2023年湖南省常德市高一年級下冊學期期末數(shù)學試題（含解析答案）

2023?2022學年度常德市高一年級質(zhì)量檢測考試

數(shù)學（真題卷）

卷子分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩局部，總分值150分，時量120分鐘.

考前須知：

1.全部真題的答案請在答題卡的指定地域內(nèi)作答.

2.考試結(jié)來后，只交答題卡.

第I卷（選擇題，共60分）

一、單項選擇題（本大題共計8個小題，每題5分，共計40分）

1.已知集合河={-2,-1,0,1},N={x|x〉—l},則（）

A.（-1,0,1）B.（0,1）C.{x|-l<x<l}D.0

（答案）B

（解析）

（分析）由交集的定義即可推斷答案.

（詳解）因為〃={-2,-1,0,1},N={x\x>-l},所以〃nN={0,l}.

應(yīng)選：B.

2.已知a/eR+且。+6=1,則ab的最大值等于

A.1B.-C.gD.—

422

（答案）B

（解析）

（詳解）-：a,66R+，.?.l=a+6》2疝，...a6wL當且僅當昌=6=1時等號成立.選B.

42

3.已知復(fù)數(shù)2=-i-（3-i）,其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)閉等于（）

A.3B.272C.10I）.V10

（答案）D

（解析）

（分析）依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與模長公式求解即可

(詳解)z=-i-(3-i)=-l-3i,故目=J(_1-+(_3)2=而

應(yīng)選：D

4.如下圖，在長方形/Be。中，設(shè)下==B又衣=2反，阮=,貝|］彳+〃=（）

112

A.一B.-----C.1D.一

333

（答案）A

（解析）

（分析）利用平面向量的三角形和平行四邊形法則，把向量而用表示，即可求4〃的值，從而得

九+〃的值.

———2----

（詳解）解：???〃E=2EC,.?./￡=§/C

.—?.2??2??1.2.

：.BE^BA+AE^-AB+-AC=-AB+-（AB+Ab）^——AB+-AD

3333

——1_2-121

即BE——a4—h,A——,〃=—>2.+/1=—.

33333

應(yīng)選：A.

5.（易經(jīng)）是中國文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一

卦由三根線組成表示一根陽線，■■表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦中陽

線之和為4的概率（）

（答案）B

（解析）

（分析）首先得到0根陽線的有一卦，1根陽線的有三卦，2根陽線的有三卦，3根陽線的有一卦，再求出

根本領(lǐng)件總數(shù)，與滿足條件的事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計算可得.

（詳解）解：由圖可知有0根陽線的有一卦，1根陽線的有三卦，2根陽線的有三卦，3根陽線的有一卦，

記1根陽線的分別為。、b、C,2根陽線的分別為A、B、C,3根陽線的為3,

8x7

從八卦中任取兩卦，一共有——=28種，

2

其中滿足陽線之和為4的有3）,（仇3）,（c,3）,（J,C）,（8,C）共6種,

63

故兩卦中陽線之和為4的概率2=一=一.

2814

應(yīng)選：B

6.軸截面為正三角形的圓錐稱為等邊圓錐，己知一等邊圓錐的母線長為逐，則該圓錐的內(nèi)切球體積為

（）

4萬兀

A.4%B.----C.乃D.一

36

（答案）D

（解析）

（分析）畫出軸截面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為"，則。。=OE=r,NOCD」,CD=&，從而可求出

62

0D,進而可求出內(nèi)切球體積

（詳解）軸截面如下圖，設(shè)內(nèi)切球的半徑為"，則。Z）=OE=r,

由題意可得NOCD=工，

62

在RtZXOC。中，tan/OC￡>=—CD,

hR、]

