【2023小升初】奇偶數問題（思維提高）-小升初數學思維拓展卷（通用版）

奇偶數問題

解答題(共30小題)

1.48、C三個同學爬香山，邊爬邊數臺階。爬了一會兒，三人拉開了距離。A爬得最快，

B次之，C最慢。C發(fā)微信問A、B當前的位置，A說自己當前爬過的臺階比剩余的臺階

多了37級，B說自己當前爬過臺階比剩余的臺階少4級。C馬上說A、8中至少有一個

數錯了。已知C正確地計算出自己當且爬過的臺階比剩余的臺階少34階。問：C能肯定

A、B中誰一定數錯了？請說明理由。

2.將自然數1,2,3,4,…，2020按照奇數、偶數分成兩組，分別計算這兩組數中的所有

數字的總和，哪組數的數字總和更大？大的比小的大多少？

3.如圖是某一個淺湖泊的平面圖，圖中曲線都是湖岸.

(1)若P點在岸上，則A點在岸上還是水中？

(2)某人過這湖泊，他下水時脫鞋，上岸時穿鞋.若有一點B,他脫鞋的次數與穿鞋的

次數和是奇數，那么B點在岸上還是水中？說明理由.

4.在黑板上寫出3個整數分別是1,3,5,然后擦去一個換成其它兩數之和，這樣操作下

去,最后能否得到57,64,108?為什么?

5.甲、乙兩個哲人將正整數5至11分別寫在7張卡片上.他們將卡片背面朝上，任意混合

之后，甲取走三張，乙取走兩張.剩下的兩張卡片?，他們誰也沒看，就放到袋子里去了.甲

認真研究了自己手里的三張卡片后對乙說:“我知道你的兩張卡片上的數的和是偶數”.試

問：甲的三張卡片上寫了哪些數？答案是否唯一.請說明理由.

6.從IOO1,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009中任意選出四個數，使它

們的和為偶數，則共有多少種不同的選法.

7.能否從0、1、2、…、13、14這15個數中選出10個不同的數，填入圓圈中，使每兩個

用線相連的圓圈中的數所成的差(大減小)各不相同？如能，給出一種填法；如不能，

請說明理由.

8.我們都學過“貓吃老鼠”的問題:

(/)如果按照吃一個、留一個的順序，那么當老鼠排成一直線時，最后留下的是其中最

大的形如2"的數.

(1)請問：現在有30只老鼠排成一直線，按照吃2個、留1個的順序，最后留下哪一

只？

(2)如果有100只老鼠呢？

(3)你能得出什么結論嗎？

(II)如果仍然吃一個、留一個，而老鼠排成圓周，那么我們知道，如果老鼠的數量恰

為2時，留下的老鼠就是最后一只，如果老鼠的數量不是2,那么我們先吃掉一部分，將

剩余數量變?yōu)?,那么此時的最后一只就是最后留下來的一只.

例如，如果50只老鼠圍成一圈，那么我們先把數量變?yōu)?2只，先吃掉50-32=18只，

分別是1、3、5、，,,,、35只，現在只剩32老鼠，新的第一只是第37號老鼠，最后一只

是第36號老鼠，于是，剩下的老鼠是第36號.

請問：如果有101只老鼠圍成一圈，按照吃2個、留一個的順序，最后留下哪一只？為

什么？

9.大雄家所在街道的每棟房子都有一個門牌號碼，街道的一側編號為奇數，另一側編號為

偶數.編號的方式為：假設大雄家是占地一個單位面積的房子且編號為1號，他的隔壁

是占地兩個單位面積的房子，編為3號，接下來的兩棟都是占地一個單位面積的房子則

分別編為7號、9號，如圖：

Ill3∣7∣9∣I

在大雄家所在這一側有四分之一的房子是占地兩個單位面積的房子.大雄的好友小安住

在這條街道的最后一棟房子，他的家占地兩個單位面積，門牌號碼為187.請問大雄家所

在的這一側共有多少棟房子？

10.能否用540個圖所示的1X2的小長方形拼成一個6X180的大長方形，使得6X180的

長方形的每一行、每一列都有奇數個星？請說明理由.

11.如圖，甲、乙、丙三個大小相同的杯子在桌面上一次排列，其中甲杯中盛滿水，乙和丙

是空杯.現把水全部倒入相鄰(左或右)的空杯中，那么，經過55次倒水后，有水的是

杯.

甲乙丙

12.能否用500個如圖所示的1X2的小長方形形成一個5×200的大長方形，使得5X200

的長方形的每一行、每一列都有偶數個星？請說明理由.

13.黑板上有多個5和7.現在進行如下操作：將黑板上任意兩個數的和寫在黑板上，問經

過若干次操作后，黑板上能否出現23?

14.設某年中有一個月里有三個星期日的日期為奇數，則這個月的21日可能是星期幾？

15.如圖，從0點起每隔3米種一棵樹.如果把3塊“愛護樹木”的小木牌分別掛在3棵樹

上，那么不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹之間的距離是偶數（以米為單位）.試說明理由.

