2022-2023學年河北省邢臺市重點學校高一（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年河北省邢臺市重點學校高一（下）期中數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列向量中不是單位向量的是（）

A.（cosa,sina）B.（—1,0）

C.（1,1）D.高（其中I五∣≠0）

2.下列條件中能得到Z=E的是（）

A.∣α∣=∣K∣B.五與1的方向相同

C.a=d,b為任意向量D.α=6且另=O

3.若瓦*,右是平面內的一組基底，則下面的四組向量中不能作為一組基底的是（）

A.宕+國和瓦（—瓦B.3可—2石和4石一6百

C.瓦?+3宅和器+3江D.瓦和瓦（+石

4.若向量落石滿足I五|=1，㈤=2,且方與石的夾角為今則∣W+B∣=（）

A.2B.y∕~5C.Λ∕^^6D.√^7

5.在AABC中,若4=60。，a9則s-=（）

1

A.B.?C.√-3D.2

2

6.在△力BC中,已知BC=a,力。=b,且a,b是方程/一??z+40=O的兩個根，C=60°,

則4B=()

A.3B.7C.√^^89D.49

7.四邊形4BC。中，AC=（1,2）.^BD=（-4,2），則四邊形4BC。的面積S=（）

?-IB.5C.10D.20

8.在△4BC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,點O,G,P,Q分別為AHBC所在平

面內一點，且有I畫∣2+I元/=I而r∣2+I^=I沅∣2+I荏『，QA+GB+QC=Q,

(PA+而)-AB=(PB+^C')-^C=(PC+'PAyCA=O,aQA+bQB+cQC=0>貝IJ點。,

G,P,Q分別為△4BC的（）

A.垂心，重心，外心，內心B.垂心，重心,內心，外心

C.外心，重心，垂心，內心D.外心，垂心,重心，內心

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.在A4BC中，已知a=2/2,8=4,4=30。，則角B=()

A.30oB.45oC.120oD.135o

10.kER,RtAABC中，AB=(2,3),ΛC=(l,∕c)'則k=()

11.在AABC中，已知b+c=[∑+l,NB=30。，△ABC的外接圓面積為兀，則4C=()

A.450B.60oC.120oD.135°

12.以下四個選項中，正確的有()

A.若向量五〃石,石〃d則方〃不

B.若非零向量落石無滿足五+3+笠=0,則表示方石工的有向線段可以構成三角形

C.若四邊形A8C。滿足荏=泥，S.?AD-AB?=?BC-BA?,則四邊形力BCD為矩形

D.P為四邊形力BCD所在平面內一點，若B?+同=而+麗，則四邊形ABCo為平行四邊形

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知4(2,4),B(4,3),C(-2,x)三點共線,則實數(shù)X=.

14.在AZBC中，力、B、C所對邊分別為a、b、c,且(a+b+c)(b+c—a)=3bc,則4等

于.

15.在AHBC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,S為△4BC的面積，若向量力=(2,(^+

∕J2-C2),I=(L2S)滿足萬〃干，則角C=.

16.已知△力BC是邊長為2的正三角形，P為平面ABC內一點，則同.(兩+同)的最小值為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

(1)已知點4(0,1),B(l,0),C(L2),D(3,0),求證：AB//CD；

(2)已知向量瓦,行不共線，且麗=4宙+2部,而=2瓦+筱，求證：M,P,Q三點共線.

18.(本小題12.0分)

已知五=(3,1)5=(-∣,fc).求k為何值時.

⑴方〃取

(2)alK;

(3)五與方的夾角為鈍角.

