2023-2024學(xué)年山東省青島高二年級上冊期末考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省青島高二上冊期末考試數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知為等差數(shù)列，％+%+%=1。5,%+為+4=99,則數(shù)列｛q｝的公差"=()

A.-2B.-1C.2D.1

【正確答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)和通項公式直接求解即可.

【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,

%=35,4=33,/.d=4-%=-2.

故選：A.

2.雙曲線--仁=1的焦點坐標(biāo)是()

3

A.(O,±2)B.(±2,0)C.(士屈0)D.(0,±72)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線方程可得6,然后根據(jù)，2=/+/可得c,最后得出結(jié)果.

【詳解】由題可知：雙曲線的焦點在x軸上，且a=l,b=JL.上2=/+62=。=2

所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為(±2,0)

故選：B

3.已知拋物線C：/=2px(p>0),焦點為凡點到在拋物線上，則I"尸|=()

M)

95

A.3B.2C.一D.—

44

【正確答案】D

【分析】利用拋物線的定義求解.

【詳解】因為點在拋物線上，.?」=￡解得P=2,

利用拋物線的定義知|工廠|=/檔=；

故選：D

4.直線/「x-2y+機=0與直線/2：wx+6y-l=0平行，則兩直線間的距離為（）

A.逑B.空C.逑D.亞

5315

【正確答案】B

【分析】先根據(jù)直線平行求得，*，再根據(jù)公式可求平行線之間的距離.

【詳解】由兩直線平行，得-2x機=1x6,故“=-3,

當(dāng)機=-3時，/],.3x—6y—9=0,/2:3x—6y+1=0,此時（〃/2,

故兩直線平行時機=-3.

又4J,之間的距離為d=單二L=-^==攣，

-79+36363

故選：B.

5.圓心在x軸上且過點（1,6）的圓與y軸相切，則該圓的方程是（）

A.x2+y2-4x=0B.x2+y2+4x=0

C.x2+y2-4y=0D.x1+y2+4y=0

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，列式即可求出.

【詳解】依題可設(shè)圓的方程為（》-。）2+了2=/&>0）,所以+3=/",解得

M=r

a=2,r=2.

即圓的方程是入，+/-4x=0.

故選：A.

6.如圖，在直三棱柱Z8C-4AG中，AB=BC=CBB\,ZABC=12O°.M為4G的中

點，則直線8M與平面力8月4所成的角為（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【正確答案】B

［分析］設(shè)點M到平面/￡8的距離為％,通過等體積法腺一畫=囁一4MB求得h，再求線面

角的正弦即可得解.

如圖所示：不妨設(shè)4B=BC=6BB、=2,48c=120。，由余弦定理可得

AC=4G=2K，B、M=-J4B：-&M?="^=1,

所以BM=JBB；+BM2=VTTT=VL

S&A、BM=；S&AB、C、=；xgx2mxi=去,S^A,B,B=-x2xV2=V2,

設(shè)點M到平面AB出的距離為h,

ii

=--

則1M=Kf-&B、MtBq=—&AB'B.h^^”

解得〃=且，

2

所以直線BM與平面4BBM所成角的正弦值為言=1,

所以直線aw與平面/網(wǎng)4所成角為30。.

故選：B.

關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是通過等體積法求得點〃到平面48乃的距離，再由高比斜線

段可得線面角的正弦.

7.已知等差數(shù)列｛““｝的前"項和為，，公差"=一2,若S,,=S2022.“"WN””42021,則％=

()

A.2023B.2022C.2021D.2020

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意令〃=1可得S產(chǎn)52以，結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式寫出邑)21，進(jìn)而得到關(guān)

于％的方程，解方程即可.

【詳解】因為S”=S2022-",令〃=1,得$]=$2021，

又S2021=2021%+2021x1010",J=—2,9=號

所以8。21=2021(%—2020),有％=2021(%-2020),

解得q=2021.

故選：C

V-22

8.已知斜率為1的直線與橢圓C:會+方v=1(。>6>0)相交于/、8兩點，O為坐標(biāo)原點，

Z8的中點為P,若直線。尸的斜率為則橢圓C的離心率為().

A.-B.—C.叵D.

【正確答案】B

【分析】這是中點弦問題，注意斜率與橢圓。力之間的關(guān)系.

【詳解】如圖：

依題意，假設(shè)斜率為1的直線方程為：y=x+m,聯(lián)立方程:

y=x+m2巴221

解得：芯+”一]J,代入/=丁+加得；/=]

犬+爐-1

----1-------1---

a2b2a2b2

mm

故尸點坐標(biāo)為一1尤丁，丁吟~,由題意，。尸的斜率為一;，

、滔部

m

.2

J_J_

+巨

即"2j化簡得：p-=p/=262=〃+,2,c2=/=g/

2

b1

11

/+記

故選：B.

