2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類題組3-1導(dǎo)數(shù)與積分

專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

3.1導(dǎo)數(shù)與積分

考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算

1.(2019課標(biāo)II文,10,5分)曲線y≈2sinx+cosx在點(diǎn)(n,T)處的切線方程為()

A.χ-y-π-1=0B.2χ-y-2π-1=0

C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=0

答案C本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,通過切線方程的求解考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,滲

透的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

,,

由題意可知y=2cosχ-sinx,則y∣x=,=-2.所以曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(Jt,T)處的切線方程

為y+l=-2(χ-π),即2x+y+l-2Jt=0,故選C.

小題速解由題意得y'=2cosχ-sinx,則y'∣..=-2.計(jì)算A、B、C、D選項(xiàng)中直線的斜率,可知

只有C符合.故選C.

2.(2016山東理,10,5分)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切

線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是()

A.y=sinxB.y=lnxC.y-esD.y-x3

答案A設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上的兩點(diǎn)分別為(x∣,y),區(qū),力),且X節(jié)X,則由題意知只需函

,,

數(shù)y=f(x)滿足f(xl)?f(x2)=-l即可.y=f(x)=sinx的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=cosx,則

f,(0)?f,(π)=-1,故函數(shù)y=sinx具有T性質(zhì)；y=f(x)=lnx的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=A則

X

f,(x,)?f'(xjJ?＞0,故函數(shù)y=lnx不具有T性質(zhì)；y=f(x)=e,的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=e',則

*1*2

f'(xj?f'G)=e*ι+典＞0,故函數(shù)y=e*不具有T性質(zhì)；y=f(x)=χ3的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=3χ2,則

f,(x,)?f'(xJ=M石川,故函數(shù)y=1不具有T性質(zhì).故選A.

疑難突破函數(shù)的圖象在兩點(diǎn)處的切線互相垂直等價(jià)于在這兩點(diǎn)處的切線的斜率之積為T,

即相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)之積為-1,這是解決此題的關(guān)鍵.

評析本題為創(chuàng)新題,主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線相互垂直的條件,屬于偏難題.

3.(2016四川理,9,5分)設(shè)直線1”k分別是函數(shù)f(x)={[,*＜；＜圖象上點(diǎn)P”2處的切

線，L與L垂直相交于點(diǎn)P,且1”k分別與y軸相交于點(diǎn)A,B,則4PAB的面積的取值范圍是

()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(l,+∞)

答案A設(shè)案是y=Tnx(是x<l)的切線,切點(diǎn)Pl(X∣,y),k是y=Lnx(x>l)的切線,切點(diǎn)

P2(χ2,y2),

li：y-yi=-^-(x-Xi),?

??

12：y-y2=?(χ一χ2),②

×2

①-②得Xmlr罕，

-L+-L

xlx2

易知A(0,y1+l),B(0,y2-D,

V11±L,/.-?*-!-=-1,.*.XJX2=I,

典x2

∣∣

?,?SΔPAB=^AB?∣xp∣=∣∣yl-y2+2∣?

l??l

_1(力-及+2)2_1(-ln?∣-ln%2+2)2

19-S≡2?X+Λ

x?x212

_1.1ln(*i*2)+2]2l.42

2xl+x22X?^×2x?+x2f

XV0<x1<l,X2>1,X,X2=1,

/.x1+x2>2λ∕Tf^=2,

Λ0<SΔPAB<1.故選A.

思路分析設(shè)出點(diǎn)P1,巳的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)已知表示出1?I2,然后求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)及X1.,最

后利用點(diǎn)在曲線上及垂直的條件求出面積表達(dá)式,從而求出面積的取值范圍.

評析本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線問題,及考生的運(yùn)算能力.

4.(2014課標(biāo)11理,8,5分)設(shè)曲線y=aχ-ln(x+l)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x,則

a=()

A.0B.1C.2D.3

答案Dy'二當(dāng)X=O時(shí)，y,=a-l=2,Λa=3,故選D.

x+ι

5.（2020課標(biāo)I文,15,5分）曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程

為.