19.(本小題12.0分)

南海諸島自古以來就是中國領土,早在公元前2世紀的西漢時期，中國先民就發(fā)現(xiàn)了南海諸島,

并進行命名.三國時期吳國萬震所著《南州異物志少將南海稱為“漲?！?，將南海中的島礁稱

為“崎頭”，南宋周去非在帳外代答》中以“長砂(長沙)”“石塘”統(tǒng)稱南海諸島.明代中

葉以后，中國官方和民間有許多對南海諸島命名的記載，如微海方程潸海圖經(jīng)》。順風

相送沙等.南海上4,B兩個小島相距Ionrn〃e,從4島望C島和B島所成的視角為75。，從B島望

C島和4島所成的視角為60。，求C島和B島之間的距離.(結果精確到0.01τun"e,參考數(shù)據(jù)：

y∕~3≈1.732)

20.(本小題12.0分)

在△力BC中，內角力，B,C的對邊分別為α,b,c,已知c=2,C=&

(1)若△?!BC的面積等于，求α,b；

(2)若SMB=2sinA,求△4BC的面積；

(3)若布—(α,b~),n=—c,a—c),m1n,求^ABC的面積.

21.(本小題12.0分)

設向量日=(cosa,sina^),b=(CoSβ,sinβ)?

(1)求證：方+3與了一方互相垂直；

(2)若O</?-α<兀，且對任意keR,k五+石與九日一3大小相等，求0-a；

(3)若α+1=01=21+瓦2=2日一3五，求下與之的夾角0.

22.(本小題12.0分)

在△力"中，內角力，B,C的對邊分別為a,b,c,已知4為銳角，且cos24=-；.

(1)若mbc=/+￠2—a?,求實數(shù)ni的值；

(2)若a=√^百，求A4BC面積的最大值；

(3)若AB=2,點產為AB的中點，且CF?=4c?BC,求邊AC的長.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：A：因為√COS2α+siMα=1，為單位向量；

B-.（一1,0）顯然為單位向量：

C?.√P+12=1,不是單位向量；

D：告顯然為單位向量.

1?1

故選：C.

由己知結合單位向量的基本概念檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查了單位向量的概念的應用，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：由IRl=IB可得他們的摸相等，但方向不確定，故不能推出N=a故排除4

根據(jù)有與方的方向相同，但不知它們的模，故不能推出日=方，故排除B；

由于零向量的模為零，而IBl不一定為零，故C不正確；

由于所有的零向量都相等，故。正確.

故選：D.

由題意，根據(jù)零向量和相等的向量的定義，得出結論.

本題主要考查零向量和相等的向量，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：若宙,石是平面內的一組基底，則瓦與蔡是不共線的零向量，

力：根據(jù)向量加法及減法的平行四邊形法則可知，瓦＜+前與可-孩不共線，可以作為一組基底;

B-.因為4石一6瓦?=-2（3μ-2的，故3國一2名與4瓦一6瓦*共線，不能作為基底；

顯然C,。中的向量不共線，可以作為基底.

故選：B.

由已知結合向量基底的條件檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查了向量基底條件的判斷，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：因為|初=1,?b?=2,1與涌夾角為全

所以N?h=l×2×∣=l>

222

則IW+BI=J(a+b)=y∣a+b+2a-b=√1+4+2=√^7?

故選：D.

根據(jù)|五+方|=八六版結合數(shù)量積的運算律計算即可?

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

此題考查正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，及比例的性質，屬于基礎題.

由A的度數(shù)求出SiTM的值，利用正弦定理表示出比例式，再由α的值及求出的S譏力，算出比例式的

比值，根據(jù)比例的性質即可得到所求式子的值.

【解答】

解：由4=60o,a=√-3,根據(jù)正弦定理得：-?-六=肅=磊=2,可得:a=2sinA,

b=2sinB,c=2sinC,則./一k.2（Sw-S嚕一號）=2.

SinA-SinB-SinCSinAsinB-SinC

故選：D.

6.【答案】B

【解析】解：方程/一13%+40=0的兩個解是5,8,

由余弦定理可得，COSC=立F=CoS60。=L解得c=7,

故AB=7.

故選:B.

根據(jù)已知條件，結合韋達定理，以及余弦定理，即可求解.

本題主要考查韋達定理，以及余弦定理，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解:因為而=(1,2),BD=(-4,2).

所以前BD=1×(-4)+2x2=0，

則AC1BD,

又MCl=√l2+22=y∕^5,?BD?=√(-4)2+22=2?∏>,

所以四邊形ABCD的面積S=??AC??BD?=^×y∕~5×2√^5=5.

