第8講 函數(shù)的奇偶性與周期性（原卷版）

第8講函數(shù)的奇偶性與周期性基礎(chǔ)知識(shí)1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有

,則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)

,則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)

圖像特征關(guān)于對(duì)稱(chēng)

關(guān)于對(duì)稱(chēng)

2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)定義內(nèi)的每一個(gè)x,都滿(mǎn)足,那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)為周期函數(shù),非零常數(shù)T稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x),如果在它的所有周期中存在一個(gè),那么這個(gè)就稱(chēng)為f(x)的最小正周期.

常用結(jié)論1.奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式:(1)f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)為偶函數(shù);(2)f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?f(x)為奇函數(shù).2.設(shè)f(x)的周期為T(mén),對(duì)f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x,有如下結(jié)論:(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2|a|;(2)若f(x+a)=1f(x),則(3)若f(x+a)=f(x+b),則T=|a-b|.3.對(duì)稱(chēng)性與周期性之間的常用結(jié)論:(1)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a和x=b對(duì)稱(chēng),則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|;(2)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(chēng),則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|;(3)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(chēng),則函數(shù)f(x)的周期T=4|b-a|.4.關(guān)于函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)中心或?qū)ΨQ(chēng)軸的常用結(jié)論:(1)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足關(guān)系f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng);(2)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足關(guān)系f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a+(3)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足關(guān)系f(a+x)=-f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a+b2,0(4)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足關(guān)系f(a+x)+f(b-x)=c,則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a+b2,c2分類(lèi)訓(xùn)練探究點(diǎn)一函數(shù)奇偶性及其延伸 微點(diǎn)1函數(shù)奇偶性的判斷例1(1)已知函數(shù)f(x)=9-x2|6-x|-A.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)B.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C.是奇函數(shù),但不是偶函數(shù)D.是偶函數(shù),但不是奇函數(shù)(2)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),則下列說(shuō)法中正確的是 ()A.f(x)+|g(x)|是偶函數(shù)B.f(x)-|g(x)|是奇函數(shù)C.|f(x)|+g(x)是偶函數(shù)D.|f(x)|-g(x)是奇函數(shù)[總結(jié)反思]函數(shù)具有奇偶性包括兩個(gè)必備條件:(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域.(2)判斷f(x)與f(-x)的關(guān)系.在判斷奇偶性時(shí),可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.常見(jiàn)特殊結(jié)構(gòu)的奇、偶函數(shù):f(x)=loga(x2+1-x)(a>0且a≠1)為奇函數(shù),f(x)=ax+a-x(a>0且a微點(diǎn)2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2(1)若函數(shù)f(x)=g(x),x<0,2x-3,A.-52 B.C.-1 D.1(2)已知函數(shù)f(x)=2-2x,x≥0,2-x,x<0,則flg[總結(jié)反思]利用函數(shù)的奇偶性可以解決以下問(wèn)題:(1)求函數(shù)值:將待求函數(shù)值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求函數(shù)已知解析式的區(qū)間上的函數(shù)值.(2)求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式區(qū)間上,再利用奇偶性的定義求出.(3)求解析式中的參數(shù):利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性得方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值.(4)畫(huà)函數(shù)圖像:利用函數(shù)的奇偶性可畫(huà)出函數(shù)在另一對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的圖像.(5)求特殊值:利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值.