二、多選題

9.已知S,為等差數(shù)列｛環(huán)｝的前〃項和，且％=-13,邑=-33,則下列結(jié)論正確的是（）

A.%=2〃-15B.｛%｝是先遞減后遞增的數(shù)列

C.的是/和。48的等比中項D.S”的最小值為-49

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)題干條件得到d=2,從而求出通項公式，判斷出是遞增數(shù)列；求出"小，《2=9,

g8=81,從而判斷C選項，根據(jù)%=-1<0,4=1>。可知S,在〃=7時取得最小值，求出

最小值，從而判斷D選項.

【詳解】由題意得：S｝=3a]+3d=-33,因為％=-13,所以d=2.所以｛4｝通項公式為：

a?=-13+2（/I-1）=2M-15,A選項正確；由于d=2>0,所以｛4｝為遞增數(shù)列，B選項錯

誤；通過計算可得：%=9,。=81,其中a：；%-4,,C正確；因為｛%｝為遞增數(shù)

列，且a8=1>0,故S〃在〃=7時取得最小值，S1=7a4=-49,D選項正確.

故選：ACD

10.已知兩點4-2,0）,8（2,0）,若直線上存在點P,使得|尸4|-|產(chǎn)耳=2,則稱該直線為“點

定差直線”，下列直線中，是“點定差直線”的有（）

A.y=x+lB.y=3x+1

C.V=2x+4D.y=y/2x+3

【正確答案】AD

【分析】先求出尸點的軌跡方程為X?-片=1的右支，結(jié)合雙曲線的漸近線斜率與選項中直

3

線斜率進(jìn)行比較，得到有無交點，進(jìn)而求出答案.

【詳解】因為|網(wǎng)|-|「a=2<|/卻，故尸點的軌跡方程為雙曲線的右支，其中〃=1,c=2,

則廿=/-<?=4-1=3,所以雙曲線為/-彳=1（x>0）,漸近線方程為y=±5/ix,N=x+1的

斜率為1<有，故與--?=1（x>0）有交點，A正確；

片3x+1的斜率3>百，且與歹軸交點為（0』），故與——1=1（x>0）無交點，B錯誤:

y=2x+4的斜率2>百，且與y軸交點為（0,4）,故與,一^句（》>。）無交點，C錯誤;

y=0x+3的斜率應(yīng)<6，故與V-?=l（x>0）有交點，D正確.

故選：AD

11.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，｛%｝的前〃項和為2,若卬+&+%=3萬，

4她=8,貝IJ（）

A.Sn=11^

C.+?7+a&=7)n

D.bi+b7>4

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)題意得％=乃，4=2,再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)依次求解即可得答

案.

【詳解】解：因為數(shù)列｛6｝為等差數(shù)列，仇｝為等比數(shù)列，4+4+即=3不，岫A=8,

所以％+%+卬=3必=3），即6=乃，6也4=6；=8,即4=2,

對于A選項，品="（％+%）=1。=11萬,故正確；

對于B選項，％+《o=2“6=2萬也々=6；=4,所以sin-^~^=sin5=1,故錯誤；對于C

選項，設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則%+。7+%=。6-3"+&+d+4+24=3&=%，故

正確；

對于D選項，由4=2得4也>0,故仇+422師=2相=4,當(dāng)且僅當(dāng)”=&=2時等

號成立，故正確；

故選：ACD

12.棱長為2的正方體的側(cè)面/8與4（含邊界）內(nèi)有一動點尸，則（）

AD

A.若B、P=m+nB[A]+幾=1,則BXPBXDX=0

B.若4P=443(0vtvl),則-尸?4。=。

c.若痔方軍4國+麗，則率不=_|

D.若朋=g（而+?。瑒t存在非零向量瓦A使印?布=-1

【正確答案】BCD

【分析】對于每一個選項中所出現(xiàn)的向量用基底表示，然后通過分析或計算數(shù)量積就可以對

每一個選項進(jìn)行判斷.

