江蘇省無錫市部分市區(qū)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九上期末經(jīng)典試題含解析

江蘇省無錫市部分市區(qū)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九上期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知拋物線的解析式為y=（x-2）2+1，則這條拋物線的頂點坐標(biāo)是（）.A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）2．如圖，矩形矩形，連結(jié)，延長分別交、于點、，延長、交于點，一定能求出面積的條件是（）A．矩形和矩形的面積之差 B．矩形和矩形的面積之差C．矩形和矩形的面積之差 D．矩形和矩形的面積之差3．一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定4．在同一副撲克牌中抽取2張“方塊”，3張“梅花”，1張“紅桃”．將這6張牌背面朝上，從中任意抽取1張，是“紅桃”的概率為（）A． B． C． D．5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，則AB＝(

)A．15

B．12

C．9

D．66．已知點A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函數(shù)（k＜0）的圖象上，則y1、y2的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．無法確定7．如圖，一次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象交于A，B兩點，點P在以C（﹣2，0）為圓心，1為半徑的⊙C上，Q是AP的中點，已知OQ長的最大值為，則k的值為（）A． B． C． D．8．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，在ab、ac、b2﹣4ac，2a+b，a+b+c，這五個代數(shù)式中，其值一定是正數(shù)的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．已知反比例函數(shù)y＝﹣，下列結(jié)論不正確的是（）A．圖象必經(jīng)過點（﹣1，3） B．若x＞1，則﹣3＜y＜0C．圖象在第二、四象限內(nèi) D．y隨x的增大而增大10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則其外接圓的半徑為()A．15 B．7.5 C．6 D．3二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知一元二次方程有一個根為，則另一根為________．12．如圖，中，已知，，點在邊上，．把線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)（）度后，如果點恰好落在的邊上，那么__________．13．如圖，O為Rt△ABC斜邊中點，AB=10，BC=6，M、N在AC邊上，若△OMN∽△BOC，點M的對應(yīng)點是O，則CM=______．14．拋物線y=9x2﹣px+4與x軸只有一個公共點，則p的值是_____．15．一個不透明的布袋中裝有3個白球和5個紅球，它們除了顏色不同外，其余均相同，從中隨機摸出一個球，摸到紅球的概率是______.16．如圖，在中，，按以下步驟作圖：在上分別截取使分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點③作射線交于點，則_______．17．已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有實數(shù)根,則m的取值范圍是．18．若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+3k＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點，交軸正半軸于點，與過點的直線相交于另一點，過點作軸，垂足為.（1）求拋物線的解析式.（2）點是軸正半軸上的一個動點，過點作軸，交直線于點，交拋物線于點.①若點在線段上（不與點，重合），連接，求面積的最大值.②設(shè)的長為，是否存在，使以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.20．（6分）某服裝店用1440元購進一批服裝，并以每件46元的價格全部售完．由于服裝暢銷，服裝店又用3240元，再次以比第一次進價多4元的價格購進服裝，數(shù)量是第一次購進服裝的2倍，仍以每件46元的價格出售．（1）該服裝店第一次購買了此種服裝多少件？（2）兩次出售服裝共盈利多少元？21．（6分）為測量某特種車輛的性能，研究制定了行駛指數(shù)，而的大小與平均速度和行駛路程有關(guān)(不考慮其他因素)，由兩部分的和組成，一部分與成正比，另一部分與成正比．在實驗中得到了表格中的數(shù)據(jù):速度路程指數(shù)（1）用含和的式子表示;（2）當(dāng)行駛指數(shù)為，而行駛路程為時，求平均速度的值;（3）當(dāng)行駛路程為時，若行駛指數(shù)值最大，求平均速度的值．22．（8分）如圖，平行四邊形中，，過點作于點，現(xiàn)將沿直線翻折至的位置，與交于點.（1）求證：；（2）若，，求的長.23．（8分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點.（1）當(dāng)時，若點在該二次函數(shù)的圖象上，求該二次函數(shù)的表達式；（2）已知點，在該二次函數(shù)的圖象上，求的取值范圍；（3）當(dāng)時，若該二次函數(shù)的圖象與直線交于點，，且，求的值.24．（8分）如圖，在中，，的中點．（1）求證：三點在以為圓心的圓上；（2）若，求證：四點在以為圓心的圓上．25．（10分）⊙O中，直徑AB和弦CD相交于點E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且，求CD的長．26．（10分）如圖，平行四邊形中，，是上一點，，連接，點是的中點，且滿足是等腰直角三角形，連接.（1）若，求的長；（2）求證：.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解析】根據(jù)頂點式y(tǒng)=（x-h）2+k的頂點為（h，k），由y=（x-2）2+1為拋物線的頂點式，頂點坐標(biāo)為（2，1）．

