2023-2024學(xué)年廣東省佛山市高二年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省佛山市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.若P(A)=O?2,P(8)=0.7且A與B相互獨(dú)立,則P(AB)=()

A.0.14B.0.9C.0.2D.0.7

【正確答案】A

【分析】代入相互獨(dú)立事件概率公式求解即可.

【詳解】由題意知A與B相互獨(dú)立，

則P(Aβ)=P(A)?P(8)=0.2x0.7=0.14.

故選:A.

2.若空間中任意四點(diǎn)O,A,B,P滿足。P=/”04+"08,其中m+"=l,貝!|()

A.P∈直線AB

B.PC直線AB

C.點(diǎn)尸可能在直線AB上，也可能不在直線A8上

D.以上都不對(duì)

【正確答案】A

【分析】利用減法法則化簡(jiǎn)已知得λ>=〃低，再根據(jù)乃，蕊有公共起點(diǎn)4,即可判斷得解.

【詳解】因?yàn)楦?"=1,所以機(jī)=1—〃，

所以d=(—辦，

即OP-OA^n<^OB-OA)y'

即A>="A?,所以λ>與幾共線?

又成，矗有公共起點(diǎn)4所以P，4B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈直線AB.

故選：A

3.若直線過(guò)點(diǎn)(2,4),(1,4+退)，則此直線的傾斜角是()

A.30°B.60"C.120'D.150°

【正確答案】C

【分析】根據(jù)斜率的坐標(biāo)表示以及人=tana,故可得結(jié)果.

【詳解】由題意知，直線的斜率Z=-√L

即直線的傾斜角a滿足tana=-√3,

又0°≤c<180",.?.α=120?

故選：C

本題主要考查斜率與傾斜角的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

4.盒子里有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取一個(gè)，取出白球的概率是()

A.-9B.-9C.y2D.—io

【正確答案】B

【分析】用古典概型求解.

4

【詳解】盒子里共有9個(gè)球，其中4個(gè)白球，所以由古典概型得從中任取一個(gè)，取出白球的概率是:

故選：B

5.如圖.空間四邊形OABC中，QA=a,OB="OC=c?,點(diǎn)M在。A上，且滿足OM=2M4,點(diǎn)N為

Be的中點(diǎn)，則MN=()

221

A.—a——b+-cB.-a-?--b——c

232332

c.一。+一1。,——1cD.二J+L

222322

【正確答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.

1?011

【詳解】MN=ON-OM=-(θB+OC]——OA=——a+-h+-c.

21)3322

故選：D.

6.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A="第一枚硬幣正面朝上“，事件3="第二枚硬幣正面朝上”.

下列結(jié)論正確的是()

A.A與B互為對(duì)立事件B.4與8互斥

C.A與8相等D.P(A)=P(B)

【正確答案】D

【分析】先把拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有可能結(jié)果都羅列出來(lái)，然后再把事件A和事件B包含

的可能結(jié)果找出來(lái)，然后根據(jù)事件對(duì)立、互斥、相等的定義即可判斷ABC選項(xiàng)：對(duì)于D選項(xiàng)，只

要根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算出事件A和事件B的概率即可判斷.

【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有可能結(jié)果有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)

4種結(jié)果，

事件A包含的結(jié)果有：(正，正)，(正，反)2種，事件B包含的結(jié)果有：(正，正)，(反，正)2

種，

顯然事件A和事件B都包含(正，正)這一結(jié)果，即事件A和事件B能同時(shí)發(fā)生，

所以事件A和事件B既不對(duì)立也不互斥，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；

事件A和事件8中有不同的結(jié)果，所以事件A和事件8不相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

2121

由古典概型得P(A)=(=5,P(B)=(=j所以P(A)=P(B),故選項(xiàng)D正確；

故選：D.

7.已知空間直角坐標(biāo)系。一孫Z中,OA=(1,2,3),08=(2,1,2),OP=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),

則當(dāng)QAQB取得最小值時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A(???)BCD(?^?)

"2'4,3'2,2'4'3,3,3，2彳3

【正確答案】C

【分析】利用向量0Q〃OP表示出點(diǎn)Q坐標(biāo)，再求出QA，QB的坐標(biāo)，借助數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系即

可求解.

