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文檔簡介
江蘇省蘇州市實驗中學2024年高考數學押題試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.水平放置的,用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的,其中,則繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體的表面積為()A. B. C. D.2.如圖,在平行四邊形中,對角線與交于點,且,則()A. B.C. D.3.如圖所示的程序框圖輸出的是126,則①應為()A. B. C. D.4.已知集合,,若,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.45.已知,,則等于().A. B. C. D.6.若單位向量,夾角為,,且,則實數()A.-1 B.2 C.0或-1 D.2或-17.在中,,則=()A. B.C. D.8.已知等差數列滿足,公差,且成等比數列,則A.1 B.2 C.3 D.49.已知集合,則集合真子集的個數為()A.3 B.4 C.7 D.810.已知與之間的一組數據:12343.24.87.5若關于的線性回歸方程為,則的值為()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.511.已知,,,若,則正數可以為()A.4 B.23 C.8 D.1712.《九章算術》是我國古代數學名著,書中有如下問題:“今有勾六步,股八步,問勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步,問其內切圓的直徑為多少步?”現從該三角形內隨機取一點,則此點取自內切圓的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在長方體中,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.14.“直線l1:與直線l2:平行”是“a=2”的_______條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).15.在平面直角坐標系中,圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和,其中與圓相交于,兩點,與圓相切于點.若,則直線的斜率為_____________.16.已知數列的前項和為,且成等差數列,,數列的前項和為,則滿足的最小正整數的值為______________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m).(1)當m=7時,求函數f(x)的定義域;(2)若關于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范圍.18.(12分)已知函數.(1)若函數,求的極值;(2)證明:.(參考數據:)19.(12分)已知橢圓的上頂點為,圓與軸的正半軸交于點,與有且僅有兩個交點且都在軸上,(為坐標原點).(1)求橢圓的方程;(2)已知點,不過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點,證明:直線與直線的斜率互為相反數.20.(12分)在直角坐標系中,直線的參數方程是為參數),曲線的參數方程是為參數),以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線和曲線的極坐標方程;(2)已知射線與曲線交于兩點,射線與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長.21.(12分)第十四屆全國冬季運動會召開期間,某校舉行了“冰上運動知識競賽”,為了解本次競賽成績情況,從中隨機抽取部分學生的成績(得分均為整數,滿分100分)進行統(tǒng)計,請根據頻率分布表中所提供的數據,解答下列問題:(1)求、、的值及隨機抽取一考生其成績不低于70分的概率;(2)若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動,并指定2名負責人,求從第4組抽取的學生中至少有一名是負責人的概率.組號分組頻數頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計1.0022.(10分)如圖,在中,,,點在線段上.(1)若,求的長;(2)若,,求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據斜二測畫法的基本原理,將平面直觀圖還原為原幾何圖形,可得,,繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側面展開圖是扇形根據扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據“斜二測畫法”可得,,,繞AB所在直線旋轉一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,它的表面積為.故選:【點睛】本題考查斜二測畫法的應用及組合體的表面積求法,難度較易.2、C【解析】
畫出圖形,以為基底將向量進行分解后可得結果.【詳解】畫出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【點睛】應用平面向量基本定理應注意的問題(1)只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無窮多組,在解決具體問題時,合理選擇基底會給解題帶來方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實質就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數乘運算.3、B【解析】試題分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并輸出滿足循環(huán)的條件.解:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并輸出滿足循環(huán)的條件.∵S=2+22+…+21=121,故①中應填n≤1.故選B點評:算法是新課程中的新增加的內容,也必然是新高考中的一個熱點,應高度重視.程序填空也是重要的考試題型,這種題考試的重點有:①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出.其中前兩點考試的概率更大.此種題型的易忽略點是:不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤.4、B【解析】
解出,分別代入選項中的值進行驗證.【詳解】解:,.當時,,此時不成立.當時,,此時成立,符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關系.5、B【解析】
由已知條件利用誘導公式得,再利用三角函數的平方關系和象限角的符號,即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結合解得,所以,故選B.【點睛】本題考查三角函數的誘導公式、同角三角函數的平方關系以及三角函數的符號與位置關系,屬于基礎題.6、D【解析】
利用向量模的運算列方程,結合向量數量積的運算,求得實數的值.【詳解】由于,所以,即,,即,解得或.故選:D【點睛】本小題主要考查向量模的運算,考查向量數量積的運算,屬于基礎題.7、B【解析】
在上分別取點,使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點,使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算,考查了學生邏輯推理能力,屬于基礎題.8、D【解析】
