2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市部分高中高三年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含詳解

蘇州市部分高中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級12月聯(lián)考

數(shù)學(xué)

注意事項：

L本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試卷必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每題只有一項符合要求.

1,已知集合4={1，與，5={削/一3%<0”"若4"=&則6的值為（）

A.0B.1C.2D.1或2

2.甲、乙、丙、丁四人在一次比賽中只有一人得獎.在問到誰得獎時，四人的回答如下：甲：乙得獎.乙：丙得獎.

丙：乙說錯了.丁：我沒得獎.四人之中只有一人說的與事實相符，則得獎的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

3.設(shè)2=。+歷（a,Z?wR）（i為虛數(shù)單位）為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若Z是純虛數(shù)，則〃=0或

B.復(fù)數(shù)z模長的平方值等于復(fù)數(shù)z的平方值

C.若Z的模長為1，則|z+i|的最大值為2

D.若|z—1|=1,則0<|z|W2

4.江南的周莊、同里、角直、西塘、鳥鎮(zhèn)、南涪古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的

城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語民俗風(fēng)情，在世界上獨樹一

幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處.某家庭計劃今年暑假從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游，則

只選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為（）

2314

A-B.-C.-D.-

5555

5.英國數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用“〈”和符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深

遠.對于任意實數(shù)b、c、d,下列命題是真命題的是（）

A.若</,則。B.若a<6,則ac

C.若c<d,則D.若a<b,c<d,則a+c<Z?+d

6.已知A、B、C是半徑為3的球。的球面上的三個點，且NACfi=120，AB=5AC+BC=2,則三棱

錐O—A5c的體積為（）

A.逅B.—C.—D.76

1263

22?

7.在平面直角坐標系尤Oy中，橢圓工+與=l（a〉6〉0）和拋物線/=—以交于點A,8,點P為橢圓的右頂

ab4

點.若0、A、P、3四點共圓，則橢圓離心率為（）

A幣R2s?3^/7n4s

7777

8.已知函數(shù)〃x）=sin（27u）+,，則直線y=x-2與圖象的所有交點的橫坐標之和為（）

x—2

A.0B.8C.12D.16

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,滿足S=g（/—/卜皿。，則下列說法正確的有

（）

A.2〃+Z?wO

B.2a+b-0

C.存在左=1使得tanA:2tanC=l:2左

D.存在根=1使得c=2成？

10.18世紀30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機變量X服從二項分布6（〃0）,那么當(dāng)〃比較大時，可視為X

服從正態(tài)分布其密度函數(shù)以0（xhTLe-g,尤eR任意正態(tài)分布X~5（〃,b2）,可通過變

換z=±上轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布（〃=0且b=l）.當(dāng)zN（0,l）時，對任意實數(shù)X,記*x）=P（Z<x）,

（T

則（）

B.當(dāng)％>0時，尸（Z<x）=l—2/（x）

C.隨機變量X當(dāng)〃減小，b增大時，概率尸（|x—”<可保持不變

D.隨機變量XN.d）,當(dāng)〃，0都增大時，概率P（|X-4<cr）單調(diào)增大

11.已知拋物線C：>2=4%,圓s：（X—37+/=2,點尸在x=上，則（）

A.圓上一點到C上一點的距離最小值為0或2夜

B.圓心S到C上一點T的距離ST最小值為J5

C.過P作圓的兩條切線與C的四個交點縱坐標乘積一定為112

D.過戶作圓的兩條切線與C的四個交點縱坐標乘積不一定為112

12.定義在R上的函數(shù)〃%)同時滿足：@/(x+l)-/(x)=2x+2,XGR；②xe[O,l],則下列結(jié)

論正確的是()

A./(0)=-1

B.為偶函數(shù)

C.存在〃eN*，使得/(?)>2023〃

D.任意尤eR,有閆x|+^+3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡規(guī)定位置處.

13.已知向量a=(l,2),b=(4,3),則a-(2a-b)=

14.己知lga+lgZ?=l,則。+2辦的最小值為

JT兀

15.已知函數(shù)/0)=-/+6*+根，g(x)=2sin(2x+§).對任意/e0,—,存在w[T3],使得

/(x,)<g(x°)</(%)，則實數(shù)用的取值范圍是.