所以O(shè)O=COtanNOC0=^x^=上，即尸=彳，

2322

所以內(nèi)切球體積為

應(yīng)選：D

7.某校為更好地支持學生個性開展，開設(shè)了學科拓展類、創(chuàng)新素養(yǎng)類、興趣愛好類三種類型的校本課程，

每位同學從中選擇一門課程學習.現(xiàn)對該校6000名學生的選課情況進行了統(tǒng)計，如圖①，并用分層抽樣的

則以下說法錯誤的選項是（）

A.抽取的樣本容量為120

B.該校學生中對興趣愛好類課程中意的人數(shù)約為1050

C.假設(shè)抽取的學生中對創(chuàng)新素養(yǎng)類課程中意的人數(shù)為36,則a=70

D.該校學生中選擇學科拓展類課程的人數(shù)為1500

（答案）C

（解析）

（分析）依據(jù)分層抽樣的比例可確定樣本容量，從而推斷選項A；依據(jù)餅狀圖可知選擇興趣愛好類課程的

學生人數(shù)占比為35%,又依據(jù)柱狀圖可得對興趣愛好類課程中意率為50%,由總?cè)藬?shù)6000即可計算對興

趣愛好類課程中意的人數(shù)；依據(jù)餅狀圖可知創(chuàng)新素養(yǎng)類學生占比為40%,分層抽樣比例為2%,即可計算

抽取的創(chuàng)新素養(yǎng)類課程學生人數(shù)，接著計算學生對創(chuàng)新素養(yǎng)類課程的中意率；依據(jù)餅狀圖分析得到選擇學

科拓展類課程的人數(shù)占比為25%,依據(jù)總?cè)藬?shù)即可計算選擇學科拓展類課程的人數(shù).

（詳解）抽取的樣本容量為6000x2%=120,故A正確；

該校學生中對興趣愛好類課程中意的人數(shù)約為6000x35%x50%=1050,故B正確：

依據(jù)題意，創(chuàng)新素養(yǎng)類課程的中意率為〃一…?=75%,a=75,故C錯誤;

6000x40%x2%

該校學生中選擇學科拓展類課程的人數(shù)為6000x25%=1500,故D正確.

應(yīng)選：C.

8.已知不，々分別是方程e*+x-2=0，kix+x-2=0的根，則%+馬=()

A.1B.2C.V2D.V2+1

(答案)B

(解析)

(分析)由題意可得占，々分別是函數(shù)N=e'，、=皿丫的圖象與直線^=一8+2交點的橫坐標，由于

y=e，的圖象與＞=lnx圖象關(guān)于直線V=x對稱，而直線y=-x+2也關(guān)于直線歹=x對稱，所以兩交點

的中點就是直線V=-x+2與歹=》的交點，求出交點坐標，再利用中點坐標公式可求出玉的值

(詳解)由題意可得不是函數(shù)y=e'的圖象與直線y=-x+2交點A的橫坐標，&是函數(shù)歹=lnx圖象與

直線＞=-x+2交點s的橫坐標，

因為V=e'的圖象與y=Inx圖象關(guān)于直線歹=x對稱，而直線y=-X+2也關(guān)于直線歹=x對稱，

所以線段N3的中點就是直線y=-x+2與y=x的交點，

y=x(X=1

由｛C，得＜,,即線段N8的中點為(1,1),

歹=-x+2[y-1

所以五產(chǎn)=1,得%+吃=2,

應(yīng)選：B

二、多項選擇題(本大題共4個小題，每題5分，共計20分，每題有2個或2個以上正確

答案，所選正確答案不完整的得2分，選錯得0分)

9.以下說法正確的選項是()

A.HxeR,x2-2x+2＜0

B.x＞2是xNl的充分不必要條件

C.已知函數(shù)/(x)=log2(x+l)-1的零點為1

D.假設(shè)V=/(x+l)的定義域為0,2],則y=/(x)的定義域為一1,1]

（答案）BC

（解析）

（分析）由配方法推斷Y—2x+2的符號進而推斷A,依據(jù)充分不必要條件的定義即可推斷B,求出函數(shù)

的零點即可推斷C,依據(jù)題意求出y=/（x+l）中x+1的范圍，進而得到y(tǒng)=/（x）的定義域，最后推斷

D.

（詳解）對A,因為V—2x+2=（x+iy+l>0,所以A錯誤；

對B,由x〉2可以得到但由xNl得不到x〉2,所以B正確；

對C,令/（x）=log2（x+l）T=0=>log2（x+l）=lnx+l=2=>x=l,所以c正確；

對D,因為歹=/G+l）的定義域為0,2],即0WxVl=lVx+lW2,所以y=/（x）的定義域為

1.2L所以D錯誤.

應(yīng)選：BC.

10.以下四個命題中錯誤的選項是（）

A.假設(shè)事件48相互獨立，則滿足尸（Z8）=P（/）P（8）

B.假設(shè)事件4B,C兩兩獨立，則尸（NBC）=P（A）P（8）尸（C）

C.假設(shè)事件4B,C彼此互斥，則P（Z）+P（3）+P（C）=1

D.假設(shè)事件48滿足P（N）+P（8）=1,則48是對立事件

（答案）BCD

（解析）

（分析）A選項，事件N,8相互獨立，則滿足尸（Z6）=P（Z）P（6）；BCD可舉出反例，說法錯誤.