故選：B．2、B【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到，即AF·BC=AB·AH①．然后根據(jù)IJ∥CD可得，，再結(jié)合以及矩形中的邊相等可以得出IJ=AF=DE．最后根據(jù)S△BIJ=BJ·IJ=BJ·DE=(BC-DH)·DE=BC·AF-DH·DE②，結(jié)合①②可得出結(jié)論．【詳解】解：∵矩形ABCD∽矩形FAHG，，∴AF·BC=AB·AH，又IJ∥CD，∴，又DC=AB，BJ=AH，∴，∴IJ=AF=DE．S△BIJ=BJ·IJ=BJ·DE=(BC-DH)·DE=BC·AF-DH·DE=AB·AH-DH·DE=(S矩形ABJH-S矩形HDEG)．∴能求出△BIJ面積的條件是知道矩形ABJH和矩形HDEG的面積之差．故選：B．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，正確的識別圖形及運用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3、A【解析】先求出△的值，再根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：一元二次方程中，△，則原方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△方程沒有實數(shù)根4、A【分析】直接利用概率公式計算可得．【詳解】解：從中任意抽取1張，是“紅桃”的概率為，故選A．【點睛】本題主要考查概率公式，隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．5、A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義直接求解.【詳解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，∵，∴，解得AB＝1．故選A6、B【詳解】試題分析：∵當(dāng)k＜0時，y=在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∴y1＜y2，故選B.考點：反比例函數(shù)增減性.7、C【解析】如圖，連接BP，由反比例函數(shù)的對稱性質(zhì)以及三角形中位線定理可得OQ=BP，再根據(jù)OQ的最大值從而可確定出BP長的最大值，由題意可知當(dāng)BP過圓心C時，BP最長，過B作BD⊥x軸于D，繼而根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理可求得點B坐標(biāo)，再根據(jù)點B在反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象上，利用待定系數(shù)法即可求出k的值.【詳解】如圖，連接BP，由對稱性得：OA=OB，∵Q是AP的中點，∴OQ=BP，∵OQ長的最大值為，∴BP長的最大值為×2=3，如圖，當(dāng)BP過圓心C時，BP最長，過B作BD⊥x軸于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直線y=2x上，設(shè)B（t，2t），則CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，t=0（舍）或t=﹣，∴B（﹣，﹣），∵點B在反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象上，∴k=﹣×（-）=，故選C．【點睛】本題考查的是代數(shù)與幾何綜合題，涉及了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，中位線定理，圓的基本性質(zhì)等，綜合性較強，有一定的難度，正確添加輔助線，確定出BP過點C時OQ有最大值是解題的關(guān)鍵.8、B【解析】試題分析：根據(jù)圖象可知：，則；圖象與x軸有兩個不同的交點，則；函數(shù)的對稱軸小于1，即，則；根據(jù)圖象可知：當(dāng)x=1時，，即；故本題選B．9、D【解析】A.

∵(?1)×3=?3,∴圖象必經(jīng)過點(?1,3)，故正確；B.

∵k=?3<0，∴函數(shù)圖象的兩個分支分布在第二、四象限，故正確；C.