16.若數(shù)列｛4｝滿足耳=瑪=1,￡=￡I+￡-2(〃23且〃為正整數(shù))，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列.該數(shù)列是由

意大利科學(xué)家列昂納多?斐波那契于1202年提出，此數(shù)列在如今多種領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若記瑪023=加，則

數(shù)列｛￡｝的前2021項和為；若此數(shù)列各項除以3的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列｛4｝，則數(shù)列｛4｝的前2022項

和為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，正方體ABC?！狝4GR邊長為I，P是4。上的一個動點.求：

(1)直線A3與平面所成角的余弦值;

(2)B4+PC的最小值.

18.已知正項數(shù)列｛4｝前"項和為S“，現(xiàn)在有以下2個條件:

①數(shù)列｛明的前〃項和為7；="("+1)；②4=1,%=34

從上述2個條件中任選一個，完成以下問題：

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足仇=1,bn=an-an^(7：>2),試問也｝中否存在連續(xù)三項外,bk+l,bk+2,使得*，

11

—,「構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由.

4+14+2

19.已知函數(shù)〃x)=x+sinx.

(1)若光?0,2兀］,則討論函數(shù)八%)的單調(diào)性；

(2)若尤eR,則曲線y=/(x)上是否存在三個不同的點A、B、C,使得曲線y=/(x)在A、B、C三點處的

切線互相重合？若存在，求出所有符合要求的切線的方程；若不存在，請說明理由.

20.為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調(diào)查.已知某單

23

位有N名員工，其中1是男性，，是女性.

(1)當(dāng)N=20時，求出3人中男性員工人數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)我們知道，當(dāng)總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現(xiàn)在全市范圍內(nèi)考慮.從N

名員工(男女比例不變)中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作耳；有二項分布中(即

男性員工的人數(shù)XBl3,1j)男性員工恰有2人的概率記作鳥.那么當(dāng)N至少為多少時，我們可以在誤差不超過

0.001(即《一640.001)的前提下認為超幾何分布近似為二項分布.(參考

蘇州市部分高中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級12月聯(lián)考

數(shù)學(xué)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每題只有一項符合要求.

1,已知集合人={1'坊*={削％2-3%<O”Z},若4B=A,則6的值為（）

A.OB.1C.2D.1或2

【答案】C

【分析】求出集合2,再根據(jù)交集結(jié)果可得A。3,即可求出.

【詳解】由f―3x<0解得0<x<3,所以3={1,2},

因為AiB=A,所以AgB,所以〃=2.

故選：C.

2.甲、乙、丙、丁四人在一次比賽中只有一人得獎.在問到誰得獎時，四人的回答如下：甲：乙得獎.乙：丙得獎.

丙：乙說錯了.?。何覜]得獎.四人之中只有一人說的與事實相符，則得獎的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【分析】根據(jù)各人的說法，討論四人得獎分析是否只有一人說法與事實相符，即可確定得獎的人.

【詳解】

甲乙丙T

甲得獎

乙得獎

丙沒得獎

T沒得獎

由上表知：

若甲得獎，丙、丁說法與事實相符，則與題設(shè)矛盾；

若乙得獎，丙、丁說法與事實相符，則與題設(shè)矛盾；

若丙得獎，乙、丁說法與事實相符，則與題設(shè)矛盾；

所以丁得獎，只有丙說法與事實相符.

故選：D

3.設(shè)2=。+歷（a,beR）（i為虛數(shù)單位）為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若z是純虛數(shù)，則。=0或匕W0

B.復(fù)數(shù)z模長的平方值等于復(fù)數(shù)z的平方值

C.若z的模長為1，則|z+i|的最大值為2

D若|z—1=1,則0<卜區(qū)2

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的概念可判斷A選項；利用特殊值法可判斷B選項；利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可判斷C選項；設(shè)

z—1=cos6?+isin6?,利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，若z是純虛數(shù)，則。=0且bwO,A錯；

對于B選項，取z=l+i，則，=1+1=2,z2=（l+i）2=2i,則忖B錯;

對于C選項，因為同=1,則|z+i以z|+|i|=2,

當(dāng)且僅當(dāng)z=i時，等號成立，即|z+i|的最大值為2,C對；

對于D選項，因為任一1|=1,設(shè)z-l=cos8+isine,則z=l+cos8+isin。，

所以，目=J（1+cos+si。，=逝+2cos￡e[0,21D錯.