答案y=2χ

2

,

解析設(shè)該切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x。,y0),由y=lnx+x+l得y」+1,則在該切點(diǎn)處的切線斜率

X

H+1,即Li=2,解得XO=I,.?.yO=Inl+1+1=2,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)?.該切線的方程為

*0XQ

y-2=2(χ-l),即y=2x.

6.(2020課標(biāo)HI文，15,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=?.若f'⑴3,則a=.

答案1

,,

解析f(x)若半,則f(1)=7?τ?解得a=l.

7.(2019天津文，11,5分)曲線y=cosx￡在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為.

答案x+2y-2=0

解析本題通過求曲線在某點(diǎn)處的切線,考查學(xué)生對基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義的理解和掌握程度.

?.?y=cosx~J.?.y'=-sinχ-g,.?.y'L產(chǎn)弓,即曲線在(0,1)處的切線斜率為彳,，切線方程為

y-l=-^(χ-0),即x+2y-2=0.

8.(2018天津文，10,5分)已知函數(shù)￡々)=/1"F(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f'⑴的值

為.

答案e

解析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.

Vf(x)=exlnx,

.?.F(x)=e(lnx+?θ,

Λf,(l)=el×(lnl+l)=e.

9.(2018課標(biāo)II文，13,5分)曲線y=21nx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為.

答案2χ-y-2=0

解析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì).

由y=21nx得y'因?yàn)閗=y'|日=2,點(diǎn)(1,0)為切點(diǎn)，

所以切線方程為y=2(χ-l),即2χ-y-2=0.

10.(2017課標(biāo)I文，14,5分)曲線y=x?^在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為.

X

答案χ-y+l=0

3

解析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

Vy=X2AΛy,=2X-Λ,Λy,/尸2—1=1,，所求切線方程為y-2=χ-l,即χ-y+l=O.

X片

11.(2017天津文，10,5分)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=aχ-lnx的圖象在點(diǎn)(1,f(D)處的切線為1,

則1在y軸上的截距為.

答案1

解析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線方程與截距.

由題意可知f'(x)=a」,所以f,(l)=a-l,

X

因?yàn)閒(l)=a,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(l,a),

所以切線1的方程為y-a=(a-l)(χ-l),

即y=(a-l)x+l.

令X=O,得y=l,即直線1在y軸上的截距為1.

易錯(cuò)警示不能正確求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而導(dǎo)致不能正確求解切線1的斜率.

12.(2015課標(biāo)I文，14,5分)已知函數(shù)￡々)=2*4*+1的圖象在點(diǎn)(1,f(D)處的切線過點(diǎn)

(2,7),貝IJa=.

答案1

解析由題意可得f,(x)=3ax2+l,Λf,(l)=3a+l,

又f(1)=a+2,.?.f(x)=ax3+x+l的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-(a+2)=(3a+l)(χ-l),

又此切線過點(diǎn)(2,7),

.?.7-(a+2)=(3a+l)(2T),解得a=l.

13.(2015陜西理，15,5分)設(shè)曲線y=eX在點(diǎn)(0,l)處的切線與曲線y=?(x>0)上點(diǎn)P處的切線

X

垂直,則P的坐標(biāo)為.

答案(1,D

解析；函數(shù)y=e"的導(dǎo)函數(shù)為y'=e?

.?.曲線y=e”在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k,=e0=l.

設(shè)P(χ0,y°)(χo>O),：函數(shù)y三的導(dǎo)函數(shù)為y'=$，

.?.曲線y」(x>0)在點(diǎn)P處的切線的斜率k2=-?,

XΛO

則有k1k2=-l,即1?卜g=T,解得￥=1,又xo>O,

4

?x0=l.又Y點(diǎn)P在曲線y^(x>O)±,Ay0=I,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).

