．1 B．2 C．0 D．-1【變式4.1】（2023下·安徽宿州·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)y=fx可導(dǎo)，且limΔx→0f1+ΔxA．45° B．60° C．120° D．135°【變式4.2】（2023下·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）若直線y=ax-1是曲線fx=x+lnx在某點處的切線，則實數(shù)A．-1 B．1 C．2 D．3【考點5求在曲線上一點的切線方程、過一點的曲線方程】【例5.1】（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx=1ex-1，則曲線A．ex+y+1=0 B．C．ex+y-1=0 D．【例5.2】（2022·四川廣安·廣安二中?？级＃┖瘮?shù)f(x)=x2ex過點A．y=0 B．ex+y=0 C．y=0或x+ey=0 D．【變式5.1】（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=-x3+3x，則過點-3,-9A．0 B．1 C．2 D．3【變式5.2】（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）設(shè)a∈R，函數(shù)fx=x3-2ax2+A．y=3x B．y=-2x C．y=-3x D．y=2x【考點6函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系】【例6.1】（2023下·高二課時練習(xí)）函數(shù)y=fx的圖象如圖所示，它的導(dǎo)函數(shù)為y=f'A．f'1>C．0<f'1【例6.2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)fx滿足f'x1>0，f'xA． B．C． D．【變式6.1】（2023下·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=fx的圖象如圖所示，f'x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是

A．2B．2C．2D．f【變式6.2】（2023下·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'xA．fB．fC．fD．f模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023下·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期中）已知質(zhì)點M在平面上作變速直線運動，且位移S（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系可用函數(shù)：S=lnt+1+2t2+1表示，則該質(zhì)點A．253??m/C．256??m/2．（2023上·北京·高二清華附中?？计谥校┮阎瘮?shù)fx=lnx+1，則A．f1<fC．f33<3．（2022下·河北承德·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知fx是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若limΔx→0f(3-ΔA．0 B．-2 C．1 D．-4．（2023下·江蘇蘇州·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)fx的圖象如圖所示，f'x為函數(shù)fA．fB．fC．fD．f5．（2023下·福建漳州·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)fx為可導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)Δx→0時，f1-f1-Δx2Δx→-1，則曲線A．2 B．-1 C．1 D．-26．（2023下·福建·高二校聯(lián)考期中）若一射線OP從OA處開始，繞O點勻速逆時針旋轉(zhuǎn)（到OB處為止），所掃過的圖形內(nèi)部的面積S是時間t的函數(shù)，St的圖象如圖所示，則下列圖形中，符合要求的是（

A．

B．

C．

D．

7．（2023上·四川南充·高三校考階段練習(xí)）過函數(shù)fx=1A．0,π2∪C．π4,π8．（2023下·山東東營·高二統(tǒng)考期末）已知a為實數(shù)，函數(shù)fx=3x3+2ax2+2+ax的導(dǎo)函數(shù)為A．11x-y-6=0 B．9x+y-6=0C．5x-11y+2=0 D．6x+5y-11=09．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx與gx的圖象關(guān)于直線y=x對稱，直線l與gA．π6 B．π4 C．π310．（2023·全國·模擬預(yù)測）若過點P(m,0)與曲線f(x)=x+1ex相切的直線只有2條，則mA．(-∞,+∞C．(-1,3) D．(-11．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知函數(shù)y=fx(1)當(dāng)x從1變?yōu)?時，函數(shù)值y改變了多少？此時該函數(shù)的平均變化率是多少？(2)當(dāng)x從-1變?yōu)?時，函數(shù)值y改變了多少？此時該函數(shù)的平均變化率是多少？(3)該函數(shù)變化的快慢有何特點？求該函數(shù)在x=1，x=3處的瞬時變化率．12．（2022·高二課時練習(xí)）如圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G為函數(shù)y=f(x)圖象上的點．在哪些點處，曲線的切線斜率為0？在哪些點處，切線的斜率為正？在哪些點處，切線的斜