03691215182124

16.有8盞燈，從1到8編號，開始時3、6、7編號的燈是亮的.如果一個小朋友按從1

到8,再從1到8,…的順序拉開關，一共拉動500次，問此時哪幾個編號的燈是亮的？

17.2009年元旦游園活動中，有一個游戲廳中亮著2009盞燈（每盞燈配一個開關，每觸動

一次開關，滅或由滅變亮），現在2009個人參加一個游戲活動：規(guī)定第一個人只能觸動1

個開關；第二個人只能觸動2個開關，第3個人只能觸動3個開關…第2009個人只能動

2009個開關.問：照此游戲規(guī)則，這2009個人能否將游戲廳中的燈全部關滅？請說明理

由.

18.l+2×3×4×5×6+7×8×9×10×ll+12×13×14×15×16+—+497×498×499×500×

501是奇數還是偶數，為什么？

19.我國在使用公元紀年的同時，也一直沿用我國古代創(chuàng)立的干支紀年法，如甲午戰(zhàn)爭的甲

午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名稱.干支中的干是天干的簡稱，是指：甲乙丙丁戊

己庚辛壬癸；支是地支的簡稱，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.

在紀年時，干支同時分別從甲子開始，不改變各自的順序，循環(huán)往復下去.一位叫“丁

寅”的同學想在“丁寅年”邀請同學聚會，他的愿望能實現嗎？若能實現，說明是IW一

年？（2008年是“戊子年”）若不能實現，請說明理由.

20.200至U500之間的奇數，百位、十位和個位上的數字都不相同的有幾個？

21.你能從1、3、5、7、9、…、2007、2009這1005個自然數中選出9個，使它們的和等

于2008嗎?為什么?

22.在棋盤中，如果兩個方格有公共點，就稱為相鄰的.如圖中A有3個相鄰的方格，而B

有8個相鄰的方格.圖中每一個奇數表示與它相鄰的方格中偶數的個數（如3表示相鄰

的方格中有3個偶數），每個偶數表示與它相鄰的方格中奇數的個數（如4表示相鄰的方

格中有4個奇數）.請在下面的4×4的棋盤中填數（至少有一個奇數），滿足上面的要求.

23.將1,3,5,7,9填入等號左邊的5個方框中，2,4,6,8填入等號右邊的4個方框

中，使等式成立，且等號兩邊的計算結果都是自然數，這個結果最小為.

π÷π+π+ππ=π÷π+ππ

24.如圖所示，在三個圓圈中各填入一個自然數，使每條線段兩端的兩個數之和均為奇數.請

問這樣的填法存在嗎？如不存在，請說明理由；如存在，請寫出一種填法.

25.能將1,2,3,4,5,6,7,8,9填在3X3的方格表中（如圖），使得橫向與豎向任意

相鄰兩數之和都是質數嗎？如果能，請給出一種填法：如果不能，請你說明理由.

26,將1999表示為兩個質數之和：1999=口+口，在口中填入質數.共有多少種表示法？

27,小地球儀上赤道大圓與過南北極的某大圓相交于4、B兩點.有黑、白二蟻從A點同時

出發(fā)分別沿著這兩個大圓爬行.黑蟻爬赤道大圓一周要10秒鐘，白蟻爬過南北極的大圓

一周要8秒鐘.問：在10分鐘內黑、白二蟻在B點相遇幾次？為什么？

28.27名小運動員穿運動服的號碼是1,2,3,…27這27個自然數.問這些小運動員能否

站才一個圓圈，使得任意相鄰兩個運動員號碼數之和都是質數？說明理由.

29.現有11塊鐵，每塊的重量都是整數，任取其中10塊，都可以分成重量都等的兩組，每

組有5塊鐵，試說明：這11塊鐵每塊的重量都相等.

