2023-2024學(xué)年北京初三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷2（解析版）

2023-2024學(xué)年北京初三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷-含答案

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

一、選擇題(本題共8道小題，每小題2分，共16分)下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意

的

1.已知NA為銳角，且sinA=5,那么NA等于()

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】試題分析：YNA為銳角，sinA=^,，/八二?。。.故選B.

考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值.

2.已知3。=4仇"。0),則下列各式正確的是()

a4a3aba4

A.-=—B.—=—C.—=—D.一二一

b3b4343b

【答案】A

【解析】直接利用分式的基本性質(zhì)即可得到3的值，再進(jìn)行選擇即可.

b

【詳解】3a=4b,等式兩邊同時(shí)除以3b.

得.￡=2

■b4

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形是解答本題關(guān)鍵.

3.拋物線y=x2-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(0,-2)B.(-2,0)C.(0,2)D.(2,0)

【答案】A

【解析】已知拋物線的解析式滿足頂點(diǎn)坐標(biāo)式y(tǒng)=a(x-〃尸+女的形式，直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】解：???拋物線丁=/一2

拋物線丁=/一2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-2)

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì).

k

4.已知反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，則左的值為()

x

A.3B.4C.5D.6

第1頁共24頁

【答案】D

【解析】將（2,3）代入解析式中即可.

【詳解】解：將點(diǎn)（2,3）代入解析式得

3=—k=6.

2

故選:D

【點(diǎn)睛】此題考查的是求反比例系數(shù)解析式,掌握用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式是解決此題的關(guān)鍵.

5.如圖，AD是aABC的外接圓。0的直徑，若NBCA=50°,則NBAD=（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】根據(jù)圓周角定理推論：直徑所對(duì)圓周角為直角、同圓中等弧所對(duì)圓周角相等即可得到結(jié)論.

【詳解】解：A￡＞是AABC的外接圓（。的直徑

點(diǎn)A、B、C、D在。上

ZBCA=50°

:.ZADB=ZBCA=5(f

AD是A4BC的外接圓O。的直徑

：.ZABD=90°

\?BAD90?50?40?

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，由圓周角定理得到NA￡）B=50。，ZABD^90°

是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，面積為18的正方形ABCD內(nèi)接于。0,則。0的半徑為（）

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3

A.-

2

C.3D.3亞

【答案】C

【解析】連接OA、0B,則為等腰直角三角形,由正方形面積為18,可求邊長為AB?=18,進(jìn)而通過

勾股定理，可得半徑為3.

【詳解】解：如圖，連接OA,0B,則OA=OB

?.?四邊形ABCD是正方形

ZAOB=90°

.OAB是等腰直角三角形

?..正方形ABCD的面積是18

AAB2=18

-'-O^+OB2=AB2=即：2OA2=18

OA-3

故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

7.關(guān)于二次函數(shù)y=-（x-2）?+3,以下說法正確的是（）

A.當(dāng)x>-2時(shí)y隨x增大而減小B.當(dāng)x>-2時(shí)y隨x增大而增大

C.當(dāng)x>2時(shí)y隨x增大而減小D.當(dāng)x>2時(shí)y隨x增大而增大

【答案】C

【解析】由拋物線解析式可求得開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，可求得答案.

【詳解】解：；y=-（x-2）2+3

二拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3）

?.,二次函數(shù)的圖象為一條拋物線，當(dāng)x>2時(shí)y隨x的增大而減小，x<2時(shí)y隨x增大而增大

；.C正確

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y=a（x-h）?+k中對(duì)稱

軸為x=h,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中。。的半徑為2,與x軸，y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)C（l,c）,

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D（、歷，d）,E（e,1）,P（m,n）均為從臺(tái)上的點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合），若m<n<Gm,則點(diǎn)P的

位置為（）

A.在BC上B.在CO上C.在QE上D.在E4上

【答案】B

【解析】先由勾股定理確定出各點(diǎn)坐標(biāo)，再利用m<n<&m判斷即可.

