2023-2024學年廣東省佛山市高二年級上冊期中數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年廣東省佛山市高二上學期期中數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.若P(A)=O?2,P(8)=0.7且A與B相互獨立,則P(AB)=()

A.0.14B.0.9C.0.2D.0.7

【正確答案】A

【分析】代入相互獨立事件概率公式求解即可.

【詳解】由題意知A與B相互獨立，

則P(Aβ)=P(A)?P(8)=0.2x0.7=0.14.

故選:A.

2.若空間中任意四點O,A,B,P滿足。P=/”04+"08,其中m+"=l,貝!|()

A.P∈直線AB

B.PC直線AB

C.點尸可能在直線AB上，也可能不在直線A8上

D.以上都不對

【正確答案】A

【分析】利用減法法則化簡已知得λ>=〃低，再根據(jù)乃，蕊有公共起點4,即可判斷得解.

【詳解】因為根+"=1,所以機=1—〃，

所以d=(—辦，

即OP-OA^n<^OB-OA)y'

即A>="A?,所以λ>與幾共線?

又成，矗有公共起點4所以P，4B三點在同一直線上，即P∈直線AB.

故選：A

3.若直線過點(2,4),(1,4+退)，則此直線的傾斜角是()

A.30°B.60"C.120'D.150°

【正確答案】C

【分析】根據(jù)斜率的坐標表示以及人=tana,故可得結果.

【詳解】由題意知，直線的斜率Z=-√L

即直線的傾斜角a滿足tana=-√3,

又0°≤c<180",.?.α=120?

故選：C

本題主要考查斜率與傾斜角的關系，屬基礎題.

4.盒子里有4個白球和5個黑球，從中任取一個，取出白球的概率是()

A.-9B.-9C.y2D.—io

【正確答案】B

【分析】用古典概型求解.

4

【詳解】盒子里共有9個球，其中4個白球，所以由古典概型得從中任取一個，取出白球的概率是:

故選：B

5.如圖.空間四邊形OABC中，QA=a,OB="OC=c?,點M在。A上，且滿足OM=2M4,點N為

Be的中點，則MN=()

221

A.—a——b+-cB.-a-?--b——c

232332

c.一。+一1。,——1cD.二J+L

222322

【正確答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運算直接求解即可.

1?011

【詳解】MN=ON-OM=-(θB+OC]——OA=——a+-h+-c.

21)3322

故選：D.

6.拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A="第一枚硬幣正面朝上“，事件3="第二枚硬幣正面朝上”.

下列結論正確的是()

A.A與B互為對立事件B.4與8互斥

C.A與8相等D.P(A)=P(B)

【正確答案】D

【分析】先把拋擲兩枚質地均勻的硬幣的所有可能結果都羅列出來，然后再把事件A和事件B包含

的可能結果找出來，然后根據(jù)事件對立、互斥、相等的定義即可判斷ABC選項：對于D選項，只

要根據(jù)古典概型的概率計算公式計算出事件A和事件B的概率即可判斷.

【詳解】拋擲兩枚質地均勻的硬幣的所有可能結果有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)

4種結果，

事件A包含的結果有：(正，正)，(正，反)2種，事件B包含的結果有：(正，正)，(反，正)2

種，

顯然事件A和事件B都包含(正，正)這一結果，即事件A和事件B能同時發(fā)生，

所以事件A和事件B既不對立也不互斥，故選項A、B錯誤；

事件A和事件8中有不同的結果，所以事件A和事件8不相等，故選項C錯誤；

2121

由古典概型得P(A)=(=5,P(B)=(=j所以P(A)=P(B),故選項D正確；

故選：D.

7.已知空間直角坐標系。一孫Z中,OA=(1,2,3),08=(2,1,2),OP=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,

則當QAQB取得最小值時，點。的坐標為()

A(???)BCD(?^?)

"2'4,3'2,2'4'3,3,3，2彳3

【正確答案】C

【分析】利用向量0Q〃OP表示出點Q坐標，再求出QA，QB的坐標，借助數(shù)量積建立函數(shù)關系即

可求解.