30.有30個貳分硬幣和8個伍分硬幣，用這些硬幣不能構成1分到1元之間的幣值有多少

種？

奇偶數問題

參考答案與試題解析

一.解答題（共30小題）

1.A、8、C三個同學爬香山，邊爬邊數臺階。爬了一會兒，三人拉開了距離。A爬得最快，

B次之，C最慢。C發(fā)微信問4、8當前的位置，4說自己當前爬過的臺階比剩余的臺階

多了37級，B說自己當前爬過臺階比剩余的臺階少4級。C馬上說A、2中至少有一個

數錯了。已知C正確地計算出自己當且爬過的臺階比剩余的臺階少34階。問：C能肯定

A、8中誰一定數錯了？請說明理由。

【分析】本題根據奇偶性進行判斷，偶數+偶數=偶數，奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=

奇數。因為C的計算是正確的，則總臺階數一定為偶數，從而可判斷A的說法錯誤。

【解答】解：C爬過的臺階比剩余的臺階少34階，所以總臺階數為：2XC剩余的臺階

數-34,

即總臺階數一定為偶數，

由奇偶性進行判斷，

可得：每個人爬過的臺階數與剩余的臺階數之差一定為偶數，

所以A的說法是錯誤的。

答：C能肯定A數錯了，因為A當前爬過的臺階比剩余的臺階多了37級是奇數，而實際

上多的一定為偶數。

【點評】本題考查奇偶性的判斷，是比較簡單的題型。

2.將自然數1,2,3,4,2020按照奇數、偶數分成兩組，分別計算這兩組數中的所有

數字的總和，哪組數的數字總和更大？大的比小的大多少？

【分析】本題先按照奇數組和偶數組對數列進行分組，然后用等差數列求和公式進行求

解，再比較大小。

【解答】解：自然數1,2,3,4,2020按照奇數、偶數分成兩組，

則奇數組為：1,3,5,7,2019,共IoIO項，

偶數組為：2,4,6,8,…，2020,共IolO項，

奇數組的和為：（l+2019）2x1010=1020100,

偶數組的和為：（2+2020）2XIOio=1021no,

顯然，偶數組數字總和更大，

大的比小的多：1021110-1020100=IOlOo

【點評】本題考查奇偶數及等差數列的求和公式：s=（首項）+末項2x項數=項數

X首項+項數義（項數-1）2X公差，兩個公式可以相互轉化。

3.如圖是某一個淺湖泊的平面圖，圖中曲線都是湖岸.

(1)若P點在岸上，則A點在岸上還是水中？

(2)某人過這湖泊，他下水時脫鞋，上岸時穿鞋.若有一點8,他脫鞋的次數與穿鞋的

次數和是奇數，那么B點在岸上還是水中？說明理由.

【分析】(1)本題可據數的奇偶性進行分析，如圖從P點到A點的空白處標上數字可發(fā)

現，奇數都處于岸上，偶數都處于水中，A點為6,是偶數，所以A點處于水中.

(2)某人進入水中時脫鞋，上岸時穿鞋，從每從水中到岸上，脫鞋與穿鞋次數和為2,

即脫鞋與穿鞋次數相加為偶數時，某人一定在岸上，脫鞋與穿鞋次數相加為奇數時，某

人一定在水中，在B點他脫鞋的次數與穿鞋的次數和是奇數，所以8點一定在水中.

【解答】解：(1)如圖，由于點P處于岸上且為1,所以奇數都處于岸上，偶數都處于

水中，A點為6,是偶數，所以A點處于水中.

答：A點處于水中.

(2)由于從進入水中再到岸上，脫鞋與穿鞋次數和為2,

即脫鞋與穿鞋次數相加為偶數時，某人一定在岸上；

脫鞋與穿鞋次數相加為奇數時，某人一定在水中；

在B點他脫鞋的次數與穿鞋的次數和是奇數，

所以B點一定在水中.

答：B點一定在水中.

【點評】本題主要考查了通過數的奇偶性判斷位置的能力.

4.在黑板上寫出3個整數分別是1,3,5,然后擦去一個換成其它兩數之和，這樣操作下

去，最后能否得到57,64,108?為什么？

【分析】由于一開始是1、3、5,這三個均是奇數，擦去任意一個，改為剩下兩個奇數之

和應是偶數，這樣三個數是兩個奇數一個偶數，以后如果擦掉是偶數，換上的是偶數，

擦去一個奇數，換上的必是奇數，因而永遠是兩個奇數一個偶數，但是57、64、108是

一個奇數兩個偶數，所以無論如何無法得到這三個數.

【解答】解：由分析可知：如果擦掉是偶數，換上的是偶數，擦去一個奇數，換上的必

是奇數，因而永遠是兩個奇數一個偶數；

所以不能；

答：最后不能得到57,64,108這三個數.

【點評】此題應根據數的奇偶性特點進行分析、探究，進而得出問題結論.

5.甲、乙兩個哲人將正整數5至11分別寫在7張卡片上.他們將卡片背面朝上，任意混合

之后，甲取走三張，乙取走兩張.剩下的兩張卡片，他們誰也沒看，就放到袋子里去了.甲

認真研究了自己手里的三張卡片后對乙說:“我知道你的兩張卡片上的數的和是偶數”.試

問：甲的三張卡片上寫了哪些數？答案是否唯一.請說明理由.

【分析】由題意，這4張卡片上所寫的數的奇偶性相同，亦即或者都是偶數，或者都是

奇數.由于一共只有3張卡片上寫的是偶數，所以它們不可能都是偶數，從而只能都是

奇數，可得3張寫著偶數的卡片全都落入甲的手中.

【解答】解：甲手中的3張卡片上分別寫了6,8和10.

甲知道其余4張卡片上分別寫了哪些數，但不知道它們之中的哪兩張落到了乙的手中.

因此，只有在它們之中任何兩張卡片上的數的和都是偶數時，甲才能說出自己的斷言.

而這就意味著，這4張卡片上所寫的數的奇偶性相同，亦即或者都是偶數，或者都是奇

數.

