第七章度量空間和賦范線性空間

第七章度量空間和賦范線性空間§1度量空間的進(jìn)一步例子§2度量空間中的極限，稠密集，可分空間§3連續(xù)映射§4柯西點(diǎn)列和完備度量空間§5度量空間的完備化§6壓縮映射原理及其應(yīng)用§7線性空間§8賦范線性空間和巴拿赫空間§1度量空間的進(jìn)一步例子定義：設(shè)X為一非空集合，d:X×X→R+∪{0}為一映射，且滿足則稱d(x,y)為x,y之間的距離，稱(X,d)為度量空間.(1)d(x,y)≥0，d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y(2)d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)

注：度量空間把距離抽象化，對(duì)某些一般的集合引進(jìn)點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離，使之成為距離空間，這將是深入研究極限過程的一個(gè)有效步驟.例1

離散度量空間設(shè)X

是任意非空集合，對(duì)X中任意兩點(diǎn)x,y∈X,令注：它只能區(qū)分X中任意兩個(gè)元素是否相同，不能區(qū)分元素間的遠(yuǎn)近程度.此例說明，在任何非空集合上總可以定義距離，使它成為度量空間.eg:n維歐式空間

例2（Fréchet）序列空間S例2（Fréchet）序列空間S例3

有界函數(shù)空間B(A).例4

可測(cè)函數(shù)空間M(X).

設(shè)M(X)為X上實(shí)值(或復(fù)值)的L可測(cè)函數(shù)全體，m為L(zhǎng)

測(cè)度，若m(X)<∞,對(duì)M(X)

中的任意兩個(gè)函數(shù)f,g,定義若把M(X)中的兩個(gè)a.e.相等的函數(shù)視為同一個(gè)元，則利用eg2中的不等式及積分性質(zhì)，知d(f,g)是度量.即M(X)

按上述距離d(f,g)成為度量空間.例5

連續(xù)函數(shù)空間C[a,b].

令C[a,b]表示閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)實(shí)值(或復(fù)值)函數(shù)全體，對(duì)C[a,b]

中的任意兩點(diǎn)x,y,定義則d(x,y)是C[a,b]上的度量.(同例3.B(A))例6

平方可和數(shù)列空間l2.定義則d是l2上的距離。

-完-

§2度量空間中的極限，稠密集，可分空間非空集合X

引入距離（度量）后，就可以在其上定義極限概念。定義1設(shè)(X,d)為度量空間，d是距離，定義定義2設(shè)(X,d)為度量空間，{xn}

是X

中的點(diǎn)列，如果存在x∈X,使得稱點(diǎn)列{xn}是(X,d)中的收斂點(diǎn)列，x叫作點(diǎn)列{xn}的極限，記作

度量空間中點(diǎn)列收斂性質(zhì)與數(shù)列的收斂性質(zhì)有許多共同之處。例如：1.

在度量空間中收斂點(diǎn)列的極限是唯一的2.度量空間中的收斂點(diǎn)列是有界集.3.M為度量空間(X,d)中的閉集當(dāng)且僅當(dāng)M中的任意收斂點(diǎn)列{xn}的極限均在M

中.2的證明則則3的證明3的證明由此可知4.可測(cè)函數(shù)空間M(X)中，函數(shù)列{fn}收斂于函數(shù)f∈

M(X)

當(dāng)且僅當(dāng){fn}依測(cè)度收斂于f.4.可測(cè)函數(shù)空間M(X)中，函數(shù)列{fn}收斂于函數(shù)f∈

M(X)

當(dāng)且僅當(dāng){fn}依測(cè)度收斂于f.

上述幾個(gè)例子表明，盡管在各個(gè)具體空間中各種極限概念不一致（依坐標(biāo)收斂，一致收斂，依測(cè)度收斂等），但當(dāng)我們引入了適當(dāng)?shù)木嚯x后，都可以統(tǒng)一在度量空間中考慮收斂概念，這就為統(tǒng)一處理各個(gè)具體空間提供了方便。注：事實(shí)上，作業(yè)：證明：1.

在度量空間中收斂點(diǎn)列的極限是唯一的2.度量空間中的收斂點(diǎn)列是有界集.3.M為度量空間(X,d)中的閉集當(dāng)且僅當(dāng)M中的任意收斂點(diǎn)列{xn}的極限均在M

中.復(fù)習(xí)：§3連續(xù)映射回憶數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)的定義如同數(shù)學(xué)分析中的海涅(Heine)定理，可以證明如下結(jié)論。如同數(shù)學(xué)分析中的海涅(Heine)定理，可以證明如下結(jié)論。§4柯西點(diǎn)列和完備度量空間回憶數(shù)學(xué)分析中柯西點(diǎn)列與收斂點(diǎn)列關(guān)系：事實(shí)上，另一方面，§5度量空間的完備化在許多分析問題中，經(jīng)常要求所在的空間是完備的，而空間之完備與否是與其上的距離緊密相聯(lián)，如：仿照實(shí)數(shù)理論，在有理數(shù)域中添加元素（無理數(shù)）成為完備的度量空間R，并且Q在R中稠密，考慮：是否每一個(gè)不完備的度量空間都可以加以”擴(kuò)大”，使其成為一個(gè)完備的度量空間的稠密子空間呢？作業(yè)：

復(fù)習(xí)：

1.連續(xù)映射2.柯西點(diǎn)列和完備度量空間導(dǎo)入新知

作為對(duì)上一節(jié)知識(shí)的應(yīng)用，本節(jié)介紹巴拿赫(Banach,波蘭,1922)的壓縮映射原理，該原理是對(duì)已有的關(guān)于存在唯一性問題的提煉(eg.代數(shù)方程的牛頓-迭代法，微分方程的皮卡-逐步逼近法等)，Banach用度量空間以及其上的壓縮映射(算子)的一些概念加以描述.定義：注：§6壓縮映射原理及其應(yīng)用定理：(壓縮映射原理)定理：(壓縮映射原理)注：Eg:§7線性空間

在許多