【詳解】因點(diǎn)。在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則0Q〃0P，設(shè)OQ=fOP=(f,f,2r),于是有Q(∕J,2∕),

因?yàn)镺A=(1,2,3),OB=(2,1,2),所以A(l,2,3),8(2,1,2),

因此QA=(I-f,2-r,3-2f),Qβ=(2-t,?-t,2-2t),

于是得Q4Q8=(1τ)(2-r)+(2-∕)(l-z)+(3-2/)(2-2r)

=6∕-16f+10=6,-g)-|,

則當(dāng),時(shí)，(QAQB)=~,此時(shí)點(diǎn)。傳m

3'∕mιn333J

(448、

所以當(dāng)Q4Q8取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.

故選：C

8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A4GA中，點(diǎn)E、F分別是棱A8、BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)G到

平面BEF的距離等于()

2√3

rK-Z.------d

333?i

【正確答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面旦EF的法向量，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離求解即可.

【詳解】以R為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以RA，RG,。。的方向?yàn)閄軸、y軸、Z軸的正方向建立空間

直角坐標(biāo)系，則4(2,2,0),C1(0,2,0),￡(2,1,2),F(l,2,2).

設(shè)平面B1EF的法向量為"(x,Z),

B1E=(0,-1,2)B1F=(-1,0,2)

由￡=O

貝Jj-y+2z=0

Jn?

n由FO

=-x+2z=0

令z=l,得〃=(2,2,1).

又B1C1=(-2,0,0),

-八_._-?-,,,.---X-?n`BCII—2×2÷0÷0∣4

點(diǎn)G到平面BnlErrF的ft距πt蜀力f=J_3xx=!」=

l?l√22+22+l3

故選.￡)

本題用向量法求點(diǎn)到平面的距離，我們也可以用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)然也可以找到這個(gè)

垂線段，然后放在直角三角形中去求.

二、多選題

TT

9.三棱錐A-BCO中，平面ABO與平面3C。的法向量分別為勺,丐，若＜“,％〉=§,則二面角

A—80—C的大小可能為()

πCπ

A.-B.-

63

C型D-

'3,6

【正確答案】BC

【分析】由二面角的大小與法向量夾角相等或互補(bǔ)即可求得結(jié)果.

【詳解】,.二面角的大小與法向量的夾角相等或互補(bǔ)，

???二面角A—3D—C的大小可能為g或乃-g=4?

333

故選：BC.

10.設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為()

A.若A,8是互斥事件，P(A)=!，P(B)=:，則P(48)=，

326

B.若A,B是對(duì)立事件，則P(AU8)=1

12—1

C.若A,8是獨(dú)立事件，P(A)=-,P(B)=-,則P(AB)=W

D.若P(K)=2,P(a=1，HP(AB)=I則A,B是獨(dú)立事件

324

【正確答案】BC

【分析】利用互斥事件與相互獨(dú)立事件的性質(zhì)逐一判斷即可

【詳解】對(duì)于A：若A,B是互斥事件，P(A)=p尸⑻=；，則P(AB)=→^=∣,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：若A,B是對(duì)立事件，則P(A3)=P(A)+P(5)=1,故B正確；

對(duì)于C：若A,B是獨(dú)立事件，P(A)=∣,P(B)=∣,則A,萬(wàn)也是獨(dú)立事件咿)=:，則

?J?

P(AB)=P(Λ)P(B)=∣×∣=∣,故C正確：

對(duì)于D：若P(N)=g,P(歷=g,則P(B)=g且P(M)=*gx；=尸岡P(B),則儲(chǔ)8不是獨(dú)立

事件，故A,B也不是獨(dú)立事件，故D錯(cuò)誤;

故選：BC

II.已知空間中三點(diǎn)A(O,1,O),8(2,2,0),C(-l,3,l),則下列說(shuō)法正確的是()

A.AB與Ae是共線向量B.與AB同向的單位向量是］萼，4,0

C.A8和BC夾角的余弦值是華D.平面ABC的一個(gè)法向量是(1,-2,5)

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示可知A錯(cuò)誤；

AB

根據(jù)與AB同向的單位向量為百，計(jì)算可知B正確；

利用向量夾角公式計(jì)算可知C錯(cuò)誤；

根據(jù)法向量的求法可知D正確.