但是由于一共只有3張卡片上寫的是偶數，所以它們不可能都是偶數，從而只能都是奇

數.

于是3張寫著偶數的卡片全都落入甲的手中.答案是唯一的.

【點評】本題考查奇偶性問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

6.從IoOI,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009中任意選出四個數，使它

們的和為偶數，則共有多少種不同的選法.

【分析】首先分析如果結果是偶數可以分為0,2,4個奇數，把每一種結果加起來即可.

【解答】解：依題意可知：

根據四個數的結果是偶數.那么必定是0個奇數，2個奇數或者是4個奇數.

在IoOl,1002,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009奇數的個數為5個，偶數

的個數為4個.

當。個奇數時有一種情況.

當是2個奇數2個偶數時是C52C42=60種.

當選擇4個奇數時有5種.

60+5+1=66(種)

答：共有66種選擇方法.

【點評】本題考查對奇偶性的理解和綜合運用，同時關鍵是分類中的排列組合.問題解

決.

7.能否從0、1、2、…、13、14這15個數中選出10個不同的數，填入圓圈中，使每兩個

用線相連的圓圈中的數所成的差(大減小)各不相同？如能，給出一種填法；如不能，

請說明理由.

【分析】首先分析15個數字構成14個差而且不同那么差一定是1到14各一個數字.可

根據奇數偶數性質來判斷即可.

【解答】解：依題意可知：

圖中共有14個差的和S=1+2+3+4+5+6+…+14=105是一個奇數.

另一方面每個圓圈與偶數個圓相連，設填入的數字是。，那么“在S中出現偶數次，偶數

個“相加或相減結果為偶數，因此S是10個偶數的和，是偶數.

所以S即是奇數又是偶數矛盾.

綜上所述：不存在.

【點評】本題是考察對奇偶性的理解和綜合運用，關鍵是找出分析兩次結果的對比的矛

盾一次是奇數一次是偶數矛盾.問題解決.

8.我們都學過“貓吃老鼠”的問題：

(/)如果按照吃一個、留一個的順序，那么當老鼠排成一直線時，最后留下的是其中最

大的形如2/7的數.

(1)請問：現在有30只老鼠排成一直線，按照吃2個、留1個的順序，最后留下哪一

只？

(2)如果有100只老鼠呢？

(3)你能得出什么結論嗎？

(II)如果仍然吃一個、留一個，而老鼠排成圓周，那么我們知道，如果老鼠的數量恰

為2時，留下的老鼠就是最后一只，如果老鼠的數量不是2,那么我們先吃掉一部分，將

剩余數量變?yōu)?,那么此時的最后一只就是最后留下來的一只.

例如，如果50只老鼠圍成一圈，那么我們先把數量變?yōu)?2只，先吃掉50-32=18只，

分別是1、3、5、，,,,、35只，現在只剩32老鼠，新的第一只是第37號老鼠，最后一只

是第36號老鼠，于是，剩下的老鼠是第36號.

請問：如果有IOl只老鼠圍成一圈，按照吃2個、留一個的順序，最后留下哪一只？為

什么？

【分析】(/)如果按照吃一個、留一個的順序，即吃1,留2,吃3,留4,….即留下

的都是2的倍數，中可知一圈后留下的人是2的倍數的號；兩圈后留下的人分別是4的

倍數的號；三圈后留下的人是8的倍數的號；四圈后留下的人是16的倍數的號，…即只

有所以最后下的是開如2”的數.

(1)按照吃2個、留1個的順序，即吃1、2,留3,吃4、5,留6,….在嘗試中觀察，

探索規(guī)律，即最后留下的是最大的形如3"的數.1-30中，則留下的是27號.

(2)如果有100只老鼠，如果按照吃一個、留一個的順序，則最后剩下的是第64號老

鼠，按照吃2個、留1個的順序，則最后留下的是81號老鼠.

(3)由此可發(fā)現，第一次留下的是N號老鼠，則最后留下的即是這些數中的形如"的

數.

(II)根據以上規(guī)律完成即可.

【解答】解：(1)按照吃2個、留1個的順序，即吃1、2,留3,吃4、5,留6,….即

3X1、3X2、3X3、3X4、3X5、3×6???,在嘗試中觀察，探索規(guī)律，最后留下的是最

大的形如3"的數.

1-30中，則留下的是27號.

(2)由I可知，按照吃一個、留一個的順序，那么當老鼠排成一直線時，最后留下的是

其中最大的形如2n的數，1-100中，最大最大的形如2n的數是64,則留下的是64號.

(3)由此可發(fā)現，第一次留下的是N號老鼠，則最后留下的即是這些數中的形如M的

數.

(II)如果有101只老鼠圍成一圈，按照吃2個、留一個的順序，則留下的是其中最大

形如3”的數.

I-IOI中，最大形如3”的數是81,則最后留下是81號.

【點評】本題考查了學生總結并發(fā)現規(guī)律，并根據規(guī)律解決問題的能力.

