壓軸小題09 邏輯推理解決排列組合與二項式定理、事件概率與離散型隨機(jī)變量分布列綜合問題（原卷版）

壓軸小題09邏輯推理解決排列組合與二項式定理、事件概率與離散型隨機(jī)變量分布列綜合問題壓軸壓軸秘籍1．事件的分類確定事件必然事件在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必然事件不可能事件在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對于條件S的隨機(jī)事件2.事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．古典概型特點(diǎn)(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，即有限性．(2)每個基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù))＝eq\f(m,n).求古典概型概率的步驟(1)判斷試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．概率加法公式的推廣當(dāng)一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．判斷互斥、對立事件的兩種方法(1)定義法判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．(2)集合法①若各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對立事件eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．(2)性質(zhì)：①若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨(dú)立．互斥事件強(qiáng)調(diào)兩事件不可能同時發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨(dú)立事件則強(qiáng)調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當(dāng)P(B)>0時，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當(dāng)P(A)>0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對任意的事件有離散型隨機(jī)變量定義隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.離散型隨機(jī)變量均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.離散型隨機(jī)變量方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．獨(dú)立重復(fù)試驗與二項分布獨(dú)立重復(fù)試驗二項分布定義在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率計算公式Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)獨(dú)立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率．(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，繼而求得概率．兩點(diǎn)分布X01P1－pp這樣的分布列叫做兩點(diǎn)分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布，而稱p＝P(X＝1)為成功概率．超幾何分布列一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))正態(tài)分布正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974.分類加法計數(shù)原理做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．分步乘法計數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法……做第n個步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事．使用分類加法計數(shù)原理時兩個注意點(diǎn)(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏.(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).利用分步乘法計數(shù)原理解題時三個注意點(diǎn)(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事．(3)對完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定．應(yīng)用兩個計數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類和分步．分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵；分步要做到“步驟完整”，步步相連能將事件完成，較復(fù)雜的問題可借助圖表完成．排列、組合的定義排列的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列組合的定義合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同排列的個數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同組合的個數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n！，0?。?Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)求解排列應(yīng)用問題方法匯總直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列對于某些順序一定的元素(m個)的排列問題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個)進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)Aeq\o\al(n,n)除以m個順序一定的元素之間的全排列數(shù)Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法種eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法分組分配平均分組、部分平均分組1．對不同元素的分配問題(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)．(2)對于部分均分，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．隔板法將個相同元素放入個不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類問題常用的方法是“隔板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數(shù)，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這個元素劃分為個區(qū)域，剛好對應(yīng)那個盒子環(huán)排問題(1)把個不同的元素圍成一個環(huán)狀，排法總數(shù)為(2)個不同的元素圍成一圈，個元素相鄰，符合條件的排列數(shù)為(3)個不同的元素圍成一圈，個元素不相鄰，符合條件的排列數(shù)為涂色問題涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）15個人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰的概率是（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇鹽城·江蘇省濱海中學(xué)?？寄M預(yù)測）用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），在任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是（

）A． B． C． D．3．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）將六枚棋子A，B，C，D，E，F(xiàn)放置在2×3的棋盤中，并用紅、黃、藍(lán)三種顏色的油漆對其進(jìn)行上色（顏色不必全部選用），要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子A，B的顏色必須相同，則一共有（

）種不同的放置與上色方式A．11232 B．10483 C．10368 D．56164．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項工作可以安排，以下說法正確的是（

）A．每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為54B．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為C．如果司機(jī)工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為D．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是6．（2022秋·江蘇常州·高三?？茧A段練習(xí)）由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個數(shù)字“431”保持遞減，后3個數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·江蘇南通·高三?？计谥校τ谝粋€古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（

）A．A與B不互斥 B．A與D互斥但不對立C．C與D互斥 D．A與C相互獨(dú)立8．（2022秋·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．29．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個，另外六個數(shù)據(jù)分別是10，8，8，11，16，8，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為A．12 B．20 C．25 D．2710．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，，其中為展開式中項系數(shù)，，則下列說法不正確的有（

）A．，B．C．D．是，，，…，是最大值11．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲?乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲?乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲?乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（

）A．27 B．24 C．32 D．28二、多選題12．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）隨著春節(jié)的臨近，小王和小張等4位同學(xué)準(zhǔn)備互相送祝福.他們每人寫了一個祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機(jī)抽取一張作為收到的新春祝福，則（

）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為C．恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為D．每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為13．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認(rèn)為世界足球運(yùn)動的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺的中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，我市四所高中各自組建了蹴鞠隊（分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”）進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進(jìn)行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分．若每場比賽中兩隊勝、平、負(fù)的概率都為，則在比賽結(jié)束時（

）A．四支球隊的積分總和可能為15分B．甲隊勝3場且乙隊勝1場的概率為C．可能會出現(xiàn)三支球隊積分相同且和第四支球隊積分不同的情況D．丙隊在輸了第一場的情況下，其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為14．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）設(shè)，是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，且，，，則（

）A． B．C． D．15．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在某城市中，、兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中、、、是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的個交匯處.今在道路網(wǎng)、處的甲、乙兩人分別要到、處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達(dá)、處為止.則下列說法正確的是（

）A．甲從到達(dá)處的方法有種B．甲從必須經(jīng)過到達(dá)處的方法有種C．甲、乙兩人在處相遇的概率為D．甲、乙兩人相遇的概率為16．（2022·江蘇鹽城·江蘇省濱海中學(xué)?？寄M預(yù)測）十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為1，2表示為10，3表示為11，7表示為111，即，，其中，或，記為上述表示中0的個數(shù)，如，．則下列說法中正確的是（

）．A．B．C．D．1到127這些自然數(shù)的二進(jìn)制表示中的自然數(shù)有35個17．（2022·江蘇南京·金陵中學(xué)?？级＃┠橙送读?00次籃，設(shè)投完前n次的命中率為．其中，….100．已知，則一定存在使得（

）A． B． C． D．18．（2022秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．當(dāng)時，C．若，，則D．當(dāng)，時，19．（2022春·江蘇蘇州·高三江蘇省昆山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．假設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，且p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實(shí)根，則下列說法正確的是（

）A．1是方程：的根B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，20．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)一組樣本的統(tǒng)計數(shù)據(jù)為：，其中n∈N*，．已知該樣本的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，設(shè)函數(shù)，x∈R．則下列說法正確的是（

）A．設(shè)b∈R，則的平均數(shù)為B．設(shè)a∈R，則的方差為C．當(dāng)x＝時，函數(shù)有最小值D．21．（2022秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）乒乓球（tabletennis），被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項目，是推動外交的體育項目，被譽(yù)為“小球推動大球”．某次比賽采用五局三勝制，當(dāng)參賽甲、乙兩位中有一位贏得三局比賽時，就由該選手晉級而比賽結(jié)束．每局比賽皆須分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)不受之前已賽結(jié)果影響．假設(shè)甲在任一局贏球的概率為，實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)的期望值記為，下列說法正確的是（

）A．三局就結(jié)束比賽的概率為 B．的常數(shù)項為3C．