【詳解】點(diǎn)C、D、E、P都在A8上

222222222

由勾股定理得1+C=2>（V2）+d=2和e+l=2

解得c—Vs>d=V2>e--$/3

故C（l,揚(yáng)，D（0,72）-E（6，1）

P（m,n）,m<n<73m>且m在AB上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)滿足％=后工，點(diǎn)D縱坐標(biāo)滿足尤d=〃

，從點(diǎn)D到點(diǎn)C的弧上的點(diǎn)滿足：x<y<y/3x

故點(diǎn)P在CO上.

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理和圓的基本性質(zhì)，掌握相應(yīng)的定理和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）

9.請(qǐng)寫出一個(gè)開口向下，并且與y軸交于點(diǎn)（0,1）的拋物線的表達(dá)式

【答案】y=-x2+2x+]（答案不唯一）

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線開口向下a〈0,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為常數(shù)項(xiàng)，然后寫出即可.

【詳解】:?拋物線開口向下，并且與y軸交于點(diǎn)（0,1）

...二次函數(shù)的一般表達(dá)式,="2+41+。中2<0,c=l

二次函數(shù)表達(dá)式可以為：y=-x2+2x+\（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握開口方向、與y軸的交點(diǎn)與二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

10.己知。。的半徑為5cm,圓心0到直線1的距離為4cm,那么直線1與。。的位置關(guān)系是.

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【答案】相交

【解析】由題意得d〈r,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法判定即可.

【詳解】解：:。。的半徑為5cm,圓心0到直線1的距離為4cm

.".d<r

直線1與。0的位置關(guān)系是相交.

故答案為相交.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.已知。。的半徑為r,如果圓心0到直線1的距離是d,當(dāng)d>r

時(shí)直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)直線與圓相切；當(dāng)d<r時(shí)直線與圓相交.

11.若扇形的圓心角為60°,半徑為2,則該扇形的弧長是___(結(jié)果保留兀)

【答案】-71

3

【解析】已知扇形的圓心角為60°,半徑為2,代入弧長公式計(jì)算.

【詳解】解：依題意，n=60°.r=2

imr60〃x22

.?.扇形的弧長=------------二一兀

18(F18003

故答案為：―4.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式的運(yùn)用.關(guān)鍵是熟悉公式：扇形的弧長=吟.

180

12.點(diǎn)A(T,yjB(4,yz)是二次函數(shù)y=(x-圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則y-為(填“>”，“<”

或“=”)

【答案】必<必

【解析】根據(jù)二次函數(shù)y=(x—1)2的對(duì)稱軸為x=l,則％=—1時(shí)的函數(shù)值兄和x=3的函數(shù)值相等，進(jìn)

而根據(jù)拋物線開口朝上，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大即可判斷,，為

【詳解】解：.?二次函數(shù)y=(x-1)2的對(duì)稱軸為》=1

，x=-l時(shí)的函數(shù)值,和x=3的函數(shù)值相等，在對(duì)稱軸的右側(cè)V隨x的增大而增大

?3<4

???y<%

故答案為：x<%

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握了=。。-力)2圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，AB為。的直徑，弦COLA6于點(diǎn)H,若45=10,8=8則0H的長度為

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【答案】3

【解析】連接0C,由垂徑定理可求出CH的長度，在RtZXOCH中根據(jù)CH和。。的半徑，即可由勾股定理求

出0H的長.

【詳解】連接0C

RtAOCIIqOC=-1AB=5,CH=1-CD=4；

22

由勾股定理，得：OH=J0c2_次=)52-42=3；

即線段OH的長為3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.也考查了勾股定理.

—1

14.已知反比例函數(shù)丫=——的圖象分布在第二、四象限，則m的取值范圍是

尤

【答案】m<l

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖像所在的象限，求出m的取值范圍.

—1

【詳解】解：??,反比例函數(shù)y=——圖像在第二、四象限

x

/.mA<0

m<1

故答案為：/7t<1.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)圖像所在的象限得到01的取值范圍.