9.大雄家所在街道的每棟房子都有一個門牌號碼，街道的一側編號為奇數，另一側編號為

偶數.編號的方式為：假設大雄家是占地一個單位面積的房子且編號為1號，他的隔壁

是占地兩個單位面積的房子，編為3號，接下來的兩棟都是占地一個單位面積的房子則

分別編為7號、9號，如圖：

1I3∣7∣9∣

在大雄家所在這一側有四分之一的房子是占地兩個單位面積的房子.大雄的好友小安住

在這條街道的最后一棟房子，他的家占地兩個單位面積，門牌號碼為187.請問大雄家所

在的這一側共有多少棟房子？

【分析】在編號1、3、7、9中發(fā)現：因為3號占有2個單位面積，所以3號實際包含了

3和5兩個奇數；又有四分之一的房子是占地兩個單位面積的房子；所以每5個連續(xù)的奇

數中，就會

有1個編號占2個面積單位，編號時就只遍4個號，也就是參與編碼的奇數和沒有參加

編碼的奇數的比是4：1；最后一棟房子門牌號碼為187,所以一共有奇數(包括未編碼

的奇數)就是(188+1)÷2=94(個)，最后一個編碼占兩個單位面積，所以一共就有

94+1=95個面積單位；把95按照4：1進行分配即可求出占有2個面積單位的房子有多

少棟，進而求出房子的總數.

【解答】解：如果一個面積單位對應一個編號，那么每4個編號中就會多出一個編號；

也就是參與編碼的奇數和沒有參加編碼的奇數的比是4：1：

(187+1)÷2+l

=94+1

=95

95÷(4+1)

=95÷5

=19；

19×4=76(棟)

答：大雄家所在的這一側共有76棟房子.

【點評】根據給出的1、3、7,9這幾個編碼的特點，找出規(guī)律，再利用規(guī)律求解.

10.能否用540個圖所示的1X2的小長方形拼成一個6X180的大長方形，使得6X180的

長方形的每一行、每一列都有奇數個星？請說明理由.

Ψ

【分析】540個這樣的小長方形就有540個小星星：540是偶數，因為奇數+奇數=偶數；

也就是說偶數可以分成偶數個奇數的和；由此求解.

【解答】解：540個這樣的小長方形就有540個小星星；

540可以分成6個奇數的和；也可以分成180個奇數的和，所以每一行或者每一列都可以

是奇數個星；

如：前五行各有89個，第六行有95個；每列都是3個.

所以540個1X2能使得6×180的長方形的每一行、每一列都有奇數個星.

【點評】本題根據奇數+奇數=偶數，這一規(guī)律進行求解.

11.如圖，甲、乙、丙三個大小相同的杯子在桌面上一次排列，其中甲杯中盛滿水，乙和丙

是空杯.現把水全部倒入相鄰（左或右）的空杯中，那么，經過55次倒水后，有水的是

乙_杯.

甲乙丙

【分析】由于乙處于中間，根據操作規(guī)則，甲杯中盛滿水，乙和丙是空杯.現把水全部

倒入相鄰（左或右）的空杯中，第一次：倒入乙中；此時水在乙中，如向左則第二次倒

入甲中，第三次再倒入乙中；（第二次入向右則坐倒入丙中，第三次只能倒入乙中）如此

循環(huán)，由此可以發(fā)現，當第奇數次倒入時，總是倒入乙中.55是奇數，因此，經過55

次倒水，有水的是乙杯.

【解答】解：由于乙處在中間，

根據操作規(guī)則可知，

當第奇數次倒入時，總是倒入乙中.

55是奇數，因此，經過55次倒水，有水的是乙杯.

故答案為：乙.

【點評】通過操作，發(fā)現其中的規(guī)律是完成本題的關鍵.

12.能否用500個如圖所示的1X2的小長方形形成一個5X200的大長方形，使得5X200

的長方形的每一行、每一列都有偶數個星？請說明理由.

【分析】500個小長方形就有500個小星星，500個星星平均分成5行，每行就有100個，

是偶數；500÷200=2（個）…100（個）；再把余下的100個平均分給50歹∣J,每列分2

個，這50列每列就是2+2=4（個），剩下的150列每列是2個，都是偶數，由此可解.

【解答】解：可以使5X200的長方形的每一行、每一列都有偶數個星，因為；

500個小長方形就有500個小星星，

5OO÷5=1OO（個）,

每行100個是偶數；

500÷200=2（個）-100（個）；

再把余下的100個平均分給50歹∣J,每列分2個，這50列每列就是2+2=4（個），剩下

的150列每列是2個，都是偶數；

所以可以使5X200的長方形的每一行、每一列都有偶數個星.

【點評】本題關鍵是把按列分配時余下的小星星正確的分配，使每列都是偶數個.

13.黑板上有多個5和7.現在進行如下操作：將黑板上任意兩個數的和寫在黑板上，問經

過若干次操作后，黑板上能否出現23?