故選：C.

4.江南的周莊、同里、用直、西塘、鳥鎮(zhèn)、南涪古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的

城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語民俗風(fēng)情，在世界上獨樹一

幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處.某家庭計劃今年暑假從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游，則

只選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為（）

2314

A.—B.-C.—D.一

5555

【答案】B

【分析】應(yīng)用組合數(shù)求出所有可能情況數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率即可.

【詳解】從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游可能情況有Cl=15種情況，

1

只選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為P=4C'Ca=-3.

155

故選：B

5.英國數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用“〈”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深

遠.對于任意實數(shù)。、b、c、d,下列命題是真命題的是（）

人.若儲<62,則。<6B.若。<6,則ac<Z?c

C.若a<b,c<d,則D.若a<b,c<d,則a+c<》+d

【答案】D

【分析】借助不等式的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】對A：因為"<〃，可能bvavo,故錯誤；

對B：當(dāng)cvO時，若a〈b,貝故錯誤；

對C：當(dāng)Q</?VO,cvd<0時，則仇7,故錯誤；

對D：若a<b,c<d,則a+cvh+d,故正確.

故選：D.

6.已知A、B、C是半徑為3的球。的球面上的三個點，且NACfi=120，AB=5AC+BC=2,則三棱

錐O—A4c的體積為（）

A.逅B.逅C.逅D.V6

1263

【答案】B

【分析】計算出的外接圓半徑，可計算得出三棱錐O-ABC的高，利用余弦定理可求得AC3C,可計算

得出的面積，再利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】因為A3=G，NACfi=120,所以，ABC的外接圓半徑為廠=一走一=1,

2sin120

所以，三棱錐O—A5c的高為人=療二7=2血，

在，ABC中，由余弦定理可得

3=AB2=AC2+BC2-2AC-BCcos120=AC2+BC2+AC-BC=（AC+BC）2-ACBC,

2

所以，ACBC=（AC+BC）-3=1,所以，SAABC=|AC-BCsin120=^-，

因為%—ABC=~SAABC'h=~X~^~x2^=^7~-

334o

故選：B.

r221

7.在平面直角坐標系xOy中，橢圓二+方=l（a〉6〉0）和拋物線V=z奴交于點A,B,點尸為橢圓的右頂

點.若。、A、P、8四點共圓，則橢圓離心率為（）

A.且B.至…

7777

【答案】B

【分析】分別求出。、A、尸坐標，利用四點共圓可以得到。4,PA，解方程即可.

【詳解】如圖所示，0（0,0）,P（a,0）,A（x,y）,所以Q4=（羽y）,PA=（x-a,y）,

因為0、A、P、B四點共圓，所以O(shè)A，PA，

I3

所以。4?PA=—〃%+>2=0,將y2=—av代入得，x2—ctx-0,

44

aq22

由尤>0解得X=>2=—/,代入橢圓方程二+與=1,

416a2b2

93〃212Q

所以二+±?勺=1,整理得勺=2,所以e2=l—

1616b2a277-

，則直線y=x-2與/（%）的圖象的所有交點的橫坐標之和為（

C.12D.16

【答案】C

【分析】由/（x）=x-2可得sin（2兀x）=x—2-------,令g（x）=sin（2n：x）,/z（x）=x-2--------,分析可

x—2x—2

知，函數(shù)g（%）、M%）的圖象都關(guān)于點（2,0）對稱，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.