【詳解】對于A,BtP=mBtB+nBtAt/n+n=\,

則率=（1-"）庭+〃市=麗+〃（B^A-麗

=>=n（B[A]-B[B）=>BP=〃B4,

從而可知點p在線段84上，由于瑪A不垂直側(cè)面故印.瓦瓦=0不成立，所以A

錯誤；

對于B,易證4G，BQ,BCJBQ,從而可知8Q_L平面48G，

由而=2麗（0</1<1）,可知點P在線段84上，因此8Q_LC￡，所以市?麗=0,B正

確；

對于C,開?斯=；莎.；（襦+而；）=；莎?（而+4"）

=；x|郎.（語+而）]（郎+瑟）.（祠+而）

=2（瓦豆+瓦彳）.（麗+24萬）

=—（B、B-A\B\+2B[B,+44-44+2氏4?4DJ

6

12

=-（0+0-4+0）=一一,故C正確；

63

對于D,設(shè)造=%“+〃瓦不，

所以B}P-A、E=+"8/），Q（4￡+4A）=5（X8/+）?（4片+2A}D}j

=g（歷西+〃場）.（葩+2葩）

=3（4B[B,4]B]+2A~B]B,4。+〃B[4-4B]+）

I1—.

=5（0+0-4〃+0）=-2〃=-l,得〃=5,從而可知AP不會是零向量，故D正確.

故選：BCD

三、填空題

13.已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓柱的表面積為.

【正確答案】6〃

【詳解】試題分析：由題意得2廠=2,〃=2,所以圓柱的表面積為2++2萬泌=6萬.

圓柱的表面積

14.已知等比數(shù)列｛4,｝滿足：%=27,%=壺，a2a｝<0,則公比4=.

【正確答案】

【分析1根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得。9=。4，結(jié)合。2%=必/<。即可求出公比.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公式為“，

則%=4爐，即^^=277,

解得4=士;，

又a2a3=〃方,<0,所以夕<0,

所以夕=一；.

故答案為.

22

15.已知O為坐標(biāo)原點，等軸雙曲線。邑-方=l(a>0,b>0)的右焦點為尸(加,0),點P

在雙曲線C上，由P向雙曲線C的漸近線作垂線，垂足分別為A、B,則四邊形。4P8的

面積為.

【正確答案】g##0.5

【分析】求出雙曲線C的方程，可求得雙曲線C的兩條漸近線方程，分析可知四邊形04P8

為矩形，然后利用點到直線的距離公式以及矩形的面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】因為雙曲線C為等軸雙曲線，則a=6,c==口=6,可得。=b=l,

所以，雙曲線C的方程為/-/=1,雙曲線C的漸近線方程為x±y=0,

則雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，則OBLPB,OAA.OB,

所以，四邊形04P8為矩形，

設(shè)點一(與，九)，則x；-K=l,不妨設(shè)點A為直線x-y=o上的點，

則|四臉J,悶=哈，所以，5矩3=|4倒=嗎81《.

故答案為.女

16.數(shù)列｛““｝滿足%+2+(-1)"%=4"T，前12項的和為298,則％=.

【正確答案】4

【分析】當(dāng)〃為偶數(shù)時，可求出前12項中偶數(shù)項的和；當(dāng)〃為奇數(shù)時，可用q表示出前12項

中奇數(shù)項的和，從而可求出⑷的值.

【詳解】當(dāng)〃為偶數(shù)時，aa+2+a?=4n-\,

所以知+。2=7,%+4=23,al2+ai0=39,

所以々+《+%+%+%+%=69；

當(dāng)"為奇數(shù)時，an+2-an=4/7-1,即%+2=q+4〃-1

所以。3=“1+3,%=〃3+11=“1+14,%=%+19=q+33,為=%+27=q+60,

%]=旬+35=〃1+95,

所以$=3+4+°6+W+4()+%2-Qi+%+牝+“7+%的u)

=69+6q+205=298,所以q=4.

故答案為.4

四、解答題

17.已知直線/:瓜-了-12=0,以點(0,-2)為圓心的圓C與直線/相切.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(3,-1)的直線廣交圓C于4,8兩點，且|/用=8,求廠的方程.

【正確答案】⑴1+(4+2>=25

(2)x=3或4x+3y-9=0

【分析】(1)根據(jù)點到直線的距離公式求出半徑廣，即可得到圓C的標(biāo)方程；

(2)根據(jù)弦長公式可求出圓心C到直線/'的距離，再根據(jù)點到直線的距離公式結(jié)合分類討

論思想即可求出.

1-101

【詳解】(1)設(shè)圓c的半徑為八與/相切，.?.廠"(道＞+(-1)2

...圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+3+2)2=25.

(2)由|”|=8可得圓心C到直線/'的距離"=五二不'=3.