故選:B.

根據(jù)條件得到正?前=0,從而得到S=2∣4C∣∣BO∣,結合向量模長的計算公式，即可求解.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了平行四邊形的面積的求法，屬基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：GA+GB+GC=0,得褊+而=-就，

設AB的中點為M,則的+而=2而=—就，即M,G,C三點共線，

6在4ABC的中線CM上，同理可得G在△4BC的其余兩邊的中線上，

即G為△4BC的重心；

■.-?0A?2+?BC?2=?0B?2+?CA?2,得I市|2—I話∣2=I方『一I配『，

.?.(OA+0B)BA=BA(CA+CB)(OA+0B-CA-CB)BA=

.?.20C-BA=O^則元J.四，同理可得而1而，OALBC<

即。是△4BC三邊上高線的交點，則。為△4BC的垂心；

延長CQ交AB于點N,因為C,Q,N三點共線，則設麗=<0),

?.?^QB=QN+NB=kQC+NB,QA=^QN+7JA=kQC-V^NA,

代入αg5+bQB+cQC=0.Wα(fcQC+NA)+h(∕cQC+7VB)+cQC=6,

：.(?ak+bk+c}QC+aNA+bNB=0@^

又?.?XM與近共線，近與福、而不共線，

???只能當Q/C+必+c=O且Q+b而=6時，①成立,

aNA=-blΨB=>77^7=

!=w則器嘀

由正弦定理得:sin∕4CN_SinzBCN

SinzTINCsin?BNC,

Xv4BNC+UNC=π,則SinNBNC=sin?ANC,

即SinNBCN=SinzACN,又O<?ACB<π,

乙BCN=LACN,

則CN是NACB的角平分線，即點Q在/4C8的角平分線上，

同理可得，Q在448C,ZBHC的垂直平分線上，

???Q是△4BC的內心;

由（方+而）?荏=0，得2兩.荏=Q，即麗，同，

又?.?M是4B的中點，

.?.P在AB的垂直平分線上，

同理可得，P在448C中AC,BC的垂直平分線上，

???P是△/!BC的外心；

綜上，Q是△4BC的垂心，重心，外心，內心.

故選：A.

根據(jù)三角形垂心，重心，外心，內心的定義和性質結合平面向量的線性運算和共線定理，分別推

導即可.

本題考查平面向量以及三角形的五心相關知識，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：由α=24,匕=4,4=30。，得4<B,

因為急=b

sinBf

bsinA_4×∣_√-2,

所以SinB=

a-2√^2-—,

又0。<B<180°,

所以B=45?；?35。.

故選：BD.

直接利用正弦定理計算即可.

本題考查正弦定理的運用，屬于基礎題.

10.【答案】ACD

【解析】解：由而=(2,3),前=(l,k),得反r=前一同=(一1#一3)，

若A=貝IJAB1AC,

故而-AC=2+3k=0,解得k=-|,

若B=*則ABJ.BC,

故荏BC=-2+3(fc-3)=0.解得k=y，

若C=*則ACLBC,

故而-BC=-1+fc(fc-3).解得k=3七\I：

綜上k=—I或k=黑k=汽豆.

故選：ACD.

分ABLAC,ABLBC,AC1BC三種情況討論，結合向量垂直的坐標表示計算即可.

本題考查向量數(shù)量積的運算，方程思想，屬中檔題.

11.【答案】AD

【解析】解：設AABC的外接圓半徑為r,則兀Ν=兀，解得r=ι,

在△4BC中，由正弦定理得：?=2r=>e=2r?sinB=2×sin30°=1,

SinB

又b+c=C+l,則C=Vr

再由正弦定理得：-?-=2r=>sinC=F=

SinCZr2

因為c>b,所以30°<C<180°,則C=45°或135°.

故選：AD.

設△4BC的外接圓半徑為r,根據(jù)條件求得r=l,再結合b+c=H+1和正弦定理得到c,即可

求解.