X

14.(2012課標(biāo)文，13,5分)曲線y=x(31nx+l)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為.

答案y=4χ-3

解析y'=31nx+l+x?=31nx+4,k=y'∣χ=ι=4,切線方程為yT=4(xT),即y-4χ-3.

評析本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了運(yùn)算求解能力.

15.(2016課標(biāo)II],15,5分)己知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=ln(-χ)+3x,則曲線y=f(x)在

點(diǎn)(1,-3)處的切線方程是.

答案y=-2χ-l

解析令x>0,則-x<0,f(-χ)=lnχ-3x,

又f(-χ)=f(x),.*.f(x)=lnχ-3x(x>0),

則f,(X)=?^-3(x>0),.?f'(1)=-2,在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程為y+3=-2(xT),即y=-2χ-l.

X

思路分析由偶函數(shù)定義,可得x>0時(shí),f(x)的解析式,從而求出x>0時(shí)f(x)的導(dǎo)數(shù),進(jìn)而可

求得切線斜率,最后可得切線方程.

16.(2016課標(biāo)II,16,5分)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+l)的切

線,則b=.

答案lTn2

解析直線y=kx+b與曲線y=lnx+2,y=ln(x+l)均相切,設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1,yl),B(x2,y2),由

,,

y=lnx+2得y=A由y=ln(x+l)得y二,.’.k?????,,xg,x2=y-l,Λy,=-lnk+2,y2=-lnk.

X.r+l為超+1kκ

即A(；,TnA+2),B(：T,Tn%),

?：A、B在直線y=kx+b上，

12Tnk=k?2，=F=ιTn2,

-Ink=k?CT)+bQ=2.

思路分析先設(shè)切點(diǎn),找出切點(diǎn)坐標(biāo)與切線斜率的關(guān)系,并將切點(diǎn)坐標(biāo)用斜率表示出來,利用

切點(diǎn)在切線上列方程組,進(jìn)而求解.

考點(diǎn)二定積分與微積分基本定理

1.(2014湖北理,6,5分)若函數(shù)f(x),g(x)滿足Cf(x)g(x)dx=O,則稱f(x),g(x)為區(qū)間

[7,1]上的一組正交函數(shù).給出三組函數(shù):

5

2

①f(X)=SHX,g(x)=cos∣x;②f(x)=x+l,g(x)=χ-l;③f(x)=x,g(x)=x.

其中為區(qū)間11,1］上的正交函數(shù)的組數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

答案C由①得f(x)g(x)=singxcosgx=∣sinx,是奇函數(shù),所以Cf(x)g(x)dx=0,所以①為

區(qū)間［T,1］上的正交函數(shù);由②得

22

f(x)g(x)=x-l,??j?f(x)g(x)dx√J1ΛT)d尸G-X)I1廣-/所以②不是區(qū)間［T,1］

上的正交函數(shù)；由③得f(x)g(x)=x?是奇函數(shù),所以??f(x)g(x)dx=0,所以③為區(qū)間［T,1］

上的正交函數(shù).故選C.

2.(2014山東理,6,5分)直線y=4x與曲線y=Y在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為()

A.2√2B.4√2C.2D.4

答案D由匕二得X=O或x=2或x=-2(舍).

.?.S=∕j(4χ-χ3)dx=(2Λ2-^yl)Iθ=4.

評析本題考查利用定積分求面積.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽視條件“在第一象限內(nèi)”.

3.(2013湖北理,7,5分)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度

v(t)=7-3t+^(t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單

位：m)是()

A.1+251∏5B.8+25InyC.4+251n5D.4+501∏2

答案C由v(t)=。得t=4.故剎車距離為S=?jv(t)dt=

?^7-3t+-^)dt=［-∣t2+7t+251n(l+f)］Ij=4+251n5(m).

4.(2013北京理,7,5分)直線1過拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,則1與C所圍成的圖

形的面積等于()

A.∣B.2C.∣D.—

333

答案C由拋物線方程可知拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1),所以直線1