【分析】黑板上有多個5和7,將黑板上任意兩個數的和寫在黑板上，根據其操作規(guī)則可

知，每次操作后的結果應是干個5與若干個7的和，5+7=12,12+5=17,17+5=22,12+7

=19,19+5=24,即無論怎么操作都不會出現23.

【解答】解：因為每次黑板上出現的數都應該可以是若干個5與若干個7的和，

而23不是，所以不能出現.

【點評】由于本題中23數值較小，因此通過試算就能得出結果.

14.設某年中有一個月里有三個星期日的日期為奇數，則這個月的21日可能是星期幾？

【分析】設這個月的第一個星期日是。日（IWaW7）,則這個月內星期日的日期是7A+α,

k是整數，7Hα≤31.要求有三個奇數.然后分當α=l時，當“=2時，當α=3時，4

WαW7時，進行討論，作出解答.

【解答】解：設這個月的第一個星期日是。日（I≤a≤7）,則這個月內星期日的日期是

7k+a,k是整數，7H<J≤31.

當α=l時，要使7k+l是奇數，k為偶數，即k可取0,2,4三個值，此時，7k+α=7k+l,

分別為1,15,29,這時21號是星期六.

當α=2時，要使然+2是奇數，k為奇數，即k可取1,3兩個值，7A+2不可能有三個

奇數.

當α=3時，要使7&+3是奇數，k為偶數，即k可取0,2,4三個值，此時1k+a=7k+3,

分別為3,17,31,這時21號是星期四.

當4≤α≤7B寸，7%+“不可能有三個奇數.

故答案為：4或6.

【點評】此題分情況進行討論，根據數的奇偶性，解答即可.

15.如圖，從0點起每隔3米種一棵樹.如果把3塊“愛護樹木”的小木牌分別掛在3棵樹

上，那么不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹之間的距離是偶數（以米為單位）.試說明理由.

03691215182124

【分析】相距最遠的兩塊木牌的距離，等于它們分別與中間一塊木牌的距離之和.如果

三塊木牌間兩兩距離都是奇數，就會出現“奇+奇=奇”，這顯然不成立，所以必有兩塊

木牌的距離是偶數.

【解答】解：相距最遠的兩塊木牌的距離，等于它們分別與中間一塊木牌的距離之和.如

果三塊木牌間兩兩距離都是奇數，就會出現“奇+奇=奇”，這顯然不成立，所以必有兩

塊木牌的距離是偶數.

答：不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹之間的距離是偶數.

【點評】此題屬于奇偶性問題，考查了學生對奇偶性的判定能力.

16.有8盞燈，從1到8編號，開始時3、6、7編號的燈是亮的.如果一個小朋友按從1

到8,再從1到8,…的順序拉開關，一共拉動500次，問此時哪幾個編號的燈是亮的？

【分析】對于亮著的燈，只要拉動偶數次開關仍是亮的，拉動奇數次開關是滅的；對于

開始關閉的燈，只要拉動奇數次開關燈就亮，拉動偶數次開關仍是滅的；因為500÷8=

62余4,說明這8盞燈各拉動62次后，編號為1、2、3、4的燈又拉動一次，由于62是

偶數，所以原來亮的燈仍是亮的，滅的燈仍是滅的，即編號是3、6、7的燈各拉動62次

后仍是亮的，其余燈是滅的，接著編號是1、2、3、4的燈各拉動一次，編號1、2、4的

燈亮了，編號3的燈滅了，所以這8盞燈最后是1、2、4、6、7這五盞燈是亮的.

【解答】解:500÷8=62???4,

即這8盞燈各拉動62次后，編號為1、2、3、4的燈又拉動一次，原來亮著的燈除3號

燈滅了，其余都亮著，又增加了1、2、4號燈；

所以這8盞燈最后是1、2、4、6、7這五盞燈是亮的.

答：1、2、4、6、7這五盞燈是亮的.

【點評】此題應結合實際，又根據奇數和偶數的特點，進行分析，即可得出結論.

17.2009年元旦游園活動中，有一個游戲廳中亮著2009盞燈（每盞燈配一個開關，每觸動

一次開關，滅或由滅變亮），現在2009個人參加一個游戲活動：規(guī)定第一個人只能觸動1

個開關；第二個人只能觸動2個開關，第3個人只能觸動3個開關…第2009個人只能動

2009個開關.問：照此游戲規(guī)則，這2009個人能否將游戲廳中的燈全部關滅？請說明理

由.

【分析】首先根據題意，可得這2009個人觸動開關的總個數是：1+2+3+…+2009,再根

據等差數列的求和公式，求出這2009個人觸動開關的總個數是多少；然后根據這2009

個人觸動開關的總個數如果是2009的偶數倍，則游戲廳中的燈全部是亮著的；如果這

2009個人觸動開關的總個數是2009的奇數倍，則游戲廳中的燈全部是關滅的，據此判斷

即可.