∵x=1時，y=?3且y隨x的增大而而增大，∴x>1時，?3<y<0，故正確；D.函數(shù)圖象的兩個分支分布在第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故錯誤．故選D.10、B【詳解】解：∵∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2，而AC=9，BC=12，∴AB==1．又∵AB是Rt△ABC的外接圓的直徑，∴其外接圓的半徑為7.2．故選B．二、填空題(每小題3分,共24分)11、4【分析】先把x=2代入一元二次方程，即可求出c，然后根據(jù)一元二次方程求解即可.【詳解】解：把x=2代入得4﹣12+c=0c=8,（x-2）（x-4）=0x1=2，x2=4,故答案為4.【點睛】本題主要考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是求出c的值.12、或【分析】分兩種情況：①當(dāng)點落在AB邊上時，②當(dāng)點落在AB邊上時，分別求出的值，即可．【詳解】①當(dāng)點落在AB邊上時，如圖1，∴DB=DB′，∴∠B=∠DB′B=55°，∴∠BDB′=180°-55°-55°=70°；②當(dāng)點落在AB邊上時，如圖2，∴DB=DB′=2CD，∵，∴∠CB′D=30°，∴∠BDB′=30°+90°=120°．故答案是：或．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)定理，畫出圖形分類討論，是解題的關(guān)鍵．13、【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得OC=OA=OB=AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠A=∠OCA，∠OCB=∠B，由相似三角形的性質(zhì)可得∠ONC=∠OCB，，可得OM=MN，利用等量代換可得∠ONC=∠B，即可證明△CNO∽△ABC，利用外角性質(zhì)可得∠ACO=∠MOC，可得OM=CM，即可證明CM=CN，利用勾股定理可求出AC的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出CN的長，即可求出CM的長.【詳解】∵O為Rt△ABC斜邊中點，AB=10，BC=6，∴OC=OA=OB=AB=5，AC==8，∴∠A=∠OCA，∠OCB=∠B，∵△OMN∽△BOC，∴∠ONC=∠OCB，，∠COB=∠OMN，∴MN=OM，∠ONC=∠B，∴△CNO∽△ABC，∴，即，解得：CN=，∵∠OMN=∠OCM+∠MOC，∠COB=∠A+∠OCA，∴∠OCM=∠MOC，∴OM=CM，∴CM=MN=CN=.故答案為：【點睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半；熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.14、±1【解析】試題解析：拋物線與x軸只有一個交點，則△=b2-4ac=0，故：p2-4×9×4=0，解得p=±1．故答案為±1．15、【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【詳解】根據(jù)題意可得：一個不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的3個白球和5個紅球，共5個，從中隨機摸出一個，則摸到紅球的概率是故答案為:．【點睛】本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．16、【分析】由已知可求BC=6，作，由作圖知平分，依據(jù)知，再證得可知BE=2，設(shè)，則，在中得，解之可得答案．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，由作圖知平分，，，，，，，∴，∵在中，，，設(shè)，則在中∴，解得：，即，故選：．【點睛】本題綜合考查了角平分線的尺規(guī)作圖及角平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識，利用勾股定理構(gòu)建方程求解是解題關(guān)鍵．17、m≤且m≠1．【詳解】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．有實數(shù)根則△=即1-4（-1）(m-1)≥0解得m≥，又一元二次方程所以m-1≠0綜上m≥且m≠1.18、k＜【分析】根據(jù)當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根可得△＝4﹣12k＞0，再解即可．【詳解】解：由題意得：△＝4﹣12k＞0，解得：k＜．故答案為：k＜．【點睛】本題考查的是根的判別式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）①；②存在，當(dāng)時，以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形.【分析】（1）把，帶入即可求得解析式；（2）先用含m的代數(shù)式表示點P、M的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求出?PCM的面積和m的函數(shù)關(guān)系式，然后求出?PCM的最大值；（3）由平行四邊形的性質(zhì)列出關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得到結(jié)論【詳解】解：（1）∵拋物線過點、點，∴解得∴拋物線的解析式為.（2）∵拋物線與軸交于點，∴可知點坐標(biāo)為.∴可設(shè)直線的解析式為.把點代人中，得，∴.∴直線的解析式為.①∵軸，∴.設(shè)，則，且.∴，∴.∴.∴當(dāng)時，的面積最大，最大值為.②存在.由題可知，.∴當(dāng)時，以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形.已知的長為，所以，.∴.∴當(dāng)時，解得（不符合題意，舍去），；當(dāng)時，，∴此方程無實數(shù)根.綜上，當(dāng)時，以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形.【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定，正確求出二次函數(shù)解析式，利用配方法把一般式化成頂點式，求出函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵20、（1）45；（2）1．【分析】（1）設(shè)該服裝店第一次購買了此種服裝x件，則第二次購進2x件，根據(jù)單價=總價÷數(shù)量結(jié)合第二次購進單價比第一次貴4元，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)銷售單價×銷售數(shù)量-兩次進貨總價=利潤，即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)該服裝店第一次購買了此種服裝件，則第二次購進件，根據(jù)題意得：解得：經(jīng)檢驗：是原方程的根，且符合題意．答：該服裝店第一次購買了此種服裝45件．（2）（元）答：兩次出售服裝共盈利1元．【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)數(shù)量間的關(guān)系，列式計算．21、（1）；（2）50km/h；（3）90km/h．【分析】（1）設(shè)K=mv2+nsv，則P=mv2+nsv+1000，利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）將P=500代入（1）中解析式，解方程可得；