【詳解】對(duì)于A,ΛB=(2,l,0),AC=(T2,1),可知A8=∕IAC,AB與AC不共線，A錯(cuò)誤;

、IIABf2√5√5

對(duì)于B,AB=(z2』,0),.??∣AB∣=br,網(wǎng)=1三一,與,0)即與AB同向的單位向量是

(2石亞力?T由

一^-，W，。，B正確；

155,

,、λdABBC-5√55

對(duì)于C,8C=(-3,1』)，???MA8,BC>=阿阿=Err-丁，

即A8和BC夾角的余弦值為-手，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)平面ABC的法向量〃=(x,y,z),

則"?Ag=2x+y=0,令X=],解得：尸-2,z=5,r.”=(1,-2,5),

n?BC--3x+y+z=0

即平面ABC的一個(gè)法向量為(1,-2,5),D正確.

故選：BD.

12.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∕∕BC,AD=4,XABC=90,PAL

平面ABC。，PA=AB=BC=I,下列說(shuō)法正確的是()

A.P8與Co所成的角是60

B.平面PCo與平面尸班所成的銳二面角余弦值是邁

3

C.PB與平面PCO所成的角的正弦值是理

6

D.M是線段PC上動(dòng)點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面BMN距離最大值為逑

3

【正確答案】AC

【分析】由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量處理問(wèn)題，結(jié)合相關(guān)的夾角公式與點(diǎn)到面的距離

公式運(yùn)算求解，注意線上動(dòng)點(diǎn)的向量設(shè)法.

【詳解】由題意，以A為原點(diǎn)，以A8,40,AP所在的直線分別為X軸、曠軸和Z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所示,

可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,2),

對(duì)于A中，可得BP=(-2,0,2),C￡>=(-2,2,0),

所以COS<8P,CZ))BPCD41

∣BP∣∣CD∣^2√2×2√2^2

所以BP與C。的夾角的余弦值為g，即夾角為60,所以A正確;

對(duì)于B中，由平面RU?的法向量為W=(0,1,0),

又由PC=(2,2,-2),CD=(-2,2,0)，

2x+2y-2z=O

設(shè)平面PC￡)的法向量為"=(x,y,z),則"

-2x+2y=0

令X=1,可得y=l,z=2,所以"=(1,1,2),

/?m`n√6

所以COS

所以平面PCo與平面PBA所成的銳二面角余弦值是逅，B錯(cuò)誤.

6

BPn2√3

對(duì)于C中，由CoS(BP,〃)=

∣BP∣∣n∣-2√2×√6-6'

所以尸B與平面PCO所成的角的正弦值是C正確;

6

對(duì)于D中，N(0,2,0)

iSaPM=λPC,λG[0,1],貝IJM(2Λ,22,2-22)

BN=(-2,2,0),BM=(24-2,242-2彳)

[-2x÷2y=O

設(shè)平面BMN的法向量為P=(Q,z)'則∣(2"2)x+2為+(2-22)z=0'

令X=X—1,則y=<Λ-l,z=24-1,BPp=(Λ—1,A—1,2A—1)

?/BP=(-2,0,2)

_卜

tP?P∣_2/12

2

...點(diǎn)P到平面BMN距離為，|/?|√6λ-8Λ+3

當(dāng)2=0時(shí)，則點(diǎn)做為點(diǎn)?

...點(diǎn)P到平面BMN距離為O

當(dāng)2∈(0,l]時(shí)，則!e[l,+∞)

Z

λ3(ι)^8(i)+6e?∣,+∞),則de(θ,√^

綜上所述：點(diǎn)P到平面BMN距離的取值范圍為[。,#],即最大值為"，D錯(cuò)誤

故選：AC.

三、填空題

13.設(shè)直線/的方向向量為m=(2,T,z),平面α的一個(gè)法向量為〃=(4,-2,-2),若直線〃/平面α,

則實(shí)數(shù)Z的值為.

【正確答案】5

【分析】由線面平行可得心，〃，由向量垂直的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得Z的值.

【詳解】直線〃/平面α,.?.，〃，〃，SP8+2-2z=0,解得.z=5

故答案為.5

四、雙空題

14.笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.據(jù)說(shuō)在他生

病臥床時(shí)，還在反復(fù)思考一個(gè)問(wèn)題：通過(guò)什么樣的方法，才能把"點(diǎn)''和"數(shù)”聯(lián)系起來(lái)呢？突然，他

看見(jiàn)屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形。在空間直角坐標(biāo)系

中，A(l,-1,-1)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是；點(diǎn)C是點(diǎn)8(3,4,5)在坐標(biāo)平面OXy內(nèi)的射影,

則|國(guó)卜.