【詳解】因點。在直線OP上運動，則0Q〃0P，設OQ=fOP=(f,f,2r),于是有Q(∕J,2∕),

因為OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),所以A(l,2,3),8(2,1,2),

因此QA=(I-f,2-r,3-2f),Qβ=(2-t,?-t,2-2t),

于是得Q4Q8=(1τ)(2-r)+(2-∕)(l-z)+(3-2/)(2-2r)

=6∕-16f+10=6,-g)-|,

則當,時，(QAQB)=~,此時點。傳m

3'∕mιn333J

(448、

所以當Q4Q8取得最小值時，點Q的坐標為.

故選：C

8.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A4GA中，點E、F分別是棱A8、BC的中點，則點G到

平面BEF的距離等于()

2√3

rK-Z.------d

333?i

【正確答案】D

【分析】建立空間直角坐標系，找到平面旦EF的法向量，利用向量法求點到平面的距離求解即可.

【詳解】以R為坐標原點，分別以RA，RG,。。的方向為X軸、y軸、Z軸的正方向建立空間

直角坐標系，則4(2,2,0),C1(0,2,0),￡(2,1,2),F(l,2,2).

設平面B1EF的法向量為"(x,Z),

B1E=(0,-1,2)B1F=(-1,0,2)

由￡=O

貝Jj-y+2z=0

Jn?

n由FO

=-x+2z=0

令z=l,得〃=(2,2,1).

又B1C1=(-2,0,0),

-八_._-?-,,,.---X-?n`BCII—2×2÷0÷0∣4

點G到平面BnlErrF的ft距πt蜀力f=J_3xx=!」=

l?l√22+22+l3

故選.￡)

本題用向量法求點到平面的距離，我們也可以用等體積法求點到平面的距離，當然也可以找到這個

垂線段，然后放在直角三角形中去求.

二、多選題

TT

9.三棱錐A-BCO中，平面ABO與平面3C。的法向量分別為勺,丐，若＜“,％〉=§,則二面角

A—80—C的大小可能為()

πCπ

A.-B.-

63

C型D-

'3,6

【正確答案】BC

【分析】由二面角的大小與法向量夾角相等或互補即可求得結果.

【詳解】,.二面角的大小與法向量的夾角相等或互補，

???二面角A—3D—C的大小可能為g或乃-g=4?

333

故選：BC.

10.設A,B為兩個隨機事件，以下命題正確的為()

A.若A,8是互斥事件，P(A)=!，P(B)=:，則P(48)=，

326

B.若A,B是對立事件，則P(AU8)=1

12—1

C.若A,8是獨立事件，P(A)=-,P(B)=-,則P(AB)=W

D.若P(K)=2,P(a=1，HP(AB)=I則A,B是獨立事件

324

【正確答案】BC

【分析】利用互斥事件與相互獨立事件的性質逐一判斷即可

【詳解】對于A：若A,B是互斥事件，P(A)=p尸⑻=；，則P(AB)=→^=∣,故A錯誤;

對于B：若A,B是對立事件，則P(A3)=P(A)+P(5)=1,故B正確；

對于C：若A,B是獨立事件，P(A)=∣,P(B)=∣,則A,萬也是獨立事件咿)=:，則

?J?

P(AB)=P(Λ)P(B)=∣×∣=∣,故C正確：

對于D：若P(N)=g,P(歷=g,則P(B)=g且P(M)=*gx；=尸岡P(B),則儲8不是獨立

事件，故A,B也不是獨立事件，故D錯誤;

故選：BC

II.已知空間中三點A(O,1,O),8(2,2,0),C(-l,3,l),則下列說法正確的是()

A.AB與Ae是共線向量B.與AB同向的單位向量是］萼，4,0

C.A8和BC夾角的余弦值是華D.平面ABC的一個法向量是(1,-2,5)

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)共線向量的坐標表示可知A錯誤；

AB

根據(jù)與AB同向的單位向量為百，計算可知B正確；

利用向量夾角公式計算可知C錯誤；

根據(jù)法向量的求法可知D正確.