本題主要考查正弦定理的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

12.【答案】CD

【解析】解：對于4,當方=6時，無法確定五兄的方向，故不能判斷方兄是否平行，故4錯誤；

對于B,若非零向量。瓦才滿足為+3+1=0，則五=一@+?),

當五是兄共線時，則表示為,31的有向線段不可以構成三角形，故B錯誤；

對于C,若四邊形ABCD滿足四=小，則AB=CO且4B〃C0,

則四邊形ZBCD為平行四邊形，

因為I而一荏I=I配一麗|，^?^BD?=∣?C∣.

所以平行四邊形48CD為矩形，故C正確；

對于0,因為成+正=而+而，所以萬一方=麗-正，即瓦？=而，

所以4B=CDHAB//CD,

所以四邊形ABCC為平行四邊形，故。正確.

故選：CD.

當月=6時，無法確定日方的方向，即可判斷4當蒼石1共線時，即可判斷B；由荏=反，可得

AB=C。且48〃C0,再根據(jù)I而-同I=I能-麗I結合平面向量的減法的三角形法則即可判斷

C-,根據(jù)或+正=而+而，可得瓦？=而，即可判斷D.

本題主要考查了向量的線性運算，屬于基礎題.

13.【答案】6

【解析】解：由4(2,4),B(4,3),C[-2,x),得荏=(2,-1),前=(一4,久—4)，

因為4(2,4),B(4,3),C(-2,x)三點共線，

所以荏〃前，

則2(X-4)-(-4)X(-1)=0,解得X=6.

故答案為：6.

由題意可得荏〃而，再根據(jù)平面向量共線的坐標公式計算即可.

本題主要考查兩個向量共線的性質，屬于基礎題.

14.【答案W

【解析】解：(α+b+e)(e+c—α)=(c+b)2—a2=c2+b2+2bc—a2=3bc,

c2+h2-02.

?■--：----=1

be

???根據(jù)余弦定理，CoSa=的尤衛(wèi)

A1

???cosA=-

??,NA=T

故答案為：5

先根據(jù)(α+b+c)(b+c-α)=3bc求出」+廬一。2的值,根據(jù)余弦定理求出COSA的值,進而求出4

be

本題主要考查余弦定理的應用.在解決三角形中的邊、角問題中被廣泛運用.

15.【答案】I

【解析】解：???萬=(2,Q2+∕-C2?H=(L2S),且萬〃干

?4S=α2+b2-C2

又S=?absinC,a2+b2—c2=2abcosC

?2absinC=2abcosC

???sinC=cosC

又NC是三角形的內角

.?.C=?

4

故答案為：稱

根據(jù)力〃亂寫出向量平行的坐標條件，再根據(jù)面積S=TabSinC,即可得到關于角C的方程，化

簡即可得解

本題考查向量平行的坐標條件和三角形的面積公式，以及余弦定理的逆用.要求熟練掌握公式.屬

簡單題

16.【答案】一|

【解析】解：以BC為無軸，以BC邊上的高為y軸建立坐標系，>

則4(0,，3),設PQ,y),∕??^p

則而+定=2所=(-2x,-2y),可=(-x,，3-y)，-BC?C—\

.?.^PA-(PB+^PC)=2x2+2y2-2y∏y=2x2+2(y-?)2-|，

二當％=0,y=??,西.(而+定)取得最小值一反.

Z4

故答案為：一|

建立坐標系，設P(χ,y),得出港?(而+配)關于X,y的表達式，配方即可得出結論.

本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.

17.【答案】證明：(1)???點4(0,1),B(l,O),C(l,2),D(3,0),

：.AB=(1,-1),CD=(2,-2),

V1×(-2)=(-1)X2,

.?.AB//CD,又直線4B,CD不重合，故A8//CD；

(2)?.?MP=4e^+2e^,PQ=2e^+e；,l^Q=MP+PQ=6區(qū)+3行，

.?.MP=IW-BPMP//MQ>

???麗,前0有共同的起點M，

???M,P,Q三點共線.

【解析】(1)利用平面向量共線的坐標公式證明而〃而，即可得證；

(2)利用平面向量共線定理證明即麗〃麗，即可得證.