15.如圖，PA,PB分別與相切于A,B兩點(diǎn)，C是優(yōu)弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若NP=50°,則NACB=

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A

C

OP

B

【答案】65

【解析】連接0Ao8,根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和定理求得NAQB=130°,進(jìn)而根據(jù)圓周角定理

即可求得/ACB

【詳解】解：連接。4,。8,如圖

PA,PB分別與。0相切

:.ZOAP=ZOBP=90°

ZAOB=360°-ZOAP-4OBP-NP=130°

AB^AB

：.ZACB=-ZAOB=65°

2

故答案為：65

【點(diǎn)睛】本題考查了切線性質(zhì)，圓周角定理，四邊形的內(nèi)角和，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.點(diǎn)A(xi,y1),B(x2,y2)(x1?x2>0)是y=ax?(aWO)圖象上的點(diǎn),存在打一々卜1時(shí)1X=1成

立，寫出一個(gè)滿足條件a的值______________

【答案】a=\

【解析】由y=可知圖像一定過(0,0),令占=0,乂=0由歸一司=1時(shí)|乂一上|=1成立，取9=1

%=1代入y=o?中解出〃即可.

【詳解】***y=ax2一定過(0,0)

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?,?令玉=oy=o

k-^|=i時(shí)帆一%|=i成立

.?.取々=i%=1

1=axI2

解得：a=l.

故答案為：a=l.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27、28題，每

小題7分，共68分）

17.計(jì)算:2sin600+tan45°—cos30°tan60°

【答案］6—

2

【解析】根據(jù)特殊角的銳角三角形函數(shù)值進(jìn)行混合運(yùn)算即可.

【詳解】解：原式=2x3+1-3x?

22

2

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的銳角三角形函數(shù)值的混合運(yùn)算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在AABC中NC=90°,AC=4,AB=5,點(diǎn)D在AC上且AD=3,DEJ_AB于點(diǎn)3求AE的長

【答案】4七=三

【解析】先證明,ADEABC,由相似三角形的性質(zhì)即可求出AE.

【詳解】：DE，AB于點(diǎn)E,ZC=90°

ZAED=ZC

VZA=ZA

△ADEABC

.ADAE

"~AB~~AC

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3AE

5

12

AE=—.

5

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.己知：二次函數(shù)y=x'-4x+3

(1)求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在坐標(biāo)系中畫出圖象，并結(jié)合圖象直接寫出y<0時(shí)自變量x的取值范圍

【答案】(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為。,0)(3,0)；(2)l<x<3

【解析】(1)把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式即可得出答案；

(2)根據(jù)(1)畫出圖像，由圖像即可得出><0時(shí)自變量x的取值范圍.

【詳解】(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-l=(x-l)(x-3)

二頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)

與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)(3,0)；

(2)如圖所示：

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當(dāng)y<0時(shí)自變量x的取值范圍為l<x<3.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在AABC中NB=30°,AB=4,AD1.BC于點(diǎn)D且tanNCAD=g,求BC的長

【解析】在中求出AO,3。在中由tanNC4D=g求出CO即可得出3c的長.

【詳解】?/A。，8c于點(diǎn)D

4ADB,ADC為直角三角形

在用乙403中NB=30°AB=4

AD=AB=2BD=dAB2-AD?=26

在RtADC中tanNC4O=LAD=2

2

CD1

/.tanZ.CAD==—

AD2

：.CD=l

；?BC=BD+CD=26+1.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形，掌握直角三角形中30。角所對(duì)的邊是斜

邊的一半是解題的關(guān)鍵.