【正確答案】(T,T,1)5

【分析】A(L-L-I)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是將橫坐標(biāo)與豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變；點(diǎn)3(3,4,5)在

坐標(biāo)平面OX)，內(nèi)的射影將豎坐標(biāo)變?yōu)?,其它坐標(biāo)不變.

【詳解】41,-1,-1)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是將橫坐標(biāo)與豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，為4(-l,T,l);

點(diǎn)仇3,4,5)在坐標(biāo)平面OXy內(nèi)的射影將豎坐標(biāo)變?yōu)?,其它坐標(biāo)不變，故C(3,4,0),故IOq=5.

故(TT,1)；5.

五、填空題

15.佛山市榮山中學(xué)30周年校慶學(xué)校安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”、“3號(hào)”的三輛車(chē)，等可能

隨機(jī)順序前往酒店接校友。某校友突發(fā)奇想，設(shè)計(jì)了一種乘車(chē)方案：不乘坐第一輛車(chē)，若第二輛車(chē)

的序號(hào)大于第一輛車(chē)的序號(hào)就乘坐此車(chē)，否則乘坐第三輛車(chē)，記事件A=“乘坐到3號(hào)車(chē)”，則

P(A)=.

【正確答案】y∕0.5

【分析】列出發(fā)車(chē)順序的所有結(jié)果，再利用古典概率計(jì)算公式求解即得.

【詳解】三輛車(chē)的出車(chē)順序有：123,132,213,231,312,321,共6個(gè)不同結(jié)果，它們等可能,

按方案坐到“3號(hào)”車(chē)的事件有132,213,231,事件A中共3個(gè)不同結(jié)果，則P(A)=

62

故3

16.已知點(diǎn)P(2,—3),Q(3,2),直線0r+y+2=0與線段PQ相交，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是一；

^4Γ

【正確答案】一

【詳解】由直線依+y+2=(),即y=-Ur-2,此時(shí)直線恒過(guò)點(diǎn)4(0,-2),

-2-(-3)1-2-24

則直線PA的斜率k、=:二"=V,直線QA的斜率k=左9=三，

0—2220—3j

若直線0r+y+2=0與線段PQ相交，則-j1≤-4a≤;,即-]4≤α≤]1,

41

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

32

點(diǎn)睛：本題考查了兩條直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中把直線與線段有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線間的斜

率之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，同時(shí)要熟記直線方程的各種形式和直線過(guò)定點(diǎn)的判定，此類(lèi)問(wèn)題解答

中把直線與線段有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與線段端點(diǎn)斜率之間關(guān)系是常見(jiàn)的一種解題方法，著重考查了學(xué)

生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.

六、解答題

17.已知兩直線4：內(nèi)-勿+4=0,Q(αT)x+y+6=0?求分別滿足下列條件的“，。的值：

⑴直線4過(guò)點(diǎn)(-3,-1),并且直線4與4垂直；

⑵直線4與直線4平行，并且直線4在丫軸上的截距為3.

【正確答案】(l)4=2,b=2

3

(2)a=pb=-3

【分析】(1)根據(jù)直線垂直的充要條件以及點(diǎn)(-3,T)在直線《上，列出方程組即可解出；

(2)根據(jù)兩直線平行斜率相等，以及直線縱截距的意義，列出方程，即可解出.

【詳解】(1)因?yàn)?∕J-∕2,所以“(〃-1)+(—b)?l=0,即“2—“一6=0.①

又點(diǎn)(一3,—1)在//上，所以-34+6+4=0.②

由①②得a=2,b—2.

(2)因?yàn)橹本€/2在y軸上的截距為3,所以匕=一3,

又4〃4，匕&2=l-α,所以-I=I-α,所以a=故。=]，6=-3.

18.某學(xué)校有學(xué)生Kxx)人，為了解學(xué)生對(duì)本校食堂服務(wù)滿意程度，隨機(jī)抽取了IOO名學(xué)生對(duì)本校食

堂服務(wù)滿意程度打分，根據(jù)這IOO名學(xué)生的打分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)

分組區(qū)間為[4(),50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,9()),[9(),KX)].

(1)求頻率分布直方圖中”的值，并估計(jì)該校學(xué)生滿意度打分不低于70分的人數(shù)；

(2)若采用分層抽樣的方法，從打分在［40,60)的受訪學(xué)生中隨機(jī)抽取5人了解情況，再?gòu)闹羞x取2人

進(jìn)行跟蹤分析，求這2人至少有一人評(píng)分在［40,50)的概率.