【詳解】對于A,ΛB=(2,l,0),AC=(T2,1),可知A8=∕IAC,AB與AC不共線，A錯誤;

、IIABf2√5√5

對于B,AB=(z2』,0),.??∣AB∣=br,網(wǎng)=1三一,與,0)即與AB同向的單位向量是

(2石亞力?T由

一^-，W，。，B正確；

155,

,、λdABBC-5√55

對于C,8C=(-3,1』)，???MA8,BC>=阿阿=Err-丁，

即A8和BC夾角的余弦值為-手，C錯誤；

對于D,設平面ABC的法向量〃=(x,y,z),

則"?Ag=2x+y=0,令X=],解得：尸-2,z=5,r.”=(1,-2,5),

n?BC--3x+y+z=0

即平面ABC的一個法向量為(1,-2,5),D正確.

故選：BD.

12.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∕∕BC,AD=4,XABC=90,PAL

平面ABC。，PA=AB=BC=I,下列說法正確的是()

A.P8與Co所成的角是60

B.平面PCo與平面尸班所成的銳二面角余弦值是邁

3

C.PB與平面PCO所成的角的正弦值是理

6

D.M是線段PC上動點，N為AD中點，則點P到平面BMN距離最大值為逑

3

【正確答案】AC

【分析】由題意，建立空間直角坐標系，利用向量處理問題，結合相關的夾角公式與點到面的距離

公式運算求解，注意線上動點的向量設法.

【詳解】由題意，以A為原點，以A8,40,AP所在的直線分別為X軸、曠軸和Z軸建立空間直角坐標

系，如圖所示,

可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,2),

對于A中，可得BP=(-2,0,2),C￡>=(-2,2,0),

所以COS<8P,CZ))BPCD41

∣BP∣∣CD∣^2√2×2√2^2

所以BP與C。的夾角的余弦值為g，即夾角為60,所以A正確;

對于B中，由平面RU?的法向量為W=(0,1,0),

又由PC=(2,2,-2),CD=(-2,2,0)，

2x+2y-2z=O

設平面PC￡)的法向量為"=(x,y,z),則"

-2x+2y=0

令X=1,可得y=l,z=2,所以"=(1,1,2),

/?m`n√6

所以COS

所以平面PCo與平面PBA所成的銳二面角余弦值是逅，B錯誤.

6

BPn2√3

對于C中，由CoS(BP,〃)=

∣BP∣∣n∣-2√2×√6-6'

所以尸B與平面PCO所成的角的正弦值是C正確;

6

對于D中，N(0,2,0)

iSaPM=λPC,λG[0,1],貝IJM(2Λ,22,2-22)

BN=(-2,2,0),BM=(24-2,242-2彳)

[-2x÷2y=O

設平面BMN的法向量為P=(Q,z)'則∣(2"2)x+2為+(2-22)z=0'

令X=X—1,則y=<Λ-l,z=24-1,BPp=(Λ—1,A—1,2A—1)

?/BP=(-2,0,2)

_卜

tP?P∣_2/12

2

...點P到平面BMN距離為，|/?|√6λ-8Λ+3

當2=0時，則點做為點?

...點P到平面BMN距離為O

當2∈(0,l]時，則!e[l,+∞)

Z

λ3(ι)^8(i)+6e?∣,+∞),則de(θ,√^

綜上所述：點P到平面BMN距離的取值范圍為[。,#],即最大值為"，D錯誤

故選：AC.

三、填空題

13.設直線/的方向向量為m=(2,T,z),平面α的一個法向量為〃=(4,-2,-2),若直線〃/平面α,

則實數(shù)Z的值為.

【正確答案】5

【分析】由線面平行可得心，〃，由向量垂直的坐標表示可構造方程求得Z的值.