21.己知：如圖，AABC為銳角三角形，AB=AC

求作：一點(diǎn)P,使得/APC=/BAC

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作法：①以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫圓;

②以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交。A于點(diǎn)C,D兩點(diǎn);

③連接DA并延長交。A于點(diǎn)P

點(diǎn)P即為所求

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明

證明：連接PC,BD

VAB=AC

；.點(diǎn)C在（DA上

：BC=BD

Z_________=Z_________

.*.ZBAC=|ZCAD

1點(diǎn)D,P在。A上

AZCPD-yZCAD（）（填推理的依據(jù)）

；./APC=/BAC

【答案】（1）見解析；（2）BAC=BAD,圓周角定理或同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半

【解析】（1）根據(jù)按步驟作圖即可：

（2）根據(jù)圓周角定理進(jìn)行證明即可

【詳解】解：（1）如圖所示

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(2)證明：連接PC,BD

VAB=AC

...點(diǎn)C在。A上

VBC=BD

/BAC=NBAD

.".ZBAC=|ZCAD

?.?點(diǎn)D,P在。A上

NCPD=[NCAD(圓周角定理)(填推理的依據(jù))

ZAPC=ZBAC

故答案為：BAC=BAD,圓周角定理或同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖作圓，圓周角定理，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中A(a,2)是一次函數(shù)y=x-1的圖象與反比例函數(shù))=&(%*())的圖

X

象的交點(diǎn)

k

(1)求反比例函數(shù)>=一(女wO)的表達(dá)式；

x

(2)過點(diǎn)P(n,0)且垂直于x軸的直線與一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別為M,N,當(dāng)S△倜

>SA。”時(shí)直接寫出n的取值范圍

第12頁共24頁

【答案】（1）y=-；（2）〃（一2或〃>3

X

［解析】把4。,2）代入y=x-1求出a的值，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=人求出左，即可求出反比例表達(dá)式;

x

（2）當(dāng)S.PM>S,?N時(shí)故PM>RV,由圖像即可確定〃的取值范圍.

【詳解】⑴把4a,2）代入y=x-l,得a=3

.?.點(diǎn)A坐標(biāo)為（3,2）

把A（3,2）代入y=V（kwO）,得々=6

X

...反比例函數(shù)表達(dá)式為y=9；

X

第13頁共24頁

6

如圖，當(dāng)一=X—1時(shí)解得：x=-2或X=3

X

SOPM>SOPN

：,PM>PN

，〃<-2或〃>3.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)，掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵.

23.居庸關(guān)位于距北京市區(qū)50余公里外的昌平區(qū)境內(nèi)，是京北長城沿線上的著名古關(guān)城，有“天下第一雄

關(guān)”的美譽(yù)某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用皮尺和測角儀等工具，測量南關(guān)主城門上城樓頂端距地面的高度，

下表是小強(qiáng)填寫的實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告的部分內(nèi)容：請(qǐng)你幫他計(jì)算出城樓的高度AD(結(jié)果精確到0.1m,

sin35°~0.574,cos35°~0.819,tan35°~0.700)

【答案】城樓頂端距地面約為31.9m

AE-

【解析】根據(jù)題意，設(shè)AExm,在RtZ\ACE中tan/ABE=-----,進(jìn)而列出方程O.7(x+13)=x,求得AE,

BE

根據(jù)AD=AE+ED即可求解

【詳解】解：根據(jù)題意,得BM=ED=16m,ZAEC=90°

設(shè)AE為xm,在RtZiACE中

???ZACE=45°

.??ZCAE=45°

AAE=CE

在RtAABE中

AE

tanZABE=——

BE

又???NABE=35°

第14頁共24頁

x

tan350=

x+13

即0.7(x+13)=x

解得x七30.3

.,.AD=AE+ED?=30.3+16^31.9(m)

答：城樓頂端距地面約為31.9m

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，。。是AABC的外接圓，AB是。。的直徑，ABLCD于點(diǎn)E,P是AB延長線上一點(diǎn)，且/BCP=/BCD

（1）求證：CP是。0的切線;

（2）連接1）0并延長，交AC于點(diǎn)F,交。0于點(diǎn)G,連接GC若。。的半徑為5,0E=3,求GC和OF的長

【答案】（1）見解析；（2）GC=6OF=—

11

【解析】（1）連接0C,由已知可得/0CB+/BCD=90°,進(jìn)而根據(jù)/BCP=/BCD,等量代換可得N0CB+/BCP

=90°,即可證明CP是。。的切線;

（2）證明0E為ADCG的中位線，由AO〃GC，證明△GCFs^OAF,進(jìn)而列出比例式代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即

可.