.?.當(dāng)/'的斜率不存在時，其方程為x=3,此時圓心C(0,-2)到x=3的距離為3,符合條件；

I一3k+11

當(dāng)/'的斜率存在時，設(shè)/'：y+l=?x-3),圓心C到直線廠的距離7=川+.2=3，解得

44

&=一1,此時/'的方程為y+l=_；(x—3),即4x+3y—9=0.

綜上，/'的方程為x=3或4x+3y-9=0.

18.已知｛《,｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，%-%=60,々=16,〃€川.

(I)求數(shù)列｛a〃｝的通項公式；

(II)若數(shù)列｛加｝的通項加滿足24+9=%,求｛加｝的前〃項和S”的最小值及取得最小值時

〃的值.

【正確答案】(I)。"=4"；(II)當(dāng)〃=4時，S,取得最小值為一16

【分析】(D設(shè)出公比，由已知列出方程求出首項和公比即可；

(II)求得，=2N-9,得出S“，利用二次函數(shù)性質(zhì)可求.

【詳解】⑴設(shè)等比數(shù)列的｝的公比為4,且4>0,

一%==60,解得｛;1:

則

=4闖=16

+9

(II)1?,2*'=a?,：.bn=log,a?-9=log2(49=2n-9,

『(一77一9)=八8〃=("_4)2一16,

則當(dāng)〃=4時，S”取得最小值為-16.

19.已知拋物線C：/=2px(p>0),拋物線。上橫坐標(biāo)為1的點到焦點廠的距離為3.

(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程:

(2)過(TO)的直線/交拋物線C于不同的兩點Z,B,交直線x=>4于點E,直線BF交

直線k-1于點。，是否存在這樣的直線/,使得DE//AF?若不存在，請說明理由：若存在,

求出直線/的方程.

【正確答案】(1)拋物線C的方程為V=8x,準(zhǔn)線方程為x=-2；(2)存在直線^=孚(、+1)

或y=-^^(x+l).

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及準(zhǔn)線飛航程.

(2)設(shè)出直線/的方程y=%(x+l)/*0),聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，消去>后根據(jù)

判別式大于零求得k的取值范圍，寫出韋達(dá)定理.結(jié)合DE//AF得到直線DE與直線AF的斜

率相等，由此列方程，解方程求得々的值，也即求得直線/的方程.

【詳解】(1)因為橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離為3,所以1+5=3,解得。=4,所以j?=8x,

即準(zhǔn)線方程為x=-2.

(2)顯然直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=&(x+1)(斤X0),/區(qū)，必),8(乙,巴).

聯(lián)立得上二；，、，消去V得22X2+(2/-8)X+%2=0.

y=k(x+l)

由A=(2產(chǎn)-8)2-4/>0，解得-及<k<y/2.所以-及<發(fā)<JL目/片0.

由韋達(dá)定理得x,+x2=8-；,?,X)X2=1,

K

直線8尸的方程為y=上學(xué)x-2),

X］一乙

又j=-1,所以切=含，所以D(T，三彩)，

A?yZ>Jiy-乙

因為。E///F,所以直線。E與直線/!尸的斜率相等

--3A+3-^—

又E(-4,-36，所以X?-2=%

—32-2

整理得心黃T蓋?，即人蛆上+3!)

Xj—2X2-2，

X]+1+工2+1_2項戈2-5+X)-4

化簡得1=2，即3+巧=7.

Xj—2x?—2，xix2-2(jj+x2)+4

所以”￡=7,整理得公

解得k=土述.經(jīng)檢驗，4=±逑符合題意.

33

所以存在這樣的直線/,直線/的方程為丁=乎。+1)或y=-半。+1).

20.已知數(shù)列｛4“｝滿足q=1,偌=%%+1N)

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵記2=[-lga,],其中[月表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.6]=0,[Ig66]=l.

(i)求A、Z>23、”123；

(ii)求數(shù)列也｝的前1000項的和.

【正確答案】(1)見=」；

n

(2)(i)仇=0,%=1,生3=2；(ii)1893.

【分析】(1)推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，即可求得數(shù)列｛4｝的

通項公式；

(2)(i)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合題中定義可求得4、M、%3的值；

(ii)分別解不等式041g"1、lVlg〃<2、2<lgn<3,結(jié)合題中定義可求得數(shù)列也｝的

前1000項的和.

【詳解】(1)解：因為4=1,N*),則1-出=%，可得%=；，

可得/=；，以此類推可知，對任意的〃eN*,??*0.