【正確答案】⑴。=0.006,6A

Q)L

10

【分析】(1)由頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程，即可求出α,再估計(jì)出滿意

度打分不低于70分的人數(shù)；

(2)首先求出打分在［40,50)和［50,60)內(nèi)人數(shù)，再用列舉法列出所有可能結(jié)果，最后根據(jù)古典概型

的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知，(Qo但+α+0?018+0.022x2+0.028)xl0=l,

解得。=0.006.

該校學(xué)生滿意度打分不低于70分的人數(shù)為IoooX(0.28+0.22+0.18)=6.

(2)由頻率分布直方圖可知，打分在［40,50)和［50,60)內(nèi)的頻率分別為().04和0.06,

抽取的5人采用分層抽樣的方法，在［40,50)內(nèi)的人數(shù)為2人，在［50,60)內(nèi)的人數(shù)為3人.

設(shè)［40,50)內(nèi)的2人打分分別為4，%,［50,60)內(nèi)的3人打分分別為A,A2,A3,

則從［40,60)的受訪學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，2人打分的基本事件有：

(4,2,(Al,A),(4,&)，(αl,?),(02,4),(?,Λ),(i?,A)>(A，4),(A，5)，(&A)共1。種.

其中兩人都在［50,60)內(nèi)的可能結(jié)果為(44),(4,4)，(4,4)，

則這2人至少有一人打分在［40,50)的概率P=l-?=?.

19.已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),8(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1)求以A8,AC為鄰邊的平行四邊形的面積；

⑵若向量”分別與AB，AC垂直，且忖=3,求向量〃的坐標(biāo).

【正確答案】(1)7G

⑵α=(石,石,6)或“=(-√3,-√3,-√3)

【分析】(1)先求出AB,AC,然后利用向量的夾角公式求出CoSNB4C,從而可求出SinNB4C,再

利用三角形的面積公式可求得答案，

(2)設(shè)a=(x,y,z),然后利用向量α分別與AB，AC垂直，且"=3,列方程組可求得答案

【詳解】(1)因?yàn)锳(0,2,3),B(-2,l,6),C(l,-1,5),

所以AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

,nsABAC-2+3+671

所以cos"*=同同=硒+5.石+彳=五=5,

因?yàn)?)o≤NB4C≤18()o,所以ZBAC=60。，

所以以A8,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為

∣AB∣∣AC∣sinZBAC=√4+l+9?√l+9+4sin60o=14×?γ=7√3

(2)設(shè)a=(x,y,z),

因?yàn)橄蛄喀练謩e與A8，AC垂直，

所以卜ABj7+3Z=0,

[α?AC=x-3y+2z=0

因?yàn)殁?3,所以V+y2+z2=9,

解得x=y=z=G或x=y=z=_乖＞,

所以α=(6,點(diǎn)揚(yáng)或α=(-√3,-√3,-√3)

20.某停車(chē)場(chǎng)臨時(shí)停車(chē)按停車(chē)時(shí)長(zhǎng)收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每輛汽車(chē)一次停車(chē)不超過(guò)半小時(shí)的免費(fèi)，超過(guò)

半小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)3元(不足I小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙兩人在該停車(chē)場(chǎng)臨時(shí)

停車(chē)，兩人停車(chē)時(shí)長(zhǎng)互不影響且都不超過(guò)2.5小時(shí).

(1)若甲停車(chē)的時(shí)長(zhǎng)在不超過(guò)半小時(shí)，半小時(shí)以上且不超過(guò)1.5小時(shí)，1.5小時(shí)以上且不超過(guò)2.5小時(shí)

這三個(gè)時(shí)段的可能性相同，乙停車(chē)的時(shí)長(zhǎng)在這三個(gè)時(shí)段的可能性也相同，求甲、乙兩人停車(chē)付費(fèi)之和

為6元的概率；

(2)若甲、乙停車(chē)半小時(shí)以上且不超過(guò)1.5小時(shí)的概率分別為:，?,停車(chē)1.5小時(shí)以上且不超過(guò)2.5

小時(shí)的概率分別為7-求甲、乙兩人臨時(shí)停車(chē)付費(fèi)不相同的概率.