【解答】解：這2009個人觸動開關的總個數是：

1+2+3+—+2009

=（1+2009）×2009÷2

=2010×2009÷2

=1005X2009（個）

因為1005X2009是2009的奇數倍，而且游戲廳中的2009盞燈開始時全是亮著的，

所以這2009個人能將游戲廳中的燈全部關滅.

答：這2009個人能將游戲廳中的燈全部關滅.

【點評】此題主要考查了奇偶性問題的應用，解答此題的關鍵是要明確：這2009個人觸

動開關的總個數如果是2009的偶數倍，則游戲廳中的燈全部是亮著的；如果這2009個

人觸動開關的總個數是2009的奇數倍，則游戲廳中的燈全部是關滅的.

18.1+2×3×4×5×6+7×8×9×10X11+12×13×14×15×16+???+497×498×499×500×

501是奇數還是偶數，為什么？

【分析】根據數的奇偶性可知，由于若干個奇數X若干個偶數=偶數，所以1+2X3X4

×5×6+7×8×9×10×ll+12×13×14×15×16+-+497×498×499×5OO×5O1=??+

偶數+偶數+…偶數，即在所有加數中的，只有一個是奇數，其它加數都是偶數，所以它

們的和只能是奇數.

【解答】解：由于1+2X3X4X5X6+7X8X9X10X11+12X13X14X15X16+…+497義

498×499X500X501=奇數+偶數+偶數+…偶數，

即在所有加數中的，只有一個是奇數，其它加數都是偶數，所以它們的和只能是奇數.

【點評】明確若干個奇數義若干個偶數=偶數是完成本題的關鍵.

19.我國在使用公元紀年的同時，也一直沿用我國古代創(chuàng)立的干支紀年法，如甲午戰(zhàn)爭的甲

午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名稱.干支中的干是天干的簡稱，是指：甲乙丙丁戊

己庚辛壬癸；支是地支的簡稱，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.

在紀年時，干支同時分別從甲子開始，不改變各自的順序，循環(huán)往復下去.一位叫“丁

寅”的同學想在“丁寅年”邀請同學聚會，他的愿望能實現嗎？若能實現，說明是哪一

年？（2008年是“戊子年”）若不能實現，請說明理由.

【分析】據題意可知，天干共10個，地支共12個.天干和地支按順序組合形成年份，

因此可通過給天干和地支編號進行組合分析，發(fā)現規(guī)律，得出丁寅的愿望是否能夠實現.

【解答】解：若用Al,A2,A3…AlO表示10個天干，用Bl,82,…B12表示12個地

支，

則天干與地支的組合順序如下：AlBl,A2B2,A3B3,A4B4,-AlOBlO,AlBll,A2B?2,

A381,

由此可以發(fā)現，A和B的標號總是奇偶交替出現，且每個組合中的標號奇偶性相同，

因為丁對應A4,寅對應B3,它們的標號奇偶性不同，所以，兩者是不會組合到一塊，即

丁寅年是不存在的.

所以丁寅同學的愿望不能實現.

【點評】完成本題主要根據給題中在要素進行編號，借助數的奇偶性進行分析解答的.

20.200到500之間的奇數，百位、十位和個位上的數字都不相同的有幾個？

【分析】因為三個數位上的數字都不同，且為奇數，所以，根據百位進行分類討論即可。

【解答】解：當百位為2或4時，個位有5種選法，十位有8種選法，

共有2X5X8=80（個）

當百位為3時，個位有4種選法，十位有8種選法，

共有4X8=32（個）

當百位為5時一，沒有符合條件的數。

共有：80+32=112（個）

答：百位、十位和個位上的數字都不相同的有112個。

【點評】明確奇數的含義：自然數中，不是2的倍數的數，是奇數，是解答此題的關鍵.

21.你能從1、3、5、7、9、…、2007、2009這1005個自然數中選出9個，使它們的和等

于2008嗎？為什么?

【分析】由題意可知，1、3、5、7、9、…、2007,2009此數列中全是奇數，則從中選出

的9個數也一定是奇數，根據數和的奇偶性可知，奇數個奇數相加的和仍然是奇數，2008

是偶數，所以不能使它們的和是2008.

【解答】解：由于中選出的9個數也一定是奇數，

奇數個奇數相加的和仍然是奇數，

2008是偶數，

所以不能使它們的和是2008.

【點評】本題考查了學生根據數和的奇偶性解決問題的能力.

22.在棋盤中，如果兩個方格有公共點，就稱為相鄰的.如圖中A有3個相鄰的方格，而8

有8個相鄰的方格.圖中每一個奇數表示與它相鄰的方格中偶數的個數（如3表示相鄰

的方格中有3個偶數），每個偶數表示與它相鄰的方格中奇數的個數（如4表示相鄰的方

格中有4個奇數）.請在下面的4X4的棋盤中填數（至少有一個奇數），滿足上面的要求.

【分析】首先確定中間四個位置的數據全為4,由此可以確定與它相鄰的方格中奇數的個

數為4個，則偶數的個數也是4個，而在頂角的數字為一個偶數2,其余兩個只能為奇數

才能符合要求，得出第一種結論；同理首先確定中間四個位置的數據全為3得出另一種

【點評】解決此題注意奇數周圍偶數的個數，偶數周圍奇數的個數.