由%-&+i=qAM(〃eN")，變形為-一;=1,

.J—I是一個以1為公差的等差數(shù)列，且首項為'=1,

〔%j%

所以，—=l+(?-l)-l=n,因此，a?=~.

a,.n

(2)解：(i)bn=[-lga?]=[lgn],則々=[igl]=[0]=0,

v10<23<100,則l=lgl0<lg23<lgl00=2,故％=[lg23]=1,

100<123<1000,Jjl!]2=lgl00<lgl23<lgl000=3,故峪=[lgl23]=2；

(ii)vlgl000=3,當(dāng)0Vlg”<l時,即當(dāng)時，bn=[lg/?]=0,

當(dāng)141g”<2時，即當(dāng)10。<100時，h?=[lgn]=l,

當(dāng)241g”<3時，即當(dāng)1004〃〈肘00時,hn=[\gn]=2,

因此，數(shù)歹1」｛4｝的前1000項的和為0x9+1x90+2x900+3=1893.

21.如圖，在四棱錐P-/8c。中，尸/上面/BCD.PA=AB=AD=2,四邊形/8CO滿足

ABS.AD,BCHAD,8c=4,點M為PC中點，點￡為8C邊上的動點

7

(II)是否存在點E,使得二面角尸-DE-8的余弦值為:？若存在，求出線段BE的長度;

若不存在，說明理由.

【正確答案】(D證明見解析：(H)存在，j.

(I)由題意有PZ_L4￡),P/J.Z8,又/Bl/。，以以A為空間坐標(biāo)原點建立如圖所示空

間直角坐標(biāo)系.證明兩，萬，而為共面向量即得.

(U)設(shè)E(2,a,0),0<a<4,求出平面尸DE的一個法向量，平面BOE的一個法向量為萬,

利用法向量夾角的余弦的絕對值等于。求得。即可.

【詳解】(D因為尸4_L平面/8CZ),所以尸PA1AB,又4BL4D,所以P4,AB,

兩兩垂直.以A為空間坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示.

則尸(0,0,2),5(2,0,0),0(0,2,0),C(2,4,0)

故兩=(1,0,1),

UUfiULUl

又“尸=(0,0,2),AB=(2,0,0)

uuuriuuriuur

所以DW=2/P+2Z8

22

所以兩，~AP>方為共面向量，。河2平面尸48,

所以DM〃平面P4B.

(II)設(shè)E(2,a,0),0<a<4

uiu___uum

依題意可知平面ADE的法向量為40=(0,0,2),=2,2),DE=(2,a—2,0)

\n-DP=-2y-i-2z=0

設(shè)平面PDE的法向量為〃=(x,y,z)則\——

[n-DE=2x+(a-2)y=0

令z=l,則〃=(彳^,1,1].

2

因為二面角的余弦值為

uurr

/uurrAPn2

所以cos(/尸,〃

四川3

2_______2

不三解得”1或一.

即2-a

2x

~T~

所以存在點E符合題意，

當(dāng)8E=1或8E=3時，二面角P-OE-B的余弦值為

方法點睛：本題考查證明線面平行，考查二面角問題，解題方法是空間向量法，建立空間直

角坐標(biāo)系后，證明線面平行，只要證明直線的方向向量可用平面的一個基底表示即可，而二

面角則是利用二面角的余弦值與二面角的兩個面的法向量夾角的余弦值相等或相反求解.

22.已知橢圓匚9+捺=1[>6>0)經(jīng)過點'立,2,且離心率為止.

33

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點/,8是橢圓C的上，下頂點，點P是直線y=6上的動點，直線以與橢圓C的

另一交點為E,直線尸8與橢圓C的另一交點為E證明：直線E廠過定點.

【正確答案】⑴或+/=1;

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意，列出a,6的方程組，通過解方程組，即可求出答案.

(2)法一：設(shè)網(wǎng)/,6),E(XQJ,產(chǎn)仁,當(dāng))；當(dāng)，*0時，根據(jù)點4尸的坐標(biāo)寫出直線為

的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點E的坐標(biāo)；同理可求出點尸的坐標(biāo)，然后即可求出直

線EF的方程，從而證明直線EF過定點.

法二：首先根據(jù)f=0時直線EF的方程為x=0,可判斷出直線跖過的定點M必在y軸上,

設(shè)為W(O,m)；然后同方法一，求出點E,尸的坐標(biāo)，根據(jù)加〃赤，即可求出機的值.

45

/+彳T

【詳解】(1)由題意，知*2=〃+°2,解得"3,b=\.

￡_2V2

.a3

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為己+爐=1.

9

(2)法一：設(shè)尸(力6),Eg,必),F(x2,y2),

,3+3

3yx+

當(dāng)