第5講　一元二次不等式及其解法（原卷版）

第5講一元二次不等式及其解法基礎(chǔ)知識(shí)1.一元二次不等式一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式稱為一元二次不等式,其中a,b,c是常數(shù),而且a≠0.2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等實(shí)根x1=x2=-b沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集

ax2+bx+c<0(a>0)的解集

3.分式不等式(1)f(x(2)f(x)g(x)>0?f(x)·常用結(jié)論1.絕對(duì)值不等式|x|>a(a>0)的解集為(-∞,-a)∪(a,+∞);絕對(duì)值不等式|x|<a(a>0)的解集為(-a,a).2.(1)對(duì)于不等式ax2+bx+c>0,求解時(shí)不要忘記討論a=0時(shí)的情形;(2)注意區(qū)分Δ<0時(shí),ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R還是?.分類訓(xùn)練探究點(diǎn)一一元二次不等式的解法例1(1)解不等式組:-1<x2+2x-1≤2.(2)解關(guān)于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.[總結(jié)反思](1)解一元二次不等式的一般步驟是:①化為標(biāo)準(zhǔn)形式(a>0);②確定判別式Δ的符號(hào),若Δ≥0,則求出該不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根,若Δ<0,則對(duì)應(yīng)的一元二次方程無(wú)根;③結(jié)合二次函數(shù)的圖像得出不等式的解集.特別地,若一元二次不等式的左邊能因式分解,則可直接寫(xiě)出不等式的解集.(2)求解含有參數(shù)的不等式時(shí),首先需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論,再比較(相應(yīng)方程)根的大小,注意分類討論思想的應(yīng)用.變式題(1)關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),則關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 ()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)(2)解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).探究點(diǎn)二一元二次不等式恒成立問(wèn)題角度1在實(shí)數(shù)集R上的恒成立問(wèn)題例2若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,2] D.(-∞,2][總結(jié)反思](1)若不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,則滿足a(2)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立,則滿足a(3)若不等式ax2+bx+c>0恒成立,則要考慮a=0時(shí)是否滿足.變式題已知函數(shù)f(x)=-mx2+6mx-A.{m|-1≤m≤0}B.{m|-1<m<0}C.{m|m≤0}D.{m|m<-1或m>0}角度2在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題例3設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1,若對(duì)于任意x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ()A.(-∞,0] B.0,57C.-∞,57 D.(-∞,0)∪0,57

[總結(jié)反思](1)一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題,其本質(zhì)是將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最大(小)值問(wèn)題,即f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等價(jià)于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等價(jià)于f(x)max≤0(x∈[a,b]).(2)若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與變量分離于不等式的兩端,即變量分離,則可避免分類討論,直接求出參數(shù)范圍.變式題若不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈0,12恒成立,則a的最小值為 ()A.-52 B.C.-2 D.-3角度3給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題例4已知集合A={t|t2-4≤0},對(duì)于滿足集合A的所有實(shí)數(shù)t,使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范圍為 ()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(3,+∞)[總結(jié)反思]利用變換主元法解決一元二次不等式在給出參數(shù)取值范圍情況下恒成立問(wèn)題時(shí),一定要搞清誰(shuí)是變換后的主元,誰(shuí)是變換后的參數(shù),一般地,知道誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是變換后的主元,求誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是變換后的參數(shù).變式題若對(duì)于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

探究點(diǎn)三一元二次方程根的分布例5已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程的不同兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),求m的取值范圍;(2)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求m的取值范圍.[總結(jié)反思](1)關(guān)于正根、負(fù)根問(wèn)題,一般有兩種解題方法:一是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷;二是應(yīng)用根的分布,從f(0)的符號(hào)、對(duì)稱軸與直線x=0的位置關(guān)系、判別式與0的關(guān)系進(jìn)行判斷.(2)一元二次方程根的分布問(wèn)題主要是根據(jù)圖像并結(jié)合開(kāi)口方向、判別式、特殊值符號(hào)、對(duì)稱軸位置四個(gè)方面進(jìn)行條件限制.具體問(wèn)題中,如兩個(gè)根都在直線x=r的兩側(cè),此時(shí)結(jié)合圖像可知只需考慮f(r)的符號(hào)即可,而不需要考慮判別式的限制條件,因此對(duì)于根的分布限制條件的確定一定要結(jié)合圖像和二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行合理限定.變式題設(shè)方程x2-mx+2=0的兩根為α,β,其中α∈(1,2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

同步作業(yè)1.設(shè)集合A={x|x2-6x-7<0},B={x||x-1|>2},則集合A∩B= ()A.{x|3<x<7} B.{x|-7<x<-1}C.{x|-1<x<3} D.{x|-3<x<1}2.若0<t<1,則關(guān)于x的不等式(t-x)x-1t>0的解集為 ()A.xB.xC.xD.x3.2x2-5x-3<0的一個(gè)必要不充分條件是 ()A.-12<x<3 B.-1<x<C.-12<x<0 D.-3<x<4.關(guān)于x的方程x2-2ax+1=0的兩根分別在(0,1)與(1,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.1<a<53 B.a<1或a>C.-1<a<53 D.-535.已知關(guān)于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0對(duì)任意x∈R恒成立,則k的取值范圍是 ()A.[0,1]B.(0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)6.已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3},則關(guān)于x的不等式cx2-bx+a>0的解集為 ()A.xB.xC.{x|2<x<3}D.x7.若關(guān)于x的不等式x2-mx+3<0的解集是(1,3),則實(shí)數(shù)m的值為.

8.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為(-1,3),則 ()A.f(4)>f(0)>f(1)B.f(1)>f(0)>f(4)C.f(0)>f(1)>f(4)D.f(1)>f(4)>f(0)9.若不等式x2+ax+1≥0對(duì)x∈0,12恒成立,則a的最小值為 ()A.0 B.-2C.-52 D.-10.使不等式2ax2+ax-3>0對(duì)任意的a∈[1,3]恒成立的x的取值集合為A,使不等式mx2+(m-1)x-m>0對(duì)任意的x∈[1,3]恒成立的m的取值集合為B,則有 ()A.A??RBB.A?BC.B??RAD.B?A11.(多選題)設(shè)[x]表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù),則滿足關(guān)于x的不等式[x]2+[x]-12≤0的解可以為 ()A.10 B.3C.-4.5 D.-512.(多選題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a>0)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是 ()A.a2-b2≤4B.a2+1bC.若關(guān)于x的不等式x2+ax-b<0的解集為(x1,x2),則x1x2>0D.若關(guān)于x的不等式x2+ax+b<c(c>0)的解集為(x1,x2),且|x1-x2|=4,則c=413.不等式x+5(x14.若關(guān)于x的不等式mx2-mx+1<0的解集不是空集,則m的取值范圍是.

15.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0.(1)求證:不論m為何實(shí)數(shù),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)若方程的一個(gè)根大于2,另一個(gè)根小于2,求m的取值范圍.16.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-(m+1)x+m.(1)若m=2,求不等式f(x)<0的解集;(2)求不等式f(x)<0的解集;(3)若對(duì)任意的x∈[1,2],f(x)>m-4恒成立,求m的取值范圍.17.定義區(qū)間[a,b