【詳解】由/（%）=X—2可得sin（2m:）=%—2.....-,

x—2

令g（x）=sin（2m）,/z（x）=x-2-------,

x—2

27r

則函數(shù)g（尤）=sin（2而）的定義域為R,其最小正周期為T=J=1,

2兀

g（4—x）=sin[2兀（4—x）]=sin（8^-2m）=—sin（2xv）=—g（x）,

所以，函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點（2,0）對稱，

函數(shù)/z（x）=x-2-的定義域為{尤,#2},

x2

對任意的xe{x|xw2},A（4-x）=（4-x）-2-^_^_2=2-x-^-=-/?（%）,

所以，函數(shù)可了）的圖象也關(guān)于點（2,0）對稱，

因為函數(shù)y=x-2、y=——1在（2,+8）上均為增函數(shù)，

x-2

則函數(shù)〃（x）在（2,+8）上也為增函數(shù)，如下圖所示：

Vk

yA（x）

由圖可知，函數(shù)g(x)、/(%)的圖象共有六個交點，其中這六個點滿足三對點關(guān)于點(2,0)對稱，

因此，直線y=x-2與"％)的圖象的所有交點的橫坐標之和為4x3=12.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題函數(shù)圖象交點橫坐標之和，解題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)的對稱性，利用數(shù)形結(jié)合思想結(jié)

合對稱性求解.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.已知內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,面積為S,滿足S=g(〃—/卜山。，則下列說法正確的有

()

A.2〃+Z?wO

B.2a+b-0

C.存在k=1使得tanA:2tanC=l:2左

D.存在根=1使得c=2成？

【答案】ACD

【分析】根據(jù)正弦定理的面積公式可得24—2〃=0,因式分解即可得出A、B答案；通過假設(shè)法即可判斷

出C、D選項.

【詳解】因為s=g(4—/卜inC=gabsinC,sinC>0,則2a?—3"—2^=0，

即(a—2Z?)(2a+3=。，因為a>0且〃>。，所以a—2b=0,2a+b^0,A正確，B錯誤；

假設(shè)存在k=1使得tanA:2tanC=l:2左，則tanA=tanC,即A=C,與題意不沖突，假設(shè)成立，C正確;

當(dāng)A=C時，a=c=2b,即存在加=1使得。=24?，D正確.

故選：ACD.

10.18世紀30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機變量X服從二項分布5(〃,。)，那么當(dāng)〃比較大時，可視為X

服從正態(tài)分布NJ,"),其密度函數(shù)=,丹區(qū)任意正態(tài)分布乂?可〃,^),可通過變

'7211(7

換Z=±上轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布(〃=0且0=1).當(dāng)2N(0,l)時，對任意實數(shù)X,記《x)=P(Z<x),

(7

則()

A.z(-x)=1-?(%)

B.當(dāng)％>0時，尸(ZV%)=1—2,(%)

C.隨機變量XN.d),當(dāng)〃減小，b增大時，概率P(|x—4<。)保持不變

D.隨機變量XN.d),當(dāng)〃，b都增大時，概率P(|X—”<0)單調(diào)增大

【答案】AC

【分析】根據(jù)*%)=P(Z<尤)結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性，可判斷A;由定義即可判斷B;根據(jù)正態(tài)分布的3b準則可判

斷C,D.

【詳解】對于A,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得：/(—x)=P(Z<—x)=P(Z2x)=1—P(Z<x)=l—/(x),故A正

確；

對于B,當(dāng)尤>0時，r(x)=P(Z<x),故B錯誤；

對于C,D,根據(jù)正態(tài)分布的3b準則，在正態(tài)分布中b代表標準差，〃代表均值，

x=〃即為圖象的對稱軸，根據(jù)3b原則可知X數(shù)值分布在(〃—cr,〃+cr)中的概率為0.6826,是常數(shù)，

故由P(|X-〃|<cr)=尸(〃一cr<X<〃+cr)可知，C正確，D錯誤，

故選：AC

11.已知拋物線C：V=4x,圓s：(%-3)2+/=2,點尸在x=上，則()

A.圓上一點到C上一點的距離最小值為④或20

B.圓心S到C上一點T的距離ST最小值為，￡

C.過P作圓的兩條切線與C的四個交點縱坐標乘積一定為112

D.過尸作圓的兩條切線與C的四個交點縱坐標乘積不一定為112

【答案】AC

【分析】根據(jù)題意，圓上一點到C上一點距離轉(zhuǎn)化為圓心到拋物線的距離問題，再用兩點間距離公式來求最小

值，從而可判斷AB選項；

根據(jù)題意，設(shè)切線方程為y-%=k（x+J^），由直線與圓相切列出方程，結(jié)合韋達定理，代入計算，即可得到

%%%%為定值，從而判斷CD選項?