微點(diǎn)3奇偶性延伸到其他對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題(從平移角度說(shuō)說(shuō)對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題)例3(1)(多選題)已知偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)+f(2-x)=0,則下列說(shuō)法正確的是 ()A.函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)B.函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)C.函數(shù)f(x-1)為奇函數(shù)D.函數(shù)f(x-3)為偶函數(shù)(2)已知函數(shù)f(x+2)是偶函數(shù),f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞減,f(0)=0,則f(2-3x)>0的解集是 ()A.-∞,23∪(2,+∞)B.23,2C.-23,23D.-∞,-23∪23,+∞[總結(jié)反思]由奇偶性延伸所得對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題的常見(jiàn)結(jié)論有:(1)若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)(或偶函數(shù)),則函數(shù)y=f(x+a)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-a,0)對(duì)稱(chēng)(或關(guān)于直線(xiàn)x=-a對(duì)稱(chēng));(2)若函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù)(或偶函數(shù)),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng)(或關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)).?應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】(多選題)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2(x+A.可能是偶函數(shù)B.可能是奇函數(shù)C.可能既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)D.可能既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)2.【微點(diǎn)3】已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,2]上為增函數(shù),且f(x+2)是R上的偶函數(shù),若f(a)≤f(3),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-∞,1] B.[3,+∞)C.[1,3] D.(-∞,1]∪[3,+∞)3.【微點(diǎn)3】若定義在R上的函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù),當(dāng)x≤1時(shí),f(x)=xex,則f(3)-f(5)的值 (A.恒小于0 B.恒等于0C.恒大于0 D.無(wú)法判斷4.【微點(diǎn)2】已知函數(shù)f(x)=lnx-11-5.【微點(diǎn)2】若函數(shù)f(x)=2e|x|-x3e|x探究點(diǎn)二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用例4(1)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(x)=f(x+2)恒成立,當(dāng)x∈(-2,0]時(shí),f(x)=x2,則當(dāng)x∈(2,4]時(shí),函數(shù)f(x)的解析式為 ()A.f(x)=x2-4 B.f(x)=x2+4C.f(x)=(x+4)2 D.f(x)=(x-4)2(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+2)=-f(x),當(dāng)x∈(0,2]時(shí),f(x)=x-sinπx,則∑i=12020f(i)=A.6 B.4 C.2 D.0[總結(jié)反思](1)注意周期性的常見(jiàn)表達(dá)式的應(yīng)用.(2)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的解析式(或函數(shù)值)得到整個(gè)定義域內(nèi)的解析式(或相應(yīng)的函數(shù)值).(3)在解決具體問(wèn)題時(shí),要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用.變式題已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+4)=f(x-4),且x∈[0,4)時(shí),f(x)=2x+a,x∈[0探究點(diǎn)三以函數(shù)性質(zhì)的綜合為背景的問(wèn)題 微點(diǎn)1奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合例5(1)(多選題)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在(-∞,0)上單調(diào)的是 ()A.f(x)=e-x-ex3 B.fC.f(x)=3x-2sinx D.f(x)=x-x3(2)[2020·全國(guó)新高考Ⅰ卷]若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿(mǎn)足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是 ()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3][總結(jié)反思](1)有些綜合題常常將奇偶性與單調(diào)性結(jié)合考查,通常是通過(guò)奇偶性轉(zhuǎn)移符號(hào)或通過(guò)對(duì)稱(chēng)性判斷單調(diào)性(如奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間單調(diào)性相同,而偶函數(shù)卻相反),然后再根據(jù)單調(diào)性解諸如不等式、含參問(wèn)題等;(2)對(duì)于抽象函數(shù)不等式的求解,應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式,再結(jié)合單調(diào)性,脫去法則“f”變成常規(guī)不等式(如x1<x2或x1>x2)求解.微點(diǎn)2奇偶性與周期性的結(jié)合例6(1)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且對(duì)任意的x∈(0,+∞),都有f(x+3)=-f(x),當(dāng)x∈(-3,0)時(shí),f(x)=2x-5,則f(8)= ()A.11 B.5C.-9 D.-1(2)已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且滿(mǎn)足f(x)=f(2-x),若f(1)=3,則f(1)+f(2)+…+f(50)=.