（詳解）假設(shè)事件48相互獨立，則滿足尸（4B）=P（/）尸（3）,A說法正確；

舉例說明：投擲兩個骰子，記事件4第一個骰子的點數(shù)為奇數(shù)，

事件8：第二個骰子點數(shù)為奇數(shù)，

事件C：兩個骰子的點數(shù)之和為奇數(shù)，

于是有尸（〃）=尸（B）=P（0=g,P（4B）=P（BC）=P（AC）=；,

P（ABC）=0,可以看出事件力，B,C兩兩獨立，但/,B,C不相互獨立，所以

P(ABC)豐P(A)P⑻P(C),B說法錯誤;

舉例說明：投擲一個骰子三次，記事件/:第一次骰子的點數(shù)為1,

事件2：第二次骰子點數(shù)為2,

事件C：第三次骰子點數(shù)為3,

則PQ)=P(8)=尸(C)=，

6

事件4B,C被此互斥，則P(4)+P(B)+P(C)Wl,C說法錯誤；

舉例說明：記事件4投擲一個骰子，骰子的點數(shù)為奇數(shù)，

事件以投擲一枚硬幣，正面朝上，

則尸(/)=尸(8)=5,滿足P(4)+P(8)=l,但4,8不是對立事件，

D說法錯誤.

應(yīng)選：BCD

11.已知函數(shù)/(x)=4sin?x+°)(其中4>0,①>0,嗣<打)的局部圖象如下圖，則以下結(jié)論正

確的選項是()

A.函數(shù)y(x)的圖象的周期為7=萬

B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱

C.函數(shù)人x)在區(qū)間一￡,上的最大值為2

36

D.直線丁=1與y=/(x)(-—<x<-)圖像全部交點的橫坐標之和為5

v712126

(答案)AC

(解析)

(分析)先利用函數(shù)圖象T,A,a),(p,從而求得函數(shù)解析式，然后利用零點，對稱性及正弦三角形最值求

解得結(jié)果.

T2萬57T71

(詳解)依題意，一=--------=一，得7=萬，故A正確；

43124

2n2TC

co=—=2,4=2,則/'(x)=2sin(2x+0),當工=一時，/(x)取最小值,

713

則2x空+夕=紅，得。=四，gp/(x)=2sin2x+工］,

326k6)

71

當》二一時,/,—=2sin2x—+—=2sin—w0故B錯誤;

I12jI126J3

當xe-f,與，則2x+ge,則故C正確；

36622_

jr11jrjrjr11jr

則2x+=e[0,2%],設(shè)直線y=l與歹=/(x)(-二——)圖像全部交點的橫坐

121261212

標為玉,工2，則2玉+吃+2々+~7=%，解得玉+工2=一,故D錯誤；

663

應(yīng)選：AC.

12.如圖，在直三棱柱/8C—4AG中，AB=AAt=1,BC=V2,ZABC=900,尸為線段AG上的動

點，則以下結(jié)論中正確的選項是()

B

A.點4到平面48c的距離為空

2

B.平面4PC與底面Z8C的交線平行于4P

C.三棱柱ZBC-48c的外接球的外表積為16萬

D.二面角4-8C—Z的大小為工

4

(答案)ABD

(解析)

(分析)對A,依據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定可得/41?平面46C,進而求得點/到平面48c的距離；

對B,依據(jù)線面平行的性質(zhì)判定即可；對C,依據(jù)外接球的性質(zhì)求得外接球的直徑進而求得外表積即可；

對D,依據(jù)線面垂直的判定可得二面角4-3C-4即N484,再求解即可；

(詳解)對A,因為直三棱柱/8C—Z4G，故又//8。=90°，故8cl48,又

ABcAA]=A,平面Z3&4，故3C_L平面44,又4與＜=平面43片4，故

BCLAB,,又，8=44=1,故正方形48q耳,故又BCPM/,8c,/fu平面

&BC,故4用_L平面48c.所以點/到平面48c的距離為工/2=變，故A正確；

22

對B,易得4尸〃平面/sc,，/匚平面4尸。，依據(jù)線面平行的性質(zhì)有，平面4尸。與底面/sc的交

線平行于4尸，故B正確；

對C,依據(jù)題意可得ZC=jm=G，因為/NBC=90°，所以三棱柱/8C—481G的外接球的直徑

為4。=，幣=2,其外表積S=4萬(|)=4萬，故C錯誤；

對D,因為BC_L平面片4,故二面角4一8。一，的平面角即N484,因為tanN4歷1=1,故

AA.BA=45a,故D正確；

應(yīng)選：ABD

三、填空題(本大題共4小題，每題5分，共計20分，要求答案寫成最簡形式)