【詳解】設(shè)拋物線上的點T（x，x）,則父=4%又S（3,0）,r=J5,

所以片（『+，

|ST|=J_2/+9=JX]_l8>2A/2

當(dāng)且僅當(dāng)X1=1時取等號.

所以ST的最小值2四.

因此，圓S上的點到拋物線上的點距離最小值為2行-廠=2夜-夜=夜.

設(shè)尸卜近,為），因為過尸作圓的兩條切線與C的四個交點，所以為w士夜，且這兩條切線的斜率均存在且非

令l=t=r.

設(shè)切線方程為y—%=左1+即位—丁+卜（）+四人）=0.

又圓S：（%-3）-+/=2,由相切得J----；°~?=J2.

整理得：（14+6V7）F+2（3+S）x#+（y；—2）=0,

2Mzi

*V1I/V?I

-14+6V17

依題意知4〉。，所以<

k1k,=y°'~2

14+6V7

=小+⑺，得%+與+4新皿

聯(lián)立

y2-2pxkk

依題意知4〉0，設(shè)點A，B,R,。的縱坐標為%,%，為，為，

貝?=*+4療，y3y，二黃的手.

所以X%%%=詈&+16療為-+—L112=16%[為+S(K+&)]"J2

th左2,k，2

16%[為+?—2(3+J^%]

16y；[14+6j7—(6J7+14)]

——,14+6療+U2=+112=112.

?-2

14+6A/7

故C正確，D錯誤.

故選：AC.

12.定義在R上的函數(shù)同時滿足：?/(x+l)-/(x)=2x+2,XGR；②XC[0,1],則下列結(jié)

論正確的是()

A./(O)=-l

B.7(%)為偶函數(shù)

C.存在〃eN*，使得/(")>2023〃

D.任意％eR,有〃(%)|三國+公+3

【答案】ACD

【分析】對于A：根據(jù)題意令x=0分析運算即可；對于B：根據(jù)題意求了(-1),/。)，結(jié)合偶函數(shù)的定義分析判

斷；對于C：利用累加法分析判斷；對于D：設(shè)g(x)=/(x)—%,分析可知g(x)是以1為周期的周期函數(shù),

且|g(x)|W3,結(jié)合絕對值的性質(zhì)分析求解.

【詳解】對于選項A：因為〃x+l)—〃x)=2x+2,

令％=0,則/(I)—/(0)=2,即/(1)=/(。)+2,

又因為xe[0,l],[〃尤)⑷，gp-1</(X)<1,

可矢唱即⑼W1'解得"0)一故A正確I

對于選項B：由選項A可得/。)=/(0)+2=1

令x=_i,則y(o)_/(_i)=o,即/(_g=/(o)=_i,

可知所以/(%)不為偶函數(shù)，故B錯誤；

對于選項C：因為/(x+l)—/(x)=2x+2,且〃eN*，

當(dāng)22時，則/(〃)=[/(")—/(〃一1)]+[/("—1)一/("—2)]+…+[/(2)—/(1)]+/(1)

(2〃+4)(〃一1)

=2〃+2〃一2d---1-4+1=-----------+1=/9+〃一1,

2

且/(1)=1符合上式，

所以/(〃)="2+〃一1,〃cN*，

令n=2023，貝U/(2023)=20232+2022>2023x2023,

即存在zieN*，使得〃")>2023”，故C正確；

對于選項D：令g(x)=/(x)—x2—x,

貝Ijg(x+1)-g(x)=/(x+l)-(x+l)2-(x+1)-[/(x)-x2-x]=/(x+l)-/(x)-2x-2=o,

即g(x+l)=g(x),即g(x)是以1為周期的周期函數(shù)，

因為當(dāng)xe[o,l],|/(尤)歸1,則|g(x)|=|/(x)-一尤閆/(到+,2+耳43,

結(jié)合周期性可知對任意尤eR,均有|g(x)怕3,

所以|7(x)|=|g(x)+x2+x閆8⑸+三+國VW+V+3,故D正確；

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：對于選項D：構(gòu)建g(x)=/(%)—￡—%,結(jié)合題中條件分析可知g(x)是以1為周期的周期

函數(shù)，且|g(x)|43,進而可得結(jié)論.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡規(guī)定位置處.