【詳解】直線〃/平面α,.?.，〃，〃，SP8+2-2z=0,解得.z=5

故答案為.5

四、雙空題

14.笛卡爾是世界著名的數(shù)學家，他因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父.據(jù)說在他生

病臥床時，還在反復思考一個問題：通過什么樣的方法，才能把"點''和"數(shù)”聯(lián)系起來呢？突然，他

看見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標系的雛形。在空間直角坐標系

中，A(l,-1,-1)關于y軸對稱的點的坐標是；點C是點8(3,4,5)在坐標平面OXy內(nèi)的射影,

則|國卜.

【正確答案】(T,T,1)5

【分析】A(L-L-I)關于y軸對稱的點是將橫坐標與豎坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標不變；點3(3,4,5)在

坐標平面OX)，內(nèi)的射影將豎坐標變?yōu)?,其它坐標不變.

【詳解】41,-1,-1)關于y軸對稱的點是將橫坐標與豎坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，為4(-l,T,l);

點仇3,4,5)在坐標平面OXy內(nèi)的射影將豎坐標變?yōu)?,其它坐標不變，故C(3,4,0),故IOq=5.

故(TT,1)；5.

五、填空題

15.佛山市榮山中學30周年校慶學校安排了分別標有序號為“1號”“2號”、“3號”的三輛車，等可能

隨機順序前往酒店接校友。某校友突發(fā)奇想，設計了一種乘車方案：不乘坐第一輛車，若第二輛車

的序號大于第一輛車的序號就乘坐此車，否則乘坐第三輛車，記事件A=“乘坐到3號車”，則

P(A)=.

【正確答案】y∕0.5

【分析】列出發(fā)車順序的所有結果，再利用古典概率計算公式求解即得.

【詳解】三輛車的出車順序有：123,132,213,231,312,321,共6個不同結果，它們等可能,

按方案坐到“3號”車的事件有132,213,231,事件A中共3個不同結果，則P(A)=

62

故3

16.已知點P(2,—3),Q(3,2),直線0r+y+2=0與線段PQ相交，則實數(shù)。的取值范圍是一；

^4Γ

【正確答案】一

【詳解】由直線依+y+2=(),即y=-Ur-2,此時直線恒過點4(0,-2),

-2-(-3)1-2-24

則直線PA的斜率k、=:二"=V,直線QA的斜率k=左9=三，

0—2220—3j

若直線0r+y+2=0與線段PQ相交，則-j1≤-4a≤;,即-]4≤α≤]1,

41

所以實數(shù)。的取值范圍是.

32

點睛：本題考查了兩條直線的位置關系的應用，其中解答中把直線與線段有交點轉化為直線間的斜

率之間的關系是解答的關鍵，同時要熟記直線方程的各種形式和直線過定點的判定，此類問題解答

中把直線與線段有交點轉化為定點與線段端點斜率之間關系是常見的一種解題方法，著重考查了學

生分析問題和解答問題的能力.

六、解答題

17.已知兩直線4：內(nèi)-勿+4=0,Q(αT)x+y+6=0?求分別滿足下列條件的“，。的值：

⑴直線4過點(-3,-1),并且直線4與4垂直；

⑵直線4與直線4平行，并且直線4在丫軸上的截距為3.

【正確答案】(l)4=2,b=2

3

(2)a=pb=-3

【分析】(1)根據(jù)直線垂直的充要條件以及點(-3,T)在直線《上，列出方程組即可解出；

(2)根據(jù)兩直線平行斜率相等，以及直線縱截距的意義，列出方程，即可解出.

【詳解】(1)因為/∕J-∕2,所以“(〃-1)+(—b)?l=0,即“2—“一6=0.①

又點(一3,—1)在//上，所以-34+6+4=0.②

由①②得a=2,b—2.

(2)因為直線/2在y軸上的截距為3,所以匕=一3,

又4〃4，匕&2=l-α,所以-I=I-α,所以a=故。=]，6=-3.