13.已知函數(shù)Xx)為奇函數(shù)，當x20時，/(x)=x(x+4),則/(-1)=_.

(答案)-5

(解析)

(分析)利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求對稱區(qū)間上的函數(shù)值轉(zhuǎn)化成已知區(qū)間函數(shù)值求解即可.

(詳解)解：“X)為奇函數(shù)，當xNO時,f(x)=x(x+4),

.?./(-1)=-/(1)=-以5=-5.

故答案為：-5.

14.設(shè)方=(2,-2),麗=(3,0),雙=(m,3)，假設(shè)/，B,C三點構(gòu)成以角8為90°的直角三角形，

則實數(shù)m的值為.

（答案）一3

（解析）

（分析）先求出B/B2的坐標，進而依據(jù)平面向量垂直的坐標運算求得答案.

->—>—>—>—>—>

（詳解）由題意,員4=。4-08=（-1,-2）,BC=OC-OB=（m-3,3）>于是

BA-BC=（一1,一2）?（加―3,3）=3—加一6=0=〃？=一3?

故答案為：-3.

15.在△/BC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=亞,c=2,且

2asmA=b-cosC+c-cosB,則△48C的面積為___.

（答案）@

2

（解析）

【分析）由正弦定理化簡可得sinZ=L,再依據(jù)面積公式求解即可

2

（詳解）由正弦定理，2sin2=sin5-cosC+sinC-cos5=sin（5+C）=sinJ,因為sinA/O,故

sinA=—,故=，bcsin/

2ABC22

故答案為：立

2

16.定義在R上的奇函數(shù)/（x）和偶函數(shù)g（x）滿足/（x）+g（x）=e",當XG（0,+8）時,

g（2x）?外"（X）恒成立，則實數(shù)%的取值范圍.

（答案）（-叫2夜］

（解析）

（分析）先依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，求出/（x）,g（x）的表達式，然后代入g（2x"/（x）中，別離出參數(shù)

Pp-2x（px_p-x\2I0/2_i_7?

k,得十°=（e—e）+/,令/=/—e^，則左〈上二=/+>0），然后利用根本不等

e'-e-xer-e-xtt

2

式可求出r+一的最小值，從而可求得結(jié)果

t

（詳解）因為/（X）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，

所以/(—X)=-f(x),g(-x)=g(x),

由/（X）+g（x）=e，，得/（一x）+g（-x）=e-r,

所以-/（x）+g（x）=e-*,

所以/（x）=4二,8（X）=—匚，

所以不等式g（2x"叭x）可化為

e2v+e-2x,e'-尸

>k，

2-------2

因為xe（0,+oo）,所以e'—e-〉0，

所以心之”二=心匚左2,

e-X-e—X-xe-e

t2+22

令，=/—e-'，則-----=/+-（/>0）,

tt

因為t+：N2后=20,當且僅當f=j時取等號，

2r-

所以t+：的最小值為2J5，

所以上420，即實數(shù)A的取值范圍為（一8,2血]，

故答案為：（-oo,2V2]

四、解答題（本大題共計6小題，記70分）

_11

17.⑴計算3x32x盯xG+lg上一愴25的值.

4

（2）已知sina+cosa=e（0,兀），求tan￡的值.

4

（答案）（1）1；（2）tan。=—.

3

（解析）

（分析）（1）依據(jù)指數(shù)幕運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算法則即可化簡求值；（2）依據(jù)同角平方和為1的關(guān)系

即可聯(lián)立方程求解.

_21Ii_WL

（詳解）（1）原式=3*3-3乂33><36-（愴4+愴25）=3-2+3+6一吆100=3-2=1

（2）法1：由題得sina+cosa=§,①又sin?a+cos2a=1②.