13.己知向量a=(1,2),b=(4,3),則a,(2d-Z?)=

【答案】0

【分析】根據(jù)向量的坐標運算求解即可.

【詳解】V47=(1,2),〃=(4,3),；.2a—匕=(—2,1),

a-(2a-Z?)=lx(-2)+2xl=0.

故答案為：0.

14.已知lga+lgZ?=l,則。+2)的最小值為

【答案】46

【分析】根據(jù)對數(shù)運算求得。*的關(guān)系，利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】依題意，lg〃+lgb=lgab=l,

所以〃Z?=10且〃>。力>。，

所以〃+26>2yja-2b=4A/5,

當(dāng)。=2匕=2旨時等號成立.

故答案為：475

兀71

15.已知函數(shù)/0)=-f+6尤+機，g(x)=2sin(2x+—).對任意x()e0,—,存在e,使得

/(西)<g(x0)</(X2),則實數(shù)加的取值范圍是.

【答案】[-7,8]

【分析】根據(jù)/(X)和g(x)的值域以及恒成立、存在性等知識求得加的取值范圍.

【詳解】0KxKq,042xK火，qK2x+火K型，

42336

所以g(x)=2sin12+|^e[L2].

/(?0=--+6%+機的開口向下，對稱軸為1=3,

所以了(%)在區(qū)間[T3]上單調(diào)遞增，/(-l)=m-7,/(3)=m+9,

所以〃龍)?加一7,m+9],

JT

由于任意Xoe0,-,存在Xj,x2e[-1,3]，使得/(%)<g(x0)</(x2),

m-7<1「i

所以r機+9>2,解得—7WmW8,所以加的取值范圍是[—7,8].

故答案為：[—7,8]

16.若數(shù)列｛耳｝滿足片=g=1,小尺—一(〃23且九為正整數(shù))，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列.該數(shù)列是由

意大利科學(xué)家列昂納多?斐波那契于1202年提出，此數(shù)列在如今多種領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若記工023=相，則

數(shù)列｛￡｝的前2021項和為；若此數(shù)列各項除以3的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列｛?｝,則數(shù)列｛4｝的前2022項

和為.

【答案】①.②.2276

【分析】由已知可得出F吁2=—月_1+月（"之3,"eN*）,利用裂項相消法可求得數(shù)列｛用｝的前2021項和；寫出數(shù)

列｛4｝的前若干項，推導(dǎo)出數(shù)列｛4｝是以8為周期的周期數(shù)列，即可求得數(shù)列｛%｝的前2022項和.

【詳解】當(dāng)〃23且“為正整數(shù)，由工=E1T+乙-2可得工.2=—%.1+%，

所以，數(shù)列｛4｝前2021項和為4+鳥+瑪++F202l

=（一片+招）+（一罵+耳）+（-瑪+片）++（一私22+/23）=耳023-g=加一1,

因為數(shù)列｛凡｝滿足耳=￡=1，月!=￡T+￡.2（〃23且"為正整數(shù)），

數(shù)列｛4｝為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、L,

數(shù)列｛4,｝各項除以3的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列｛%｝,

數(shù)列｛%｝為：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0、L,

觀察可得數(shù)列｛4｝是以8為周期的周期數(shù)列，故4=4+8，

又因為2022=252x8+6,

所以，數(shù)列｛4｝的前2022項和為252x^1+1+2+0+2+2+1+0）+1+1+2+0+2+2=2276.

故答案為：m-1；2276.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，正方體ABC?！狝4G2邊長為1,p是上的一個動點.求：

（1）直線A3與平面所成角的余弦值；

（2）Z4+PC的最小值.

【答案】（1）0

②曲+上

【分析】（1）利用線面角的定義可得結(jié)果；

（2）將△441。和矩形ABC，延展為一個平面，分析可知，當(dāng)點A、尸、。共線時，B4+PC取最小值，在qACD

中，利用余弦定理求出AC的長，即為所求.

【小問1詳解】

解：在正方體ABC。—4/。口中，A31平面BBC，

所以，直線A3與平面所成角為直角，其余弦值為0.