本題主要考查了向量共線定理的應用及判斷，屬于基礎題.

18.【答案】解：(1)???5=(3,1)5=(-∣Λ)-a∕∕b,

3

.?.ΞllJ,解得化=一1；.

312

(2)Va1K,?α?h=3×(―1)+1×?=0,

解得k=

(3)；五與B的夾角為鈍角，

二α?b=3X(——)+1×fc<0且3×k一1×(—≠0?

解得Zc<2且k≠—?.

【解析】本題考查向量的運算，考查向量共線、向量垂直的性質、向量數(shù)量積公式、向量夾角余

弦公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

(1)利用向量平行的性質直接求解；

(2)利用向量垂直的性質直接求解；

(3)利用向量數(shù)量積公式、向量夾角余弦公式直接求解.

19.【答案】解：由條件得SB=10,A=75。，B=60°,則C=45。,

由正弦定理可得%=器，???BC=YKS譏75。=10√^2sin(45o+

SinAStnCsιn45'

30°),

=10。(S譏45°cos30°+cos45°sin30°)=5(C+1)≈13.66，

.?.C島和B島之間的距離約為13.66nmile.

【解析】由條件得AB=10,A=75o,B=60。，再利用正弦定理即可得解.

本題考查解三角形相關知識，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴???c=2,C=*

二由余弦定理得￠2=a2+b2—2abcosC,即4=a2+b2—ab①,

SAABC=CtbsinC---r^cιb—√-3>

24

：?ab=4②，

聯(lián)立①②解得α=b=2;

(2)?.?SinB=2sinA,

???由正弦定理得b=2α③，

聯(lián)立①③解得Q=^γ-,b=4上???SLABC=?absinC=

(3)Vm=(a,b),n=(b—c,a—c),m1nf?n?m=a(b—c)+b(a—c)=a(b—2)÷b(a—

2)=2ab—2a—2b=0f

即Qb=α+b④，

聯(lián)立①④解得αb=4,

???SbABC-；absinC=√-3.

【解析】(1)先根據(jù)余弦定理可得4=M+∕72-Qb,再根據(jù)三角形的面積即可求得答案；

(2)利用正弦定理化角為邊，再結合已知求出Qb即可得解；

(3)根據(jù)記1元，可得記?元=0,求出a,b的關系，再結合已知求出gb即可得解.

本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于中檔題.

yy

21.【答案】證明：(1)%-a={cosatsina)fb=(cosβtsinβ)，

?(α+6)?(α—e)=(CoSa+cosβ,sina+sinβy)?(COSa-cosβ,sina-sinβ)

=(CoSa+COSlr)(CoSa—cosβ)+(sina+Sin6)(Sina—sinβ)

=cos2α—COS28+sin2α—sin2^?=1—1=0,

???方+另與日一另互相垂直；

解：(2)fca+b=(kcosa+cosβ,ksina+Sinβ),ka-b=(kcosa-cosβ,ksina-Sinβ),

V?ka+b?=?ka-b?^

y22

:?(kcosa+CoSB)2+(ksina+sinβ)=(kcosa-CoSB)?+(ksina-sinβ)9

整理得4k(cosαcos∕?+sinasinβ)=4kcos(β—α)=0,

Vfc∈/?,：.cos(/?—a)=0,

又0<β—a<πf￡一α=?；

(3)由條件可得：c=2α÷b=(2cosa+cosβ,2sina+SinB)，d=2b-3a=(2cosβ—

3cosa,2sinβ-3sina)f

又Q+(=S,則α-/?=一今

???c?=7(2cosa+cosβY÷(2sina+sinβ)2=J4+1+4cos(α-B)=√-7,IMI=

22-

λ/(2cosβ—3cosa)+(2sinβ—3sina)=λ/4÷9—12cos(a—β)=√7,

Xvc?d=(2cosa+cosβ,2sina+sinβ)y?(2cosβ—3cosa,2sinβ—3si?Ia)=2—6+

7

cosacosβ+sinasinβ=-4+CoS(Q-/?)=--,

Qcjd1

…=麗F

又「θ∈[0,π],