（3）將s=180代入解析式后，配方成頂點式可得最值情況．【詳解】解：（1）設(shè)K=mv2+nsv，則P=mv2+nsv+1000，由題意得：，整理得：，解得：，則P=﹣v2+sv+1000；（2）根據(jù)題意得﹣v2+40v+1000=500，整理得：v2﹣40v﹣500=0，解得：v=﹣10（舍）或v=50，答：平均速度為50km/h；（3）當(dāng)s=180時，P=﹣v2+180v+1000=﹣（v﹣90）2+9100，∴當(dāng)v=90時，P最大=9100，答：若行駛指數(shù)值最大，平均速度的值為90km/h．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解二元一次方程組、解一元二次方程的能力及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．22、（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD,AB=CD，通過兩角對應(yīng)相等證明△FCG∽△FBA，利用對應(yīng)邊成比例列比例式，進行等量代換后化等積式即可；（2）根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理，求出BE的長,再由折疊性質(zhì)求出BF長，結(jié)合（1）的結(jié)論代入數(shù)據(jù)求解.【詳解】解（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC∴∠GCF=∠B,∠CGF=∠BAF,∴△FCG∽△FBA,∴,∴∴.（2）∵，∴∠AEB=90°,∵∠B=30°,,∴AE=,由勾股定理得，BE=6，由折疊可得，BF=2BE=12，∵AD=BC=8，∴CF=4∵,∴,∴CG=,∴DG=.【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)即為相似三角形判定的條件，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答問題的關(guān)鍵.23、（1）；（2）；（3）或2.【分析】（1）將和點，代入解析式中，即可求出該二次函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)點M和點N的坐標(biāo)即可求出該拋物線的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的開口方向和二次函數(shù)的增加性，即可列出關(guān)于t的不等式，從而求出的取值范圍；（3）將和點代入解析式中，可得，然后將二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式聯(lián)立，即可求出點P、Q的坐標(biāo)，最后利用平面直角坐標(biāo)系中任意兩點之間的距離公式即可求出的值.【詳解】解：（1）∵，∴二次函數(shù)的表達式為.∵點，在二次函數(shù)的圖象上，∴.解得.∴該拋物線的函數(shù)表達式為.（2）∵點，在該二次函數(shù)的圖象上，∴該二次函數(shù)的對稱軸是直線.∵拋物線開口向上，，，在該二次函數(shù)圖象上，且，∴點，分別落在點的左側(cè)和右側(cè)，∴.解得的取值范圍是.（3）當(dāng)時，的圖象經(jīng)過點，∴，即.∴二次函數(shù)表達式為.根據(jù)二次函數(shù)的圖象與直線交于點，由，解得，.∴點的橫坐標(biāo)分別是1，.不妨設(shè)點的橫坐標(biāo)是1，則點與點重合，即的坐標(biāo)是，如下圖所示∴點的坐標(biāo)是，即的坐標(biāo)是.∵，∴根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點之間的距離公式，可得.解得或2.【點睛】此題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的