【小問2詳解】

解：將△A&D和矩形ABC，延展為一個平面，如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)點A、尸、。共線時，B4+PC取最小值，

在.ACD中，AD=1,CD=l,ZADC=90°+45°=135°，

由余弦定理可得AC=［AD?+CD?—2AD?CDcosl35=J1+1—2義心義［—曰］=J2+&,

因此，B4+PC的最小值為52+J5-

18.已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“，現(xiàn)在有以下2個條件：

①數(shù)列｛%的前n項和為Tn=〃("+D；②％=1,an+l=J—a?

2丫〃

從上述2個條件中任選一個，完成以下問題：

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足々=1,bn=an-an^(n>2),試問也｝中是否存在連續(xù)三項外,bk+l,&2,使得:，

1一，構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由.

4+14+2

【答案】(1)an—yfn

(2)不存在，理由見解析

【分析】(1)選①，結(jié)合。；=<-1-求得%；選②，通過構(gòu)造常數(shù)列的方法求得鞏.

(2)先假設(shè)存在符合題意的仇，仇M，仇+2,結(jié)合等差中項的知識推出矛盾，從而作出判斷.

【小問1詳解】

選①：因為數(shù)列｛d｝的前〃項和為<=妁13,

所以當(dāng)〃=1時，a；=l；

當(dāng)“21T〃(〃+1)(〃T)〃

當(dāng)”》2時，an=Tn-Tn_x=--------------=

經(jīng)檢驗〃=1時，。；=1符合上式，所以wN*,

故正項數(shù)列｛叫的通項公式為例=a,

1必。“，所以

選②：因為q=1,%+1

n

為常數(shù)列，即隼=%=1,

所以

7H

所以正項數(shù)列｛??｝的通項公式4=6.

【小問2詳解】

,、111

數(shù)列｛4｝中不存在連續(xù)三項4,4+1，d+2，使得丁，廠，廠構(gòu)成等差數(shù)列.

理由如下：由(1)知當(dāng)“22時，bn=an—an_x=4n-y/n—1,

11=y/n+\/n-l.

所以a=而_而二1

，、111

假設(shè)數(shù)列｛〃｝中存在連續(xù)三項4,d+1，4+2，使得萬，廠，廠構(gòu)成等差數(shù)列.

當(dāng)％=1時，1,&+1,6+&，顯然不成等差數(shù)列，假設(shè)不成立；

當(dāng)上22時，則2（jm+JI）=（JI+jnj+（jm+仄門），

兩邊同時平方，^k+1+k+24k+i-4k=k-l+k+2+2y/k^l-4k+2，

所以a+1)左=(k-1)/+2),整理得/+%=/+左一2,

所以0=-2,矛盾，故假設(shè)不成立.

111

綜上所述，數(shù)列也｝中不存在連續(xù)三項bk,bk+l,bk+2使得了一，工—構(gòu)成等差數(shù)列.

4+1"k+2

19.已知函數(shù)/(x)=x+sinx.

(1)若xe［0,2可，則討論函數(shù)7(%)的單調(diào)性；

⑵若尤eR,則曲線y=/(x)上是否存在三個不同的點A、B、C,使得曲線y=/(x)在A、B、C三點處的

切線互相重合？若存在，求出所有符合要求的切線的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴函數(shù)＞=/(尤)在［0,2兀］上是增函數(shù)

(2)存在，滿足條件的切線方程為y=x±l

【分析】⑴利用導(dǎo)數(shù)判斷出"%)在區(qū)間［0,2兀］上的單調(diào)性.

(2)先設(shè)出切線方程，然后根據(jù)切線重合列方程，由此進行分類討論來求得切線方程.

【小問1詳解】

因為/'(%)=l+cosx?0,當(dāng)且僅當(dāng)在％=兀時，/(%)=0,

所以函數(shù)＞=/(尤)在［0,2兀］上是增函數(shù).

【小問2詳解】

因為/r(x)=l+cosx,

設(shè)A(%1，%)、8(%，%)、。(%3，％)，則曲線在ASC三點處的切線分別為直線

6:y=(1+cosxJx-Xjcosxj+sinxx,

4：y=(1+cosx2)x-x2cosx2+sinx2,

4:y=(l+cosx3)x-x3cosx3+sinx3.

因為直線小LA互相重合，所以COS%=COSZ=COS%3，

且一為cos再+sin玉=-x2cosx2+sinx2=-x3cosx3+sinx3.