18.某學校有學生Kxx)人，為了解學生對本校食堂服務滿意程度，隨機抽取了IOO名學生對本校食

堂服務滿意程度打分，根據(jù)這IOO名學生的打分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)

分組區(qū)間為[4(),50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,9()),[9(),KX)].

(1)求頻率分布直方圖中”的值，并估計該校學生滿意度打分不低于70分的人數(shù)；

(2)若采用分層抽樣的方法，從打分在［40,60)的受訪學生中隨機抽取5人了解情況，再從中選取2人

進行跟蹤分析，求這2人至少有一人評分在［40,50)的概率.

【正確答案】⑴。=0.006,6A

Q)L

10

【分析】(1)由頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程，即可求出α,再估計出滿意

度打分不低于70分的人數(shù)；

(2)首先求出打分在［40,50)和［50,60)內(nèi)人數(shù)，再用列舉法列出所有可能結果，最后根據(jù)古典概型

的概率公式計算可得.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知，(Qo但+α+0?018+0.022x2+0.028)xl0=l,

解得。=0.006.

該校學生滿意度打分不低于70分的人數(shù)為IoooX(0.28+0.22+0.18)=6.

(2)由頻率分布直方圖可知，打分在［40,50)和［50,60)內(nèi)的頻率分別為().04和0.06,

抽取的5人采用分層抽樣的方法，在［40,50)內(nèi)的人數(shù)為2人，在［50,60)內(nèi)的人數(shù)為3人.

設［40,50)內(nèi)的2人打分分別為4，%,［50,60)內(nèi)的3人打分分別為A,A2,A3,

則從［40,60)的受訪學生中隨機抽取2人，2人打分的基本事件有：

(4,2,(Al,A),(4,&)，(αl,?),(02,4),(?,Λ),(i?,A)>(A，4),(A，5)，(&A)共1。種.

其中兩人都在［50,60)內(nèi)的可能結果為(44),(4,4)，(4,4)，

則這2人至少有一人打分在［40,50)的概率P=l-?=?.

19.已知空間三點A(0,2,3),8(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1)求以A8,AC為鄰邊的平行四邊形的面積；

⑵若向量”分別與AB，AC垂直，且忖=3,求向量〃的坐標.

【正確答案】(1)7G

⑵α=(石,石,6)或“=(-√3,-√3,-√3)

【分析】(1)先求出AB,AC,然后利用向量的夾角公式求出CoSNB4C,從而可求出SinNB4C,再

利用三角形的面積公式可求得答案，

(2)設a=(x,y,z),然后利用向量α分別與AB，AC垂直，且"=3,列方程組可求得答案

【詳解】(1)因為A(0,2,3),B(-2,l,6),C(l,-1,5),

所以AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

,nsABAC-2+3+671

所以cos"*=同同=硒+5.石+彳=五=5,

因為()o≤NB4C≤18()o,所以ZBAC=60。，

所以以A8,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為

∣AB∣∣AC∣sinZBAC=√4+l+9?√l+9+4sin60o=14×?γ=7√3

(2)設a=(x,y,z),

因為向量α分別與A8，AC垂直，

所以卜ABj7+3Z=0,

[α?AC=x-3y+2z=0

因為忖=3,所以V+y2+z2=9,

解得x=y=z=G或x=y=z=_乖＞,

所以α=(6,點揚或α=(-√3,-√3,-√3)

20.某停車場臨時停車按停車時長收費，收費標準為每輛汽車一次停車不超過半小時的免費，超過

半小時的部分每小時收費3元(不足I小時的部分按1小時計算).現(xiàn)有甲、乙兩人在該停車場臨時

停車，兩人停車時長互不影響且都不超過2.5小時.

(1)若甲停車的時長在不超過半小時，半小時以上且不超過1.5小時，1.5小時以上且不超過2.5小時

這三個時段的可能性相同，乙停車的時長在這三個時段的可能性也相同，求甲、乙兩人停車付費之和

為6元的概率；

(2)若甲、乙停車半小時以上且不超過1.5小時的概率分別為:，?,停車1.5小時以上且不超過2.5

小時的概率分別為7-求甲、乙兩人臨時停車付費不相同的概率.