【詳解】（1）證明：連接0C

第15頁共24頁

.,.ZOBC=ZOCB

?.,AB_LCD于點(diǎn)E

/.ZCEB=90°

???Z0BC+ZBCD=90°

/.Z0CB+ZBCD=90°

VZBCP=ZBCD

AZ0CB+ZBCP=90°

AOCICP

???CP是。0的切線

(2)???AB_LCD于點(diǎn)E

???E為CD中點(diǎn)

???0為GD中點(diǎn)

AOE為ADCG的中位線

???GC=2OE=6OE//GC

??,AO//GC

AAGCF^AOAF

.GCGF

6GF

即Hn一二——

5OF

VGF+0F=5

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

25.隨著冬季的到來，干果是這個(gè)季節(jié)少不了的營養(yǎng)主角，某超市購進(jìn)一批干果，分裝成營養(yǎng)搭配合理的

小包裝后出售，每袋成本20元銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（袋）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近

似地看作一次函數(shù)：y=-2x+80（20WxW40）,設(shè)每天獲得的利潤為w（元）

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(1)求出W與X的關(guān)系式；

(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

【答案】(1)W=-2X2+120X-1600：(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為每袋30元時(shí)每天可獲得最大利潤，最大利潤

是200元

【解析】

分析】(1)由公式利潤=(售價(jià)彼本)X數(shù)量即可列出關(guān)系式；

(2)把w=—2Y+120X—1600化為卬=一2(%-30)2+200,由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】(1)由題可得：w=(x-20)y=(x-2O)(-2x+8O)--2x2+120x-1600：

(2)w=-2x2+120x-l600=-2(x-30)2+200

V20<x<40,且a=—2<0

當(dāng)x=3O時(shí)y最大=200.

答：當(dāng)銷售單價(jià)定為每袋30元時(shí)每天可獲得最大利潤，最大利潤是200元.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用一銷售問題，由題列出關(guān)系式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)(1,m)和點(diǎn)(3,n)在二次函數(shù)y=x?+bx的圖象上

(1)當(dāng)m=-3時(shí)

①求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

②若點(diǎn)(T,yj(a,y2)在二次函數(shù)的圖象上，且y2>y”則a的取值范圍是一_；

(2)當(dāng)mn<0時(shí)求b的取值范圍

【答案】(1)①y=(x—2>—4；②。<一1或。>5；(2)-3<b<-l

【解析】(1)①將點(diǎn)(1,-3)代入y=x?+bx求出b的值，得出函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)行配方即可得到拋物線

的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得出a的取值；

(2)用含有b的代數(shù)式分別表示出m,n,根據(jù)mn<0分類討論即可.

【詳解】解：⑴當(dāng)m=-3時(shí)

①把點(diǎn)(1,-3)代入ynx^+bx,得b=-4

二次函數(shù)表達(dá)式為y=x?-4x=(x-2)2-4

所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4)

②根據(jù)題意得拋物線y=x2-4x開口向上，對(duì)稱軸為直線x=2

Vy2>y1

，i)當(dāng)點(diǎn)(T,y。，(a,y2)在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)有a<-l；

ii)當(dāng)點(diǎn)(-1,yj(a,y2)在拋物線對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)根據(jù)對(duì)稱性可知a>5；

所以a的取值范圍是：a<-l或a>5

故答案為：a<T或a>5

(2)將點(diǎn)(1,m),(3,n)代入y=x°+bx,可得m=l+b，n=9+3b

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當(dāng)mn<0時(shí)有兩種情況:

m>0,1+8>0,

①若把m=l+b,n=9+3b代入可得I八此時(shí)不等式組無解

??<0.9+3b<0.

m<0,\+b<0,

②若《把m=l+b,n=9+3b代入可得《解得-3Vb<T

n>0.9+38>0.