因為COS%1=COSx2=COS%3,

所以sin西=±sinx2,sinx2=±sinx3,sinx3=±sin再.

①若sin占=-sinx2,sinx2=-sinx3,sinx3=-sin玉.

則sin玉=0,sinx2=0,sinx3=0,

于是一芭cosxl=-x2cosx2=-x3cosx3,

因為COS%1=cosx2=COS%3=±1w0,

所以王=犬2=%3，與ASC三點互不重合矛盾.

②若sin再=sinx2,sinx2=sinx3,sinx3=sin中至少一個成立,

不妨設(shè)sin再=sinx2成立，貝！J再cosxx=x2cosx2，

若cos%=cos%2，貝！Jx=%2，矛盾，舍去，

于是cos=cosx2=0,sin玉=sinx2=±1,

所以滿足要求的切線方程為y=x+l或y=x-1

【點睛】方法點睛：求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：⑴確定“X）的定義域；⑵計算導(dǎo)數(shù)尸（龍）；⑶求出

/'（%）=0的根；（4）用/'（尤）=0的根將"％）的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內(nèi)/'（尤）的符號，

進而確定了（%）的單調(diào)區(qū)間：f^x）＞0,則/（%）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；尸（耳＜0,則

了（%）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.如果導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，則需要對參數(shù)進行分類討論，分類討論

要做到不重不漏.

20.為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調(diào)查.已知某單

23

位有N名員工，其中1是男性，，是女性.

（1）當(dāng)N=20時，求出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）我們知道，當(dāng)總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現(xiàn)在全市范圍內(nèi)考慮.從N

名員工（男女比例不變）中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作耳；有二項分布中（即

男性員工的人數(shù)X男性員工恰有2人的概率記作鳥.那么當(dāng)N至少為多少時，我們可以在誤差不超過

0.001（即4-0.001）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布.（參考數(shù)據(jù)：V578?24.04）

【答案】⑴分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為之

（2）N至少為145時，我們可以在誤差不超過0.001（即片-6W0.001）的前提下認為超幾何分布近似為二項分

布

【分析】（1）利用超幾何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求數(shù)學(xué)期望；

（2）利用二項分布概率模型和超幾何分布概率模型即可求解.

【小問1詳解】

當(dāng)N=20時，男性員工有8人，女性員工有12人.

X服從超幾何分布，X=0,l,2,3,

528_44

TT40-95

心子晉嚙啜尸叱）備蓋14

285

X的分布列為

X0123

11442814

r

579595285

114428146

數(shù)學(xué)期望為石（X）=0x—+lx—+2x—+3x——=-

5795952855

【小問2詳解】

13

C；C；-A^-l|x-A^N1|N—1

-N-N

P二^~55518

19g"1）（N—2）=石.（NT）-2）'

2

￡=砥I工至0.288，

15125

N[|N—1

由于《—￡<0.001,則18

-0.288<o.oor

25（N-l）（N-2）

N[|N—1

即18289,

<0.289=

25（N—l）（N—2）1000

N[|N—1

即<28925289,

X——--------

（N-1）（N-2）100018720

由題意易知（N—1）（N—2）＞0,

從而720N1|N—1）W289（N—1）（N—2）,

化簡得2-141N+57820，

S7K

又N〉0,于是N+—>147.

N

578

由于函數(shù)丁=%+——在工=，乖々24.04處有極小值,

X

578

從而y=N+——當(dāng)NN25時單調(diào)遞增,

S7X578

X142+—?146.07<147,143+—?147.04>147.

142143

因此當(dāng)N2143時，符合題意,

23

而又考慮到gN和都是整數(shù)，則N一定是5的整數(shù)倍，于是N=145.

即N至少為145,

我們可以在誤差不超過0.001（即《一鳥40.001）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布.

21.如圖，兩射線4、，2均與直線/垂直，垂足分別為。、E且DE=1.點A在直線/上，點8、C在射線上.

（1）若尸為線段8c的中點（未畫出），求A/.AD的最小值;

（2）若一A5C為等邊三角形，求面積的范圍.

【答案】（1）一々

16

⑵匹6

4

【分析】（1）建