126

【正確答案】(1)；

【分析】(I)根據(jù)已知條件及列舉法寫(xiě)出基本事件，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式即可求解；

(2)根據(jù)互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率公式，結(jié)合對(duì)立事件的概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】(1)設(shè)甲停車(chē)付費(fèi)α元，乙停車(chē)付費(fèi)b元，其中α,6e{0,3,6}.

所以甲、乙兩人停車(chē)付費(fèi)(。，b)的所有可能情況為：(0,0),(0,3),(0,6),(3,0),(3,3),

(3,6),(6,0),(6,3),(6,6),共9種.

其中事件“甲、乙兩人停車(chē)付費(fèi)之和為6元”包含(0,6),(3,3),(6,0),共3種情況，

31

故甲、乙兩人停車(chē)付費(fèi)之和為6元的概率為A=

(2)設(shè)甲停車(chē)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)半小時(shí)、乙停車(chē)的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)半小時(shí)分別為事件A,Bt,

甲停車(chē)的時(shí)長(zhǎng)在半小時(shí)以上且不超過(guò)1.5小時(shí)、乙停車(chē)的時(shí)長(zhǎng)在半小時(shí)以上且不超過(guò)1.5小時(shí)分別為

事件4，B2,

甲停車(chē)的時(shí)長(zhǎng)為1.5小時(shí)以上且不超過(guò)2.5小時(shí)、乙停車(chē)的時(shí)長(zhǎng)在1.5小時(shí)以上且不超過(guò)2.5小時(shí)分別

為事件A，層，

則P(A)=I-尸⑷―P(A)=Gq=JP(B1)=I-P(B2)-P(B3)=I-I-I=I

4123?oz

所以甲、乙兩人臨時(shí)停車(chē)付費(fèi)相同的概率為

P(AM+4鳥(niǎo)+4鳥(niǎo))=網(wǎng)44)+*&紇)+P(A昌)=p(A)p(8j+p(4)p(8j+P(4)p(8j

11115123

=—×-+—X—H-----X—

324312672

所以甲、乙兩人臨時(shí)停車(chē)付費(fèi)不相同的概率為I-￡=：.

21.如圖，在多面體ABCDEF中，梯形AoE尸與平行四邊形ABCD所在平面互相垂直,

AFHDE,DE1AD,ADLBE,AF=AD=-DE=},AB=>∕2.

2

(1)求證：〃平面CDEi

(2)求二面角B-所一。的余弦值；

(3)判斷線段BE上是否存在點(diǎn)Q,使得平面CD。，平面BEF?若存在，求出要的值，若不存在，

BE

說(shuō)明理由.

【正確答案】(1)詳見(jiàn)解析

⑵如

3

(3)存在點(diǎn)Q；黑=:

BE7

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判斷定理，作輔助線，轉(zhuǎn)化為證明線線平行；

(2)證得DB,DE兩兩垂直，從而建立以。點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，求得平面Z)EF和

平面3所的一個(gè)法向量，根據(jù)法向量的夾角求得二面角的余弦值；

(3)設(shè)BQ=ME=(0,-42書(shū)(加[0,1]),求得平面S2的法向量為“，若平面平面8所，

則機(jī)”=0,從而解得2的值，找到Q點(diǎn)的位置.

【詳解】(1)取QE的中點(diǎn)連結(jié)MF,MC,

因?yàn)锳F=^DE,所以AF=DW,且AF=OW,

所以四邊形Af)MF是平行四邊形，所以M尸〃AD,且MF=A。，

又因?yàn)榍褹r>=8C,所以////8C,Mf=BC,

所以四邊形BCM尸是平行四邊形，所以8尸//CM,

因?yàn)锽Fa平面CDE,CMU平面CDE,

所以BF〃平面COE；

E

(2)因?yàn)槠矫鍭DEFJ"平面ABCr),平面Af)EF「平面ABCZ)=4。，DEJ.AD,

所以Z)E工平面A8CD,DBU平面ABC。，則Z)El￡>3,故D4,DB,Z)E兩兩垂直，所以以D4,

DB,OE所在的直線分別為X軸、N軸和Z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),A(LO,0),B(0,l,0),C(-l,l,0),E(0,0,2),F(1,0,1),

所以3E=(0,T,2),=(1,0,-1),"=(。,1,0)為平面O所的一個(gè)法向量.

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為“z=(x,y,z),

-y+2z=0

由"BE=。，"EF=O,得AZ=O

令z=l