[總結(jié)反思]周期性與奇偶性結(jié)合的考題多考查求值問(wèn)題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.微點(diǎn)3奇偶性、周期性與單調(diào)性的結(jié)合例7已知周期為2的函數(shù)f(x)(x∈R)滿(mǎn)足f(x-1)=f(1-x),當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=e-x.設(shè)a=f(log123),b=f(log210),c=f(log2200),則 (A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.c>b>a[總結(jié)反思]解決周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合的問(wèn)題,通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.?應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】下列函數(shù)是偶函數(shù)且在(0,+∞)上是增函數(shù)的是 ()A.f(x)=|lnx| B.f(x)=xC.f(x)=x-1x D.f(x)=32.【微點(diǎn)1】已知函數(shù)f(x)=x(|x|+1),則不等式f(x2)+f(x-2)>0的解集為 ()A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.【微點(diǎn)2】設(shè)f(x)是奇函數(shù)且滿(mǎn)足f(x+1)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=5x(1-x),則f(-2020.6)= ()A.0.84 B.0.7 C.-1.6 D.-1.24.【微點(diǎn)2】已知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且滿(mǎn)足f(x+1)+f(3-x)=0,當(dāng)x∈(2,4)時(shí),f(x)=-log12(x-1)+m,若f(2021)-12=fA.43 B.C.-43 D.-5.【微點(diǎn)3】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+1)是偶函數(shù),f(x-1)是奇函數(shù),f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,則 ()A.f(0)>f(2020)>f(2019)B.f(0)>f(2019)>f(2020)C.f(2020)>f(2019)>f(0)D.f(2020)>f(0)>f(2019)同步作業(yè)1.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是 ()A.-13 B.C.-12 D.2.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且f(1)=2,下列點(diǎn)中一定在函數(shù)f(x)圖像上的是 ()A.(1,-2) B.(-1,-2)C.(-1,2) D.(2,1)3.已知函數(shù)f(x)=a-2ex+1(a∈R)是奇函數(shù),則f(ln2)的值為A.13 B.C.-23 D.-4.下列函數(shù)是奇函數(shù)的是 ()A.f(x)=xsinxB.f(x)=x+sinxC.f(x)=sinD.f(x)=x5.已知函數(shù)f(x)=sin(x+a)(x≤0),cos(A.a=π3,b=B.a=2π3,C.a=π3,b=D.a=2π3,6.已知函數(shù)f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-27.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)是周期為5的周期函數(shù),且滿(mǎn)足f(1)=3,f(2)=6,則f(2018)-f(2019)+f(2020)=.

8.已知f(x)是R上的奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增,則下列函數(shù)是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞增的有 ()①g(x)=|f(x)|;②h(x)=f(x2+x);③G(x)=f(|x|);④F(x)=ef(x)+e-f(x).A.①②③ B.①③④C.②③④ D.①②④9.已知函數(shù)f(x)=ex-e-xex+e-x,實(shí)數(shù)m,n滿(mǎn)足不等式f(2A.m+n>1 B.m+n<1C.m-n>-1 D.m-n<-110.已知函數(shù)f(x)=|x+2|,g(x)=|x+t|,定義函數(shù)F(x)=f(x),f(x)≤g(x),g(xA.-4 B.-2 C.0 D.211.(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)=2x+1,x>0,A.函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽B.函數(shù)f(|x|)為偶函數(shù)C.函數(shù)f(x)為奇函數(shù)D.函數(shù)f(x)是增函數(shù)12.(多選題)已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的減函數(shù),且f(2)=-1,若g(x)=f(x-1),則下列說(shuō)法一定正確的是 ()A.g(1)=0B.g(2)=-1C.g(-x)+g(x)>0D.g(-x+1)+g(x+1)<013.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x-1)是奇函數(shù),f(x+1)是偶函數(shù),當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f(x)=3x+1-13xA.f(2018) B.f(2019)C.f(2020) D.f(2021)14.若f(x)=2x-1,x>0,g(x),x15.已知函數(shù)f(x)=-2x(1)求a,b的值;(2)若對(duì)任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成