由①②解得，sin26Z+|--sin^z=1

(5)

/.25sin2a_5sina_12=0=(5sina+3)(5sina-4)=0

3_

解得sina=——或sin

413

又。￡(0,兀)，故sina=—,且sina+cosa=一，所以cosa

555

4

因此tana=——

3

法2：由sina+cosa①

124

平方得1+2sinacosa=—=>2sinacosa=-----<0.

2525

又3￡（0,兀），所以sina〉O,cosa<0

49

而(sina-cosa)2=1-2sin(7cos(2=—

7

故有sina-cosa=1②.

434

由①②解得sina=—,cosa=——，即tana=——

553

18.常德市漢壽縣新建的野生動物園，聲名遠播，“五一〃假期入園游客近16萬人次，目前已建成的一期

工程分為猛獸區(qū)、食草區(qū)、靈長類、大象館、鱷魚館、鳥語林等52個館舍，入園物種有150多種約3500

頭（羽）.現(xiàn)在漢壽縣的野生動物園已成為省內(nèi)外游客旅游的目的地.為了了解游客的參觀體驗的中意

度，從游客中隨機抽取假設(shè)干游客進行評分（總分值為100分），并統(tǒng)計他們參觀館舍個數(shù)情況，依據(jù)調(diào)

查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖和頻數(shù)表.已知評分在70,90］的游客有11人.

參觀館舍數(shù)頻數(shù)

101

303

354

406

452

50t

521

(1)求頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表中未知量a,f的值；

(2)從頻率分布直方圖中求評分的下四分位數(shù)，從頻數(shù)分布表中求參觀館舍數(shù)的80%分位數(shù)；

(3)規(guī)定評分不低于90分為“非常中意”，評分低于60分為“不中意”.現(xiàn)從評分為“非常中意”和

“不中意”的游客中任意選取2人評為幸運游客，求評分為“非常中意”和"不中意”的游客恰各一人的

概率.

(答案)(1)a=0.02,/=3

95

(2)下四分位數(shù)70；80%分位數(shù)是一

2

⑶§

15

(解析)

(分析)(1)由頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表計算可得；

(2)利用下四分位數(shù)和80%分位數(shù)概念計算可得：

(3)列舉根本領(lǐng)件全部樣本點數(shù)及所求事件樣本點數(shù)，利用古典概型求解即可.

(小問1詳解)

5?加*1-(0.01+0.015+0.025+0.03)x10

解：由題意，a=—-------------------------——=0.02,

10

11.

抽取人數(shù)為(0.025+0.03)x10=2。，所以，=2。-1-3-4-6-2-1=3；

（小問2詳解）

解:頻率分布直方圖得，前兩組的頻率和恰好為（0.01+0.015）x10=0.25,

所以評分的下四分位數(shù)為70；

20x80%=16,從小到大第16、17個數(shù)分別是45,50

45+5095

則參觀館舍數(shù)的80%分位數(shù)是:—2—

（小問3詳解）

解:“不中意”的游客有20x0.1=2人，設(shè)編號分別為4,B,“非常中意”的游客有20x0.2=4人，設(shè)編號

分別為。，b,c,d

則根本領(lǐng)件的總數(shù)有:

4B、Aa,Ab,AcyAd,Ba,Bb,Be、Bd,ah,ac,ad,be、bd,cd共15種，

事件M，非常中意〃和“不中意〃的游客恰各一人有:

Aa、Ab、Ac,Ad、Ba、Bb,Be、3d共8種.

Q

故p(")=m

19.已知在直三棱柱Z8C—44G的底面/8C中.ZABC=90°>E、尸分別為4c和CQ的中點.

4B=BC=A4=2,。為棱44上的動點.

（1）請作出過4、B\、E三點截直三棱柱N8C—4AG的截面（只要求畫出圖形，不要求寫出做法）

（2）證明：BFLDE

（3）當。為的中點時，求直線DE與平面/所成的線面角的正切值.

（答案）（1）作圖見解析；

（2）證明見解析；（3）

（解析）

（分析）（1）利用面面平行的性質(zhì)作出截面與平面N8C的交線即可作答.

（2）利用線面垂直的判定證明平面再利用線面垂直的性質(zhì)即可推理作答.

（3）取48的中點4,證明￡77J_面,再在Rt^OE/7中計算作答.