先用公差表示出,結合等比數列求出.【詳解】,因為成等比數列,所以,解得.【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式.屬于簡單題,化歸基本量,尋求等量關系是求解的關鍵.9、C【解析】
解出集合,再由含有個元素的集合,其真子集的個數為個可得答案.【詳解】解:由,得所以集合的真子集個數為個.故選:C【點睛】此題考查利用集合子集個數判斷集合元素個數的應用,含有個元素的集合,其真子集的個數為個,屬于基礎題.10、D【解析】
利用表格中的數據,可求解得到代入回歸方程,可得,再結合表格數據,即得解.【詳解】利用表格中數據,可得又,.解得故選:D【點睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質,考查了學生概念理解,數據處理,數學運算的能力,屬于基礎題.11、C【解析】
首先根據對數函數的性質求出的取值范圍,再代入驗證即可;【詳解】解:∵,∴當時,滿足,∴實數可以為8.故選:C【點睛】本題考查對數函數的性質的應用,屬于基礎題.12、C【解析】
利用直角三角形三邊與內切圓半徑的關系求出半徑,再分別求出三角形和內切圓的面積,根據幾何概型的概率計算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長為,利用等面積法,可得其內切圓的半徑為,所以向次三角形內投擲豆子,則落在其內切圓內的概率為.故選:C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題,其中解答中熟練應用直角三角形的性質,求得其內切圓的半徑是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、C【解析】
根據確定是異面直線與所成的角,利用余弦定理計算得到答案.【詳解】由題意可得.因為,所以是異面直線與所成的角,記為,故.故選:.【點睛】本題考查了異面直線夾角,意在考查學生的空間想象能力和計算能力.14、必要不充分【解析】
先求解直線l1與直線l2平行的等價條件,然后進行判斷.【詳解】“直線l1:與直線l2:平行”等價于a=±2,故“直線l1:與直線l2:平行”是“a=2”的必要不充分條件.故答案為:必要不充分.【點睛】本題主要考查充分必要條件的判定,把已知條件進行等價轉化是求解這類問題的關鍵,側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).15、【解析】
設:,:,利用點到直線的距離,列出式子,求出的值即可.【詳解】解:由圓,可知圓心,半徑為.設直線:,則:,圓心到直線的距離為,,.圓心到直線的距離為半徑,即,并根據垂徑定理的應用,可列式得到,解得.故答案為:.【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式的運用,并結合圓的方程,垂徑定理的基本知識,屬于中檔題.16、1【解析】
本題先根據公式初步找到數列的通項公式,然后根據等差中項的性質可解得的值,即可確定數列的通項公式,代入數列的表達式計算出數列的通項公式,然后運用裂項相消法計算出前項和,再代入不等式進行計算可得最小正整數的值.【詳解】由題意,當時,.當時,.則,.,,成等差數列,,即,解得..,...,.即,,即,,,,即.滿足的最小正整數的值為1.故答案為:1.【點睛】本題主要考查數列求通項公式、裂項相消法求前項和,考查了轉化思想、方程思想,考查了不等式的計算、邏輯思維能力和數學運算能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】試題分析:用零點分區(qū)間討論法解含絕對值的不等式,根據絕對值三角不等式得出,不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R,只需m+4≤3,得出的范圍.試題解析:(1)由題設知:|x+1|+|x﹣2|>7,不等式的解集是以下不等式組解集的并集:,或,或,解得函數f(x)的定義域為(﹣∞,﹣3)∪(4,+∞).(2)不等式f(x)≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4,∵x∈R時,恒有|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3,不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R,∴m+4≤3,m的取值范圍是(﹣∞,﹣1].18、(1)見解析;(1)見證明【解析】
(1)求出函數的導數,解關于導函數的不等式,求出函數的單調區(qū)間,從而求出函數的極值即可;(1)問題轉化為證ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,根據xlnx≤x(x﹣1),問題轉化為只需證明當x>0時,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),根據函數的單調性證明即可.【詳解】(1),,當,,當,,在上遞增,在上遞減,在取得極大值,極大值為,無極大值.(1)要證f(x)+1<ex﹣x1.即證ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,先證明lnx≤x﹣1,取h(x)=lnx﹣x+1,則h′(x)=,易知h(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減,故h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x﹣1,當且僅當x=1時取“=”,故xlnx≤x(x﹣1),ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1,故只需證明當x>0時,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),則k′(x)=ex﹣4x+1,令F(x)=k′(x),則F′(x)=ex﹣4,令F′(x)=0,解得:x=1ln1,∵F′(x)遞增,故x∈(0,1ln1]時,F′(x)≤0,F(x)遞減,即k′(x)遞減,x∈(1ln1,+∞)時,F′(x)>0,F(x)遞增,即k′(x)遞增,且k′(1ln1)=5﹣8ln1<0,k′(0)=1>0,k′(1)=e1﹣8+1>0,由零點存在定理,可知?x1∈(0,1ln1),?x1∈(1ln1,1),使得k′(x1)=k′(x1)=0,故0<x<x1或x>x1時,k′(x)>0,k(x)遞增,當x1<x<x1時,k′(x)<0,k(x)遞減,故k(x)的最小值是k(0)=0或k(x1),由k′(x1)=0,得=4x1﹣1,k(x1)=﹣1+x1﹣1=﹣(x1﹣1)(1x1﹣1),∵x1∈(1ln1,1),∴k(x1)>0,故x>0時,k(x)>0,原不等式成立.【點睛】本題考查了函數的單調性,極值問題,考查導數的應用以及不等式的證明,考查轉化思想,屬于中檔題.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據條件可得,進而得到,即可得到橢圓方程;(2)設直線的方程為,聯(lián)立,分別表示出直線和直線斜率,相加利用根與系數關系即可得到.【詳解】解:(1)圓與有且僅有兩個交點且都在軸上,所以,又,,解得,故橢圓的方程為;(2)設直線的方程為,聯(lián)立,整理可得,則,解得,設點,,則,,所以,故直線與直線的斜率互為相反數.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系,涉及橢圓的幾何性質,關鍵是求出橢圓的標準方程,屬于中檔題.20、(1),;(2).【解析】
(1)先把直線和曲線的參數方程化成普通方程,再化成極坐標方程;(2)聯(lián)立極坐標方程,根據極徑的幾何意義可得,再由面積可解得極角,從而可得.【詳解】(1)直線的參數方程是為參數),消去參數得直角坐標方程為:.轉換為極坐標方程為:,即.曲線的參數方程是(為參數),轉換為直角坐標方程為:,化為一般式得化為極坐標方程為:.
(2)由于,得,.所以,所以,由于,所以,所以.【點睛】本題主要考查參數方程與普通方程的互化、直角坐標方程與極坐標方程的
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