所以-3<b<T

【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特點(diǎn)，能結(jié)合題意確定b

的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

27.已知/P0Q=120°,點(diǎn)A,B分別在OP,0Q上，0A<0B,連接AB,在AB上方作等邊aABC,點(diǎn)D是B0

延長線上一點(diǎn)，且AB=AD,連接AD

(1)補(bǔ)全圖形；

(2)連接0C,求證:ZC0P=ZC0Q；

(3)連接CD,CD交0P于點(diǎn)F,請(qǐng)你寫出一個(gè)/DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并證明

O

備用圖

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)ZDAB=150°,見解析

【解析】(1)依據(jù)題意作出相應(yīng)圖形即可;

(2)在BQ上截取BE=AO,連接CE,由等邊三角形的性質(zhì)得，CA=CB,ZACB=60°

由同角的補(bǔ)角相等得NCAONCBE,由SAS證得aCAO和全等，即可得證；

(3)由NDAB=150°,DA=AB,得NADB=/ABD=15°,由等邊三角形性質(zhì)，可得/CAB=/CBA=NACB=60°,

故NCAD=150°,由等邊對(duì)等角得NADC=NACD=15°,由此NDBC=NDCB=75°,由等角對(duì)等邊得DB=DC再

由NP0Q=120°,ZBDC=30°,得NDF0=90°,等量代換即可得證.

【詳解】解：(1)如圖所示：

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(2)證明如下:

/.CA=CB,ZACB=60°

VZP0Q=120°

/.ZCA0+ZCB0=180°

VZCB0+ZCBE=180°

JZCAO=ZCBE

CA=CB

△CAO和aCBE中,ZCAO=ZCBE

AO=BE

AACAO^ACBE(SAS)

???C0=CE,ZCOA=ZCEB

???ZCOE=ZCEB

???ZCOP=ZCOQ；

(3)ZDAB=150°

如圖：

/.ZADB=ZABD=15°

VAABC為等邊三角形

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/.ZCAB=ZCBA=ZACB=60°

.,.ZCAD=150°

*/AD=AC

.\ZADC=ZACD=15°

???NDBC=NDCB=75°

ADB=DC

VZP0Q=120°,ZBDC=30°

???ZDF0=90°

VAD=AC

???DF二FC

AD0=0C

?/DB=D0+0B

???DB=C0+0B

ACD=OB+OC.

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及

添加輔助線構(gòu)造全等三角形，掌握相應(yīng)的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中對(duì)于點(diǎn)P,0,Q給出如下定義：若0QVP0VPQ且P0W2,我們稱點(diǎn)P是線段

0Q的“潛力點(diǎn)”

已知點(diǎn)0(0,0),Q(1,0)

(1)在R(0,-1),P2(；,P3(-1,1)中是線段0Q的“潛力點(diǎn)”是_____________；

22

(2)若點(diǎn)P在直線y=x上，且為線段0Q的“潛力點(diǎn)”，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍；

(3)直線y=2x+b與x軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,當(dāng)線段MN上存在線段0Q的“潛力點(diǎn)”時(shí)直接寫出

b的取值范圍

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【答案】⑴6；(2)-V2;⑶1<)42指或一絲■—

p22

【解析】(1)分別計(jì)算出OQ、P0和PQ的長度，比較即可得出答案；

(2)先判斷點(diǎn)P在以0為圓心，1為半徑的圓外且點(diǎn)P在線段0Q垂直平分線的左側(cè)，結(jié)合P0W2,點(diǎn)P在

以0為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)，可得點(diǎn)P在如圖所示的線段AB上(不包含點(diǎn)B),過B作BCJ.y軸，

過A作AO_Ly軸，垂足分別為C,。，再根據(jù)圖形的性質(zhì)求解BC,A。，從而可得答案；

(3)由(2)得：點(diǎn)P在以0為圓心，1為半徑的圓外且點(diǎn)P在以0為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)，而P0

<PQ,點(diǎn)P在線段0Q垂直平分線的左側(cè)，再分兩種情況討論：當(dāng)匕>0時(shí)當(dāng)匕W0時(shí)分別畫出兩種情況下的

臨界直線y=2x+"再根據(jù)臨界直線經(jīng)過的特殊點(diǎn)求解。的值，再確定范