（小問1詳解）

在直三棱柱N6C—中，過4、B1、E的截面交平面4Aq于4片，又截面與平面/8C有公共點

E,

平面N8C//平面44G，因此，過4、用、￡的截面與平面Z8C相交于過點E的一條直線，該直線平

行于44,

而N8//44,則有過4、B］、E的截面與平面/8C的交線平行于Z5,過E作EG//AB交BC于G

連接4民8。，所以四邊形4EGA即為過4、B1、E三點截直三棱柱N8C-44G的截面，如圖,

4

A

（小問2詳解）

由（1）知，EG//AB,而E為NC的中點，則G為8c的中點，

在正方形8CG4中，尸為C￡中點，RtD55tG=RCC5F,則/88。=/。瓦"

因此NCBF+4BGB、=ZBB.G+ABGB}=90。，有BF工及G,而ZEGC=NABC=90°，

則有EGL6C,又平面Z8C,EGu平面/8C,有EG_L8q,而84nBe=8,

84,8。（=平面8。。4,

于是得EG,平面8CG4,又BFu平面BCgBi，則有8尸，EG,

因￡Gc8|G=G,七6,46<=平面4￡64，從而得平面4EG4,又。Eu平面4EG4,

所以5尸，。E.

（小問3詳解）

因8C_L/8,3CJ_88i,ABQBBt=B,u平面ABBM,則BC1平面

取〃8的中點4,連EH,DH,如圖，因E為/C的中點，即有EH//BC,則平面

于是得NE?！橹本€。E與平面工8耳4所成的角，在正方形288/中，。為4瓦的中點，即有

DH=A4=2,

而七"=，8。=1,在RtaOE”中，tan/EDH=里=二

2DH2

所以直線OE與平面工8月4所成的線面角的正切值為

20.在四邊形Z8C。中，4B=2，NZ=60°，NN8C=N8CQ=90°，設(shè)NCBD=a.

[1]當a=15°時，求線段的長度:

[2]求△8C。面積的最大值.

（答案）（1）、6+1

⑵—

2

（解析）

（分析）（1）在中，直接利用正弦定理可求得/。的長度；

（2）利用正弦定理可求得80,進而求得8C、CD,利用三角形的面積公式、弦化切以及根本不等式可

求得△8。面積的最大值.

【小問1詳解）

解：當a=15°時，在中，AB=2,NABD=75°，N4DB=45°，

由正弦定理上=*,得4D==2a45。cos3（T+cos45。sin30。）=

sm45sin750布45°dn45°

（小問2詳解）

解：在中，NABD=90"—a，NZO8=180°—60°—（90°—a）=a+30°,

BDABG

由正弦定理而nBD

sin（30。+a）sin（30。+a）

Vicosa

在RtDBCZ）中，BC=BDcosa=

sin（a+30。）

CD=BDsina-

3sinacosa3sinacosa

=-BDCD

*234

此時22sin（a+30°）23.212V3.

sin。+cos~a+sinacosa

442

6tana6<6_V|

3tan2a+1+2百tana3tana+—1—+2732J3tan??——+273一

tanaytana

當且僅當tana=也時等號成立，故△8C。面積的最大值為史

32

21.已知二次函數(shù)/卜）=。/+1+。"，b,c為實數(shù)）

（1）假設(shè)/（x）<0的解集為（1,2）,求不等式cV+bx+avO的解集;

4+C

（2）假設(shè)對任意xeR,b>0時，/（x）20恒成立，求的最小值;

（3）假設(shè)對任意xeR,2x+2?/（x）<2x2—2x+4恒成立，求油的最大值.

（答案）（1）jx||<x<lj

（2）1〔3〕\

（解析）

（分析）（1〕依據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程的根之間的關(guān)系即可求解.

（2）依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得。〉0,6〉0/2-4改40,進而依據(jù)根本不等式即可求解.

（3）取x=l得a+b+c=4,依據(jù)判別式小于0可得c=a+2,進而可得a,c,b的關(guān)系，依據(jù)根本不等

式即可求解

（小問1詳解）

依題意知，a>0,且方程ax2+bx+c=0的兩根為1，2

bc

由根與系數(shù)間的關(guān)系得一一=3,—=2,則人=-3a,c=2。.

aa

故不等式ex?+隊+〃=2a2-3ax+a=a（2x2一3工+1）=a（2x-l）（x-l）<0

解得：1<X<1,即原不等式的解集為

（小問2詳解）

因為xwR,b〉O時，〃x）*0恒成立，

故得。>0力>0,從一4。。40,那4acN〃，即

所以匕2友=1（當