126

【正確答案】(1)；

【分析】(I)根據(jù)已知條件及列舉法寫出基本事件，結合古典概型的計算公式即可求解；

(2)根據(jù)互斥事件及相互獨立事件的概率公式，結合對立事件的概率計算公式即可求解.

【詳解】(1)設甲停車付費α元，乙停車付費b元，其中α,6e{0,3,6}.

所以甲、乙兩人停車付費(。，b)的所有可能情況為：(0,0),(0,3),(0,6),(3,0),(3,3),

(3,6),(6,0),(6,3),(6,6),共9種.

其中事件“甲、乙兩人停車付費之和為6元”包含(0,6),(3,3),(6,0),共3種情況，

31

故甲、乙兩人停車付費之和為6元的概率為A=

(2)設甲停車的時長不超過半小時、乙停車的時長不超過半小時分別為事件A,Bt,

甲停車的時長在半小時以上且不超過1.5小時、乙停車的時長在半小時以上且不超過1.5小時分別為

事件4，B2,

甲停車的時長為1.5小時以上且不超過2.5小時、乙停車的時長在1.5小時以上且不超過2.5小時分別

為事件A，層，

則P(A)=I-尸⑷―P(A)=Gq=JP(B1)=I-P(B2)-P(B3)=I-I-I=I

4123?oz

所以甲、乙兩人臨時停車付費相同的概率為

P(AM+4鳥+4鳥)=網(wǎng)44)+*&紇)+P(A昌)=p(A)p(8j+p(4)p(8j+P(4)p(8j

11115123

=—×-+—X—H-----X—

324312672

所以甲、乙兩人臨時停車付費不相同的概率為I-￡=：.

21.如圖，在多面體ABCDEF中，梯形AoE尸與平行四邊形ABCD所在平面互相垂直,

AFHDE,DE1AD,ADLBE,AF=AD=-DE=},AB=>∕2.

2

(1)求證：〃平面CDEi

(2)求二面角B-所一。的余弦值；

(3)判斷線段BE上是否存在點Q,使得平面CD。，平面BEF?若存在，求出要的值，若不存在，

BE

說明理由.

【正確答案】(1)詳見解析

⑵如

3

(3)存在點Q；黑=:

BE7

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判斷定理，作輔助線，轉化為證明線線平行；

(2)證得DB,DE兩兩垂直，從而建立以。點為原點的空間直角坐標系，求得平面Z)EF和

平面3所的一個法向量，根據(jù)法向量的夾角求得二面角的余弦值；

(3)設BQ=ME=(0,-42書(加[0,1]),求得平面S2的法向量為“，若平面平面8所，

則機”=0,從而解得2的值，找到Q點的位置.

【詳解】(1)取QE的中點連結MF,MC,

因為AF=^DE,所以AF=DW,且AF=OW,

所以四邊形Af)MF是平行四邊形，所以M尸〃AD,且MF=A。，

又因為且Ar>=8C,所以////8C,Mf=BC,

所以四邊形BCM尸是平行四邊形，所以8尸//CM,

因為BFa平面CDE,CMU平面CDE,

所以BF〃平面COE；

E

(2)因為平面ADEFJ"平面ABCr),平面Af)EF「平面ABCZ)=4。，DEJ.AD,

所以Z)E工平面A8CD,DBU平面ABC。，則Z)El￡>3,故D4,DB,Z)E兩兩垂直，所以以D4,

DB,OE所在的直線分別為X軸、N軸和Z軸，如圖建立空間直角坐標系，

則。(0,0,0),A(LO,0),B(0,l,0),C(-l,l,0),E(0,0,2),F(1,0,1),

所以3E=(0,T,2),=(1,0,-1),"=(。,1,0)為平面O所的一個法向量.

設平面BEF的一個法向量為“z=(x,y,z),

-y+2z=0

由"BE=。，"EF=O,得AZ=O

令z=l