23.將1,3,5,7,9填入等號左邊的5個方框中，2,4,6,8填入等號右邊的4個方框

中，使等式成立，且等號兩邊的計算結果都是自然數，這個結果最小為51.

π÷π+π+ππ=π÷π+ππ

【分析】1,3,5,7,9全為奇數，根據數的奇偶性可知，則奇數米奇數為奇數，奇數個

奇數相加為奇數，左邊的值必然為奇數；所以右邊的結果也為奇數，而右邊□口必為偶

數，奇數+偶數=奇數，所則口÷□只能為奇數，故只能是6÷2,又要求結果最小，所

以可得9÷l+5+37=6÷2+48=51.

【解答】解：由奇偶性可以知道，左邊必然為奇數，

所以右邊的結果也為奇數，而右邊□口必為偶數，

故右邊的□÷口中只能是6÷2,又要求結果最小，

所以可以得到：9÷l+5+37=6÷2+48=51.

故答案為：51.

【點評】本題主要考查了學生根據數的奇偶性解決問題的能力.

24.如圖所示，在三個圓圈中各填入一個自然數，使每條線段兩端的兩個數之和均為奇數.請

問這樣的填法存在嗎？如不存在，請說明理由；如存在，請寫出一種填法.

【分析】根據數和的奇偶性可知：奇數+(-)奇數=偶數，偶數+(-)偶數=偶數，

奇數+(-)偶數=奇數.設所填的分別數為a、b、c,如這種填法存在的話，則有：a+b

=奇數.α+c=奇數，

8+c=奇數.那么(a+?)+(.a+c)+(b+c)—2(α+?+c),(a+b)+(a+C)+(?+c)為

奇數+奇數+奇數=偶數+奇數=奇數；

2(α+6+c)為偶數，偶效W奇數,所以不存在這樣的填法.

【解答】解：不存在這種填法，理由為：

設所填的數分別是α,4c,如圖所示.

假設“+/?=奇數，α+C=奇數，6+c=奇數；

三式相加：Ca+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c),

左邊=2(a+t>+c),是偶數，

右邊=三個奇數相加，是奇數，

而偶效金奇數,

所以不存在這樣的填法.

【點評】本題要在了解數和的奇偶性的基礎上完成.

25.能將1,2,3,4,5,6,7,8,9填在3X3的方格表中（如圖），使得橫向與豎向任意

相鄰兩數之和都是質數嗎？如果能，請給出一種填法：如果不能，請你說明理由.

ESH

0

HS

【分析】由于1,3,5,7,9中任意兩個奇數的和都是合數，所以1,3,5,7,9只能

填在表的四角和中心，而偶數2,4,6,8填在★處，中間所填的奇數要與2,4,6,8

橫向或豎向相鄰，即中間所填的奇數與2,4,6,8之和都要是質數；再根據1+8=9是

合數，3+6=9,5+4=9,7+2=9,9+6=15,都是合數得出矛盾，從而得解.

【解答】解：奇數1,3,5,7,9中任兩個之和都大于2的偶數，因而是合數，所以在

填入3X3的表格時它們中任兩個橫向、豎向都不能相鄰.如果滿足題設條件的3X3表

格的填法存在，那么奇數1,3,5,7,9只能填在表的四角和中心，而偶數2,4,6,8

填在★處，于是中間所填的奇數要與2,4,6,8橫向或豎向相鄰，即中間所填的奇數與

2,4,6,8之和都要是質數.然而，這是不可能的，原因是：

1+8=9是合數，3+6=9是合數，5+4=9是合數，7+2=9是合數，9+6=15是合數，

所以在3X3表格中滿足題設要求的填法是不存在的.

【點評】先根據兩個不同時是1的奇數相加的和是大于2偶數，也是合數，找出奇數和

偶數在圖中的位置，再找出中間所填數與周圍偶數的和都必須是質數，從而得出矛盾進

行求解.

26.將1999表示為兩個質數之和：1999=口+口，在口中填入質數.共有多少種表示法？

【分析】利用奇數的性質：奇數=奇數+偶數，和質數的意義填空推斷即可.

【解答】解：因為兩個奇數的和是偶數，所以將1999表示成兩個質數的和，這兩個質數

中必有一個是偶數，

因而也就是2,另一個是1999-2=1997即1999=2+1997,只有一種填法（我們將2+1997

與1997+2作為同一種）.

所以共有--種表示法.

【點評】解答注意特殊的質數2,也是偶數.

27.小地球儀上赤道大圓與過南北極的某大圓相交于4、8兩點.有黑、白二蟻從A點同時

出發(fā)分別沿著這兩個大圓爬行.黑蟻爬赤道大圓一周要10秒鐘，白蟻爬過南北極的大圓

一周要8秒鐘.問：在10分鐘內黑、白二蟻在B